Как поставить двоичную систему счисления на компьютере
Немного истории
Впервые о данной системе чисел заговорил основоположник математического анализа Г.В. Лейбниц еще в XVII веке. Он доказал, что для данного множества действуют все арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и даже деление. Однако вплоть до 30-х годов XX века данную систему не рассматривали всерьез. Но с развитием электронных устройств и ЭВМ, ученые вновь принялись к изучению данной темы, так как двоичная система отлично подходила для программирования и организации хранения данных в памяти компьютеров.
Таблица и алфавит
Алфавит двоичной системы счисления состоит всего из двух знаков: 0 и 1 . Однако это нисколько не усложняет выполнение арифметических действий.
Кроме того, двоичная система является самой удобной для быстрого перевода в другие системы счисления.
Так, чтобы перевести двоичное число в десятичное, необходимо найти значение его развернутой формы . Например:
1001102 = 1 ∙ 2 5 + 0 ∙ 2 4 + 0 ∙ 2 3 + 1 ∙ 2 2 + 1 ∙ 2 2 + 0 ∙ 2 0 = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0 = 3810
Чтобы наоборот перевести число в двоичную из десятичной, необходимо выполнить его деление на 2 с остатком, а затем записать все остатки в обратном порядке, начиная с частного:
| Делимое | 38 | 19 | 9 | 4 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| Делитель | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| Частное | 19 | 9 | 4 | 2 | 1 |
| Остаток | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Для перевода в другие системы необходимо:
- Перевести двоичный код в десятичный.
- Выполнить деление десятичного числа на основание той системы, в которую требуется перевести.
| Двоичная | Восьмеричная | Шестнадцатеричная |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 001 | 1 | 1 |
| 010 | 2 | 2 |
| 011 | 3 | 3 |
| 100 | 4 | 4 |
| 101 | 5 | 5 |
| 110 | 6 | 6 |
| 111 | 7 | 7 |
| 1000 | 8 | |
| 1001 | 9 | |
| 1010 | A | |
| 1011 | B | |
| 1100 | C | |
| 1101 | D | |
| 1110 | E | |
| 1111 | F |
110010012 = 11 001 001 = 011 001 001 = 3118
110010012 = 1100 1001 = С916
Представление двоичных чисел
В двоичной системе также существует понятие «отрицательных» чисел. И для того, чтобы провести какую-либо операцию с ними в двоичном коде, необходимо представить его в виде дополнительного кода. Запись положительного числа при этом не меняется ни для одного из кодов.
Чтобы найти дополнительный код отрицательного числа, необходимо воспользоваться его прямым и дополнительным кодами.
Прямой код предполагает приписывание единицы в начале без изменений записи:
| A > 0 | Aпр = 0A | 1010112; Aпр = 01010112 |
| A ≤ 0 | Aпр = 1|A| | -1010112; Aпр = 11010112 |
Для записи обратного кода цифры заменяют на противоположное значение, первую единицу от прямого кода оставляют без изменений:
| A > 0 | Aобр = 0A | 1010112; Aобр = 01010112 |
| A ≤ 0 | Aобр = 1 A | -1010112; Aобр = 10101002 |
Дополнительный код предполагает использование обратного кода, с той лишь разницей, что к отрицательному числу прибавляют единицу:
| A > 0 | Aдоп = 0A | 1010112; Aдоп = 01010112 |
| A ≤ 0 | Aдоп = 1 A + 1 | -1010112; Aдоп = 10101012 |
Применение двоичной системы в информатике
Двоичная система получила особое распространение в программировании цифровых устройств, так как она соответствует требованиям многих технических устройств, поддерживающих два состояния (есть ток, нет тока). Кроме того, является более простой и надежной для кодирования информации. Именно поэтому программный код большей части ЭВМ основан именно на двоичной системе счисления.
В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.
Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.
Из этой статьи вы узнаете, как считать в двоичной системе счисления, которая используется во всех компьютерах. Поначалу это покажется необычным, но если знать всего несколько правил и немного попрактиковаться, можно научиться быстро считать в двоичной системе.
Десятичная система
Двоичная система
- 0 = ноль
- 1 = один
- Если двоичное число состоит из нескольких цифр, учитывайте только последний 0: 1010 + 1 = 1011.
- 0 = ноль
- 1 = один
- 10 = два
- Аналогичное правило используется в десятичной системе счисления, когда больше нет цифр, например, 9 + 1 = 10. В двоичной системе такое случается гораздо чаще, потому что в ней используются всего две цифры.
- 0 = ноль
- 1 = один
- 10 = два
- 11 = три
- 100 = четыре
- 101 = пять
- 110 = шесть
- 111 = семь
- 1000 = восемь
- 1001 = девять
- 1010 = десять
- Двенадцать плюс один = 1100 + 1 = 1101 = тринадцать (0 + 1 = 1, а остальные цифры не меняются).
- Пятнадцать плюс один = 1111 + 1 = 10000 = шестнадцать (цифр больше нет, поэтому слева от 1111 мы приписываем 1, а все остальные цифры превращаем в ноли).
- Сорок пять плюс один = 101101 + 1 = 101110 = сорок шесть (1 + 1 = 10, а остальные цифры не меняются).
- 1 — это разряд единиц;
- 1 0 — это разряд двоек;
- 1 00 — это разряд четверок;
- 1 000 — это разряд восьмерок.
- Преобразуйте двоичное число 10011 в десятичное.
- Первая справа цифра 1. Она находится в разряде единиц. Поэтому умножьте ее на единицу: 1 x 1 = 1.
- Вторая справа цифра тоже 1. Она находится в разряде двоек. Поэтому умножьте ее на два: 1 x 2 = 2.
- Следующая цифра 0. Умножьте ее на четыре: 0 x 4 = 0.
- Следующая цифра тоже 0. Умножьте ее на восемь: 0 x 8 = 0.
- Последняя (справа) цифра 1. Умножьте ее на шестнадцать: 1 x 16 = 16.
- 1 + 2 + 16 = 19.
- Таким образом 10011 (в двоичной системе) = 19 (в десятичной системе).
- Также можно научиться считать в двоичной системе на пальцах. Каждый вытянутый палец будет цифрой 1, а каждый согнутый — 0. [1] X Источник информации
Дополнительные статьи
Об этой статье
В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.
Любой вид информации можно представить в виде чисел. Кодирование информации с помощью чисел осуществляется по определённым правилам. Для понимания этих правил, разберём логику образования любого числа.
| Система счисления – это правила записи чисел с помощью знаков – цифр и операций над ними.
Предположительно, первой системой счисления, возникшей для простых подсчётов, является унарная система счисления (лат. unus - единица).
Любое число, в данной системе счисления, образуется путём повторения одинаковых элементов (палочка, камешек, ракушка и т.д.).
Данная система счисления позволяет записывать только натуральные числа и запись «большого» числа получается очень громоздкой.
В дальнейшем, у человечества возникла необходимость производить серьёзные подсчёты. Для этого были придуманы непозиционные системы счисления.
| Непозиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра не изменяет своего значения, от изменения позиции в числе.
Египетская система счисления
Кириллическая система счисления
Римская система счисления
| Позиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра изменяет своё значения, при изменении позиции в числе.
Вспомним, что любое число в десятичной (арабской) системе счисления можно разложить на разряды. Например, в числе 753 цифра 7 обозначает сотни (700), цифра 5 – десятки (50), цифра 3 – единицы. Таким образом, число можно представить, как:
753 = 7 * 100 + 5 * 10 + 3 * 1
| Алфавит системы счисления – совокупность всех её цифр.
| Основание системы счисления – указывает на количество цифр в данной системе счисления.
Алфавит десятичной системы счисления состоит из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Следовательно, основанием данной системы счисления является 10.
Тогда, любое число будем записывать по правилу, с указанием основания данной системы счисления:
Число читается, как «семьсот пятьдесят три по основанию десять» или «семьсот пятьдесят три в десятичной системе счисления».
| Разряд – это позиция цифры в числе (нумерация в целых числах производится с права налево, начиная с нуля).
Укажем разряд каждой цифры в числе 753:
Развёрнутая форма представления чисел
В результате разбиения числа на разряды, любое такое число можно представить в развёрнутой форме.
Формула развёрнутой формы представления чисел:
q – основание системы счисления;
a – цифра данного числа;
n – число разрядов в числе.
Представим число 75310 в развёрнутой форме.
1) Определим позиции каждой цифры в числе:
Каждую цифру в числе, умножим в соответствии занимаемой позицией:
Для упрощения данной записи, представим данное число, как основание 10 в степени n:
Запишем полученный результат.
Обратите внимание, что степень основания числа совпадает с позицией каждой цифры в числе!
Перевод числа в десятичную систему счисления
С помощью развёрнутой формы представления чисел можно перевести число из любой системы счисления в десятичную.
Двоичная система счисления
| Двоичная система счисления – это система счисления по основанию 2.
Алфавит системы счисления: 0, 1.
Перевод десятичного числа в двоичную систему счисления методом подбора степеней числа 2
Для перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления, используют метод подбора степеней двойки.
Пусть дано десятичное число 2110.
1) Подберём ближайшую наименьшую степень числа 2 к данному числу: 2 4 = 16;
2) Вычтем найденное число из данного: 21 - 16 = 5;
3) Повторить, пока не достигнем нуля.
В результате, мы получим следующие степени:
Найденные нами степени – это позиции цифры 1 в двоичном числе, а отсутствующие степени – это нули:
Перевод целого десятичного числа в другую систему счисления методом деления на новое основание
Переведите число 1310 в двоичную систему счисления.
Арифметические операции в двоичной системе счисления
Все вычисления в компьютере выполняются в двоичной системе счисления.
Рассмотрим базовые арифметические операции.
Кодирование числовой информации в памяти компьютера
Для представления целого числа без знака в памяти компьютера, необходимо:
1. перевести число в двоичную систему счисления;
2. поместить число в ячейку памяти компьютера;
3. заполнить пустые ячейки незначащими нулями.
Представьте число 5610 в компьютерной форме.
1. переведём число в двоичную систему счисления:
2. число состоит из 6 разрядов и помещается в одну ячейку:
3. дополним незначащими нулями:
Диапазон значений целых чисел без знака
Хранение чисел со знаком отличается от беззнаковой формы.
Знак «+» принято обозначать за «0», а знак «–» за «1». Знак записывается в старший бит ячейки. Для хранения таких чисел выделяют 1, 2 или 4 байта.
Для представления целого числа со знаком «+» в памяти компьютера, необходимо:
1. перевести число в двоичную систему счисления;
2. поместить число в ячейку памяти;
3. выделить старший бит ячейки под знак и поставить на это место нуль.
4. заполнить оставшиеся биты незначащими нулями.
Представьте число +29210 в компьютерной форме.
1. переведём число в двоичную систему счисления:
2. число состоит из 9 разрядов и для хранения требует двух ячеек:
3. число положительное, значит в старший бит необходимо поместить нуль:
4. заполним оставшиеся биты незначащими нулями:
Ответ: +29210 = 00000001001001002
Для представления целого числа со знаком «–» в памяти компьютера применяют метод прямого и обратного кода:
1. перевести модуль данного числа в двоичную систему;
2. Прямой код: поместить число в ячейку памяти и дополнить его незначащими нулями;
3. Обратный код: выполнить инверсию (заменить нули на единицы и наоборот);
4. Дополнительный код: увеличить получившееся число на единицу.
Представьте число –8710 в компьютерной форме.
1. переведём модуль числа в двоичную систему счисления:
2. число состоит из 7 разрядов и помещается в одну ячейку. Поместим число в ячейку и дополним незначащими нулями:
4. прибавляем к числу единицу:
Обратите внимание на старший бит. Здесь 1 – это знак числа.
Диапазон значений целых чисел со знаком
Литература:
1. Информатика: учебник для 8 класса / Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. - М.: БИНОМ.Лаборатория знаний, 2016. - 176 с.
2. Информатика. 8 класса / К.Ю. Поляков, Е.А. Еремин. - М.: БИНОМ.Лаборатория знаний, 2019. - 256 с.
Переводы
1. Выполните перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему методом развёрнутой формы представления числа:
| а) 11002 | д) 11000112 | з) 10011101110002 |
| б) 110002 | е) 1001011012 | к) 10010000101112 |
| в) 1010102 | ж) 1011101102 | л) 1011101011112 |
| г) 11000112 | з) 1111112 | м) 11111112 |
2. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом подбора степеней числа 2:
| а) 42 | д) 232 | з) 400 |
| б) 97 | е) 286 | к) 405 |
| в) 111 | ж) 309 | л) 528 |
3. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом деления на новое основание:
Любой вид информации можно представить в виде чисел. Кодирование информации с помощью чисел осуществляется по определённым правилам. Для понимания этих правил, разберём логику образования любого числа.
| Система счисления – это правила записи чисел с помощью знаков – цифр и операций над ними.
Предположительно, первой системой счисления, возникшей для простых подсчётов, является унарная система счисления (лат. unus - единица).
Любое число, в данной системе счисления, образуется путём повторения одинаковых элементов (палочка, камешек, ракушка и т.д.).
Данная система счисления позволяет записывать только натуральные числа и запись «большого» числа получается очень громоздкой.
В дальнейшем, у человечества возникла необходимость производить серьёзные подсчёты. Для этого были придуманы непозиционные системы счисления.
| Непозиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра не изменяет своего значения, от изменения позиции в числе.
Египетская система счисления
Кириллическая система счисления
Римская система счисления
| Позиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра изменяет своё значения, при изменении позиции в числе.
Вспомним, что любое число в десятичной (арабской) системе счисления можно разложить на разряды. Например, в числе 753 цифра 7 обозначает сотни (700), цифра 5 – десятки (50), цифра 3 – единицы. Таким образом, число можно представить, как:
753 = 7 * 100 + 5 * 10 + 3 * 1
| Алфавит системы счисления – совокупность всех её цифр.
| Основание системы счисления – указывает на количество цифр в данной системе счисления.
Алфавит десятичной системы счисления состоит из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Следовательно, основанием данной системы счисления является 10.
Тогда, любое число будем записывать по правилу, с указанием основания данной системы счисления:
Число читается, как «семьсот пятьдесят три по основанию десять» или «семьсот пятьдесят три в десятичной системе счисления».
| Разряд – это позиция цифры в числе (нумерация в целых числах производится с права налево, начиная с нуля).
Укажем разряд каждой цифры в числе 753:
Развёрнутая форма представления чисел
В результате разбиения числа на разряды, любое такое число можно представить в развёрнутой форме.
Формула развёрнутой формы представления чисел:
q – основание системы счисления;
a – цифра данного числа;
n – число разрядов в числе.
Представим число 75310 в развёрнутой форме.
1) Определим позиции каждой цифры в числе:
Каждую цифру в числе, умножим в соответствии занимаемой позицией:
Для упрощения данной записи, представим данное число, как основание 10 в степени n:
Запишем полученный результат.
Обратите внимание, что степень основания числа совпадает с позицией каждой цифры в числе!
Перевод числа в десятичную систему счисления
С помощью развёрнутой формы представления чисел можно перевести число из любой системы счисления в десятичную.
Двоичная система счисления
| Двоичная система счисления – это система счисления по основанию 2.
Алфавит системы счисления: 0, 1.
Перевод десятичного числа в двоичную систему счисления методом подбора степеней числа 2
Для перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления, используют метод подбора степеней двойки.
Пусть дано десятичное число 2110.
1) Подберём ближайшую наименьшую степень числа 2 к данному числу: 2 4 = 16;
2) Вычтем найденное число из данного: 21 - 16 = 5;
3) Повторить, пока не достигнем нуля.
В результате, мы получим следующие степени:
Найденные нами степени – это позиции цифры 1 в двоичном числе, а отсутствующие степени – это нули:
Перевод целого десятичного числа в другую систему счисления методом деления на новое основание
Переведите число 1310 в двоичную систему счисления.
Арифметические операции в двоичной системе счисления
Все вычисления в компьютере выполняются в двоичной системе счисления.
Рассмотрим базовые арифметические операции.
Кодирование числовой информации в памяти компьютера
Для представления целого числа без знака в памяти компьютера, необходимо:
1. перевести число в двоичную систему счисления;
2. поместить число в ячейку памяти компьютера;
3. заполнить пустые ячейки незначащими нулями.
Представьте число 5610 в компьютерной форме.
1. переведём число в двоичную систему счисления:
2. число состоит из 6 разрядов и помещается в одну ячейку:
3. дополним незначащими нулями:
Диапазон значений целых чисел без знака
Хранение чисел со знаком отличается от беззнаковой формы.
Знак «+» принято обозначать за «0», а знак «–» за «1». Знак записывается в старший бит ячейки. Для хранения таких чисел выделяют 1, 2 или 4 байта.
Для представления целого числа со знаком «+» в памяти компьютера, необходимо:
1. перевести число в двоичную систему счисления;
2. поместить число в ячейку памяти;
3. выделить старший бит ячейки под знак и поставить на это место нуль.
4. заполнить оставшиеся биты незначащими нулями.
Представьте число +29210 в компьютерной форме.
1. переведём число в двоичную систему счисления:
2. число состоит из 9 разрядов и для хранения требует двух ячеек:
3. число положительное, значит в старший бит необходимо поместить нуль:
4. заполним оставшиеся биты незначащими нулями:
Ответ: +29210 = 00000001001001002
Для представления целого числа со знаком «–» в памяти компьютера применяют метод прямого и обратного кода:
1. перевести модуль данного числа в двоичную систему;
2. Прямой код: поместить число в ячейку памяти и дополнить его незначащими нулями;
3. Обратный код: выполнить инверсию (заменить нули на единицы и наоборот);
4. Дополнительный код: увеличить получившееся число на единицу.
Представьте число –8710 в компьютерной форме.
1. переведём модуль числа в двоичную систему счисления:
2. число состоит из 7 разрядов и помещается в одну ячейку. Поместим число в ячейку и дополним незначащими нулями:
4. прибавляем к числу единицу:
Обратите внимание на старший бит. Здесь 1 – это знак числа.
Диапазон значений целых чисел со знаком
Литература:
1. Информатика: учебник для 8 класса / Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. - М.: БИНОМ.Лаборатория знаний, 2016. - 176 с.
2. Информатика. 8 класса / К.Ю. Поляков, Е.А. Еремин. - М.: БИНОМ.Лаборатория знаний, 2019. - 256 с.
Переводы
1. Выполните перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему методом развёрнутой формы представления числа:
| а) 11002 | д) 11000112 | з) 10011101110002 |
| б) 110002 | е) 1001011012 | к) 10010000101112 |
| в) 1010102 | ж) 1011101102 | л) 1011101011112 |
| г) 11000112 | з) 1111112 | м) 11111112 |
2. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом подбора степеней числа 2:
| а) 42 | д) 232 | з) 400 |
| б) 97 | е) 286 | к) 405 |
| в) 111 | ж) 309 | л) 528 |
3. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом деления на новое основание:
Читайте также: