Коммутатор векторных полей это векторное поле
В математической области дифференциальной топологии , то скобка Ли векторных полей , также известный как кронштейн Якоби-Ли или коммутатор векторных полей , является оператором , который присваивает к любым двум векторных полей X и Y на гладком многообразии M треть векторное поле обозначается [ X , Y ] .
Концептуально скобка Ли [ X , Y ] является производной Y вдоль потока, порожденного X , и иногда обозначается («производная Ли Y вдоль X»). Это обобщает к производной Ли любого тензорного поля вдоль потока , генерируемого X . L Икс Y > _ Y>
Скобка Ли является R - билинейная операция и превращает множество всех гладких векторных полей на многообразии М в (бесконечномерным) алгебры Ли .
Скобка Ли играет важную роль в дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии , например, в теореме Фробениуса об интегрируемости , а также является фундаментальной в геометрической теории нелинейных систем управления .
СОДЕРЖАНИЕ
Определения
Существует три концептуально различных, но эквивалентных подхода к определению скобки Ли:
Векторные поля как производные
Каждое гладкое векторное поле на многообразии M можно рассматривать как дифференциальный оператор, действующий на гладкие функции (где и класса ), когда мы определяем как другую функцию, значение которой в точке является производной f по направлению в точке p в направлении X ( р ). Таким образом, каждое гладкое векторное поле X становится производным на C ∞ ( M ). Кроме того, любой вывод на C ∞ ( M ) возникает из уникального гладкого векторного поля X . Икс : M → Т M ж ( п ) п ∈ M ж C ∞ ( M ) (М)> Икс ( ж ) п
В общем, коммутатор любых двух выводов и снова является выводом, где обозначает композицию операторов. Это можно использовать для определения скобки Ли как векторного поля, соответствующего коммутаторному выводу: δ 1 ∘ δ 2 - δ 2 ∘ δ 1 \ circ \ delta _ - \ delta _ \ circ \ delta _ > δ 1 > δ 2 <\ displaystyle \ delta _ > ∘
Потоки и лимиты
Пусть будет поток, связанный с векторным полем X , и пусть D обозначает оператор производной касательной карты . Тогда скобку Ли X и Y в точке x ∈ M можно определить как производную Ли : Φ т Икс ^ >
Это также измеряет неспособность потока в последовательных направлениях вернуться в точку x : Икс , Y , - Икс , - Y
В координатах
Хотя приведенные выше определения скобки Ли являются внутренними (не зависящими от выбора координат на многообразии M ), на практике часто требуется вычислить скобку в терминах конкретной системы координат . Мы пишем для ассоциированного локального базиса касательного расслоения, так что общие векторные поля могут быть записаны и для гладких функций . Тогда скобка Ли может быть вычислена как: < Икс я > \>> ∂ я знак равно ∂ ∂ Икс я = >>> Икс знак равно ∑ я знак равно 1 п Икс я ∂ я ^ X ^ \ partial _ > Y знак равно ∑ я знак равно 1 п Y я ∂ я ^ Y ^ \ partial _ > Икс я , Y я : M → р , Y ^ : M \ to \ mathbb >
Если M (открытое подмножество) R n , то векторные поля X и Y могут быть записаны как гладкие отображения формы и , а скобка Ли задается следующим образом: Икс : M → р п ^ > Y : M → р п ^ > [ Икс , Y ] : M → р п ^ >
[ Икс , Y ] знак равно J Y Икс - J Икс Y X-J_ Y>
где и - матрицы Якоби размера n × n ( и, соответственно, с использованием индексной записи), умножающие векторы-столбцы X и Y размером n × 1 . J Y > J Икс > ∂ j Y я Y ^ > ∂ j Икс я X ^ >
Характеристики
Скобка Ли векторных полей снабжает вещественное векторное пространство всех векторных полей на M (т. Е. Гладкие сечения касательного расслоения ) структурой алгебры Ли , что означает, что [•, •] является отображением с: V знак равно Γ ( Т M ) Т M → M V × V → V
- R - билинейность
- Антисимметрия, [ Икс , Y ] знак равно - [ Y , Икс ]
- Личность Якоби , [ Икс , [ Y , Z ] ] + [ Z , [ Икс , Y ] ] + [ Y , [ Z , Икс ] ] знак равно 0.
Непосредственным следствием второго свойства является то, что для любого . [ Икс , Икс ] знак равно 0 Икс
Кроме того, для скобок Ли существует « правило произведения ». Для гладкой (скалярная) функции F на М и векторное поле Y на М , мы получим новое векторное поле FY пути умножения вектора Y X скалярный F ( х ) в каждой точке х Е М . Потом:
-
[ Икс , ж Y ] знак равно Икс ( ж ) Y + ж [ Икс , Y ] ,
где мы умножаем скалярную функцию X ( f ) на векторное поле Y , а скалярную функцию f на векторное поле [ X , Y ] . Это превращает векторные поля со скобкой Ли в алгеброид Ли .
Обнуление скобки Ли X и Y означает, что следование потокам в этих направлениях определяет поверхность, вложенную в M , с X и Y в качестве координатных векторных полей:
Теорема: тогда и только тогда, когда потоки X и Y коммутируют локально, то есть для всех x ∈ M и достаточно малых s , t . [ Икс , Y ] знак равно 0 ( Φ т Y Φ s Икс ) ( Икс ) знак равно ( Φ s Икс Φ т Y ) ( Икс ) ^ \ Phi _ ^ ) (x) = (\ Phi _ ^ \, \ Phi _ ^ < Y>) (x)>
Примеры
Для группы Ли G , соответствующая алгебра Ли является касательное пространство в единице , которая может быть идентифицирована с векторным пространством левых инвариантных векторных полей на G . Скобка Ли двух левоинвариантных векторных полей также левоинвариантна, что определяет операцию скобки Якоби – Ли . грамм >> Т е грамм G> [ ⋅ , ⋅ ] : грамм × грамм → грамм > \ times > \ to >>
Для матричной группы Ли, элементами которой являются матрицы , каждое касательное пространство может быть представлено в виде матриц:, где означает умножение матриц, а I - единичная матрица. Инвариантное векторное поле, соответствующее, задается формулой , и вычисление показывает, что скобка Ли на соответствует обычному коммутатору матриц: грамм ∈ грамм ⊂ M п × п ( р ) (\ mathbb )> Т грамм грамм знак равно грамм ⋅ Т я грамм ⊂ M п × п ( р ) G = g \ cdot T_ G \ subset M_ (\ mathbb )> ⋅ Икс ∈ грамм знак равно Т я грамм > = T_ G> Икс грамм знак равно грамм ⋅ Икс ∈ Т грамм грамм = g \ cdot X \ in T_ G> грамм <\ displaystyle <\ mathfrak >>
[ Икс , Y ] знак равно Икс ⋅ Y - Y ⋅ Икс .
Приложения
Скобка Якоби – Ли необходима для доказательства локальной управляемости за малое время (STLC) для бездрейфующих аффинных систем управления .
Обобщения
Как упоминалось выше, производную Ли можно рассматривать как обобщение скобки Ли. Другим обобщением скобки Ли (на векторнозначные дифференциальные формы ) является скобка Фрелихера – Нийенхейса .
Читайте также: