Коммутатор это в математике

Обновлено: 08.01.2025

Опр. Коммутатором двух операторов и называется оператор .

Произведение операторов и ,вообще говоря, не коммутативно, т.е. .

Опр. Операторы, для которых выполняется условие называются коммутирующими.

Пример 1. Вычислим . Для этого рассмотрим действие коммутатора на произвольную функцию Y. , т.е. =0, эти операторы коммутируют между собой.

Пример 2. Вычислим .

,т.е. , операторы не коммутируют между собой.

Пусть некоторое состояние квантовой системы описывается волновой функцией Y. Произведем в этом квантовом состояние измерение двух физических величин А и В. Этим величинам соответствуют операторы . Физические величины могут быль одновременно измерены, если функция Y является собственной функцией обоих операторов, т. е. выполняются условия:

Подействуем на обе части равенства (1) оператором , а на (2) – оператором :

Из (3) и (4) следует, что . Т.е. если две физические величины одновременно измеримы, то их операторы коммутируют. Верно и обратное утверждение: если два оператора коммутируют, то физические величины А и В одновременно измеримы. Как видно из примеров 1 и 2, координата у и компонента импульса р_х могут быть одновременно точно измеримы, а координата х и компонента импульса р_х одновременно точно не могут быть измерены.

Свойство коммутативности не является транзитивным. Если коммутирует с и , то это не значит, что и коммутируют между собой.

В квантовой механике используется понятие полного набора физических величин, которые для данной системы могут иметь одновременно определенные значения. Например, для свободно движущейся частицы – это импульс и энергия. Очевидно, что полный набор не может включать в себя импульсы и координаты частиц, так как они одновременно не имеют определенного значения. Для задания состояния квантовой системы достаточно задать только координаты частицы или только импульсы, или вообще любую совокупность величин, которые одновременно измеряются. Число таких величин должно быть равно числу степеней свободы системы.

Задание полного набора однозначно определяет волновую функцию системы. Полные наборы для разных состояний различны. В частном случае полный набор может состоять только из одной переменной. В таком состоянии все переменные, кроме одной, образующей полный набор, будут неопределенными. В качестве полного набора, однозначно определяющего волновую функцию системы, используют также квантовые числа, которые сохраняются в процессе движения. Например, состояние электрона в атоме определяется четырьмя квантовыми числами, соответствующим четырем степеням свободы электрона. Эти 4 степени свободы связаны с тремя пространственными координатами и спином. Для водородоподобных атомов 4 квантовых числа, образующих полный набор: n – главное квантовое число, l – орбитальное квантовое число, m – магнитное квантовое число, s_z – спиновое.

13. Уравнение Шрёдингера. Принцип причинности. Стационарные состояния.

Уравнение Шрёдингера связано с гипотезой де Бройля. Согласно гипотезе де Бройля свободной частице с энергией Е и импульсом р, движущейся вдоль оси х, соответствует плоская волна

Продифференцируем (1) по времени:

Продифференцируем (1) дважды по координате х:и учтем, что свободная частица обладает энергией , тогда с учетом (2):

В общем случае свободного движения частицы в пространстве:

, уравнение (3) будет иметь вид:

где . Далее Шрёдингер предположил, что если частица движется в потенциальном поле , то уравнение (4) должно быть видоизменено следующим образом:

Уравнение (5) можно назвать уравнением движения квантовой частицы, оно является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. В квантовой механике уравнение Шрёдингера играет такую же роль, что и уравнение Ньютона в классической механике. Задать закон движения частицы в квантовой механике это значит определить значение волновой функции Y в любой момент времени t.

Для нахождения единственного значения функции Y кроме уравнения (5) необходимо определить начальные условия. Начальные условия определяют значение волновой функции при t =0. Кроме этого, волновая функция должна удовлетворять условию нормировки .

В квантовой механике поведение микрочастиц определяется закономерностями статистического типа и принцип причинности для микрочастиц формулируется следующим образом.

Пусть известно состояние частицы в начальный момент времени t =0, то есть известно значение функции состояния . Тогда решая уравнение Шрёдингера (5) можно однозначно определить её волновую функцию в последующие моменты времени.

Из смысла волновой функции вытекает, что можно предсказать вероятности того, что характеризующие частицу физические величины будут иметь то или иное значение в любой момент времени t >0. Сформулированный таким образом принцип причинности в квантовой механике имеет более общий характер, чем лапласовский детерминизм в классической механике.

Если отсутствуют переменные внешние поля, действующие на частицу, т.е. , то U имеет смысл потенциальной энергии и гамильтониан совпадает с оператором полной энергии. В этом случае волновую функцию можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от координат, другая – только от времени:

Подставив (6) в (5), получим , разделим это уравнение на fy:

Левая часть уравнения (7) зависит только от времени, правая – только от координат. Это возможно только в том случае, когда обе части уравнения равны одной и той же постоянной величине.

(9) называют стационарным уравнением Шрёдингера. Решение уравнения (8) имеет вид:

Тогда общее решение уравнения (5) в соответствии с представлением (6) будет иметь вид:

Отсюда следует, что плотность вероятности обнаружения частицы в различных точках пространства равна , т. е. не зависит от времени. Поэтому состояния, которые описываются функциями вида (11) называются стационарными состояниями.

В математике , то коммутатор ( Latin commutare , чтобы своп ) меры , сколько два элемента группы или ассоциативной алгебры нарушают в коммутативный закон.

Коммутаторы в группах

Коммутатор двух элементов и в группе является элементом [ грамм , ЧАС ] грамм ЧАС

[ грамм , ЧАС ] знак равно грамм - 1 ЧАС - 1 грамм ЧАС знак равно ( ЧАС грамм ) - 1 грамм ЧАС . h ^ gh = (hg) ^ gh.>

Иногда коммутатор еще называют элементом

[ грамм , ЧАС ] знак равно грамм ЧАС грамм - 1 ЧАС - 1 h ^ >

Если и только если применимо, коммутатор является нейтральным элементом группы. Порожденная всеми коммутаторами подгруппа называется коммутаторной . Коммутаторы используются, например, при определении нильпотентных и разрешимых групп . грамм ЧАС знак равно ЧАС грамм [ грамм , ЧАС ]

Коммутаторы в алгебрах

Коммутаторы также определены для колец и ассоциативных алгебр . Вот коммутатор двух элементов и определяется как [ а , б ] а б

[ а , б ] знак равно а б - б а .

Он равен 0 тогда и только тогда, когда и «коммутируют» (меняют местами), т.е. если : а б а б знак равно б а

[ а , б ] знак равно 0 ⇔ а б знак равно б а

Позвольте , и быть элементами ассоциативной алгебры и , скаляры (элементы примитива). Тогда применяется следующее: а б c λ μ

Благодаря свойствам 1, 2 и 3 любая ассоциативная алгебра с коммутатором в виде скобки Ли становится алгеброй Ли . А.

Поскольку коммутатор линейен и удовлетворяет правилу произведения, отображение в себя , сопряженное с каждым элементом, является алгеброй а

Антикоммутатор

Анти-коммутатор или два элемента и является суммой их продукции в обоих заказов: < а , б >> [ а , б ] + > а б

Он равен 0 тогда и только тогда, когда и «антикоммутат», т.е. если : а б а б знак равно - б а

Связь с коммутатором следующая:

Определяющие соотношения алгебры Клиффорда или алгебры Дирака относятся к антикоммутаторам.

Применение в физике

В квантовой механике у каждого измерительного прибора есть эрмитов оператор . Его собственные значения - это возможные измеряемые значения, его собственные векторы соответствуют тем физическим состояниям системы, которые необходимо измерить, в которых соответствующее измеренное значение присутствует с определенностью.

Если два из этих операторов коммутируют, существует полный набор общих собственных векторов, точнее два взаимно коммутирующих спектральных разложения . Физически это означает, что оба измерения могут быть выполнены вместе и могут быть созданы условия, при которых оба измерения будут иметь надежные результаты. Затем говорят о коммутирующих , совместимых или приемлемых наблюдаемых .

Дано: состояние в нотации Дирака и наблюдаемые (операторы) и . Тогда для условия одновременных собственных состояний применяется следующее: | А. ⟩ ζ η

с общими комплексными собственными значениями и . Из этого следует ζ ′ > η ′ >

Если условие выполнено, две наблюдаемые и коммутируют и имеют одновременные собственные состояния. [ ζ , η ] знак равно 0 ζ η

С каноническим квантованием физической системы, в фазовом пространстве координат места и импульс, которые характеризуют состояние классической системы , заменяется на позицию оператора и оператор импульса , для которых фундаментального канонического коммутатор соотношение применяется ( комплементарная наблюдаемым ): Икс п

где и обозначают компоненты векторных операторов. j k

Согласно принципу неопределенности Гейзенберга , математическое ожидание коммутатора двух операторов дает нижнюю оценку произведения неопределенностей соответствующих наблюдаемых.

Коммутатор указывает алгебраические свойства тех операторов, которые порождают или уничтожают бозоны в квантово-механических многочастичных состояниях . Поскольку операторы создания коммутируют друг с другом, отдельные частицы в многочастичных состояниях неразличимы в том смысле, что обмен двумя частицами приводит не к другому состоянию, а к тому же состоянию с той же фазой.

В квантовой механике антикоммутатор используется для обозначения алгебраических свойств тех операторов, которые генерируют или разрушают фермионы в многочастичных состояниях . Поскольку операторы создания антикоммутируют друг с другом , отдельные частицы в многочастичных состояниях неразличимы в том смысле, что обмен двумя частицами приводит не к другому состоянию, а к тому же состоянию с противоположной фазой .

$<\displaystyle <\hat > Коммутатором операторов >$
и >>" width="" height="" />
в алгебре, а также квантовой механике называется . В общем случае он не равен нулю. Понятие коммутатора распространяется также на произвольные ассоциативные алгебры (не обязательно операторные).

Если коммутатор двух операторов равен нулю, то они называются коммутирующими, иначе — некоммутирующими.

Содержание

Коммутатор в квантовой механике

$<\displaystyle <\hat <F> Как известно, физическое измерение в квантовой механике соответствует действию оператора >>$
физической величины " width="" height="" />
на вектор состояния системы. Так называемые чистые состояния, в которых физическая величина имеет строго определенное значение, соответствуют , при этом значение величины в даном состоянии - это собственное число вектора чистого состояния:

$<\displaystyle <\hat <F> ><\mathcal <j>>\psi <\mathcal >=f<\mathcal <j>>\psi <\mathcal >>$

Если две квантовомеханические величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определенное значение, т.е. множества собственных векторов операторов величин совпадают. Но тогда они будут коммутировать:

$<\displaystyle <\hat <F> ><\hat <G>><\mathcal <j>>\psi <\mathcal >=g<\hat <F>><\mathcal <j>>\psi <\mathcal >=gf<\mathcal <j>>\psi <\mathcal >=<\hat <G>><\hat <F>><\mathcal <j>>\psi <\mathcal >>$

$<\displaystyle <\hat Соответственно, некоммутирующие операторы соответствуют физическим величинам, не имеющим одновременно определенного значения. Типичный пример - операторы импульса >=\imath \hbar <\partial >>>>$
и координат >=>>" width="" height="" />
(см. Законы сохранения

Собственные значения гамильтониана квантовой системы - это значения энергии в стационарных состояниях. Очевидным следствием вышеизложенного является то, что физическая величина, оператор которой коммутирует с гамильтонианом, может быть измерена одновременно с энергией системы. Однако, в квантовой механике энергия приобретает особую роль. Из уравнения Шрёдингера

$<\displaystyle \imath \hbar <\frac <\partial \psi > <\partial t>>=<\mathcal <\hat <H>>>\psi >$

и определения полной производной оператора по времени

$<\displaystyle <\dot <\hat <f> >>=<\hat <\dot <f>>>>$

можно получить выражение для полной производной по времени от физической величины, а именно:

$<\displaystyle <\dot <\hat <f> >>=[<\mathcal <\hat <H>>>,<\hat <f>>]>$

Следовательно, если оператор физической величины коммутирует с гамильтонианом, то эта величина не изменяется с течением времени. Это соотношение явлется квантовым аналогом тождества

$<\displaystyle <\dot <f> >=<\mathcal <f>>H,f<\mathcal <g>>>$

из классической механики, где - импульс определяется как величина, сохраняющаяся при всех момент импульса определяется как величина, сохраняющаяся при вращениях.

Некоторые соотношения коммутации

Укажем значения некоторых часто встречающихся коммутаторов.

>_,<\hat

>_,<\hat >_>" width="" height="" />
- оператор i-ой компоненты, соответсвенно, радиус-вектора, импульса и момента импульса, измеренного в единицах " width="" height="" />
. >" width="" height="" />
- - абсолютно антисимметричный псевдотензор 3-го ранга. >_,<\hat

>_]=-\imath \hbar \delta _>" width="" height="" />
>,f(>)]=-\imath \hbar \nabla f>" width="" height="" />
>_,<\hat >_]=\imath e_<\hat >_>" width="" height="" />
>_,<\hat

>_]=\imath e_<\hat

>_>" width="" height="" />
>_,<\hat >_]=\imath e_<\hat >_>" width="" height="" />
>^,<\hat >_]=0>" width="" height="" />

Из этих соотношений видно, что момент импульса частицы не измерим одновременно с ее координатами или импульсом. Более того, за исключением случая, когда момент равен нулю, различные его компоненты не измеримы одновременно. Этим момент импульса принципиально отличается от импульса и радиус-вектора, у которых все три компоненты могут быть одновременно определены. Для момента импульса можно измерить лишь его проекцию на некоторую ось (обычно z) и квадрат его длины.

Алгебра Ли физических величин

Коммутатор является квантовым аналогом классической механике. Операция коммутатора вводит на операторах (или элементах алгебры) структуру Литература

См. также

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Коммутатор операторов. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

Пока мы оперируем с коммутирующими наблюдаемыми, можно без ограничений пользоваться правилами обычной алгебры. Однако не все наблюдаемые заданной квантовой системы обладают свойством коммутировать друг с другом. Например, наблюдаемые квантовой системы размерности являются некоторыми функциями наблюдаемых положения и наблюдаемых импульса т. е. наблюдаемых, не коммутирующих между собой. Коммутаторы играют фундаментальную роль в теории. Они имеют

Соотношения (57) очевидны, при этом второе следует из того факта, что операции дифференцирования переставимы. Соотношение (58) есть обобщение (53), причем подразумевается

Ввиду того, что не коммутируют, определение динамической переменной требует указания порядка расположения и при явном выражении функции . На практике А обычно выражается в виде полинома от или бесконечного ряда по степеням коэффициенты которого суть функции Каждый член имеет вид произведения компонент и функций от расположенных в определенном порядке. Функция А, рассматриваемая как оператор, вполне определена только тогда, когда точно указан порядок операторов в каждом члене разложения. Важно установить, какой вид имеют коммутаторы и с заданной операторной функцией . Если мы имеем дело с функциями только от или только от то нетрудно получить соотношения:

Соотношения (59) и (60) являются частными случаями общего правила, установленного в конце § 14. Чтобы доказать равенство (61), необходимо выписать оператор в явном виде и проверить действие левой и правой частей равенства на некоторую волновую функцию (см. уравнение (II. 9)). Уравнение (62) допускает ту же проверку, но в пространстве импульсов; напомним, что если есть волновая функция в пространстве импульсов, соответствующая то функция в пространстве импульсов, соответствующая имеет вид

Тот же результат можно получить, воспользовавшись правилами алгебры коммутаторов. Приведем здесь четыре основных

правила. Они следуют из определения коммутаторов, и читатель без труда может проверить их непосредственным вычислением. Пусть А, В, С—некоторые линейные операторы. Тогда имеем:

Повторным применением правила (65) получим также

В частности, для системы в одном измерении имеем

Соотношение (62) доказано, таким образом, если представляет собой одночлен от но согласно формуле (64) оно доказано и для случая, когда выражается полиномом или, в общем случае, сходящимся рядом по степеням

Для произвольных функций от можно написать

где правые части получаются формальным дифференцированием функции А, причем подразумевается, что порядок операторов и при явном выражении функции А выбран правильно.

Проиллюстрируем это на примере квантовой системы в одном измерении. Пусть есть некоторая функция Коммутаторы и каждой из функций могут быть получены дифференцированием по этих функций, однако это будут различные операторы. Действительно, повторным применением правила (62) находим:

Читайте также: