Как вычислить коммутатор двух операторов

Обновлено: 09.01.2025

$<\displaystyle <\hat > Коммутатором операторов >$
и >>" width="" height="" />
в алгебре, а также квантовой механике называется . В общем случае он не равен нулю. Понятие коммутатора распространяется также на произвольные ассоциативные алгебры (не обязательно операторные).

Если коммутатор двух операторов равен нулю, то они называются коммутирующими, иначе — некоммутирующими.

Содержание

Коммутатор в квантовой механике

$<\displaystyle <\hat <F> Как известно, физическое измерение в квантовой механике соответствует действию оператора >>$
физической величины " width="" height="" />
на вектор состояния системы. Так называемые чистые состояния, в которых физическая величина имеет строго определенное значение, соответствуют , при этом значение величины в даном состоянии - это собственное число вектора чистого состояния:

$<\displaystyle <\hat <F> ><\mathcal <j>>\psi <\mathcal >=f<\mathcal <j>>\psi <\mathcal >>$

Если две квантовомеханические величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определенное значение, т.е. множества собственных векторов операторов величин совпадают. Но тогда они будут коммутировать:

$<\displaystyle <\hat <F> ><\hat <G>><\mathcal <j>>\psi <\mathcal >=g<\hat <F>><\mathcal <j>>\psi <\mathcal >=gf<\mathcal <j>>\psi <\mathcal >=<\hat <G>><\hat <F>><\mathcal <j>>\psi <\mathcal >>$

$<\displaystyle <\hat Соответственно, некоммутирующие операторы соответствуют физическим величинам, не имеющим одновременно определенного значения. Типичный пример - операторы импульса >=\imath \hbar <\partial >>>>$
и координат >=>>" width="" height="" />
(см. Законы сохранения

Собственные значения гамильтониана квантовой системы - это значения энергии в стационарных состояниях. Очевидным следствием вышеизложенного является то, что физическая величина, оператор которой коммутирует с гамильтонианом, может быть измерена одновременно с энергией системы. Однако, в квантовой механике энергия приобретает особую роль. Из уравнения Шрёдингера

$<\displaystyle \imath \hbar <\frac <\partial \psi > <\partial t>>=<\mathcal <\hat <H>>>\psi >$

и определения полной производной оператора по времени

$<\displaystyle <\dot <\hat <f> >>=<\hat <\dot <f>>>>$

можно получить выражение для полной производной по времени от физической величины, а именно:

$<\displaystyle <\dot <\hat <f> >>=[<\mathcal <\hat <H>>>,<\hat <f>>]>$

Следовательно, если оператор физической величины коммутирует с гамильтонианом, то эта величина не изменяется с течением времени. Это соотношение явлется квантовым аналогом тождества

$<\displaystyle <\dot <f> >=<\mathcal <f>>H,f<\mathcal <g>>>$

из классической механики, где - импульс определяется как величина, сохраняющаяся при всех момент импульса определяется как величина, сохраняющаяся при вращениях.

Некоторые соотношения коммутации

Укажем значения некоторых часто встречающихся коммутаторов.

>_,<\hat

>_,<\hat >_>" width="" height="" />
- оператор i-ой компоненты, соответсвенно, радиус-вектора, импульса и момента импульса, измеренного в единицах " width="" height="" />
. >" width="" height="" />
- - абсолютно антисимметричный псевдотензор 3-го ранга. >_,<\hat

>_]=-\imath \hbar \delta _>" width="" height="" />
>,f(>)]=-\imath \hbar \nabla f>" width="" height="" />
>_,<\hat >_]=\imath e_<\hat >_>" width="" height="" />
>_,<\hat

>_]=\imath e_<\hat

>_>" width="" height="" />
>_,<\hat >_]=\imath e_<\hat >_>" width="" height="" />
>^,<\hat >_]=0>" width="" height="" />

Из этих соотношений видно, что момент импульса частицы не измерим одновременно с ее координатами или импульсом. Более того, за исключением случая, когда момент равен нулю, различные его компоненты не измеримы одновременно. Этим момент импульса принципиально отличается от импульса и радиус-вектора, у которых все три компоненты могут быть одновременно определены. Для момента импульса можно измерить лишь его проекцию на некоторую ось (обычно z) и квадрат его длины.

Алгебра Ли физических величин

Коммутатор является квантовым аналогом классической механике. Операция коммутатора вводит на операторах (или элементах алгебры) структуру Литература

См. также

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Коммутатор операторов. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

Читайте также: