Как сделать корень из 7
Это умение очень пригодится на ЕГЭ и ОГЭ, потому как калькулятором пользоваться нельзя, подбором, умножая в столбик, получается долго и муторно, а в восьмой раз в туалет уже никто не выпустит.
Так что смотрим и запоминаем, чтобы потом научить своих детей, которым наверняка не рассказывали это в школе, но это сильно сэкономит время на экзаменах.
Этот способ подойдет для тех чисел, из которых корень извлекается целым числом. Именно поэтому этот способ очень удобен как раз для ОГЭ и ЕГЭ, потому как там не дают корни, из которых корень не извлекается (часть С не в счет).
Покажу на примерах. Кому удобнее смотреть видео, смотрите.
Допустим нам надо извлечь корень из числа 54756. Дальше листаем галерею, смотрим подписи к фотографиям и запоминаем алгоритм.
Делим число под корнем на грани, справа-налево. Одна грань — это две цифры, в последней левой грани может быть одна цифра, как у нас. Сколько граней под корнем, столько значным будет извлеченный корень. В данном случае грани три.
Ищем ближайший квадрат, не превышающий левую грань. Справа от знака равенства записываем корень из этого числа — 2. Теперь вычитаем из пяти четыре, получаем единицу и сносим следующую грань. Получается 147.
Теперь умножаем то, что стоит справа от знака равенства на два, записываем результат в сторонке (зеленым) и рисуем два квадратика. В них должны быть одинаковые цифры, такие чтобы верхнее число, умноженное на нижнее дало что-то максимально близкое, но не превышающее 147.
Делим число под корнем на грани, справа-налево. Одна грань — это две цифры, в последней левой грани может быть одна цифра, как у нас. Сколько граней под корнем, столько значным будет извлеченный корень. В данном случае грани три.
Второй пример. Извлечем корень из числа 259081. Попробуйте сами. На втором слайде будет решение.
Снова делим число под корнем на грани. Тут получается в каждой грани по две цифры. Всего три грани, поэтому в ответе получится трехзначное число. Дальше попробуйте сделать всё сами и проверьте себе по второму слайду.
С первой гранью нам повезло, потому что 25 — 5². Умножаем 5 на два и подбираем в зеленых квадратиках цифры по принципу, описанному в предыдущей задаче. Тут подходит только ноль, потому что даже если взять единицу, 101•1=101 будет больше 90. Поэтому записываем ноль на второе место после знака равно. Дальше сносим третью грань и получаем 9081. 50•2=100. В синие квадраты подбираем такие одинаковые цифры, чтобы при перемножении они давали 9081 или чуть меньше. Идеально подходит 9. Всё, извлекли корень — 509.
Снова делим число под корнем на грани. Тут получается в каждой грани по две цифры. Всего три грани, поэтому в ответе получится трехзначное число. Дальше попробуйте сделать всё сами и проверьте себе по второму слайду.
На первый взгляд схема весьма непростая, но стоит один-два раза попробовать извлечь корни таким образом самостоятельно и вы будете щелкать такие задачи, как семечки. Попробуйте извлечь корень из 112225; 210681 и 998001.
С числами поменьше, всё ещё проще, даже писать ничего не придется. Можно в уме вычислять. Вот, например, как извлечь корень из 3136? Понятно, что грани две, поэтому в ответе двухзначное число. Первая цифра в ответе — это 5, потому что 5²=25, а 6²=36>31. Так как 3136 заканчивается на 6, а при возведении в квадрат шестерку могут давать только 4 или 6, ответом будет либо 54, либо 56. Как выбрать? Давайте вспомним чему равен 55². Если не помните, то это легко посчитать (подробно читайте тут ), надо в конце записать 25, а в начале 5•6=30 Итого 55²=3025. 3025
Аналогично извлекаем корень из 4624. 6²=36, а 7²=49, поэтому первая цифра ответа — 6. При возведении в квадрат четверку на конце дают только 2 и 8, то есть ответ 62 или 68. Чтобы выбрать, мы должны сравнить подкоренное число с 65². 6•7=42, дописываем в конце 25 и получаем 65²=4225. 4225
Ну и последний корень попробуйте снова извлечь самостоятельно. Чему равен √2116? Проверьте себя по картинке ниже.
Для возведения числа в степень и нахождения корня, введите число и степень.
Возведение в положительную и отрицательную степень
Положительная степень
Степень числа a с натуральным показателем n (n>1) можно представить в виде произведения
Пример Выполнить возведение в степень.
Выполним возведение в степень положительных и отрицательных чисел, десятичных дробей, правильных и смешанных дробей.
Отрицательная степень
Степень числа a с отрицательным натуральным показателем n (n Пример Вычислить значение числа в отрицательной степени.
Пример Выполните возведение дроби в отрицательную степень.
Иногда значительно легче вычислить дробь в отрицательной степени, сразу поменяв числить и знаменатель местами и умножив степень на -1. Рассмотрим данное преобразования на примерах.
Корень из числа
Корень нечётной степени из положительного числа
В результате вычисления корня нечётной степени из положительного числа будет положительное число: .
Пример Вычислим корни нечётной степени из 8, 27, 125, 243
Корни 3 степени также называют кубическими корнями.
В результате вычисления корней 5-ой степени из положительных чисел, получили также положительные числа.
Корень нечётной степени из отрицательного числа
В результате вычисления корня нечётной степени из отрицательного числа будет отрицательное число: .
Пример Найдем корни 3 и 5 степеней из отрицательных чисел.
Корень четной степени из положительного числа
Корень чётной степени из положительного числа имеет два значения, положительное и отрицательное: .
Пример Вычислим корни 2 и 4 степени.
Корень 2-й степени называют квадратный корнем.
Корень четной степени из отрицательного числа
Корень четной степени из отрицательного числа не существует для вещественных чисел.
Корень любой степени из нуля
Числа в степени -1, 0, 1
Число в -1 степени
Число 3 в -1 степени можно представить в виде дроби .Обратная операция также верна , любую дробь можно представить как число в -1 степени, для этого нужно поменять числить и знаменатель местами.
Число является обратным числом 5, т.е. их произведение равно единице , такое равенство выполнено для любого числа
Пример Представить дробь в степени -1
Число в 1 степени
Число в первой степени является самим числом a 1 =a
Число в 0 степени
Любое число в степени ноль равно единице a 0 =1
При решении различных задач из курса математики и физики ученики и студенты часто сталкиваются с необходимостью извлечения корней второй, третьей или n-ой степени. Конечно, в век информационных технологий не составит труда решить такую задачу при помощи калькулятора. Однако возникают ситуации, когда воспользоваться электронным помощником невозможно.
К примеру, на многие экзамены запрещено приносить электронику. Кроме того, калькулятора может не оказаться под рукой. В таких случаях полезно знать хотя бы некоторые методы вычисления радикалов вручную.
Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов
Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы. Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?
При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99. При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах — значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.
Поскольку извлечение корня — это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.
Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки — 1, по вертикали находим единицы — 3. Ответ: √169 = 13.
Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.
Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801). Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.
Разложение на простые множители
Если таблица квадратов отсутствует под рукой или с её помощью оказалось невозможно найти корень, можно попробовать разложить число, находящееся под корнем, на простые множители. Простые множители — это такие, которые могут нацело (без остатка) делиться только на себя или на единицу. Примерами могут быть 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.
Рассмотрим вычисление корня на примере √576. Разложим его на простые множители. Получим следующий результат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². При помощи основного свойства корней √a² = a избавимся от корней и квадратов, после чего подсчитаем ответ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.
Что же делать, если у какого-либо из множителей нет своей пары? Для примера рассмотрим вычисление √54. После разложения на множители получаем результат в следующем виде: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Неизвлекаемую часть можно оставить под корнем. Для большинства задач по геометрии и алгебре такой ответ будет засчитан в качестве окончательного. Но если есть необходимость вычислить приближённые значения, можно использовать методы, которые будут рассмотрены далее.
Метод Герона
Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона. Его суть заключается в использовании приближённой формулы:
где R — число, корень которого нужно вычислить, a — ближайшее число, значение корня которого известно.
Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен — 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:
√111 = √121 + (111 — 121) / 2 ∙ √121 = 11 — 10 / 22 ≈ 10,55.
Теперь проверим точность метода:
Погрешность метода составила приблизительно 0,3. Если точность метода нужно повысить, можно повторить описанные ранее действия:
√111 = √111,3025 + (111 — 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 — 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.
Проверим точность расчёта:
После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.
Вычисление корня делением в столбик
Этот способ нахождения значения квадратного корня является чуть более сложным, чем предыдущие. Однако он является наиболее точным среди остальных методов вычисления без калькулятора.
Допустим, что необходимо найти квадратный корень с точностью до 4 знаков после запятой. Разберём алгоритм вычислений на примере произвольного числа 1308,1912.
- Разделим лист бумаги на 2 части вертикальной чертой, а затем проведём от неё ещё одну черту справа, немного ниже верхнего края. Запишем число в левой части, разделив его на группы по 2 цифры, двигаясь в правую и левую сторону от запятой. Самая первая цифра слева может быть без пары. Если же знака не хватает в правой части числа, то следует дописать 0. В нашем случае получится 13 08,19 12.
- Подберём самое большое число, квадрат которого будет меньше или равен первой группе цифр. В нашем случае это 3. Запишем его справа сверху; 3 — первая цифра результата. Справа снизу укажем 3×3 = 9; это понадобится для последующих расчётов. Из 13 в столбик вычтем 9, получим остаток 4.
- Припишем следующую пару чисел к остатку 4; получим 408.
- Число, находящееся сверху справа, умножим на 2 и запишем справа снизу, добавив к нему _ x _ =. Получим 6_ x _ =.
- Вместо прочерков нужно подставить одно и то же число, меньшее или равное 408. Получим 66×6 = 396. Напишем 6 справа сверху, т. к. это вторая цифра результата. Отнимем 396 от 408, получим 12.
- Повторим шаги 3—6. Поскольку снесённые вниз цифры находятся в дробной части числа, необходимо поставить десятичную запятую справа сверху после 6. Запишем удвоенный результат с прочерками: 72_ x _ =. Подходящей цифрой будет 1: 721×1 = 721. Запишем её в ответ. Выполним вычитание 1219 — 721 = 498.
- Выполним приведённую в предыдущем пункте последовательность действий ещё три раза, чтобы получить необходимое количество знаков после запятой. Если не хватает знаков для дальнейших вычислений, у текущего слева числа нужно дописать два нуля.
В результате мы получим ответ: √1308,1912 ≈ 36,1689. Если проверить действие при помощи калькулятора, можно убедиться, что все знаки были определены верно.
Поразрядное вычисление значения квадратного корня
Метод обладает высокой точностью. Кроме того, он достаточно понятен и для него не требуется запоминать формулы или сложный алгоритм действий, поскольку суть способа заключается в подборе верного результата.
Извлечём корень из числа 781. Рассмотрим подробно последовательность действий.
-
Выясним, какой разряд значения квадратного корня будет являться старшим. Для этого возведём в квадрат 0, 10, 100, 1000 и т. д. и выясним, между какими из них находится подкоренное число. Мы получим, что 10² Понравилась статья?
Поставь лайк, это важно для наших авторов, подпишись на наш канал в Яндекс.Дзен и вступай в группу Вконтакте
Извлечение корня — процесс нахождения значения корня.
При извлечении корня n -ной степени из числа a, мы находим число b , n -ная степень которого равняется a . Если мы нашли такое число b , можно утверждать, что корень извлечен.
В каких случаях извлекается корень?
Корень n -ной степени можно извлечь из числа a точно в случае, если a можно представить в виде n -ной степени некоторого числа b .
4 = 2 × 2 , следовательно, из числа 4 можно точно извлечь квадратный корень, который равен 2
Когда корень n -ной степени из числа a невозможно представить в виде n -ной степени числа b , то такой корень не извлекается, либо извлекается только приближенное значение корня с точностью до любого десятичного разряда.
Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения
- Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
- Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители
- Извлечение корней из дробных чисел
- Извлечение корня из отрицательного числа
- Поразрядное нахождение значения корня
Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и каким образом они извлекаются.
Главный принцип нахождения значения корней — основываться на свойствах корней, в том числе на равенстве: b n n = b , которое является справедливым для любого неотрицательного числа b .
Начать следует с наиболее простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и т.д.
Когда таблицы под руками нет, вам поможет способ разложения подкоренного числа на простые множители (способ незатейливый).
Стоит уделить внимание извлечению корня из отрицательного числа, что является возможным для корней с нечетными показателями.
Изучим, как извлекать корни из дробных чисел, в том числе из смешанных чисел, обыкновенных и десятичных дробей.
И потихоньку рассмотрим способ поразрядного нахождения значения корня — наиболее сложного и многоступенчатого.
Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.
Таблица квадратов включает в себя все числа от 0 до 99 и состоит из 2 зон: в первой зоне можно составить любое число до 99 с помощью вертикального столбца с десятками и горизонтальной строки с единицами, во второй зоне содержатся все квадраты образуемых чисел.
Таблица квадратов
Таблица квадратов | единицы | ||||||||||
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
десятки | 0 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
1 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 | |
2 | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 | |
3 | 900 | 961 | 1024 | 1089 | 1156 | 1225 | 1296 | 1369 | 1444 | 1521 | |
4 | 1600 | 1681 | 1764 | 1849 | 1936 | 2025 | 2116 | 2209 | 2304 | 2041 | |
5 | 2500 | 2601 | 2704 | 2809 | 2916 | 3025 | 3136 | 3249 | 3364 | 3481 | |
6 | 3600 | 3721 | 3844 | 3969 | 4096 | 4225 | 4356 | 4489 | 4624 | 4761 | |
7 | 4900 | 5041 | 5184 | 5329 | 5476 | 5625 | 5776 | 5929 | 6084 | 6241 | |
8 | 6400 | 6561 | 6724 | 6889 | 7056 | 7225 | 7396 | 7569 | 7744 | 7921 | |
9 | 8100 | 8281 | 8464 | 8649 | 8836 | 9025 | 9216 | 9409 | 9604 | 9801 |
Существуют также таблицы кубов, четвертой степени и т.д., которые созданы по принципу, аналогичному таблице квадратов.
Таблица кубов
Таблица кубов | единицы | ||||||||||
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
десятки | 0 | 0 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 |
1 | 1000 | 1 331 | 1 728 | 2 197 | 2 744 | 3 375 | 4 096 | 4 913 | 5 832 | 6 859 | |
2 | 8000 | 9 261 | 10 648 | 12 167 | 13 824 | 15 625 | 17 576 | 19 683 | 21 952 | 24 389 | |
3 | 27000 | 29 791 | 32 768 | 35 937 | 39 304 | 42 875 | 46 656 | 50 653 | 54 872 | 59 319 | |
4 | 64000 | 68 921 | 74 088 | 79 507 | 85 184 | 91 125 | 97 336 | 103 823 | 110 592 | 117 649 | |
5 | 125000 | 132 651 | 140 608 | 148 877 | 157 464 | 166 375 | 175 616 | 185 193 | 195 112 | 205 379 | |
6 | 216000 | 226 981 | 238 328 | 250 047 | 262 144 | 274 625 | 287 496 | 300 763 | 314 432 | 328 509 | |
7 | 343000 | 357 911 | 373 248 | 389 017 | 405 224 | 421 875 | 438 976 | 456 533 | 474 552 | 493 039 | |
8 | 512000 | 531 441 | 551 368 | 571 787 | 592 704 | 614 125 | 636 056 | 658 503 | 681 472 | 704 969 | |
729000 | 753 571 | 778 688 | 804 357 | 830 584 | 857 375 | 884 736 | 912 673 | 941 192 | 970 299 |
Принцип функционирования таких таблиц прост, однако их часто нет под рукой, что значительно усложняет процесс извлечение корня, поэтому необходимо владеть минимум несколькими способами извлечения корней.
Разложение подкоренного числа на простые множители
Наиболее удобный способ нахождения значения корня после таблицы квадратов и кубов.
Способ разложения подкоренного числа на простые множители подразумевает под собой представление числа в виде степени с необходимым показателем, что дает нам возможность получить значение корня.
Извлечем квадратный корень из 144 .
Разложим 144 на простые множители:
Таким образом: 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = ( 2 × 2 ) 2 × 3 2 = ( 2 × 2 × 3 ) 2 = 12 2 . Следовательно, 144 = 12 2 = 12 .
Также при использовании свойств степени и корней можно записать преобразование немного по-другому:
144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2 4 × 3 2 = 2 4 × 3 2 = 2 2 × 3 = 12
144 = 12 - окончательный ответ.
Извлечение корней из дробных чисел
Запоминаем: любое дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби.
Следуя свойству корня из частного, справедливым является следующее равенство:
p q n = p n q n . Исходя из этого равенства, необходимо воспользоваться правилом извлечения корня из дроби: корень из дроби равен от деления корня числителя на корень знаменателя.
Рассмотрим пример извлечения корня из десятичной дроби, поскольку извлечь корень из обыкновенной дроби можно с помощью таблицы.
Необходимо извлечь кубический корень из 474 , 552 . Первым делом, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: 474 , 552 = 474552 / 1000 . Из этого следует: 474552 1000 3 = 474552 3 1000 3 . Затем можно приступить к процессу извлечения кубических корней в числителе и знаменателе:
474552 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 13 × 13 × 13 = ( 2 × 3 × 13 ) 3 = 78 3 и 1000 = 10 3 , то
474552 3 = 78 3 3 = 78 и 1000 3 = 10 3 3 = 10 .
Завершаем вычисления: 474552 3 1000 3 = 78 10 = 7 , 8 .
Извлечение корня из отрицательных чисел
Если знаменатель является нечетным числом, то число под знаком корня может оказаться отрицательным. Из этого следует: для отрицательного числа - a и нечетного показателя корня 2 n - 1 справедливо равенство:
- a 2 × n - 1 = - a 2 × n - 1
Правило извлечения нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа необходимо извлечь корень из противоположного ему положительного числа и поставить перед ним знак минус.
- 12 209 243 5 . Для начала необходимо преобразовать выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительно число:
- 12 209 243 5 = 12 209 243 - 5
Затем следует заменить смешанное число обыкновенной дробью:
12 209 243 - 5 = 3125 243 - 5
Пользуясь правилом извлечения корней из обыкновенной дроби, извлекаем:
3125 243 - 5 = - 3125 5 243 5
Вычисляем корни в числителе и знаменателе:
- 3125 5 243 5 = - 5 5 5 3 5 5 = - 5 3 = - 1 2 3
Краткая запись решения:
- 12 209 243 5 = 12 209 243 - 5 = 3125 243 - 5 = - 3125 5 243 5 = - 5 5 5 3 5 5 = - 5 3 = - 1 2 3 .
Ответ: - 12 209 243 5 = - 1 2 3 .
Поразрядное нахождение значения корня
Бывают случаи, когда под корнем находится число, которое не получается представить в виде n - ной степени некоторого числа. Но необходимо знать значение корня с точностью до некоторого знака.
В таком случае необходимо воспользоваться алгоритмом поразрядного нахождения значения корня, с помощью которого можно получить достаточное количество значений искомого числа.
Как это происходит, разберем на примере извлечения квадратного корня из 5 .
Сперва необходимо найти значение разряда единиц. Для этого начнем перебирать значения 0 , 1 , 2 , . . . , 9 , вычисляя при этом 0 2 , 1 2 , . . . , 9 2 до необходимого значения, которое больше, чем подкоренное число 5 . Все это удобно представить в виде таблицы:
Возможное значение корня | 0 | 1 | 2 | 3 |
Это значение в степени | 0 | 1 | 4 | 9 |
Значение ряда единиц равняется 2 ( т а к к а к 2 2 5 , а 2 3 > 5 ) . Переходим в разряду десятых — будем возводить в квадрат числа 2 , 0 , 2 , 1 , 2 , 2 , . . . , 2 , 9 , , сравнивая полученные значения с числом 5 .
Возможное значение корня | 2,0 | 2,1 | 2,2 | 2,3 |
Это значение в степени | 4 | 4,41 | 4,84 | 5,29 |
Поскольку 2 , 2 2 5 , а 2 , 3 2 > 5 , то значение десятых равняется 2 . Переходим к нахождению значения сотых:
Возможное значение корня | 2.20 | 2,21 | 2,22 | 2,23 | 2,24 |
Это значение в степени | 4,84 | 4,8841 | 4,8294 | 4,9729 | 5,0176 |
Таким образом, найдено значение корня из пяти — 2 , 23 . Можно находить значения корня дальше:
2 , 236 , 2 , 2360 , 2 , 23606 , 2 , 236067 , . . .
Итак, мы изучили несколько наиболее распространенных способов нахождения значения корня, воспользоваться которыми можно в любой ситуации.
Читайте также: