Если на одну клетку шахматной доски положить одно зернышко
Сможете решить задачу про пшеницу и шахматы?
Была ли эта история на самом деле или нет - неизвестно. Но звучит это так:
Когда-то, человек, придумавший игру в шахматы, принёс эту игру к правителю, и тому так понравилось, что он обещал наградить изобретателя тем, что он захочет. И сказал ему изобретатель:
"Дай мне за первую клетку доски одно пшеничное зерно. За вторую -два зерна, за третью - четыре, за четвёртую - восемь и так далее, т.е. за каждую следующую клетку в два раза больше, чем за предыдущую."
Вопрос: сколько мешков зерна попросил у правителя в качестве награды изобретатель, если принять вес одного зерна за 0,07 грамма, а мешок вмещает 50 кг?
комментировать в избранное up --> Rafai l [135K] 3 года назадНу, прежде всего, не пшеничное зёрнышко, а рисовое, так как дело происходило в древней Индии, а там основной пищей являлся рис. Общее количество зёрнышек равно сумме геометрической прогрессии со знаменателем 2, с первым членом 1 и количеством членов 64. Это будет (2^64-1). Имея современные средства (компьютеры, калькуляторы), не трудно подсчитать, что это число равно 18 446 744 073 709 600 000. Увы, мой Excel не способен отразить такое количество знаков с точностью до значащей цифры. Разумеется вместо нулей в правильном числе должны стоять значащие цифры, но даже 99999 по сравнению с 18 446 744 073 709 600 000 это ничто, поэтому не будем сокрушаться по этому поводу.
Масса всех зёрен составит 1291272085159670000 г или 1291272085159670 кг. Значит для размещения всего зерна нужно будет 25 825 441 703 193 (почти 26 триллионов) мешков.
Легенда о зернах
По легенде, создатель шахмат показал своё изобретение правителю страны. Тому так понравилась игра, что он позволил изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у короля за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы, за вторую — два, за третью — четыре и т. д., удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке.
Правитель быстро согласился и приказал казначею выдать изобретателю нужное количество зерна. Однако, когда неделю спустя казначей всё ещё не смог это сделать, правитель спросил, в чём причина такой задержки. Казначей показал ему расчёты и сказал, что расплатиться невозможно, разве только осушить моря и океаны и засеять всё пространство пшеницей.
Итоговое количество зерна примерно в 1800 раз превышает мировой урожай пшеницы за год, то есть превышает весь урожай пшеницы, собранный за всю историю человечества. Если принять, что одно зёрнышко пшеницы имеет массу 0,065 грамма , тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит 1200 миллиардов тонн или!
Разрезаем шахматную доску на доминошки
В 5–6-м классе мы обычно ничего не доказываем на уроках, а если и доказываем, то обычно не спрашиваем. Например, доказываем признак делимости на 9, но не спрашиваем доказательство у школьников.
В 7-м классе мы же начинаем требовать строгие доказательства, например, геометрические. Было бы неплохо научиться доказательству уже в 5–6-м классе.
Иллюстрация: Полина Хамитова Иллюстрация: Полина ХамитоваИз доски 4 × 4 вырезали угловую клетку. Разрежьте полученную фигуру на доминошки 1 × 2.
Это, очевидно, нельзя сделать, потому что осталось нечетное число клеток. Каждая доминошка — это две клетки, поэтому разрезать можно только доску из четного числа клеток.
Из квадрата 4 × 4 вырезали левую нижнюю и левую верхнюю угловые клетки. Можно ли получившуюся фигуру разрезать на прямоугольники 1 × 2?
Нарисуйте и поймите, что это не задача, а легкая прогулка. Постройте сами пример.
Из квадрата 4 × 4 вырезали левую нижнюю и правую верхнюю угловые клетки. Можно ли получившуюся фигуру разрезать на прямоугольники 1 × 2?
Шахматная раскраска Шахматная раскраскаРаскрасим фигуру в шахматном порядке. Черных клеток получится 6, а белых — 8. В то же время, каждая доминошка требует одну белую и одну черную клетки. Значит, если бы можно было разрезать, то черных и белых клеток было бы поровну.
Мы нашли новый способ доказать, что разрезать невозможно. Не будем на этом останавливаться.
Дима нарисовал фигуру из 8 клеток и раскрасил ее в шахматном порядке. Получилось, что белых и черных клеток поровну. Верно ли, что фигуру можно разрезать на прямоугольники 1 × 2?
Мы только что с помощью раскраски доказали, что что-то нельзя. Теперь наоборот. Правда ли, что если черных и белых клеток поровну, что обязательно разрежется. Или можно такую загогулину нарисовать, что не разрежется?
Возьмем такую фигуру:
Верхние 4 клетки в виде буквы «Т» — основа конструкции, это уже нельзя разрезать Верхние 4 клетки в виде буквы «Т» — основа конструкции, это уже нельзя разрезатьТо есть если черных и белых разное количество, то разрезать точно нельзя. А вот если их поровну, то это ничего не значит. Но и на этом мы не остановимся.
Саша нарисовала фигуру, которую нельзя разрезать на прямоугольники 1 × 2. Маша пририсовала к ней один прямоугольник 1 × 2. Могло ли так получиться, что новую фигуру можно разрезать на прямоугольники 1 × 2?
Ответ неожиданный. Что-то нельзя было разрезать, мы одну доминошку добавили. Теперь мы ее разрежем, и всё получится.
Задача о зёрнах на шахматной доске.
Когда создатель шахмат, древнеиндийский мудрец и математик Сисса бен Дахир, показал своё изобретение Правителю страны, тому так понравилась игра, что он позволил изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у Повелителя за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы (по другой версии — риса), за второе — два, за третье — четыре и т. д., удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке. Правитель, не разбиравшийся в математике, быстро согласился, даже несколько обидевшись на столь невысокую оценку изобретения, и приказал казначею подсчитать и выдать изобретателю нужное количество зерна. Однако, когда неделю спустя казначей всё ещё не смог подсчитать, сколько нужно зёрен, правитель спросил, в чём причина такой задержки. Казначей показал ему расчёты и сказал, что расплатиться невозможно, поскольку колличество зерна превышает весь урожай пшеницы, собранный за всю историю человечества.
На всей доске будет 2 в 64 степени − 1 или 18 446 744 073 709 551 616 зёрен, их общая масса составит 461 168 602 000 тонн. Для того, чтобы вместить такое колличество зерна потребуется амбар с размерами 10х10х15 км.
Правитель, чтобы взять реванш над пытавшимся его обхитрить изобретателем, велел последнему пересчитать каждое зёрнышко, чтобы не было сомнений в том, что он честно с ним расплатился.
/привет/мир/etc
Наверное, всем известна легенда о мудреце, который попросил у правителя в качестве награды за изобретение шахмат немного риса. Мудрец пожелал, чтобы на первую клетку шахматной доски положили одно зернышко риса, на вторую - в два раза больше, чем на предыдущую (два зернышка), и так далее, пока не будет заполнена вся доска. Обрадовавшись вначале, вскоре правитель понял, что попал впросак.
Что общего между этой легендой и двоичной системой счисления?
Оказывается, количество рисинок, выкладываемых на каждую из 64 клеток шахматной доски, соответствует весам разрядов двоичного числа. В самом деле, вес первого (младшего) разряда - единица, и на первую клетку кладется одно зернышко. Вес второго разряда - два, и на вторую клетку выкладывается два зернышка. Отсюда, количество зерен, которые должны быть положены на шахматную доску в качестве награды мудрецу, можно представить 64-хразрядным двоичным числом:
Поскольку ни одна клетка не должна быть пропущена, то в каждом из 64-х разрядов двоичного числа стоит 1, и это максимальное число, которое можно записать в 64 двоичных разрядах:
Заглянув в Википедию, я смог произнести это число: 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615.
К слову, это число больше, чем число секунд, прошедших с момента Большого Взрыва:
13800000000 * 365.25 * 24 * 60 * 60 = 435 494 880 000 000 000
Итак, это максимальное целое число, которое можно представить в 64-хразрядном кодовом слове. Большинство изготовляемых сегодня персональных компьютеров оперируют именно 64-разрядными двоичными словами.
Но вернемся к рисовым зернам на шахматной доске.
Если присмотреться к тому, как возрастает количество зерен на доске, то мы увидим, что заполнение каждой следующей клетки удваивает общее количество зерен на доске! Точнее, удваивает и добавляет еще одно зернышко. Вот результаты заполнения нескольких клеток подряд:
| N клетки | Кол-во зерен в клетке | Всего зерен на доске |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 1 + 2 = 3 |
| 3 | 4 | 3 + 4 = 7 |
| 4 | 8 | 7 + 8 = 15 |
| 5 | 16 | 15 + 16 = 31 |
| 6 | 32 | 31 + 32 = 63 |
Так, после заполнения 5 клеток на доске 31 зерно, а после выкладывания еще 32 зерен на 6-ю клетку общее количество зерен становится 63. То есть, на каждую последующую клетку выкладывается зерен на одно больше, чем общее количество зерен на всех предыдущих клетках!
Этим эффектом мы обязаны свойствам позиционной двоичной системы счисления, которую имитирует шахматная доска с рисом. Заполняя очередную клетку, мы добавляем к сумме рисовых зерен число, равное очередной степени двойки. Это все равно, что дописывать к двоичному числу единицу в очередной разряд слева, причем все разряды числа уже содержат единицы:
| N клетки | Кол-во зерен в клетке | Всего зерен на доске |
|---|---|---|
| 1 | 1 = 12 | 1 = 12 |
| 2 | 2 = 102 | 3 = 112 |
| 3 | 4 = 1002 | 7 = 1112 |
| 4 | 8 = 10002 | 15 = 11112 |
| 5 | 16 = 100002 | 31 = 111112 |
| 6 | 32 = 1000002 | 63 = 1111112 |
Аналогичный эффект - удваивание числа плюс единица - происходит и в других позиционных системах счисления, а не только в двоичной. Например, дописав 1 слева к десятичному числу 99, получим 199, что соответствует 99 * 2 + 1. Ведь дописав единицу слева, мы прибавили 100 к 99!
Чтобы эффект 'удвоение плюс один' работал, нужно, чтобы разряды числа, к которому слева дописывается единица, имели максимально возможные в данной системе счисления значения. Тогда дописывание к числу единицы слева равносильно прибавлению к нему числа, которое на 1 больше первоначального.
А поскольку в двоичной системе счисления максимально возможное значение разряда - единица, то данный эффект работает при каждом последовательном дописывании единицы слева к двоичному числу из одних единиц. И обращает на себя внимание на шахматной доске с рисом.
Обратим внимание, что сумма весов единичных разрядов двоичного числа равна самому этому двоичному числу. Достаточно посмотреть на последний столбец вышеприведенной таблички.
Справедливость последнего наблюдения следует из известного нам представления k-разрядного числа в виде многчлена:
где b - основание системы счисления, а n1, . nk - разряды числа. Для двоичного числа, все разряды которого имеют значение 1, многочлен превращается в сумму весов разрядов:
И еще одно наблюдение над шахматной доской с рисом.
Очевидно, что количества зерен, выкладываемых на клетки доски, - члены геометрической прогрессии, где каждый следующий член в 2 раза больше предыдущего. И веса разрядов в двоичной позиционной системе счисления, и в других позиционных системах счисления, с которыми мы познакомились, - члены геометрической прогрессии.
Вес каждого следующего разряда (каждый следующий член геометрической прогрессии) равен весу предыдущего разряда (предыдущему члену), умноженному на основание системы счисления (знаменатель геометрической прогрессии):
В статье Считаем до 1000. на пальцах на основе наблюдений мы научились определять количество разных значений, которые можно представить в n разрядах числа по формуле:
Но количество разных значений, которые можно представить в n разрядах числа, равно весу n+1-го разряда. Так, в 2 разрядах десятичного числа можно представить сто разных значений, от 00 до 99:
И вес третьего справа разряда десятичного числа также равен 100. Изменим формулу так, чтобы она давала нам вес n-го разряда:
Это, по сути, формула для получения n-го члена геометрической прогрессии, где первый элемент прогрессии (вес младшего разряда) равен 1. Полностью формула для получения n-ного члена геометрической прогрессии выглядит так:
, где a1 - первый член прогрессии.
На этом оставляю шахматную доску с рисом мудрецу и правителю. Надеюсь, что требование мудреца было шуткой с его стороны, а правитель обладал достаточным тактом, чтобы мирно разрешить ситуацию.
Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить.
Об одной из подобных легенд и математической составляющей ее содержания мы сегодня и поведём речь. Чтобы понять ее, не нужно вовсе уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки. Текст легенды приводится в изложении советского учёного и популяризатора физики, математики и астрономии Якова Исидоровича Перельмана (1882–1942), взятого из его замечательной книги "Живая математика".
Давным-давно.
Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.
Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.
Сисса бен Дахир (Сасса бен Дахир) – мифический индийский мудрец, которому приписывается изобретение шахмат. Упоминается в ряде сочинений на арабском, персидском, тюркском языках, где изложены легенды о происхождении шахмат. Попытки отождествлять Сисса бен Дахира с историческими личностями научного подтверждения не получили.
– Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, – сказал царь.
– Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, – продолжал царь.– Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.
– Не робей, – ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.
– Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я сообщу тебе мою просьбу.
Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.
– Повелитель, – сказал Сета,– прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.
– Простое пшеничное зерно? – изумился царь.
– Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32.
–Довольно, – с раздражением прервал его царь.– Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.
Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.
За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.
– Повелитель, – был ответ, – приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.
Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.
Вечером, отходя ко сну, царь еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.
– Повелитель, – ответили ему,– математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.
– Почему медлят с этим делом? – гневно воскликнул царь. – Завтра, прежде чем я проснусь, все до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю.
Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.
– Прежде чем скажешь о твоем деле, – объявил Шерам,– я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.
– Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час,– ответил старик.– Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико.
– Как бы велико оно ни было, – надменно перебил царь, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана.
– Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни. Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду. С изумлением внимал царь словам старца.
– Назови же мне это чудовищное число, – сказал он в раздумье.
– Восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель !
Арабская (X век) и персидская (XIV век) миниатюры. Обратите внимание: доска одноцветная!
Черно-белая доска – это уже более позднее изобретение европейцев.
Число-гигант
Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно, – но что награда, о которой говорит предание, должна была выразиться именно таким числом, в этом вы сами можете убедиться терпеливым подсчетом.
Начав с единицы, нужно сложить числа: 1, 2, 4, 8 и т. д. Иначе эту сумму можно записать так:
1 + 2 + 4 + 8 + . . . = 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 63 .
Последнее слагаемое показывает, сколько причиталось изобретателю за 64-ю клетку доски.
Упростим полученную сумму исходя из следующих соображений. Обозначим
S = 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 63 ,
2S = 2 · (2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 63 ) = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 64
S = 2S – S = (2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 64 ) – (2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 63 ) =
= 2 64 – 2 0 = 2 64 – 1.
Необходимое число зёрен
Значит, подсчет сводится лишь к перемножению 64 двоек! (А уж единицу потом вычесть сумеем).
Для облегчения выкладок разделим 64 множителя на 6 групп по 10 двоек в каждой и одну последнюю группу из 4 двоек. Произведение 10 двоек, как легко убедиться, равно 1 024, а 4 двоек – 16. Значит, искомый результат равен
S = 1 024 · 1 024 · 1 024 · 1 024 · 1 024 · 1 024 · 16 – 1.
1024 · 1024 = 1 048 576,
S = 1 048 576 · 1 048 576 · 1 048 576 · 16 – 1.
Проявим терпение и аккуратность в подсчётах и получим:
S = 18 446 744 073 709 551 615 .
Это количество зерна примерно в 1800 раз превышает мировой урожай пшеницы за год (в 2008 – 2009 аграрном году урожай составил 686 млн тонн), то есть превышает весь урожай пшеницы, собранный за всю историю человечества.
В единицах массы: если принять, что одно зёрнышко пшеницы имеет массу 0,065 грамма, тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит около 1,200 триллионов тонн:
18 446 744 073 709 551 615 · 0,065 гр = 1 199 038 364 791 120 854, 975 гр =
= 1 199 038 364 791, 120 т.
Если массу пшеницы перевести в объем (1 м 3 пшеницы весит около 760 кг), то получится приблизительно 1500 км 3 , что эквивалентно амбару с размерами 10 км х 10 км х 15 км. Это больше всего объёма горы Эверест.
Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но он легко мог бы, будь он силен в математике, освободиться от столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь предложить Сете самому отсчитать себе зерно за зерном всю причитавшуюся ему пшеницу.
В самом деле: если бы Сета, принявшись за счет, вел его непрерывно день и ночь, отсчитывая по зерну в секунду, он в первые сутки отсчитал бы всего 86 400 зерен. Чтобы отсчитать миллион зерен, понадобилось бы не менее 10 суток неустанного счета. Один кубический метр пшеницы он отсчитал бы примерно за полгода. И осталось бы отсчитать ещё 1 499 999 999 999 м 3 . Вы видите, что, посвятив счету даже весь остаток своей жизни, Сета получил бы лишь ничтожную часть потребованной им награды.
Таблица зерен и их сумм
Для тех, кто буквам и словам предпочитает цифры и числа, приведём таблицу распределения зерен по клеткам шахматной доски и постепенного суммарного роста их количества. Зрелище, по-своему, завораживающее.
Если на одну клетку шахматной доски положить одно зернышко
Чужой компьютер
вернуться к странице
Это факт запись закреплена
Если на одну шахматную клетку положить 1 зернышко риса, на вторую 2 зернышка, на третью 4 зернышка и т.д., то в итоге общий вес риса на шахматной доске составит более 460 миллиардов тонн. Это в 1000 раз больше , чем годовой урожай риса на всей Земле.
Если на одну клетку шахматной доски положить одно зернышко
Невероятные факты, о которых вы не знали
вернуться к странице
Невероятные факты, о которых вы не знали запись закреплена
Если на одну шахматную клетку положить 1 зернышко риса, на вторую 2 зернышка риса, на третье 4 зернышка и т.д., то в итоге общий вес риса на шахматной доске составит более 460 миллиардов тонн.Это в тысячу раз больше , чем годовой урожай риса на всей Земле.
Если на одну клетку шахматной доски положить одно зернышко
Чужой компьютер
Мир интересных фактов
вернуться к странице
Мир интересных фактов запись закреплена
Если на одну шахматную клетку положить 1 зернышко риса, на вторую 2 зернышка, на третью 4 зернышка и т.д., то в итоге общий вес риса на шахматной доске составит более 460 миллиардов тонн. Это в 1000 раз больше , чем годовой урожай риса на всей Земле.
Нравится Показать список оценивших
Сначала старые
Тот кто придумал эту игру,так попросил взамен зерно
Нравится Показать список оценивших
Нравится Показать список оценивших
Кирилл, это тему проходят ещё в школе,и она прикреплена к геометрической прогрессии
Читайте также: