Как сделать объем конуса
Конус представляет собой тело, полученное объединением всех лучей, которые исходят из одной точки (вершины конуса) и проходят непосредственно через плоскую поверхность. Круглый конус получается путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. По этой причине круглый конус получил название конуса вращения.
Данный треугольник для получения конуса должен вращаться вокруг одного из своих катетов, который является не только осью вращения, но и высотой конуса. Второй же катет становится радиусом полученной в результате вращения окружности-основания конуса, а гипотенуза будет апофемой (высотой опущенной под прямым углом к линии окружности, а не центру).
Технически взаимосвязь конуса с цилиндром идентична взаимосвязи пирамиды с кубом (параллелепипедом), единственное, что вывод формулы проходит через отношения интегралов их сферических углов, но тем не менее, он точно также как и пирамида занимает одну треть цилиндра, в который он может быть вписан.
Поэтому его объем равен произведению площади основания на высоту, деленному на три, или произведению числом π на квадрат радиуса и высоту, деленному на три.
Конус — это геометрическое тело вращения, образованное путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Также коническая фигура — это тело в евклидовом пространстве, которое создается путем объединения лучиков, выходящих из вершины и входящих в круг, лежащий в основании. Если в основании конуса лежит не круг, а многоугольник, то фигура превращается в пирамиду.
Геометрия конуса
Геометрически конус представляет собой тело, состоящее из круга, который лежит в основании, и точки, не принадлежащей плоскости круга. Данная точка является вершиной, из которой выходит бесконечное количество лучей, направленных в окружность основания. Эти лучи образуют боковую поверхность, а каждый луч называется образующей конической фигуры.
Другая интерпретация конуса представляет фигуру в виде тела вращения. Такое тело образуется путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. В этом случае гипотенуза треугольника считается образующей конуса, противолежащий катет — высотой, а прилежащий — радиусом основания. Такой конус называется прямым, так как высота, опущенная из вершины, перпендикулярна площади основания.
Конус широко применяется в реальной жизни: его можно встретить в быту, производстве или науке. К примеру, форму конуса имеют рожки для мороженого, пожарные ведра, громкоговорители, абажуры для ламп, воронки, шатры, дорожные знаки. Конусообразные вещи широко распространены в природе: вулканы, горы, кроны хвойных деревьев или шляпки грибов имеют форму прямого конуса. Именно поэтому вам может понадобиться узнать площадь поверхности или объем конической фигуры не только при решении школьных задач, но и в реальной практике.
Объем конуса
Объем конической фигуры — это свойство тела вращения, которое показывает, сколько единичных кубов может уместиться внутри конуса. Объем конической фигуры, как и пирамиды, которая является частным случаем конуса, определяется как:
V = 1/3 × So × h = (pi × R 2 × h) / 3,
где R — радиус основания, а h — высота тела вращения.
При помощи удобного онлайн-инструмента вы можете рассчитать объем конуса, зная всего 2 его параметра:
- радиус и высоту;
- радиус и образующую.
Высота и образующая конуса связаны теоремой Пифагора, поэтому эти параметры взаимозаменяемы. Кроме того, в некоторых случаях удобнее замерить диаметр, а не радиус, поэтому калькулятор позволяет оперировать удобными для измерения или указанными в задании параметрами. Рассмотрим примеры.
Примеры
Допустим, вам надо набрать 50 л воды для дачных целей, но нормального ведра в виде усеченной конусной фигуры у вас нет. В вашем распоряжении есть только пожарное ведро в виде конуса. Неясно, какой объем воды влезет в такое ведерко, поэтому чтобы не бегать лишний раз, лучше заранее определить объем конуса. Пусть высота пожарного ведра составляет h = 50 см, а его радиус r = 15 см. Тогда объем такого конуса составит:
Таким образом, объем пожарного ведра равен 11 780 кубическим сантиметрам или 11,78 л. Зная объем емкости, вы можете прикинуть, что с ярким пожарным конусом вам придется 4 раза бегать до водоема и обратно.
Производство
Допустим, вы производите мороженое и хотите сделать сливочный факел в вафельном рожке. Вам необходимо прикинуть, сколько мороженого требуется для заполнения одного рожка, который выполнен в виде прямого конуса. Пусть рожок имеет диаметр, равный d = 7 см, а образующая вафельного конуса равна s = 15 см. Введите параметры в форму онлайн-калькулятора и получите результат в виде:
Это означает, что объем рожка составляет 187,1 кубический сантиметр или 187 миллилитров, следовательно, именно столько мороженого понадобится для заполнения одного вафельного конуса. Это минимальный объем вещества, необходимого для наполнения рожка до краев.
Заключение
Конические фигуры широко встречаются в реальной жизни, поэтому вам может понадобиться вычислить объем тела вращения не только в школьных задачах, но и в быту, на производстве или в научных изысканиях. Наш онлайн-калькулятор пригодится для тех пользователей, которым важны простота интерфейса программы и понятная форма результата.
Геометрия как наука сформировалась в Древнем Египте и достигла высокого уровня развития. Известный философ Платон основал Академию, где пристальное внимание уделялось систематизации имеющихся знаний. Конус как одна из геометрических фигур впервые упоминается в известном трактате Евклида "Начала". Евклид был знаком с трудами Платона. Сейчас мало кто знает, что слово "конус" в переводе с греческого языка обозначает "сосновая шишка". Греческий математик Евклид, живший в Александрии, по праву считается основоположником геометрической алгебры. Древние греки не только стали преемниками знаний египтян, но и значительно расширили теорию.
История определения конуса
Геометрия как наука появилась из практических требований строительства и наблюдений за природой. Постепенно опытные знания обобщались, а свойства одних тел доказывались через другие. Древние греки ввели понятие аксиом и доказательств. Аксиомой называется утверждение, полученное практическим путем и не требующее доказательств.
В своей книге Евклид привел определение конуса как фигуры, которая получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Также ему принадлежит основная теорема, определяющая объем конуса. А доказал эту теорему древнегреческий математик Евдокс Книдский.
Другой математик древней Греции, Аполлоний Пергский, который был учеником Евклида, развил и изложил теорию конических поверхностей в своих книгах. Ему принадлежит определение конической поверхности и секущей к ней. Школьники наших дней изучают Евклидову геометрию, сохранившую основные теоремы и определения с древних времен.
Основные определения
Прямой круговой конус образован вращением прямоугольного треугольника вокруг одного катета. Как видно, понятие конуса не изменилось со времен Евклида.
Гипотенуза AS прямоугольного треугольника AOS при вращении вокруг катета OS образует боковую поверхность конуса, поэтому называется образующей. Катет OS треугольника превращается одновременно в высоту конуса и его ось. Точка S становится вершиной конуса. Катет AO, описав круг (основание), превратился в радиус конуса.
Если сверху провести плоскость через вершину и ось конуса, то можно увидеть, что полученное осевое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в котором ось является высотой треугольника.
Также часто требуется рассчитать площадь боковой поверхности тела вращения. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания и образующей конуса.
где C — длина окружности основания, l — длина образующей конуса, R — радиус основания.
Формула расчета объема конуса
Для расчета объема конуса используется следующая формула:
где S является площадью основания конуса. Так как основание — круг, его площадь рассчитывается так:
где V — объем конуса;
n — число, равное 3,14;
R — радиус основания, соответствующий отрезку AO на рисунке 1;
H — высота, равная отрезку OS.
Усеченный конус, объем
Имеется прямой круговой конус. Если плоскостью, перпендикулярной высоте, отсечь верхнюю часть, то получится усеченный конус. Два его основания имеют форму круга с радиусами R1 и R2.
Если прямой конус образуется вращением прямоугольного треугольника, то усеченный конус — вращением прямоугольной трапеции вокруг прямой стороны.
Объем усеченного конуса рассчитывается по следующей формуле:
Конус и его сечение плоскостью
Возьмем прямой круговой конус. Если плоскость пересекает его перпендикулярно оси, то в разрезе образуется круг. Когда секущая пересекает конус под углом к оси, то в разрезе получается эллипс.
Секущая плоскость, перпендикулярная основанию и параллельная оси конуса, образует на поверхности гиперболу. Плоскость, разрезающая конус под углом к основанию и параллельная касательной к конусу, создает на поверхности кривую, которую назвали параболой.
Решение задачи
Даже простая задача о том, как изготовить ведро определенного объема, требует знаний. Например, необходимо рассчитать размеры ведра, чтобы оно имело объем 10 литров.
Развертка конуса имеет вид, схематически приведенный на рисунке 3.
L - образующая конуса.
Чтобы узнать площадь поверхности ведра, которая вычисляется по следующей формуле:
необходимо вычислить образующую. Ее находим из величины объема V=n*(R1 2 +R2 2 +R1*R2)*H/3.
Усеченный конус образуется вращением прямоугольной трапеции, в которой боковая сторона является образующей конуса.
Теперь у нас имеются все данные, чтобы построить чертеж ведра.
Почему пожарные ведра имеют форму конуса?
Кто задумывался, почему пожарные ведра имеют, казалось бы, странную коническую форму? А это не просто так. Оказывается, коническое ведро при тушении пожара имеет много преимуществ перед обычным, имеющим форму усеченного конуса.
Во-первых, как оказывается, пожарное ведро быстрее наполняется водой и при переноске она не расплескивается. Конус, объем которого больше обычного ведра, за один раз позволяет перенести больше воды.
Во-вторых, воду из него можно выплеснуть на большее расстояние, чем из обычного ведра.
В-третьих, если коническое ведро сорвется с рук и упадет в огонь, то вся вода выливается на очаг возгорания.
Все перечисленные факторы позволяют сэкономить время — главный фактор при тушении пожара.
Практическое применение
У школьников часто возникает вопрос о том, зачем учить, как рассчитывать объем разных геометрических тел, в том числе конуса.
А инженеры-конструкторы постоянно сталкиваются с необходимостью рассчитать объем конических частей деталей механизмов. Это наконечники сверл, части токарных и фрезерных станков. Форма конуса позволят сверлам легко входить в материал, не требуя первоначальной наметки специальным инструментом.
Объем конуса имеет куча песка или земли, высыпанная на землю. При необходимости, проведя несложные измерения, можно рассчитать ее объем. У некоторых вызовет затруднение вопрос о том, как узнать радиус и высоту кучи песка. Вооружившись рулеткой, измеряем окружность холмика C. По формуле R=C/2n узнаем радиус. Перекинув веревку (рулетку) через вершину, находим длину образующей. А вычислить высоту по теореме Пифагора и объем не составит труда. Конечно, такой расчет приблизителен, но позволяет определить, не обманули вас, привезя тонну песка вместо куба.
Некоторые здания имеют форму усеченного конуса. Например, Останкинская телебашня приближается к форме конуса. Ее можно представить состоящей из двух конусов, поставленных друг на друга. Купола старинных замков и соборов представляют собой конус, объем которого древние зодчие рассчитывали с удивительной точностью.
Если внимательно присмотреться к окружающим предметам, то многие из них являются конусами:
- воронки-лейки для наливания жидкостей;
- рупор-громкоговоритель;
- парковочные конусы;
- абажур для торшера;
- привычная новогодняя елочка;
- духовые музыкальные инструменты.
Как видно из приведенных примеров, умение рассчитать объем конуса, площадь его поверхности необходимо в профессиональной и повседневной жизни. Надеемся, что статья придет вам на помощь.
Данный калькулятор предназначен для расчёта объёма прямого кругового конуса. Он умеет делать расчёт двумя способами: через площадь основания и через радиус основания конуса.
Конус - это геометрическое тело, образуемое вращением прямоугольного треугольника вокруг катета.
Круглый конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, поэтому круглый конус называт также конусом вращения.
Образующая конуса - отрезок, соединяющий вершину и границу основания.
Образующая (или боковая) поверхность конуса - объединение образующих конуса; образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
Высота конуса - отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка).
Угол раствора конуса - угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
Конусность - соотношение высоты и диаметра основания конуса.
Прямой конус - конус, основание которого имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром; при этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
Косой (или наклонный) конус - конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
Круговой конус - конус, основание которого является кругом.
Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом: последние два имеют бесконечный объём.
Усечённый конус или конический слой - часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием.
Читайте также: