В каком квадранте находится комплексное число z a ib
Пусть задано комплексное число $ z = a+bi $, в котором действительная часть $ Re z = a $ и мнимая $ Im z = b $. Число $ i = \sqrt $ мнимая единица.
Формула
| Определение |
| Модуль комплексного числа равен корню квадратному из суммы квадратов мнимой и действительной части и находится по формуле: $$ |z| = \sqrt $$ |
Если комплексное число состоит только из действительной части $ z = a $, то его модуль равен $ |z| = |a| $.
Стоит заметить, что модуль комплексных чисел всегда неотрицательный $ |z| \ge 0 $ и равен нулю $ |z| = 0 $, только в случае $ z = 0 $.
Примеры решения
Комплексное число состоит из действительной и мнимой части:
$$ a = Re z = 3 $$ $$ b = Im z = -4 $$
Поэтому применяя основную формулу имеем:
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Решение задач от 20 рубподробное написание Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
В данном случае отсутствует действительная часть, а вернее она равна нулю:
Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике,предназначенный прежде всего для учеников старших классов с углубленнымизучением математики, интересующихся точными науками. Он также будетполезен преподавателям математики и студентам, изучающим математикув высших учебных заведениях. Значительная часть материала может быть использована для подготовки к письменным и устным вступительным экзаменам в вузы. Основу сборника составляют задачи к курсу алгебры, который в 1995-2000 годах читался в школе-интернате им. А.Н. Колмогорова.
Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра.
Изображения (картинки, формулы, графики) отсутствуют.
Решение тестов, помощь в закрытии сессии студентам МОИ, Синергии, ГТЕП, Витте, Педкампус, Росдистант
Особенности спектральных свойств периодических сигналов:
с уменьшением длительности импульсов τ при T=const амплитуды гармоник увеличиваются
спектры всегда непрерывны
с уменьшением длительности импульсов τ при T=const амплитуды гармоник уменьшаются
спектры всегда дискретны
Математическое представление сигналов, когда выходной сигнал квантован, как по времени, так и по уровню, относится к
Выберите один ответ:
Между периодом и угловой скоростью гармонического сигнала справедливо соотношение:
Выберите один ответ:
Функцией Хевисайда 1(t) называется функция x(t), отвечающая следующим условиям:
x(t) = 1(t) = 1, при t ≥ 0
x(t) = 1(t) = 0, при t < 0
x(t) = 1(t) = 1, при t < 0
x(t) = 1(t) = 0, при t ≥ 0
Каким условиям должна отвечать функция Дирака с запаздыванием:
δ(t-τ) = 0, при t = τ
δ(t-τ) = 0, при t ≠ τ
Между функциями Хевисайда и Дирака существует следующая связь:
Если функция f(t) четная, то ее изображение F(ω) является:
Выберите один ответ:
вещественной функцией, нечетной относительно круговой частоты ω
вещественной функцией, четной относительно круговой частоты ω
чисто мнимой функцией, четной относительно круговой частоты ω
чисто мнимой функцией, нечетной относительно круговой частоты ω
Если функция f(t) нечетная, то ее изображение F(ω) является:
Выберите один ответ:
чисто мнимой функцией, нечетной относительно круговой частоты ω
вещественной функцией, четной относительно круговой частоты ω
чисто мнимой функцией, четной относительно круговой частоты ω
вещественной функцией, нечетной относительно круговой частоты ω
По теореме Котельникова сигнал f(t), ограниченный шириной спектра Fc, необходимо передавать через интервал времени ∆t, равный:
Выберите один ответ:
Какое из преобразований называется прямым преобразованием Фурье:
Выберите один ответ:
Основные свойства дельта –функции:
Спектральная характеристика дельта – функции F(iω) равна:
Выберите один ответ:
Особенности спектральных свойств непериодических сигналов:
спектры всегда дискретны
при уменьшении длительности импульса τ его спектр сужается вдоль оси частот ω
спектры всегда непрерывны
при уменьшении длительности импульса τ его спектр расширяется вдоль оси частот ω
Какое из преобразований называется обратным преобразованием Фурье:
Выберите один ответ:
Сигнал называется регулярным, если его математическим представлением является заранее заданная:
Выберите один ответ:
функция частоты и фазы
Почти периодический сигнал представляет собой функцию, состоящую из суммы гармонических составляющих:
Выберите один ответ:
с произвольными частотами
с частотами, кратными частоте входного сигнала
с частотами, обратно кратными частоте входного сигнала
с частотами, равными частоте входного сигнала
Дельтой-функцией δ(t) называется функция, отвечающая условиям:
Периодическая функция f(t) произвольного типа может быть представлена как сумма:
нулевой постоянной составляющей
бесконечного ряда гармоник с частотами, равными частоте входного сигнала f(t)
бесконечного ряда гармоник с частотами, кратными частоте входного сигнала f(t)
Спектральная характеристика для единичного скачка выражается следующим выражением:
Выберите один ответ:
Сигнал является периодическим, если f(t) = f(t+T) на интервале времени t
Выберите один ответ:
Каким дифференциальным уравнением описывается цепь, состоящая из последовательного соединения резистора R и емкости C:
Выберите один ответ:
Какое преобразование называется преобразованием Лапласа:
Выберите один ответ:
Весовой функцией w(t) называется реакция системы
на дельта-функцию δ(t)
при ненулевых начальных условиях
на функцию Хевисайда 1(t)
при нулевых начальных условиях
Какое свойство Лапласа отражает, что умножение аргумента оригинала x(t) на любое постоянное λ≥0 приводит к делению аргумента изображения x(s) на число λ:
Выберите один ответ:
теорема умножения изображения
Кривой разгона называется реакция объекта (системы)
на единичное ступенчатое воздействие
при ненулевых начальных условиях
при нулевых начальных условиях
Уравнения динамики описывают поведение системы регулирования
Выберите один ответ:
при неустановившемся режиме при постоянных входных воздействиях
в установившемся режиме при постоянных входных воздействиях
в установившемся режиме при произвольных входных воздействиях
при неустановившемся режиме при произвольных входных воздействиях
Передаточной функцией объекта называется отношение
Выберите один ответ:
изображения выхода объекта y(s) к изображению входа x(s) при ненулевых начальных условиях
оригинала выхода объекта y(t) к оригиналу входу x(t) при ненулевых начальных условиях
оригинала выхода объекта y(t) к оригиналу входу x(t) при нулевых начальных условиях
изображения выхода объекта y(s) к изображению входа x(s) при нулевых начальных условиях
В чем заключается прямая задача Коши:
Выберите один ответ:
определение решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями
определение решения дифференциального уравнения с нулевыми начальными условиями
восстановить вид и коэффициенты дифференциального уравнения по переходной функции
восстановить вид и коэффициенты дифференциального уравнения по функции Хевисайда
В статическом режиме , при входной сигнале 1(t), коэффициент усиления k равен:
Математическая запись принципа суперпозиции включает в себя следующие соотношения:
ошибка во второй половине убрать хi
В статическом режиме постоянная времени Т равна:
Выберите один ответ:
Какому изображению соответствует оригинал δ(t):
Выберите один ответ:
Какому оригиналу соответствует изображение 1/s²:
Выберите один ответ:
Интеграл Дюамеля используется для определения выхода объекта y(t) при
произвольном входном сигнале x(t) и известной функции w(t)
входном сигнале, заданном в виде функции Хевисайда, и известной функции h(t)
входном сигнале, заданном в виде дельта – функции, и известной функции w(t)
произвольном входном сигнале x(t) и известной функции h(t)
Между переходной h(t) и весовой w(t) функциями существует взаимное однозначное соответствие:
Переходной функцией называется аналитическое выражение для решения линейного дифференциального уравнения при:
входном сигнале x(t) = 1(t)
входном сигнале x(t) = δ(t)
нулевых начальных условиях
ненулевых начальных условиях
Уравнение движения устанавливает взаимосвязь между:
Выберите один ответ:
входными и выходными переменными и внутренним состоянием объекта
входными переменными и управляющими сигналами
входными и выходными переменными
выходными переменными и управляющими сигналами
Интеграл Дюамеля и уравнение свертки записывается в виде:
Выберите один ответ:
Статическая характеристика объекта характеризуется, как:
зависимость выходной величины от входной в статическом режиме
зависимость выходной величины от входной в переходном режиме
Уравнения статики описывают поведение системы регулирования
Выберите один ответ:
в установившемся режиме при постоянных входных воздействиях
в установившемся режиме при произвольных входных воздействиях
при неустановившемся режиме при постоянных входных воздействиях
при неустановившемся режиме при произвольных входных воздействиях
1.Фазочастотная характеристика (ФЧХ) определяется следующим образом:
Как определить АЧХ в зависимости от значений ВЧХ и МЧХ
M(iω) = Re(ω) + i Im(ω)
M(iω) = Im(ω) + i Re(ω)
- В каком квадранте находится комплексное число z = -a – ib:
Выберите один ответ:
Для того, чтобы точка комплексного числа z находилась в четвертом квадранте, число должно иметь следующий вид:
Выберите один ответ:
Какие частотные характеристики являются четными:
Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) может быть определена как комплексная функция, для которой:
ФЧХ является модулем
АЧХ является аргументом
ФЧХ является аргументом
АЧХ является модулем
Преобразование Фурье определяется следующим выражением:
Выберите один ответ:
Как определить ФЧХ в зависимости от значений ВЧХ и МЧХ
Выберите один ответ:
Мнимая частотная характеристика (МЧХ) Im(ω) определяется по формуле:
Выберите один ответ:
Для перехода от преобразования Лапласа к преобразованию Фурье необходимо сделать замену s на
Выберите один ответ:
Согласно принципам конформного отображения линия одной плоскости комплексного переменного отображается в:
Выберите один ответ:
круг другой комплексной плоскости
линию другой комплексной плоскости
треугольник другой комплексной плоскости
точку другой комплексной плоскости
Как обозначается вещественная частотная характеристика (ВЧХ):
Выберите один ответ:
Как обозначается мнимая частотная характеристика (МЧХ):
Выберите один ответ:
Фаза φ комплексного числа z во втором квадранте сводится к определению острого угла по следующей формуле:
Выберите один ответ:
Для комплексного числа
Выберите один ответ:
Для комплексного числа
действительные и мнимые части определяются следующим образом:
Как определить ВЧХ и МЧХ в зависимости от значения АЧХ
Амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) называется:
Выберите один ответ:
конформное отображение мнимой оси плоскости корней характеристического уравнения на комплексную плоскость АФХ
конформное отображение действительной оси плоскости корней характеристического уравнения на комплексную плоскость АФХ
конформное отображение действительной оси плоскости корней характеристического уравнения на действительную плоскость АФХ
конформное отображение действительной оси плоскости корней характеристического уравнения на мнимую плоскость АФХ
В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами. Такое множество принято обозначать символом $ \mathbb $.
Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: $ z = a + ib $, в котором мнимая единица $ i = \sqrt $, числа $ a,b \in \mathbb $ вещественные.
Если положить $ b = 0 $, то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества $ \mathbb \subset \mathbb $. К слову говоря также возможно, что $ a = 0 $.
Принято записывать мнимую часть комплексного числа как $ Im(z) = b $, а действительную $ Re(z) = a $.
Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу $ z = a+ib $ существует такое, что $ \overline = a-ib $, которое и называется сопряженным. Такие числа отличаются друг от друга только знаками между действительной и мнимой частью.
Формы
Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:
- Алгебраическая $ z = a+ib $
- Показательная $ z = |z|e^ $
- Тригонометрическая $ z = |z|\cdot(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)) $
Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.
Изображение
Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:
Видим, что $ a,b \in \mathbb $ расположены на соответствующих осях плоскости.
Комплексное число $ z = a+ib $ представляется в виде вектора $ \overline $.
Аргумент обозначается $ \varphi $.
Модуль $ |z| $ равняется длине вектора $ \overline $ и находится по формуле $ |z| = \sqrt $
Аргумент комплексного числа $ \varphi $ нужно находить по различным формулам в зависимости от полуплоскости, в которой лежит само число.
- $ a>0 $, то $ \varphi = arctg\frac$
- $ a<0, b>0 $, то $ \varphi = \pi + arctg\frac$
- $ a<0, b<0 $, то $ \varphi = -\pi + arctg\frac$
Операции
Над комплексными числами можно проводить различные операции, а именно:
- Складывать и вычитать
- Умножать и делить
- Извлекать корни и возводить в степень
- Переводить из одной формы в другую
Для нахождения суммы и разности складывается и вычитаются только соответствующие друг другу члены. Мнимая часть только с мнимой, а действительная только с действительной:
$$ z_1 + z_2 = (a_1+ib_1) + (a_2+ib_2) = (a_1 + a_2)+i(b_1 + b_2) $$
$$ z_1 - z_2 = (a_1+ib_1) - (a_2+ib_2) = (a_1 - a_2)+i(b_1 - b_2) $$
Умножение в алгебраической форме:
$$ z_1 \cdot z_2 = (a_1+ib_1) \cdot (a_2+ib_2) = (a_1 a_2 - b_1 b_2)+i(a_1 b_2 + a_2 b_1) $$
Умножение в показательной форме:
Деление в алгебраической форме:
Деление в показательной форме:
Для возведения в степень необходимо умножить комплексное число само на себя необходимое количество раз, либо воспользоваться формулой Муавра:
$$ z^n = |z|^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi) $$
Для извлечения корней необходимо также воспользоваться формулой Муавра:
Так же теория комплексных чисел помогает находить корни многочленов. Например, в квадратном уравнении, если $ D<0 $, то вещественных корней нет, но есть комплексные. В последнем примере рассмотрен данный случай.
Рассмотрим на практике комплексные числа: примеры с решением.
Примеры с решением
Для начала приступим к нахождению модуля комплексного числа:
Осталось найти аргумент:
Теперь составляем тригонометрическую запись комплексного числа, указанного в условии примера:
Тут же можно записать показательную форму:
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Решение задач от 20 рубподробное написание Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:
$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$
Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:
$$ z_1 + z_2 = (3+i) + (5-2i) = (3+5)+(i-2i) = 8 - i $$
Аналогично выполним вычитание чисел:
$$ z_1 - z_2 = (3+i) - (5-2i) = (3-5)+(i+2i) = -2 + 3i $$
Выполнить умножение и деление комплексных чисел:
$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$
$$ z_1 \cdot z_2 = (3+i) \cdot (5-2i) = $$
Просто на просто раскроем скобки и произведем приведение подобных слагаемых, так же учтем, что $ i^2 = -1 $:
$$ = 15 - 6i + 5i -2i^2 = 15 - i - 2\cdot(-1) = $$
$$ = 15 - i + 2 = 17 - i $$
Так, теперь разделим первое число на второе:
Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:
Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:
Решение задач от 20 рубподробное написание Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:
$$ z^2 = (3+3i)^2 = (3+3i)\cdot (3+3i) = $$
Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:
$$ =9 + 9i + 3i\cdot 3 + 9i^2 = 9 + 18i - 9 = 18i $$
Получили ответ, что $$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$
В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.
Вычисляем значение модуля:
Найдем чем равен аргумент:
$$ \varphi = arctg \frac = arctg(1) = \frac<\pi> $$
Записываем в тригонометрическом виде:
Возводим в степень $ n = 7 $:
Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:
$$ = 2187 \cdot 8 (1-i) = 17496(1-i) $$
$$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$ $$ z^7 = 17496(1-i) $$
Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:
$$ \varphi = arctg \frac +\pi = arctg 0 + \pi = \pi $$
Получаем: $$ z = (\cos \pi + i\sin \pi) $$
Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:
Так как степень $ n = 3 $, то по формуле $ k = 0,1,2 $:
Решение задач от 20 рубподробное написание Контрольные работы от 120 руб
подробное написание
Решать будем по общей формуле, которую все выучили в 8 классе. Находим дискриминант $$ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4\cdot 1 \cdot 2 = 4-8 = -4 $$
Получили, что $ D=-4<0 $ и казалось бы, что решение можно заканчивать. Но нет! В нашем задании требуется решить уравнение над комплексным множеством, а то что дискриминант отрицательный означает только лишь отсутствие вещественных корней. А комплексные корни есть! Найдем их продолжив решение:
Заметим, что $ \sqrt = 2\sqrt = 2i $ и продолжим вычисление:
Получили комплексно-сопряженные корни:
$$ x_1 = -1 - i; x_2 = -1 - i $$
Как видите любой многочлен можно решить благодаря комплексным числам.
В статье "Комплексные числа: примеры с решением" было дано определение, основные понятия, формы записи, алгебраические операции и решение практических примеров.
Читайте также: