Как сделать малый звездчатый додекаэдр
Додекаэдром называется правильный многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Правильные многогранники всегда привлекали людей своей красотой, органичностью и необыкновенным совершенством форм.
Как сделать правильный додекаэдр своими руками.
Сегодня конструкция данной фигуры нашла свое отображение во многих вариантах художественного творчества, архитектуре и строительстве. Народные умельцы изготавливают из цветной или белой бумаги необыкновенные по красоте оригами в виде ажурных додекаэдров, а из картона делают оригинальные и прочее). В продаже можно приобрести уже готовые наборы, содержащие все необходимое для изготовления сувениров, но наиболее интересно произвести весь процесс работы своими руками, начиная от построения отдельных деталей и заканчивая сборкой готовой конструкции.
Материалы и инструменты:
Для того, чтобы сделать правильный додекаэдр из картона, необходим собственно сам материал и подручные средства: циркуль, ножницы, карандаш, ластик, линейка, клей, плотная бумага формата А3, кусок картона 15*15см, фото, всевозможные картинки, цветная бумага.
Хорошо иметь тупой нож или какое-либо приспособление для загибания припусков, но если их нет, то вполне подойдет металлическая линейка или те же ножницы.
Шаг 1. Делаем правильный додекаэдр
Самый первый этап в изготовлении – построение пятиугольника нужного размера. Для этого берем кусок картона и циркуль. Радиус нашего круга 5,5 см. Должен получиться вот такой элемент. Он и станет основой фигуры. Далее конструируете развертку додекаэдра с учетом припусков на склеивание.
При диаметре окружности 11см – для построения ½ части додекаэдра (6 многоугольников) как раз хватает листа формата А3.
Шаг 3. Далее по линиям сгибаем припуски.
Шаг 4. Переходим к декорированию нашего додекаэдра.
Берем фото (в нашем случае формат 9*13) и по шаблону вырезаем многоугольники. Недостающие части (треугольники) вырезаем из цветной бумаги. И все это приклеиваем на стороны додекаэдра.
С помощью этой идей можно отразить и другие события (отпуск, 1 сентября, день рождения и др.) в жизни детей и не только :)
Замечательно! Спасибо огромное, а то ме в школе задали Додекаэдр сделать а я не знаю как. Огромнейшее спасибо.
Проект "Звёздчатые формы додекаэдров" подготовила ученица 9 класса под моим руководством. Работа содержит: определение додекаэдра и его свойства, три формы звёздчатых додекаэдров, их модели и практические рекомендации по их изготовлению. Проект занял призовое место на окружной НПК учащихся.
Департамент образования мэрии города Новосибирска
XXXIX городская открытая научно-практическая
Секция: математические модели
Тема: Звёздчатые формы додекаэдров
Автор: Гольцова Мария
МБОУ ЭКЛ, 9 класс
Центральный округ г. Новосибирска
Научный руководитель: Кривченкова
учитель математики в.к.к.
Контактный телефон: 89139568347
Основная часть
Определение додекаэдра и его свойства………………………………. 4
История появления додекаэдра…………………………………………..5
Звёздчатые формы додекаэдров………………………………………….6
Звездчатые многогранники ………………………………………………7
Вдохновение нужно в геометрии не
меньше, чем в поэзии. (А.С. Пушкин)
Введение
Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. Человек проявляет интерес к правильным многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа.
Чем привлекательны многогранники? Они обладают богатой историей, которая связана с такими знаменитыми учеными древности, как Платон, Евклид, Архимед, Кеплер. Все они использовали в своих философских теориях правильные многогранники. Прошли века, но роль геометрии не изменилась.
Поэтому мне захотелось больше узнать о многогранниках и самой научиться изготавливать модели различных многогранников. Данная тема актуальна, так как немногие люди знают правильные многогранники, но знание этих геометрических тел поможет в создании различных шедевров (как в архитектуре, так и в живописи и во многом другом, потому что многогранники имеют обширную область применения).
Из информации в интернете я узнала, что существует много разных додекаэдров с множеством интересных свойств. Особенно мне понравился додекаэдр, который имел звёздчатые формы, мне захотелось изготовить модели этих фигур.
Цель проекта:
изучение звёздчатых форм додекаэдров.
Задачи проекта:
Собрать информацию по данной теме.
Познакомиться с понятием “додекаэдр”.
Узнать о его звёздчатых формах.
Изготовить модели додекаэдра и звёздчатых додекаэдров.
Методы исследования: сбор информации, обработка данных, сравнение, анализ, обобщение.
Определение додекаэдра и его свойства
Додекаэдр (от греческого dodeka –двенадцать и hedra – грань) это правильный многогранник, составленный из двенадцати равносторонних пятиугольников. Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер.
Вершина додекаэдра является вершиной трех пятиугольников, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°. Если принять длину ребра за а, то получим следующие формулы:
Сумма ребер
Площадь поверхности
Радиус описанной сферы
Радиус вписанной сферы
Свойства додекаэдра:
Двугранный угол между любыми двумя смежными гранями додекаэдра равен ≈116°,565.
Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°.
В додекаэдр можно вписать куб так, что стороны куба будут диагоналями додекаэдра.
Додекаэдр имеет три звёздчатые формы.
В додекаэдр можно вписать пять кубов. Если заменить пятиугольные грани додекаэдра плоскими пятиугольными звездами так, что исчезнут все ребра додекаэдра, то получим пространство пяти пересекающихся кубов. Додекаэдр как таковой исчезнет. Вместо замкнутого многогранника появится открытая геометрическая система пяти ортогональностей. Или симметричное пересечение пяти трехмерных пространств.
Ближайшая параллельная к произвольно выбранной грани плоскость, в которой лежат пять вершин, не принадлежащих выбранной грани, отстоит от этой грани на расстояние радиуса описанной вокруг данной грани окружности. А радиус описанной вокруг этих пяти вершин окружности равен диаметру вписанной в любую из граней окружности.
Область применения:
В культуре:
Додекаэдр применяется как генератор случайных чисел (вместе с другими костями) в настольных ролевых играх, и обозначается при этом d12 (dice — кости).
Изготавливаются настольные календари в форме додекаэдра из бумаги, где каждый из двенадцати месяцев расположен на одной из граней.
В игре Пентакор мир представлен в виде этой геометрической фигуры.
История появления додекаэдра
Считается что, самый древний предмет в форме додекаэдра был найден в северной Италии, около Падуи, в конце XIX века, он датируется 500 г. до н. э. и предположительно использовался этрусками в качестве игральной кости.
На территории нескольких европейских стран найдено множество предметов, называемых римскими додекаэдрами, относящихся ко II—III вв. н. э., назначение которых не совсем понятно.
Римский додекаэдр — это небольшой объект, сделанный из бронзы или реже из камня или железа, чаще имеющий форму додекаэдра с двенадцатью плоскими пятиугольными гранями. Римский додекаэдр датируется II—III веком н. э.
Звёздчатые формы додекаэдра:
Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Они называются также телами Кеплера- Пуансо.
Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы:
малый звёздчатый додекаэдр - он считается первой звёздчатой формой додекаэдра. Это тело Кеплера — Пуансо. Многограннику дал имя Артур Кэли. Малый звёздчатый додекаэдр является одним из четырёх невыпуклых правильных многогранников. Он состоит из 12 граней в виде пентаграмм с пятью пентаграммами, сходящимися в каждой вершине.
Он имеет то же самое расположение вершин, что и выпуклый правильный икосаэдр. Кроме того, у него то же самое расположение рёбер, что и у большого икосаэдра.
большой додекаэдр - это тело Кеплера — Пуансо с символом Шлефли и диаграммой Коксетера — это один из четырёх невыпуклых правильных многогранников. Он состоит из 12 пятиугольных граней (шесть пар параллельных пятиугольников), с пятью пятиугольниками в каждой вершине, пересекающих друг друга и делая рисунок пентаграммы.
большой звёздчатый додекаэдр - является одним из четырех правильных звёздчатых многогранников тел Кеплера-Пуансо. Гранью многогранника является правильный звёздчатый многоугольник, который состоит из правильных треугольников.
В отличие от октаэдра, любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением Платоновых тел, а образует новый многогранник. У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани — пятиконечные звёзды (пентаграммы), которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3 грани в одной вершине. Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра.
Звездчатые многогранники:
Ещё существуют такие звездчатые многогранники:
Звёздчатый октаэдр
Звёздчатые формы икосаэдра
Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, из которых 32 обладают полной, а 27 — неполной икосаэдральной симметрией, что было доказано Коксетером совместно с Дювалем, Флэзером и Петри c применением правил ограничения, установленных Дж. Миллером. Одна из этих звёздчатых форм, называемая большим икосаэдром, является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера — Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.
Среди звёздчатых форм также имеются: соединение пяти октаэдров, соединение пяти тетраэдров, соединение десяти тетраэдров. Первая звёздчатая форма — малый триамбический икосаэдр.
Если каждую из граней продолжить неограниченно, то тело будет окружено большим многообразием отсеков — частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звёздчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20 + 30 + 60 + 20 + 60 + 120 + 12 + 30 + 60 + 60 = 472 отсека десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти. Следующая звёздчатая форма — завершающая.
Звёздчатые формы кубооктаэдра- полуправильный многогранник, состоящий из 14 граней (8 правильных треугольников и 6 квадратов). В кубооктаэдре 12 одинаковых вершин, в которых сходятся два треугольника и два квадрата, а также 24 одинаковых ребра, каждое из которых разделяет треугольник и квадрат. Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 — правильными треугольниками.
Икосододекаэдр имеет множество звёздчатых форм, первая из которых есть соединение икосаэдра и додекаэдра.
Звёздчатые формы икосододекаэдра- икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 — правильными треугольниками.
Икосододекаэдр имеет множество звёздчатых форм, первая из которых есть соединение икосаэдра и додекаэдра.
Практическая часть
Додекаэдр
Развёртка додекаэдра
Додекаэдр - одно из пяти Платоновых тел. Двенадцать пятиугольных граней придают особое своеобразие этому многограннику. Я изготовила календарь в форме додекаэдра. (Приложение)
Звёздчатый додекаэдр (малый)
Чтобы изготовить модель звёздчатого додекаэдра, надо привести его к этой форме. Под приведением к звёздчатой форме понимается процесс построения многогранника из другого многогранника путём расширения его граней. Для этого через грани исходного многогранника проводятся плоскости и рассматриваются всевозможные рёбра, полученные в результате пересечения этих плоскостей и выбираются подходящие.
Развёртка пирамиды, таких нужно сделать 12 штук. Двенадцать пирамид, надстроенных над каждой из граней исходного додекаэдра, создают пространственную 3D-звезду - первую звездчатую форму додекаэдра. Другое название - малый звездчатый додекаэдр. (Приложение)
Звёздчатый додекаэдр (большой)
Гранью многогранника является правильный звёздчатый многоугольник, который состоит из правильных треугольников. Форма грани имеет следующий вид:
Многогранник состоит из 60-ти треугольных граней.
Для того, чтобы создать большой звёздчатый додекаэдр нужно сделать развёртку икосаэдра, он будет основой, затем делаем 20 тетраэдров, рассчитывая размер длины его граней так: длину ребра икосаэдра делим на 2, и делим на косинус 72х градусов(~ 0.309 ).
Развёртка икосаэдра
Развертка тетраэдра
Звёздчатый додекаэдр (большой)
Заключение
Также рекомендую ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.
Правильный многогранник или плато́ново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.
В трёхмерном евклидовом пространстве существует всего пять правильных многогранников (упорядочены по числу граней):
упорядочены по числу граней):
| Изображение | Правильный многогранник | Число вершин | Число рёбер | Число граней | Число сторон у грани | Число рёбер, примыкающих к вершине | Тип пространственной симметрии |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| тетраэдр | 4 | 6 | 4 | 3 | 3 | Td | |
| гексаэдр | 8 | 12 | 6 | 4 | 3 | Oh | |
| октаэдр | 6 | 12 | 8 | 3 | 4 | Oh | |
| додэкаэдр | 20 | 30 | 12 | 5 | 3 | Ih | |
| икосаэдр | 12 | 30 | 20 | 3 | 5 | Ih |
Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли , где:
p — число рёбер в каждой грани; q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.
Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:
| Много-гранник | Вер- шины | Рёб-ра | Гра-ни | символ Шлефли | |
|---|---|---|---|---|---|
| тетраэдр | 4 | 6 | 4 | ||
| гексаэдр (куб) | 8 | 12 | 6 | ||
| октаэдр | 6 | 12 | 8 | ||
| додэкаэдр | 20 | 30 | 12 | ||
| икосаэдр | 12 | 30 | 20 | ||
Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.
В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.
Огню соответствовал тетраэдр,
земле — гексаэдр,
воздуху — октаэдр,
воде — икосаэдр.
Аристотель добавил пятый элемент — эфир — и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.
Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера — Пуансо).
Звездчатые формы и соединения тел Платона. Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Рассматривая пересечения продолжения граней Платоновых тел, мы будем получать звездчатые многогранники.
Звёздчатый многогранник — это правильный невыпуклый многогранник. Многогранники из-за их необычных свойств симметрии исследуются с древнейших времён. Также формы многогранников широко используются в декоративном искусстве.
Звёздчатый октаэдр
Существует только одна звёздчатая форма октаэдра. Звёздчатый октаэдр был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им Stella octangula — звезда восьмиугольная. Отсюда эта форма имеет и второе название stella octangula Кеплера. По сути она является соединением двух тетраэдров.
Звёздчатые формы додекаэдра
Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр(звёздчатый большой додекаэдр, завершающая форма). Первые две из них были открыты Кеплером (1619), третья — Пуансо (1809). В отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением платоновых тел, а образует новый многогранник.
Все 3 звёздчатые формы додекаэдра, вместе с большим икосаэдром образуют семейство тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранников.
У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые, сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани - пятиконечные звёзды (пентаграммы), которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3.
Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.
Звёздчатые формы икосаэдра
Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией, что было доказано Кокстером совместно с Дювалем, Флэзером и Петри c применением правил ограничения, установленных Дж. Миллером. Одна из этих звёздчатых форм (20-я, мод. 41 по Веннинджеру), называемая большим икосаэдром, является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера—Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.
Среди звёздчатых форм также имеются: соединение пяти октаэдров, соединение пяти тетраэдров, соединение десяти тетраэдров.
Икосаэдр имеет двадцать граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено большим многообразием отсеков — частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звёздчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+20+60+120+ 12+30+60+60 отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр (см. рис) состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти.
Звёздчатые формы кубооктаэдра
Кубооктаэдр имеет 4 звёздчатые формы, удовлетворяющие ограничениям, введённым Миллером. Первая из них является соединением куба и октаэдра.
Звёздчатые формы икосододекаэдра
Икосододекаэдр имеет множество звёздчатых форм.
Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 — правильные треугольники. Что касается вопроса о том, могут ли получившиеся многогранники оказаться правильными, то на него давно получен ответ. Великий математик Коши ещё в 1811 году доказал, что список правильных многогранников исчерпывается пятью платоновыми телами вкупе с четырьмя многогранниками Кеплера — Пуансо.
Этот многогранник получается при продолжении граней додекаэдра. Его можно также получить из икосаэдра, вырезанием из его граней правильных треугольных пирамид.
Получается продолжением граней икосаэдра. Его можно также получить из малого звездчатого додекаэдра вырезанием из его граней треугольных пирамид.
Помимо правильных звездчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо) имеется более сотни различных звездчатых форм многогранников. На рисунке показаны звездчатые формы кубооктаэдра.
На рисунке показаны некоторые звездчатые формы икосаэдра. Всего их 59.
На рисунке показаны некоторые звездчатые формы икосододекаэдра. Всего их 19.
А вот ещё группа красавцев…
На рисунке изображен многогранник, называемый звездчатым октаэдром, получающийся продолжением граней октаэдра. Он был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти сто лет переоткрыт И. Кеплером и назван им "Stella octangula" - звезда восьмиугольная.
Объединением каких двух многогранников он является? Что является их пересечением?
Ответ: Тетраэдров; октаэдр.
Какие боковые ребра должны быть у правильных пятиугольных пирамид, чтобы при добавлении их к граням додекаэдра с ребром a получился малый звездчатый додекаэдр?
Какие ребра должны быть у правильных треугольных пирамид, чтобы при удалении их из граней икосаэдра с ребром a получился большой додекаэдр?
Какие ребра должны быть у правильных треугольных пирамид, чтобы при добавлении их к граням икосаэдра с ребром a получился большой звездчатый додекаэдр?
Вершинами какого многогранника являются вершины большого звездчатого додекаэдра?
Как из большого додекаэдра можно получить многогранник, изображенный на рисунке?
Ответ: Операцией усечения.
Трехмерные модели однородных многогранников и их звездчатых форм
Здесь можно увидеть трехмерные модели всех известных однородных многогранников: выпуклых Платоновых и Архимедовых тел, тел Кеплера - Пуансо и полуправильных звездчатых многогранников. В таблице представлен полный список многогранников и их некоторые характеристики. Для каждой трехмерной модели предусмотрено несколько вариантов раскраски, имеется также возможность просмотра строения граней и вершин. В специальном разделе галереи можно бегло ознакомиться с обзорными изображениями моделей.
Для каждого однородного многогранника можно породить как в трехмерном калейдоскопе огромное множество звездчатых форм, внешне чрезвычайно привлекательных. Достаточно рассмотреть изображения звезд в галерее, а также примеры звездоформ икосаэдра и кубоктаэдра. Для более сложных многогранников звездчатые формы практически не известны; этот сайт практически впервые дает возможность их увидеть и изучить. Для вас доступны два пути поиска новых многогранников: выбор какой-либо уже представленной на сайте звездчатой формы (а всего их тут более миллиона), либо целенаправленная сборка нового многогранника из отсеков в режиме ручного редактирования звездчатых форм.
Привлекательный внешний вид и огромное разнообразие форм однородных многогранников и их звездчатых форм делают перспективным применение оных как декоративных элементов.
Вы можете сохранить на локальный диск любой многогранник для использования в собственных проектах, компьютерном дизайне и графике. Возможен экспорт трехмерных моделей в форматах 3DMAX (*.3ds), VRML (*.vrml), DirectX (*.x) и соответствующих анимированных изображений (*.jpg, *.avi, *.swf).
Вы можете создавать оригинальные электронные поздравительные открытки с изображениями многогранников. Достаточно выбрать самый красивый многогранник и подписать текст. Вашей открытке будет присвоен уникальный URL (интернет-ссылка), которую вы можете передать заинтересованным лицам. Новинка сезона - создание надписей прямо на гранях многогранника!
Многие великие и умные люди проявляли интерес к многогранникам. Во времена Пифагора учение о многогранниках было сакральным, тайной, доступной только избранным. В философской системе Платона важная роль отводилась правильным многогранникам. Архимед перечислил все полуправильные выпуклые многогранники. Кеплер придумал два звёздчатых правильных многогранника, затем Пуансо нашел ещё два, а Коши доказал: других правильных нет. Коксетер и другие только в середине 20 века перечислили остальные полуправильные невыпуклые многогранники. Ещё позднее удалось доказать, что список однородных многогранников полон.
Что касается звездчатых форм сложных многогранников, то они практически никому не известны. Возможно именно Вам посчастливится найти интересно устроенный или особенно красивый многогранник! Тогда в галерее среди достойнейших мужей вы сможете занять свое почетное место.
Читайте также: