Из 3200 семян укропа в среднем 160 семян не прорастают найдите вероятность
Задача 47. В отделении 10 стрелков, из них 3 отличных, 5 хороших и 2 посредственных. Известно, что вероятность попадания в цель отличным стрелком - 0,9, хорошим - 0,8, и стреляющим удовлетворительно - 0,6. Из строя наугад вызывается один стрелок для производства выстрела по цели. Какова вероятность попадания в цель этим стрелком?
Решение. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий H1, H2, …, Hn, образующих полную группу (гипотез), в соответствии с Формулой полной вероятности, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А, т. е. P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2)+…+P(Hn)P(A/Hn)= .
Пусть событие А – стрелок попал в цель. Гипотезы: H1 – стрелок отличный; H2 – стрелок хороший; H3 – стрелок посредственный. Вероятности этих гипотез следующие: ; ; .
Условные вероятности поражения цели по этим гипотезам даны:
P(A/H1)=0,9; P(A/H2)=0,8; P(A/H3)=0,6
Тогда, согласно формуле полной вероятности, искомая вероятность попадания в цель будет равна
P(A)=0,3×0,9+0,5×0,8+0,2×0,6=0,79.
Задача 48. В условиях предыдущей задачи 47 будем считать, что вызванный наугад стрелок произвел выстрел и попал в цель. Требуется определить вероятности, характеризующие его принадлежность к различным категориям стрелков.
Решение. В соответствии с Формулами Байеса, вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на условную вероятность события по этой гипотезе, деленному на полную вероятность события:
В нашей задаче событие А – стрелок попал в цель; гипотезы Н1 – стрелял отличный стрелок; Н2 – стрелял хороший стрелок; Н3 – стрелял посредственный стрелок.
Априорные[1] (доопытные) вероятности гипотез нам известны: Р(Н1)=0,3; Р(Н2)=0,5; Р(Н3)=0,2. Условные вероятности попадания в цель по этим гипотезам даны: Р(А/Н1)=0,9; Р(А/Н2)=0,8; Р(А/Н3)=0,6. Полная вероятность попадания в цель Р(А)=0,79.
Тогда апостериорные[2] (послеопытные) вероятности гипотез будут равны
Заметим, что сумма вероятностей гипотез после испытания всегда равна единице. Для нашего примера .
Задача 49. Всхожесть семян данного растения составляет 90 %. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут: а) четыре; б) не менее четырех.
Решение. Воспользуемся Формулой Бернулли. Если производится П независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и равна Р, а вероятность противоположного события равна Q=1-P, то вероятность Рп(т) того, что при этом событие А осуществляется ровно Т раз, вычисляется по формуле
Где есть число сочетаний из П элементов по Т.
А) По условию задачи вероятность всхожести семян Р=0,9; тогда Q=0,1; в данном случае П=5 и Т=4. Подставляя эти данные в формулу Бернулли (1), получим
Б) Искомое событие А состоит в том, что из пяти посеянных семян взойдут или четыре, или пять. Таким образом, Р(А)=Р5(4)+Р5(5). Первое слагаемое уже найдено. Для вычисления второго снова применяем формулу (1):
Следовательно, Р(А)=0,328+0,591=0,919.
Задача 50. Вероятность появления события А в каждом из 625 испытаний равна 0,64. Найти вероятность того, что событие А в этих испытаниях появиться ровно 415 раз.
Решение. Если число испытаний П велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. Использование этой формулы становиться практически невозможным. В таких случаях применяют приближенную формулу, которая выражает суть локальной теоремы Лапласа.
Если вероятность наступления события А в каждом из П независимых испытаний постоянна и равна Р (Р отлично от нуля и единицы), а число П достаточно велико, то вероятность Рп(т) того, что в этих испытаниях событие А наступит Т раз (безразлично, в какой последовательности) вычисляется приближенно по формуле
Имеются готовые таблицы значений функции J(х) (см. табл. 1 Приложения).
По табл. 1 находим, что J(1,25)=0,1826. Подставив это значение в (2), получим
Задача 51. Среди семян ржи 0,04 % сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
Решение. Применение асимптотической формулы (2) для случая, когда вероятность Р близка к нулю, приводит к значительному отклонению от точного значения Рп(т). При малых значениях Р (и при малых значениях Q) применяют асимптотическую формулу Пуассона.
Если вероятность появления события А в каждом из П независимых испытаний мала, а число испытаний П достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит Т раз, вычисляется приближенно по формуле
Где L=Пр.
Формулу (3) применяют в тех случаях, когда L£10. При этом чем больше число П И меньше число Р, тем точнее результат по этой формуле. По условию задачи П=5000, Т=5, Р=0,0004. Тогда L=5000.0,0004=2. Применяя (3), получим
Задача 52. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что число попаданий при 600 выстрелах будет заключено в пределах от 330 до 375.
Решение. Формулы Бернулли, Пуассона, асимптотическая формула (2), выражающая суть локальной теоремы Лапласа, позволяют найти вероятность появления события А ровно Т раз при П независимых испытаниях. На практике часто требуется определить вероятность того, что событие А наступит не менее Т1 раз и не более Т2 раз, т. е. число Т Определено неравенствами Т1£Т£Т2. В таких случаях применяют интегральную теорему Лапласа.
Если вероятность наступления события А в каждом из П независимых испытаний постоянна и равна Р (Р отлична от нуля и единицы), а число П достаточно велико, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее Т1 раз и не более Т2 раз, вычисляется приближенно по формуле
Имеются таблицы значений функции (см. табл. 2 Приложения). Ф(х) называется функцией Лапласа. Эта функция является нечетной, т. е. Ф(-х)=-Ф(х). Поэтому таблица значений дается только для положительных чисел. Функция Ф(х) является монотонно возрастающей. При неограниченном возрастании Х функция Ф(х) стремиться к 0,5. Если воспользоваться готовыми значениями функции Лапласа, то формулу (4) можно записать так:
По условию П=600, Р=0,6, Т1=330, Т2=375. Находим A И B:
По таблице 2 находим Ф(1,25)=0,3944; Ф(-2,5)=-Ф(2,5)=-0,4938. Подставив эти значения в (5), получим искомую вероятность:
Задача 53. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание М(Х)=5; дисперсия D(X)=0,64. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение в интервале (4,7).
Решение. Если случайная величина Х задана дифференциальной функцией F(X), то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (A,B), вычисляется по формуле
Если величина Х распределена по нормальному закону, то
Где А=М(Х) и . По условию S=5, , A=4 и B=7. Подставив эти данные в (6), получим
Задача 54. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина (математическое ожидание) A=40 см, среднее квадратическое отклонение S=0,4 см. Найти вероятность того, что отклонение длины от стандартной составит по абсолютной величине не более 0,6 см.
Решение. Если Х – длина детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (А-D, а+D), где А=40 и D=0,6. Подставив в формулу (6) A=а-D И B=а+D, получим
Подставляя в (7) имеющиеся данные, получим
Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 39,4 до 40,6 см, составляет 0,8664.
Читайте также: