Как сделать обратное вращение
Матрица поворота используется для поворота точек вокруг системы координат. В то время как отдельные точки привязываются к новым координатам, расстояния между ними не меняются.
Все вращения определяются через тригонометрические функции синус и косинус. Для двумерной системы координат, матрица вращения такая:
\(R = \begin \cos A & -\sin A \\ \sin A & \cos A \end\)
Если угол А равен 0, то на выходе получаем единичную матрицу:
\(I = \begin 1 & 0 \cr 0 & 1 \cr \end\)
Если угол А равен +90 градусов, то матрица такова:
Если угол А равен -90 градусов, то матрица такова:
\(I = \begin0 & 1 \cr -1 & 0 \cr \end\)
Углы поворота, взятые с обратным знаком равны транспонированию матрицы.
Если матрица вращения умножена на транспонированную, в результате будет единичная матрица
Как матрицы вращения влияют на систему координат?
Матрицы вращения влияют на систему координат следующим образом:
По договоренности положительные углы создают вращение по часовой стрелке, если смотреть из центра координат в положительном направлении оси вращения.
Следуя этому правилу, в праворукой декартовой системе координат, мы увидим следующие три вида:
Так как вращение на положительный угол создает вращение по часовой стрелке, можно создать набор координат для каждого такого вращения. Для упрощения рассмотрим поворот на +90:
Можно упростить так:
В матрице это будет так:
\(R_x = \begin1 & 0 & 0 \cr 0 & \cos A & -\sin A \cr 0 & \sin A & \cos A \end\)
То же самое для Y-оси:
\(R_y = \begin\cos A & 0 & \sin A \cr 0 & 1 & 0 \cr -\sin A & 0 & \cos A\end\)
\(R_z = \begin\cos A & -\sin A & 0 \cr \sin A & \cos A & 0 \cr 0 & 0 & 1\end\)
Это и есть те три базовые матрицы, которые используются в OpenGL.
\(M = \begin 1 & 0 & 0 & 0\cr 0 & \cos A & -\sin A & 0 \cr 0 & \sin A & \cos A & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 1 \end\)
\(M = \begin \cos A & 0 & -\sin A & 0\cr 0 & 1 & 0 & 0 \cr \sin A & 0 & \cos A & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 1 \end\)
\(M = \begin \cos A & -\sin A & 0 & 0\cr \sin A & \cos A & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 1 \end\)
Что такое углы Эйлера?
Углы Эйлера это имя, данное для набора углов поворота определённых
относительно трех осей \(X,Y,Z\)
Их можно определить в векторном виде \((x,y,z)\) и хранить в структуре VECTOR.
К примеру, набор из \((0,0,0)\) всегда дает единичную матрицу.
Если представить углы в таком виде, то:
\((90,0,0)\) вращение на +90 градусов по X.
\((0,90,0)\) вращение на +90 градусов по Y.
\((0,0,90)\) вращение на +90 градусов по Z.
Что такое рыск, качение и тангаж?
Рыск, качение и тангаж (yaw, pitch, roll) — это термины аэронавтики для поворота в эвклидовой системе координат (Углах Эйлера), относительно местной системы координат самолета.
Представьте, что вы в самолете и смотрите вперед
Ось Z соединяет хвост и нос самолета.
X от конца левого крыла к концу правого крыла.
Y указывает с земли в небо.
тангаж — поворот по Х, рыск — поворот по Y, качение — поворот по Z.
Как мне комбинировать матрицы поворота?
Матрицы поворота комбинируются при помощи матричного умножения. Так что порядок умножения очень важен.
Что такое фиксация оси?
Фиксация (gimbal lock) — проблема, появляющаяся при использовании углов Эйлера. Так как конечный поворот зависит от порядка умножения, может произойти так, что одна ось вращения отобразиться на другую ось. Из-за чего станет невозможно повернуть объект в нужной оси.
К примеру, если вращать объект в порядке Z,Y,X и повернуть по оси Y на 90 градусов. В этом случае, вращение по оси Z будет произведено первым, а значит, будет проведено, верно. По оси Y также корректно. Однако после вращения по Y, ось X будет вращаться по оси Z.
Так что любое вращение по X на самом деле будет вращать по Z. Единственное решение этой проблемы — использовать Кватернионы.
Как правильно комбинировать матрицы вращения?
Самый простой путь повернуть объект:
где M финальная матрица вращения, и X,Y,Z матрицы вращения по осям.
Они опишет поворот по оси Х (тангаж), затем по Y(рыск)
и в конце по Z(качение).
Однако со стороны наблюдателя порядок вращений будет обратным.
К примеру, если ты стоишь и поворачиваешься налево,
то все в поле твоего зрения движется вправо.
Однако кто-либо кто смотрит на тебя, скажет, что ты повернулся направо.
Так что вид из камеры нужно моделировать в таком порядке:
Это обратная матрица вращения генерируется, если камера считается как еще один объект.
Как сгенерировать матрицу вращения из углов Эйлера?
На первый взгляд, самый явный способ создать матрицу вращения из углов Эйлера это создать каждую матрицу отдельно и умножить их друг на друга.
Из них можно сделать отдельную функцию:
Однако этот способ очень затратный в терминах времени обработки.
Для матрицы 4х4 гарантированно 10 элементов будут равны 0, два равны 1,
и четыре оставшихся будут иметь какое-то значение,
больше 75% всех матричных операций пройдет впустую. И это не считая
настройку и инициализацию каждой матрицы.
Вместе, больше 75% всех операций будут потрачены на нулевой или единичный результат.
Нужно более эффективное решение. К счастью, есть другой путь, определения
конечной матрицы.
Если все три матрицы записать в алгебраической форме,
то мы получим следующее выражение:
\(M = X*Y*Z\)
Где M - конечная матрица,
X - матрица вращения по X,
Y - матрица вращения по Y,
Z - матрица вращения по Z,
Расписав мы получим:
\(X = \begin1 & 0 & 0\cr 0 & A & -B\cr 0 & B & A \end\)
\(X = \beginC & 0 & -D\cr 0 & 1 & 0\cr D & 0 & C \end\)
\(X = \beginE & -F & 0\cr F & E & 0\cr 0 & 0 & 1 \end\)
где A, B косинус и синус вращения по оси X,
C, D косинус и синус вращения по оси Y,
E, F косинус и синус вращения по оси Z,
Чтобы механизмы на производстве или в быту, будь-то дерево или металлообрабатывающие станки, консольный насос, конвейерная лента, кран-балка, заточной станок, электрическая газонокосилка, кормоизмельчитель или другое устройство работали без поломок, необходимо, в первую очередь, чтобы вал электродвигателя вращался в правильную сторону.
Направление вращения вала электродвигателя
Определение направления вращения электродвигателя выполняется со стороны единственного конца вала. В том случае если двигатель имеет два конца вала, то вращение определяют со стороны вала, который имеет больший диаметр. Согласно ГОСТ 26772-85 правому направлению соответствует движение вала по часовой стрелке. У наиболее распространенных трехфазных двигателей с короткозамкнутым ротором вращение вала в правую сторону будет осуществляться, если последовательность фаз, по которым подается напряжение на концы обмоток статора, будет соответствовать алфавитной последовательности их маркировки – U1, V1, W1.
Для однофазных двигателей с короткозамкнутым ротором вращение вала по часовой стрелке будет выполняться при условии, когда фаза будет подаваться на конец рабочей обмотки.
Изменение направления вращения вала в трехфазных электродвигателях
Эксплуатация некоторых механизмов требует левостороннего вращения вала. Зная, как изменить направление вращения электродвигателя, это можно сделать без какой-либо доработки или переделки самого приводного двигателя. Для смены направления движения нужно:
- обесточить электродвигатель;
- снять крышку клеммной коробки;
- переставить жилы силового кабеля в соответствие со схемой изображенной на рис. 3: жилу с изоляцией черного цвета (L3) переподключить на контакт V1 в клеммной коробке, а жилу коричневого цвета (L2) на контакт W1.
Если эксплуатация двигателя требует постоянного переключения двигателя с правостороннего вращения на левостороннее, его подключение осуществляют по специальной схеме,
Реверс однофазного электродвигателя
Запустить вращение однофазного асинхронного электродвигателя можно переподключив фазу на начало рабочей обмотки.
Зная, как поменять направление вращения электродвигателя, можно подключить однофазный электродвигатель с возможностью переключения правостороннего вращения на левостороннее с помощью трехконтактного переключателя.
Функция rotate() свойства transform позволяет вращать элемент в 2D-пространстве. В скобках задается угол от 0 до 360 градусов. К числу дописывается приставка deg . Пример:
Если указано положительное число, поворот происходит по часовой стрелке, если отрицательное — против часовой. Если установлено значение 0deg , элемент останется в исходном положении. 360deg означает, что элемент совершит один полный оборот по часовой стрелке, 1080deg — три полных оборота, -720deg — два полных оборота против часовой стрелки и т. д.
Использовать полные обороты имеет смысл только в анимации. В противном случае какой-либо эффект от поворота будет незаметен, поскольку он будет происходить мгновенно и незаметно для глаз. Как оживить элемент, заставляя его вращаться плавно, будет показано далее в книге.
А пока несколько примеров статичных элементов, трансформированных с использованием функции вращения rotate() :
Функции для каждой оси
Свойство transform поддерживает дополнительные функции, которые позволяют совершать трансформации относительно осей трехмерного пространства:
Точка вращения
Изначально поворот элемента происходит относительно его центральной оси. Но центр вращения можно изменить, воспользовавшись свойством transform-origin . В качестве значения указываются координаты для трех осей — X, Y и Z.
Единицы измерения для X и Y могут быть любыми. Также принимаются ключевые слова left , center , right (для X) и top , center , bottom (для Y). Для оси Z позволительно использовать корректные единицы измерения длины, кроме процентов.
Функция rotate(α) поворачивает элемент в двумерном пространстве вокруг точки вращения на заданный угол α. Точка вращения по умолчанию располагается в центре элемента и может быть изменена с помощью свойства transform-origin.
Повороты на разные углы с помощью rotate(α) продемонстрированы в табл. 1.
 | transform: rotate(0) | Исходное изображение. |
| transform: rotate(90deg) | Поворот на 90° по часовой стрелке. |
| transform: rotate(-90deg) | Поворот на 90° против часовой стрелки. |
| transform: rotate(180deg) | Поворот на 180°. |
Синтаксис
Обозначения
Значения
Положительное значение поворачивает элемент на заданный угол по часовой стрелке, отрицательное значение поворачивает элемент против часовой стрелки.
Читайте также: