Как сделать объединение корней в тригонометрических уравнениях
Вот именно в этой части мы будем с вами искать корни и пожалуйста не ленитесь писать эти пограничной точки не .
Отбор корней тригонометрического уравнения, принадлежащих данному промежутку, с помощью единичной окружности.
Продолжаем решать номер 13 - теперь пункт б, отбор корней, принадлежащих промежутку [. ;. ]. Существует 3 основных .
В 90% случаев отобрать корни удобнее с помощью окружности, но есть и редкие неприятные задачи, поэтому знать .
Мы тут запарились и сделали подробное видео по решению тригонометрических уравнений. Было нелегко уместить .
Математика без Ху%!ни. Егэ, задание С1 Тригонометрическое уравнение. Отбор корней. Просто, доступно и со вкусом .
О самом популярном методе отборе корней в этом видео. На первый взгляд он кажется простым, но лишь пока не появятся .
разбираем сложные задания №13 по тригонометрии - примеры, в которых нужно учитывать ОДЗ ( область допустимых .
Сегодня мы научимся объединять наборы корней в более крупные и простые конструкции, с которыми в дальнейшем .
А вы задумывались когда-нибудь, для чего нужны все эти страшные, на первый взгляд, конструкции из косинусов и синусов .
Решение тригонометрических уравнений из ЕГЭ по математике 2016. Отбор корней на отрезке. Формула понижения .
Часть урока "Тригонометрические уравнения. Выборка корней", проведенного с использованием платформы Maketest в .
В данном уроке рассматривается решение тригонометрического уравнения, которое можно использовать в качестве .
Решаем задачи(упражнения) на заказ (!). P.S. Если хочешь решать задачи и при этом зарабатывать, то напиши нам на .
. вот вы много уравнения тригонометрических порешает вы поймете что это очень простое что нам нужно с вами сделать .
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ. Видеоуроки по всем темам. 3 способа отбора корней в 13 задании. Тригонометрия. Если вы .
Обычно при решении тригонометрических уравнений получаются красивые корни и табличные значения. Но что делать .
Открытый урок в режиме реального времени. Трансляция, во время которой Ольга Александровна будет разбирать вместе .
У тебя были вопросы по этой теме? Я постарался подробно поговорить про арксинусы, арккосинусы и арктангенсы!
В этом уроке Ольга Александровна начнет разбирать тригонометрические выражения. Будет преобразование .
. как у меня есть два корня я это условия для каждого из корней должен расписывать отдельно давайте разделим доску на .
О нас: - Преподаватели из ведущего университета страны - МГУ - Готовим к ЕГЭ с 2018 года - 5000 выпускников - 139 .
В этой статье будут рассмотрены тригонометрические уравнения с корнями. Прежде чем приступить к решению, вспомним, когда появляется опасность потерять корни или приобрести посторонние. Итак:
При решении тригонометрических уравнений могут появиться посторонние корни, если:
1) Уравнение содержит тангенс или котангенс;
2) Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;
3) Обе части уравнения возводятся в квадрат.
При решении тригонометрических уравнений могут быть потеряны корни, если:
1) Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;
2) Используются тригонометрические формулы, которые справедливы не при всех значениях неизвестного;
3) При решении системы тригонометрических уравнений для обозначения целого числа в найденных значениях x и y используется только одна буква.
Теперь можно начать решение.
Возводим обе части уравнения в квадрат:
Разложим формулу , и представим единицу как сумму квадрата синуса и квадрата косинуса:
Видим, что в первой скобке – квадрат суммы:
Приравниваем к нулю каждый множитель и решаем два получившихся уравнения:
Первое:
При возведении в квадрат:
Заметим, что по решению синус и косинус равны по модулю, но разные по знаку. В этом варианте решения в исходном уравнении слева под корнем окажется величина отрицательная, значит, это – посторонние корни, поэтому мы даже не будем их записывать. Приобрели мы посторонние корни в результате возведения уравнения квадрат.
Второе:
Возводим в квадрат:
Снова уравнение распалось на два:
– это посторонний корень, который приведет к появлению в исходном уравнении корня из отрицательного числа в правой части.
или n, n in Z" />
– данный корень тоже содержит посторонние корни, которые также приобретены в результате возведения уравнения в квадрат. При синусе, равном нулю, косинус может быть равен как 1, так и (-1). Второе – недопустимо: в этом случае в правой части исходного уравнения – отрицательное число под корнем. Поэтому решение у уравнения всего одно: n, n in Z" />
.
Возводим обе части уравнения в квадрат:
Косинус двойного аргумента заменяем, также от синуса переходим к косинусу с помощью основного тригонометрического тождества:
Корни:
или
Проверка показывает, что все корни удовлетворяют исходному уравнению.
Чтобы избавиться от корня, возведем в квадрат:
Домножим на 2 для удобства:
или
При возведении в квадрат:
Так как правая часть уравнения должна быть неотрицательной, и, кроме того, синус и косинус – разных знаков, то решение одно:
Так как решения уравнения не являются решениями исходного уравнения, то деление на не приведет к потере корней, тогда разделим на :
Решением этого уравнения является угол, синус и косинус которого имеют разные знаки. При этом угол в четвертом квадранте нам не подойдет: у такого угла отрицательный синус и положительный косинус, а это противоречит исходному уравнению: приведет к отрицательному значению операции извлечения корня. Угол во втором квадранте нас устроит.
Ответ: /4+2n" />
, - arctg+2n" />
Сразу делаем вывод, что полученный нами далее в ходе решения должен быть неположительным , иначе результат извлечения корня не будет положительным.
Возводим все уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корня:
Раскрываем формулу двойного аргумента и заменяем синусы на косинусы:
Получили квадратное уравнение относительно косинусов:
или – очевидно, что решение второго – пустое множество.
С учетом того, что синус должен быть отрицателен (или равен нулю), решение единственное:
.
Полученный в ходе решения косинус может быть или отрицательным числом, или нулем.
Возводим уравнение в квадрат:
Формулу тройного аргумента раскроем:
или – сумма коэффициентов уравнения равна 0, поэтому первый корень – 1, а второй – с/a – (-1/2)
Итак, имеем: , или , или
Решения первого уравнения:
Решения второго уравнения:
– не являются решениями исходного уравнения, так как косинус должен быть отрицателен.
Ответ: /2+n, n in Z" />
, >/3+2n, n in Z" />
Замечаем, что синус должен быть неотрицательным числом, так как слева – корень.
Возводим в квадрат:
Раскроем формулу тройного аргумента:
Домножим на 3 для удобства:
Приравняем к нулю оба множителя:
или
Решаем теперь второе, квадратное, уравнение:
Корни получаются такие: 2/3 и (-3/4) – последний корень не подходит по ОДЗ, так как результат извлечения корня не может быть отрицательным.
Второму корню будет соответствовать решение:
n, n in Z" />
и -arcsin (2/3)+2n, n in Z" />
, эти два решения можно объединить в одно и записать: n, n in Z" />
Решение простейших тригонометрических уравнений
Градусы и радианы
Знакомство с тригонометрической окружностью
Повороты на тригонометрической окружности
Начнем с того, что как длину можно выразить в метрах или милях, так и угол можно выразить в радианах или градусах .
1 радиан = 180/π ≈ 57,3 градусов
Но проще запомнить целые числа: 3,14 радиан = 180 градусов. Это все одно и то же значение числа π.
Вспомним, что если нас просят развернуться, то нам нужно повернуться на 180 градусов, а теперь можно так же сказать: Повернись на π!
О графиках синуса, косинуса и тангеса поговорим в другой статье.
А сейчас начем с декартовой (прямоугольной) системы координат.
Раньше она помогала строить графики, а теперь поможет с синусом и косинусом.
На пересечении оси Х и оси Y построим единичную (радиус равен 1) окружность:
Тогда ось косинусов будет совпадать с х, ось синусов с y. Оси тангенсов и котангенсов также показаны на рисунке.
А теперь отметим основные значения градусов и радиан на окружности.
Давай договоримся с тобой, как взрослые люди: на окружности мы будем отмечать угол в радианах, то есть через Пи.
Достаточно запомнить, что π = 180° (тогда π/6 = 180/6 = 30°; π/3 = 180/3 = 60°; π/4 = 180/4 = 45°).
А теперь давай покрутимся на окружности! За начало отчета принято брать крайнюю правую точку окружности (где 0°):
От нее задаем дальнейший поворот. Вращаться можем как в положительную сторону (против часовой), так и в отрицательную сторону (по часовой стрелке).
Повернуться на 45° можно двумя спобами: через левое плечо на 45° в (+) сторону, либо через правое плечо на 315° в (-).
Главное — направление, куда мы будем смотреть, а не угол!
Получить 100 баллов можно поворотом на 135° или 360°+135°, или -225°, или -225°-360°.
А теперь у тебя есть два пути:
Выучить всю окружность (тригонометр). Неплохой вариант, если с памятью у тебя все отлично, и ничего не вылетит из головы в ответственный момент:
А можно запомнить несколько табличных углов и соответствующие им значения, а потом использовать их.
Находите равные углы (вертикальные, соответственные) на тригонометрической окружности. Попасть в любую точку можно с помощью суммы или разности двух табличных значений.
Сразу попробуем разобрать на примере:
1) Помним, что ось cos(x) — это горизонтальная ось. На ней отмечаем значение ½ и проводим перпендикулярную (фиолетовую) прямую до пересечений с окружностью.
2) Получили две точки пересечения с окружностью, значение этих углов и будет решением уравнения.
Дело за малым — найти эти углы.
Или запомнить такой прием:
Пронумеруй пальцы от 0 до 4 от мизинца до большого. Угол задается между мизинцем и любым другим пальцем (от 0 до 90).
Например, требуется найти sin(π/2) : π/2 — это большой палец, n = 4 подставляем в формулу для синуса: sin(π/2) = √4/2 = 1 => sin(π/2) = 1.
cos(π/4) - ? π/4 соответсвует среднему пальцу (n = 2) => cos(π/4) = √2/2.
При значении cos(x) = ½ из таблицы или с помощью мнемонического правила находим x = 60° (первая точка x = +π/3 из-за того, что поворот происходил против часовой стерелки (+), угол показан черной дугой).
Вторая же точка соответствует точно такому же углу, только поворот будет по часовой стрелке (−). x = −π/3 (угол показан нижней черной дугой).
И последнее, прежде чем тебе, наконец, откроются тайные знания тригонометрии:
То же самое и здесь! Разные углы могут отражать одно и то же направление.
Абсолютно точно можно сказать, что нужно повернуться на требуемый угол, а дальше можно поворачиваться на 360° = 2π (синим цветом) сколько угодно раз и в любом направлении.
Таким образом, попасть в первое направление 60° можно: . 60°-360°, 60°, 60°+360°.
И как записать остальные углы, не записывать же бесконечное количество точек? (Хотел бы я на это посмотреть☻)
Поэтому правильно записать ответ: x = 60 + 360n, где n — целое число (n∈Ζ) (поворачиваемся на 60 градусов, а после кружимся сколько угодно раз, главное, чтобы направление осталось тем же). Аналогично x = −60 + 360n.
Но мы же договорились, что на окружности все записывают через π, поэтому cos(x) = ½ при x = π/3 + 2πn, n∈Ζ и x = −π/3 + 2πk, k∈Ζ.
Ответ: x = π/3 + 2πn, x= − π/3 + 2πk, (n, k) ∈Ζ.
Пример №2. 2sinx = √2
Первое, что следует сделать, это перенести 2-ку вправо => sinx=√2/2
1) sin(x) совпадает с осью Y. На оси sin(x) отмечаем √2/2 и проводим ⊥ фиолетовую прямую до пересечений с окружностью.
2) Из таблицы sinx = √2/2 при х = π/4, а вторую точку будем искать с помощью поворота до π, а затем нужно вернуться обратно на π/4.
Поэтому вторая точка будет x = π − π/4 = 3π/4, в нее также можно попасть и с помощью красных стрелочек или как-то по-другому.
И еще не забудем добавить +2πn, n∈Ζ.
Ответ: 3π/4 + 2πn и π/4 + 2πk, k и n − любые целые числа.
Пример №3. tg(x + π/4) = √3
Вроде все верно, тангенс равняется числу, но смущает π/4 в тангенсе. Тогда сделаем замену: y = x + π/4.
tg(y) = √3 выглядит уже не так страшно. Вспомним, где ось тангенсов.
1) А теперь на оси тангенсов отметим значение √3, это выше чем 1.
2) Проведем фиолетовую прямую через значение √3 и начало координат. Опять на пересечении с окружностью получается 2 точки.
По мнемоническому правилу при тангенсе √3 первое значение — это π/3.
3) Чтобы попасть во вторую точку, можно к первой точке (π/3) прибавить π => y = π/3 + π = 4π/3.
4) Но мы нашли только y , вернемся к х. y = π/3 + 2πn и y = x + π/4, тогда x + π/4 = π/3 + 2πn => x = π/12 + 2πn, n∈Ζ.
Второй корень: y = 4π/3 + 2πk и y = x + π/4, тогда x + π/4 = 4π/3 + 2πk => x = 13π/12 + 2πk, k∈Ζ.
Теперь корни на окружности будут здесь:
Ответ: π/12 + 2πn и 13π/12 + 2πk, k и n — любые целые числа.
Конечно, эти два ответа можно объединить в один. От 0 поворот на π/12, а дальше каждый корень будет повторяться через каждый π (180°).
Ответ можно записать и так: π/12 + πn, n∈Ζ.
Пример №4: −10ctg(x) = 10
Перенесем (−10) в другую часть: ctg(x) = −1. Отметим значение -1 на оси котангенсов.
1) Проведем прямую через эту точку и начало координат.
2) Придется опять вспомнить, когда деление косинуса на синус даст еденицу (это получается при π/4). Но здесь −1, поэтому одна точка будет −π/4. А вторую найдем поворотом до π, а потом назад на π/4 (π − π/4).
Можно это сделать по-другому (красным цветом), но мой вам совет: всегда отсчитывайте от целых значений пи (π, 2π, 3π. ) так намного меньше шансов запутаться.
Не забываем добавить к каждой точке 2πk.
Ответ: 3π/4 + 2πn и −π/4 + 2πk, k и n — любые целые числа.
Алгоритм решения тригонометрических уравнений (на примере cos(x) = − √ 3/2) :
В этой статье будут рассмотрены тригонометрические уравнения с корнями. Прежде чем приступить к решению, вспомним, когда появляется опасность потерять корни или приобрести посторонние. Итак:
При решении тригонометрических уравнений могут появиться посторонние корни, если:
1) Уравнение содержит тангенс или котангенс;
2) Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;
3) Обе части уравнения возводятся в квадрат.
При решении тригонометрических уравнений могут быть потеряны корни, если:
1) Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;
2) Используются тригонометрические формулы, которые справедливы не при всех значениях неизвестного;
3) При решении системы тригонометрических уравнений для обозначения целого числа в найденных значениях x и y используется только одна буква.
Теперь можно начать решение.
Возводим обе части уравнения в квадрат:
Разложим формулу , и представим единицу как сумму квадрата синуса и квадрата косинуса:
Видим, что в первой скобке – квадрат суммы:
Приравниваем к нулю каждый множитель и решаем два получившихся уравнения:
Первое:
При возведении в квадрат:
Заметим, что по решению синус и косинус равны по модулю, но разные по знаку. В этом варианте решения в исходном уравнении слева под корнем окажется величина отрицательная, значит, это – посторонние корни, поэтому мы даже не будем их записывать. Приобрели мы посторонние корни в результате возведения уравнения квадрат.
Второе:
Возводим в квадрат:
Снова уравнение распалось на два:
– это посторонний корень, который приведет к появлению в исходном уравнении корня из отрицательного числа в правой части.
или n, n in Z" />
– данный корень тоже содержит посторонние корни, которые также приобретены в результате возведения уравнения в квадрат. При синусе, равном нулю, косинус может быть равен как 1, так и (-1). Второе – недопустимо: в этом случае в правой части исходного уравнения – отрицательное число под корнем. Поэтому решение у уравнения всего одно: n, n in Z" />
.
Возводим обе части уравнения в квадрат:
Косинус двойного аргумента заменяем, также от синуса переходим к косинусу с помощью основного тригонометрического тождества:
Корни:
или
Проверка показывает, что все корни удовлетворяют исходному уравнению.
Чтобы избавиться от корня, возведем в квадрат:
Домножим на 2 для удобства:
или
При возведении в квадрат:
Так как правая часть уравнения должна быть неотрицательной, и, кроме того, синус и косинус – разных знаков, то решение одно:
Так как решения уравнения не являются решениями исходного уравнения, то деление на не приведет к потере корней, тогда разделим на :
Решением этого уравнения является угол, синус и косинус которого имеют разные знаки. При этом угол в четвертом квадранте нам не подойдет: у такого угла отрицательный синус и положительный косинус, а это противоречит исходному уравнению: приведет к отрицательному значению операции извлечения корня. Угол во втором квадранте нас устроит.
Ответ: /4+2n" />
, - arctg+2n" />
Сразу делаем вывод, что полученный нами далее в ходе решения должен быть неположительным , иначе результат извлечения корня не будет положительным.
Возводим все уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корня:
Раскрываем формулу двойного аргумента и заменяем синусы на косинусы:
Получили квадратное уравнение относительно косинусов:
или – очевидно, что решение второго – пустое множество.
С учетом того, что синус должен быть отрицателен (или равен нулю), решение единственное:
.
Полученный в ходе решения косинус может быть или отрицательным числом, или нулем.
Возводим уравнение в квадрат:
Формулу тройного аргумента раскроем:
или – сумма коэффициентов уравнения равна 0, поэтому первый корень – 1, а второй – с/a – (-1/2)
Итак, имеем: , или , или
Решения первого уравнения:
Решения второго уравнения:
– не являются решениями исходного уравнения, так как косинус должен быть отрицателен.
Ответ: /2+n, n in Z" />
, >/3+2n, n in Z" />
Замечаем, что синус должен быть неотрицательным числом, так как слева – корень.
Возводим в квадрат:
Раскроем формулу тройного аргумента:
Домножим на 3 для удобства:
Приравняем к нулю оба множителя:
или
Решаем теперь второе, квадратное, уравнение:
Корни получаются такие: 2/3 и (-3/4) – последний корень не подходит по ОДЗ, так как результат извлечения корня не может быть отрицательным.
Второму корню будет соответствовать решение:
n, n in Z" />
и -arcsin (2/3)+2n, n in Z" />
, эти два решения можно объединить в одно и записать: n, n in Z" />
Читайте также: