Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану
Задача. Для рытья траншеи выделено две бригады землекопов
Для рытья траншеи выделено две бригады землекопов (в бригадах разное количество рабочих). Если бы каждая из двух бригад выкопала по такой траншее, то суммарное время их работы было бы равно 51 часу. Разность времени работы первой и второй бригад равна 255644 от времени, за которое две бригады могут выкопать траншею, работая вместе. Чему равно время (в часах), за которое первая бригада может одна выкопать траншею?
Дополнен 3 года назад
разность времен работ 255/644. Забыла поставить дробь
Лучший ответ
Остальные ответы
Если поставить в качестве ускорителя прапорщика, то данная бригада выполнит работу за пару часов.
Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану
Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 часа раньше. Определите число землекопов в каждой бригаде, если известно, что производительность у землекопов одинакова.
Пусть численность землекопов первой бригады составляет x, второй — y человек. Объем выполненной работы примем за А, производительность труда каждого землекопа — p. В таком случае производительность труда каждой из бригад также будет равна p.
Первая бригада за каждый час выполняет p часть всей работы, вторая — py часть. Первая бригада с заданием справится за ч, вторая — за ч. В соответствии с условием задачи имеем:
Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, чем было, то задание она выполнила бы за ч. Значение этого выражения равно 2.
Рассмотрим систему уравнений:
Умножив обе части первого уравнения системы на 4, получим:
Приравняв левую часть полученного уравнения к левой части второго уравнения системы, будем иметь:
Теперь можно обе части полученного равенства разделить на
Числа y и x — натуральные. будучи также натуральным, не может быть больше 5. Для выражения единственно допустимо: оно может принять значение, равное 1. И только. А это произойдет лишь при x = 25. При таком значении x значение y будет равно 24.
Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану
Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 16 рабочих, а во второй — 25 рабочих. Через 7 дней после начала работы в первую бригаду перешли 8 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.
Пусть производительность каждого из рабочих равна заказа в день, и пусть в новом составе бригады доделывали заказы дней. Тогда за первые 7 дней работы бригадами в 16 и 25 человек было сделано и частей заказов, а за следующие дней бригадами в 24 человека и 17 человек были доделаны оставшиеся и частей заказов. Поскольку в результате были целиком выполнены два заказа, имеем:
Значит, в новом составе бригады работали 9 дней. Таким образом, потребовалось 7 + 9 = 16 дней на выполнение заказов.
Приведем решение Алисы Грант.
Пусть k заказов в день — производительность каждого из рабочих (0
Значит, в новом составе бригады работали 9 дней, а на всего на выполнение заказов понадобилось 7 + 9 = 16 дней.
Приведем решение Павла Юкляева.
Изначально трудозатраты второй бригады на (25 − 16) · 7 = 63 человеко-дня больше, чем трудозатраты первой бригады. Поэтому после того, как в первую бригаду перешли рабочие из второй, первой бригаде придется выполнить на 63 человеко-дня больше работы, чем второй за то же время. Пусть x — количество дней работы после перехода рабочих, тогда 24 человеко-дня работы первой бригады превосходят 17 человеко-дней работы второй бригады на 63 человеко-дня: 24х = 17х + 63, откуда x = 9. Следовательно, на выполнение работы всей работы необходимо 16 дней.
Классификатор базовой части: Задачи на совместную работу Алиса Грант 09.07.2020 16:36Как насчёт такого, более простого решения: 7(16а)+24ах=7(25а)+17ах, где а -- скорость одного рабочего (можно сразу сократить), а х -- кол-во дней после перехода рабочих из команды в команду. Таким образом, х=9. Прибавляем 7, получаем 16.
Служба поддержкиЗамечательно, добавили в решение. Спасибо.
Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 18 рабочих, а во второй — 22 рабочих. Через 9 дней после начала работы в первую бригаду перешли 3 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.
Производительность бригады — это количество человек умноженное на кол-во дней, значит:
производительность 1 бригады = 18 чел 9 дней = 162 чел*дн;
производительность 2 бригады = 22 чел 9 дней = 198 чел*дн.
После ухода людей из второй бригады в первую обе бригады работали дней:
Кол-во человек в новой первой бригаде: 18 + 3 = 21 человек, значит:
производительность новой 1 бригады = чел*дн;
Кол-во человек во второй новой бригаде 22 − 3 = 19 человек, значит:
производительность новой 2 бригады чел*дн.
Зная, что все рабочие одинаковой квалификации, приравняем работы первых и вторых бригад:
Значит, на выполнение второй части работы потребовалось 18 дней. Но они еще до этого работали 9 дней, значит, всего 27 дней.
Классификатор базовой части: Задачи на совместную работуДве бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 2 рабочих, а во второй — 12 рабочих. Через 3 дня после начала работы в первую бригаду перешли 8 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.
Производительность бригады - это количество человек умноженное на кол-во дней, значит:
производительность 1 бригады = 2 чел 3 дня = 6 чел*дн;
производительность 2 бригады = 12 чел 3 дня = 36 чел*дн.
После ухода людей из второй бригады в первую обе бригады работали дней:
Кол-во человек в новой первой бригаде: 2 + 8 = 10 человек, значит:
производительность новой 1 бригады = чел*дн;
Кол-во человек во второй новой бригаде 12 − 8 = 4 человека, значит:
производительность новой 2 бригады чел*дн.
Зная, что все рабочие одинаковой квалификации, приравняем работы первых и вторых бригад:
Значит, на выполнение второй части работы потребовалось 5 дней. Но они еще до этого работали 3 дня, значит, всего 8 дней.
Классификатор базовой части: Задачи на совместную работуДве бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали строить два одинаковых дома. В первой бригаде было 3 рабочих, а во второй — 9 рабочих. Через 4 дня после начала работы в первую бригаду перешли 7 рабочих из второй бригады, в результате чего оба дома были построены одновременно. Сколько дней потребовалось бригадам, чтобы закончить работу в новом составе?
Пусть производительность каждого из рабочих равна дома в день, и пусть в новом составе бригады достраивали дома дней. Тогда за первые 4 дня работы бригадами в 3 и 9 человек было построено и частей домов, а за следующие дней бригадами в 10 человек и 2 человека были построены оставшиеся и части домов. Поскольку в результате были целиком построены два дома, имеем:
Тем самым, в новом составе бригады работали 3 дня.
Классификатор базовой части: Задачи на совместную работу Задания Д16 C5 № 511163Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 часа раньше. Определите число землекопов в каждой бригаде, если известно, что производительность у землекопов одинакова.
Пусть численность землекопов первой бригады составляет x, второй — y человек. Объем выполненной работы примем за А, производительность труда каждого землекопа — p. В таком случае производительность труда каждой из бригад также будет равна p.
Первая бригада за каждый час выполняет p часть всей работы, вторая — py часть. Первая бригада с заданием справится за ч, вторая — за ч. В соответствии с условием задачи имеем:
Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, чем было, то задание она выполнила бы за ч. Значение этого выражения равно 2.
Рассмотрим систему уравнений:
Умножив обе части первого уравнения системы на 4, получим:
Приравняв левую часть полученного уравнения к левой части второго уравнения системы, будем иметь:
Теперь можно обе части полученного равенства разделить на
Числа y и x — натуральные. будучи также натуральным, не может быть больше 5. Для выражения единственно допустимо: оно может принять значение, равное 1. И только. А это произойдет лишь при x = 25. При таком значении x значение y будет равно 24.
Ответ: 25 и 24 человека.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 111. Классификатор базовой части: Разные задачи с прикладным содержанием Задания Д16 C5 № 513788Цех получил заказ на изготовление 2000 деталей типа А и 14000 деталей типа Б. Каждый из 146 рабочих цеха затрачивает на изготовление одной детали типа А время, за которое он мог бы изготовить 2 детали типа Б. Каким образом следует разделить рабочих цеха на две бригады, чтобы выполнить заказ за наименьшее время, при условии, что обе бригады приступят к работе одновременно, и каждая из бригад будет занята изготовлением деталей только одного типа?
Поскольку общие затраты человеко-часов на детали A составляют от всех затрат, то логично попробовать поделить рабочих в таком же отношении для начального варианта, который потом модифицировать. Будем для простоты говорить, что рабочий делает деталь типа A за 2 минуты, деталь типа B за одну минуту.
Отправим 32 рабочих делать детали типа B и 114 рабочих делать детали типа A. Поскольку первая бригада закончит работу за минут. Некоторые рабочие сделают по 62 детали, некоторые по 63.
Поскольку вторая бригада будет работать 123 минуты.
Ясно, что если убирать рабочих из первой бригады, время только вырастет. Попробуем перевести одного рабочего из второй бригады в первую.
поэтому теперь первая бригада будет работать 122 минуты. поэтому вторая будет работать 124 минуты.
Ясно, что если еще убирать рабочих из второй бригады, время будет расти. Итак, это самый лучший вариант.
Архив задач
№29438. В ноябре 2017 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S тыс. рублей, где S — натуральное число. Условия его воз врата таковы:
—каждый январь долг возрастает на 22% по сравнению с концом предыдущего года;
—с февраля по октябрь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
—в ноябре каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет
составлять целое число тысяч рублей.
№29437. Отрезок ВМ —медиана треугольника АВС.
а) Докажите, что ВМ меньше или равно (1/2)(АВ+ВС).
б) Найдите площадь треугольника АВС, если АВ = 17, ВС = 9, ВМ = 5.
Задание №19 Т/Р №111 А. Ларина
Смотрите также №15, №16, №17, №18, №20.
Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 часа раньше. Определите число землекопов в каждой бригаде, если известно, что производительность у землекопов одинакова.
Пусть I бригада вырыла котлован за часов, тогда вторая бригада вырыла котлован за часов.
Производительность рабочих I-ой бригады –
рабочих II-oй бригады –
Тогда производительность одного рабочего с одной стороны и с другой стороны.
Решение задач с целочисленными неизвестными по математике
Задачи с целочисленными неизвестными отличаются тем, что в ответе должны получиться целые числа. Либо это оговаривается в условии, либо соответствует смыслу задачи. При этом задача может не иметь общего однозначного решения и только то, что ответ должен быть целочисленным, помогает найти окончательное решение. Чаще всего при решении таких задач используется свойство делимости, т.е. если при делении одного выражения на другое должно получиться целое число, то приходится подбирать такие значения неизвестных, которые обеспечивают деление без остатка.
Задача №20
Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55.
Решение:
По условию где и — искомые числа,
Число 55 может быть представлено в виде двух сомножителей: либо как , либо как , других возможностей нет. Т.к. — натуральное число и — натуральное, то рассматриваются два случая:
Задача №21
В автогонках принимают участие команды, имеющие одинаковое число автомобилей марки и , причем в каждой команде число всех автомобилей меньше 7. Если в каждой команде число автомобилей марки оставить без изменения, а число автомобилей марки увеличить в 3 раза, то общее число автомобилей марки , участвующих в гонках, будет на 50 больше общего числа автомобилей марки, а число автомобилей в каждой команде превысит 12. Определить число команд, участвующих в гонках, и число автомобилей марки и в каждой команде.
Решение:
Обозначим число команд , а число автомобилей марки и в каждой команде — и соответственно. Условия задачи приводим к соотношениям:
Займемся сначала неравенствами.
Из 1-го неравенства и условия задачи получаем и 3-е неравенство запишем в виде:
С учетом предыдущих неравенств получаем из последнего неравенства Следовательно, или .
Рассмотрим возможные случаи:
Итак, единственно возможный 2-й случай.
Ответ: число команд 5, в командах 2 автомобиля марки и 4 автомобиля марки .
Последний пример иллюстрирует не только решение задачи с целыми числами, но использование неравенств в условии и решении задачи.
Задача №22
Было куплено несколько одинаковых тетрадей и одинаковых книг, причем книг куплено на 4 больше, чем тетрадей. За все тетради заплачено 7 руб. 20 коп., за все книги 66 рублей. Если бы тетрадь стоила столько, сколько стоит книга, а книга — столько, сколько стоит тетрадь, то было бы истрачено меньше, чем 44 руб. 40 коп. Сколько куплено тетрадей?
Решение:
Пусть куплено книг и тетрадей; книга стоит руб., тетрадь — руб. Тогда, исходя из условий, можно написать:
Подставим 3 первых равенства в неравенство:
Задача №115
Некто купил 30 птиц за 30 монет. Из числа этих птиц за 3-х воробьев заплачена 1 монета, за 2-х горлиц — 1 монета, а за каждого голубя — 2 монеты. Сколько было куплено птиц каждой породы?
Решение:
Пусть куплено воробьев, горлиц, голубей. Из условия 1 воробей стоит монеты, 1 горлица — монеты, 1 голубь — 2 монеты. Поэтому имеем 2 уравнения:
Т.к. — целое число, то должно делиться на , и, значит, либо , либо
Задача №116
Вася и Петя поделили между собой 39 орехов. Число орехов, доставшихся любому из них, меньше удвоенного числа орехов, доставшихся другому. Квадрат трети числа орехов, доставшихся Пете, меньше увеличенного на 1 числа орехов, доставшихся Васе. Сколько орехов у каждого?
Решение:
Если у Васи орехов, а у Пети орехов, то имеем систему:
Отсюда, т. к. и — целое число, то и Ответ: у Васи 25 орехов, у Пети 14 орехов.
Задача №117
Около дома посажены липы и березы, причем их общее количество более 14. Если увеличить вдвое количество лип, а количество берез увеличить на 18, то берез станет больше, чем лип. Если увеличить вдвое количество берез, не изменяя количества лип, то лип все равно будет больше, чем берез. Сколько лип и сколько берез было посажено?
Решение:
Если — количество лип, а — берез, то, исходя из условий, получаем:
Задача №118
Группа студентов, состоящая из 30 человек, получила на экзамене оценки 2, 3, 4 и 5. Сумма полученных оценок равна 93, причем «троек» было больше, чем «пятерок», и меньше, чем «четверок». Кроме того, число «четверок» делится на 10, а число «пятерок» — четное. Определить, сколько каких оценок получила группа.
Решение:
Пусть и — числа «двоек», «троек», «четверок» и «пятерок» соответственно.
Из условий имеем:
Задача №119
Четыре школьника сделали в магазине канцтоваров следующие покупки: 1-й купил пенал и ластик за 40 руб., 2-й купил ластик и карандаш за 12 руб., 3-й купил пенал, карандаш и 2 тетради за 50 руб., 4-й купил пенал и тетрадь. Сколько заплатил 4-й школьник?
Решение:
Обозначим стоимость товаров:
Задача №120
Рота солдат прибыла на парад в полном составе прямоугольным строем по 24 человека в ряд. По прибытии оказалось, что не все солдаты могут участвовать в параде. Оставшийся для парада состав роты перестроили так, что число рядов стало на 2 меньше прежнего, а число солдат в каждом ряду стало на 26 больше числа новых рядов. Известно, что если бы все солдаты участвовали в параде, то роту можно было бы выстроить так, чтобы число солдат в каждом ряду равнялось числу рядов. Сколько солдат было в роте?
Решение:
Допустим, в строю солдат было рядов, тогда солдат было человек. На параде число рядов стало а солдат в ряду Известно, что
но т. е. может равняться одному из чисел: но должно быть полным квадратом. Проверяя, получим, что только Поэтому .Ответ: в роте было 144 человека.
Задача №121
На заводе было несколько одинаковых прессов, штампующих детали, и завод выпускал 6480 деталей в день. После реконструкции все прессы заменили на более производительные, но также одинаковые, а их количество увеличилось на 3. Завод стал выпускать в день 11200 деталей. Сколько прессов было первоначально?
Решение:
Пусть было прессов и стало ; и дет./дн. — старая и новая производительности прессов; . Тогда можно записать:
Если 6480 делится на , то 11 200 делится на .
Разложим числа 6480 и 11 200 на множители:
Будем подбирать возможные делители для 6480 и 11 200.
Задача №122
Производительность 1-го автомобильного завода не превышает 950 машин в сутки. Производительность 2-го автомобильного завода первоначально составляла 95% от производительности 1-го. После ввода дополнительной линии 2-й завод увеличил производство машин в сутки на 23% от числа машин, выпускаемых в сутки на 1-м заводе, и стал их выпускать более 1000 штук в сутки. Сколько автомобилей за сутки выпускал каждый завод до реконструкции 2-го завода? Предполагается, что каждый завод в сутки выпускает целое количество машин.
Решение:
Пусть — производительность 1-го завода и маш./сут. — производительность 2-го завода до реконструкции. Тогда
и должны быть целыми числами; должно делиться на ; должно делиться на . Если делится на , то оно делится и на . Поэтому и Ответ: 900 машин в сутки и 855 машин в сутки.
Задача №123
Трое мальчиков хотели вместе купить две одинаковые игрушки. Сложив все имеющиеся у них деньги, дети не могли купить даже одну игрушку. Если бы у 1-го мальчика было вдвое больше денег, то им на покупку 2-х игрушек не хватило бы 34 руб. Когда 3-му мальчику добавили денег в размере в 2 раза большем, чем у него было, то после покупки игрушек у детей оставалось 6 руб. Сколько стоили игрушки, если первоначально у 2-го мальчика было на 9 руб. больше, чем у 1-го?
Решение:
Пусть у мальчиков было и руб., а одна игрушка стоила руб. Тогда условия дают нам систему:
Задача №124
Строительная бригада состоит из 32 человек, каждый из которых владеет одной или двумя строительными профессиями: каменщик, бетонщик, плотник. Людей, владеющих профессией плотника, в бригаде в 2 раза больше, чем людей, владеющих профессией бетонщика, и в раз меньше, чем людей, владеющих профессией каменщика, причем ( — целое число). Сколько человек в бригаде владеет только одной профессией, если число людей, владеющих двумя профессиями, на 2 больше, чем число людей, владеющих профессией плотника?
Решение:
Обозначим: — количество плотников; — количество бетонщиков; — количество каменщиков; — число людей, владеющих 2-мя профессиями; — число людей, владеющих одной профессией. Из условий:
Изобразим множества плотников, бетонщиков и каменщиков в виде пересекающихся кругов, где общие части кругов — это люди, владеющие какими-то 2-мя профессиями.
Т. к. — целое число, 68 должно делиться на нечетное число , где Нетрудно догадаться, что
Задача №125
Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану, причем 2-я бригада работала на полчаса больше 1-й. Если бы в 1-й бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 часа раньше. Определить число землекопов в каждой бригаде, если производительность у них одинакова.
Решение:
Пусть в 1-й бригаде, а во 2-й — человек; 1-я бригада работала , тогда 2-я брагада работала часов. Условия задачи приводят к системе:
Т. к. — целое число, должно быть целым, четным и .
— также целое число.
Задача №126
Три комбайна разной производительности убрали урожай с участка за 1 ч 12 мин. За сколько часов убрал бы урожай каждый из них в отдельности, если известно, что это это число часов целое (для каждого комбайна)?
Решение:
Пусть площадь участка га, , , — производительности комбайнов, где — части участка, убираемые за 1 час. Тогда
Если бы комбайны работали отдельно, то 1-й комбайн убрал бы урожай за , 2-й комбайн — за , 3-й — за ч., где — целые числа. Значит, и — дроби, у которых в числителе 1.
Допустим, , тогда
Допустим тогда
Ответ: 2 часа, 4 часа и 12 часов.
Задача №127
Найти все натуральные трехзначные числа, каждое из которых обладает следующими двумя свойствами:1) первая цифра числа в 3 раза меньше последней его цифры;2) сумма самого числа с числом, получающимся из него перестановкой второй и третьей его цифр, делится на 8 без остатка.
Решение:
Имеем число , т. е. По условию
Этот материал взят со страницы решения задач по математике:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Образовательный сайт для студентов и школьников
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Задачи на совместную работу
При решении текстовых задач на совместную работу основными компонентами являются: а) работа; б) время; в) производительность труда (работа, выполненная в единицу времени). Обычно при решении задач этого типа всю работу, которую необходимо выполнить, принимают за 1. Далее находят производительность труда каждого рабочего в отдельности, т.е. 1/t, где t - время, за которое указанный рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно.
При таком подходе к решению задач на совместную работу у учеников начинаются сложности, связанные с непониманием смысла обозначения всей работы единицей, так как в реальной жизненной ситуации любая работа имеет некоторый объем, выраженный конкретным числом, обычно отличным от единицы. Условное принятие всей работы за 1 не способствует глубокому пониманию практического смысла задачи. Сомнение у детей вызывает и тот факт, что при этом производительность труда оказывается в их представлении дробным числом, меньшим единицы, потому что, как правило, время больше 1.
Чтобы избежать таких проблем при решении задач такого рода, можно предложить обозначить всю работу какой-либо постоянной А, отличной от 1. Тогда производительность будет равна А/t. Этот путь немного длиннее, но ребятам он более понятен, потому что выражает реальный смысл задачи. А в конце задачи введенная вспомогательная величина для работы уничтожится.
Покажем это на примере одной задачи, приведенной в книге В.С.Крамора "Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа".
Задача 1. Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать заданный участок шоссейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала только одна бригада, а заканчивала ремонт участка дороги вторая, производительность которой более высокая, чем у первой бригады. В результате ремонт заданного участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бригада в свое рабочее время выполнила 2/3 всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно?
Решение. 1. Пусть вся работа может быть выполнена первой бригадой за х дней, а второй - за y дней.
2. Принимая работу за 1, ученики столкнутся со смысловой некорректностью, которая заключается в следующем: производительность труда первой бригады будет равна 1/х, а второй - 1/y. Возникает вопрос: в каких единицах измерить производительность? В дорогах на день? Очевидно нарушение физического смысла задачи.
3. Поэтому целесообразно обозначить всю работу (длину участка дороги) некоторой величиной А, измеряемой в километрах. Тогда производительность труда первой бригады равна А/х км/день, второй бригады - A/y км/день.
4. Составляем уравнение А/х. 18 + А/y. 18 = А. В дальнейшем введенная величина А, как видно, сокращается, но она несет при решении задачи важную смысловую нагрузку.
Окончательное решение задачи достаточно несложное, и приводить его нет необходимости.
Иногда такой же подход, то есть принятие чего-либо за единицу, используется для обозначения производительности труда.
Рассмотрим более подробно решение задачи, предложенной в учебном пособии для 10-го класса И.Ф.Шарыгина "Факультативный курс по математике: Решение задач".
Задача 2. Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 часа раньше. Определить число землекопов в каждой бригаде, если производительность у всех одинакова.
В указанном пособии предложено следующее решение задачи: неизвестные: х - количество землекопов первой бригады, y - второй бригады, t - время работы первой бригады. В этой задаче за 1 принимается производительность труда каждого землекопа.
Из условия задачи следует:
Выражая t через x и y из одного уравнения и подставляя в другое, получим после упрощений:
4x2 - 4xy + 20x - 25y = 0.
При этом x и y - натуральные числа. Выразим y через x:
y = 4x2 + 20x/4x + 25 = x - 5/4 + 125/4(4x+25). Умножив последнее равенство на 4, получим: 4y = 4x - 5+ 125/(4x+25). Из того, что x и y - натуральные числа, следует, что 4x + 25 является делителем 125. Значит, 4x+25=125. Отсюда следует, что x=25, y=24.
Нужно заметить, что данная задача является нестандартной, и поэтому предложенный способ решения достаточно сложный для понимания всех школьников. Составленные уравнения, в которых количество землекопов умножается с временем, вызывают некоторое недоумение у детей, и учителю необходимо приложить большое усилие, чтобы объяснить им целесообразность таких действий.
Предложим другой способ решения этой задачи.
1. Пусть объем всей работы (объем котлована) равен А куб.м.
2. Количество землекопов в первой бригаде - x человек, во второй бригаде - y человек.
3. Производительность труда одного землекопа равна B.
4. Первая бригада за час выполнит Bx часть всей работы, а вторая бригада - By.
5. Первая бригада потратит на всю работу A/Bx часов, вторая бригада - A/By часов.
По условию A/By - A/Bx = 1/2. (1)
6. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она на всю работу потратила бы A/B(x+5) часов. Получаем еще одно уравнение A/Bx - A/B(x+5) = 2. (2) Умножив обе части уравнения (1) на 4, приравняем левые части уравнений (1) и (2). Получим равенство 4A/By - 4A/Bx = A/Bx - A/B(x+5). Вспомогательные переменные A и B в этом уравнении сокращаются, и получим уравнение 4/y = 5/x - 1/x + 5, которое решим способом выделения целой части дроби и учитывая, что x и y натуральные числа.
4/y = 5x + 25 - x/x(x + 5), 4/y = 4x + 25/x2 + 5x, y/4=x2 + 5x/4x + 25, y = 4(x2 + 5x)/4x + 25, y=4x2 + 25x-5x/4x + 25, y=x - 5x/4x + 25. Отсюда следует, что x =25, y =24.
При таком способе решения ученикам легко следить за ходом рассуждений, за составлением уравнений. Понятен им и физический смысл задачи, а это является важным моментом обучения детей решению задач, потому что если учащийся не поймет реальный смысл задачи, связь ее с практикой, то ему будет трудно понять и решение.
Ну я думала, так решить!
Пусть производительность первого 3х ( количество работы за 1 час), а второго - 5х.
Вместе за 1 час 3х+5х=8х, а за 3 часа 8х*3 = 24х - это вся работа. Половина работы - это 12х.
Первый на половину работы затратит 12х /(3x) = 4часа, а второй — 12х/(5х) = 2,4 часа.
Всего будет затрачено времени 4+2,4 = 6,4 часа.
Добавлено: 15 фев 2015, 23:19 Как думаете правильно? Добавлено: 16 фев 2015, 04:30 Екатерина_1998 писал(а): У кого-нибудь есть! Если, есть можете прислать, пожалуйста!?Нужна задачка, повышенной сложности и чтобы была с изюминкой, на работу по алгебре 10-11 класс. Ребекка писал(а): Тут и вишня и черешня, но за забором.
Два маляра , работая вместе, могут покрасить забор за 3 часа. Производительность труда первого и второго маляра относятся как 3:5.
Маляры договорились работать поочерёдно.
За сколько часов они покрасят забор, если второй маляр сменит первого после того, как тот покрасит половину всего забора? Екатерина_1998 писал(а):
Ну я думала, так решить!
Пусть производительность первого 3х ( количество работы за 1 час), а второго - 5х.
Вместе за 1 час 3х+5х=8х, а за 3 часа 8х*3 = 24х - это вся работа. Половина работы - это 12х.
Первый на половину работы затратит 12х /(3x) = 4часа, а второй — 12х/(5х) = 2,4 часа.
Всего будет затрачено времени 4+2,4 = 6,4 часа.
Екатерина_1998 писал(а): Как думаете правильно?Две задачи на работу по обжариванию гриль-цыплят:
1-ый вариант. Время обжаривания гриль-цыплят сократилось на 30%.
Из-за меньшего обжаривания каждый готовый гриль-цыпленок стал на 12%
тяжелее. Рабочий день торговой точки сократился с 8 часов до 7. На сколько
процентов изменилась дневная выручка ?
2-ой вариант. Время обжаривания гриль-цыплят сократилось на 30%.
Из-за меньшего обжаривания каждый готовый гриль-цыпленок стал на 12%
тяжелее. Цена за один килограмм гриля не изменилась. На какое время в часах
можно изменить десятичасовой рабочий день чтобы дневная выручка не
изменилась ?
_________________
Никуда не тороплюсь! Добавлено: 16 фев 2015, 04:49
Про землекопов и сотрудников фирмы:
1. В мае фирма выполнила однотипных заказов на 57.5% больше,
чем в апреле, за счет привлечения 5 дополнительных сотрудников и
увеличения производительности каждого сотрудника более чем в 1.4 раза
(по сравнению с одинаковой производительностью сотрудников в апреле).
Если бы к выполнению новых заказов было привлечено еще 2 новых
сотрудника, то для осуществления всех работ в мае оказалось бы достаточным
увеличение производительности каждого сотрудника менее чем на 35%.
Сколько сотрудников фирмы было занято выполнением заказов в апреле?
2. В феврале бригада землекопов вынула грунта на 80% больше,
чем в январе, за счет привлечения 5 дополнительных землекопов и
увеличения производительности каждого землекопа более чем в 1.68 раза
(по сравнению с одинаковой производительностью землекопов в январе).
Если бы к работе было привлечено еще 4 новых землекопа, то для
осуществления всех работ в феврале оказалось бы достаточным увеличение
производительности каждого землекопа менее чем на 60%. Сколько
землекопов работало в январе?
_________________
Никуда не тороплюсь! Добавлено: 16 фев 2015, 04:54
Про землекопов и колхозников:
1. Пятьдесят два землекопа, работающие с одинаковой производительностью,
были разбиты на две бригады, каждая из которых вырыла по одинаковому котловану.
Обе бригады работали с перерывами на отдых. Первая бригада, закончив работу на
1 час позже второй, отдыхала не менее полутора часов. Вторая бригада отдыхала не
более 1 часа 20-ти минут. Если бы обе бригады работали без перерывов, то первая
могла бы вырыть котлован в 1,5 раза больше, а вторая – в 1,4 раза больше. Определить
число землекопов в каждой бригаде.
2. Сорок девять колхозников, работающие с одинаковой производительностью,
были разбиты на две бригады, каждая из которых собрала одинаковое количество
картофеля. Первая бригада закончила работу на 1 час позже второй. Обе бригады
работали с перерывами на отдых, причем вторая бригада отдыхала не менее 8/9 часа
и не более 8/6 часа. Если бы обе бригады работали без перерывов, то первая бригада
могла бы собрать картофеля в 7/4 раза больше, а вторая – в 5/3 раза больше. Сколько
колхозников в каждой бригаде?
Задачи на совместную работу
1) Двое рабочих, работая вместе, выполняют некоторую работу за 6 часов. Один из них, работая самостоятельно, может выполнить эту работу за 15 часов. За сколько часов может выполнить эту работу другой рабочий?
В отличие от всех других типов задач, задачи на совместную работу начинаются с того, что всю работу (все задание, весь бассейн, все поле - то, о чем идет речь в задаче) принимаем за единицу. То есть объем работы в этом случае равен единице. Чтобы найти объем работы, надо производительность труда умножить на время работы. Соответственно, чтобы найти производительность труда (часть работы, выполненную за определенную единицу времени), надо объем работы разделить на время работы:
Решение задач на совместную работу упрощается, если условие оформить в виде таблицы.
Перейдем с решению нашей задачи.
Примем всю работу за 1.
Чтобы найти производительность труда второго рабочего, из производительности труда совместной работы вычтем производительность труда первого рабочего:
Такую часть работы в 1 час выполняет второй рабочий.
Зная производительность труда второго рабочего и объем работы, можем найти время, за которое он может выполнить работу самостоятельно. Чтобы найти время работы, надо объем работы разделить на производительность труда:
Значит, второй рабочий, работая отдельно, может выполнить работу за 10 часов.
Ответ: за 10 часов.
2) Через одну трубу бассейн наполняется за 7 часов, а через другую опустошается за 8 часов. За какое время бассейн будет наполнен, если открыть обе трубы?
Примем весь бассейн за 1.
Сначала найдем производительность труда совместной работы обеих труб за один час. Поскольку одна труба бассейн наполняет, а другая - опустошает, производительность совместной работы равна разности производительности первой и второй труб:
Теперь найдем время, за которое бассейн будет наполнен при открытии обеих труб одновременно. Чтобы найти время работы, надо объем работы разделить на производительность труда:
Таким образом, за 56 часов совместной работы обеих труб бассейн будет наполнен.
Ответ: за 56 часов.
Задания для самостоятельной работы
Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать заданный участок шоссейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала только одна бригада, а заканчивала ремонт участка дороги вторая, производительность которой более высокая, чем у первой бригады. В результате ремонт заданного участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бригада в свое рабочее время выполнила 2/3 всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно?
Решение. 1. Пусть вся работа может быть выполнена первой бригадой за х дней, а второй - за y дней.
2. Принимая работу за 1, ученики столкнутся со смысловой некорректностью, которая заключается в следующем: производительность труда первой бригады будет равна 1/х, а второй - 1/y. Возникает вопрос: в каких единицах измерить производительность? В дорогах на день? Очевидно нарушение физического смысла задачи.
3. Поэтому целесообразно обозначить всю работу (длину участка дороги) некоторой величиной А, измеряемой в километрах. Тогда производительность труда первой бригады равна А/х км/день, второй бригады - A/y км/день.
4. Составляем уравнение А/х. 18 + А/y. 18 = А. В дальнейшем введенная величина А, как видно, сокращается, но она несет при решении задачи важную смысловую нагрузку.
Окончательное решение задачи достаточно несложное, и приводить его нет необходимости.
Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 часа раньше. Определить число землекопов в каждой бригаде, если производительность у всех одинакова.
В указанном пособии предложено следующее решение задачи: неизвестные: х - количество землекопов первой бригады, y - второй бригады, t - время работы первой бригады. В этой задаче за 1 принимается производительность труда каждого землекопа.
Из условия задачи следует:
Выражая t через x и y из одного уравнения и подставляя в другое, получим после упрощений:
4x2 - 4xy + 20x - 25y = 0.
При этом x и y - натуральные числа. Выразим y через x:
y = 4x2 + 20x/4x + 25 = x - 5/4 + 125/4(4x+25).
Умножив последнее равенство на 4, получим: 4y = 4x - 5+ 125/(4x+25).
Из того, что x и y - натуральные числа, следует, что 4x + 25 является делителем 125. Значит, 4x+25=125. Отсюда следует, что x=25, y=24.
Читайте также: