Спираль фибоначчи построение в эксель
Древняя история богата выдающимися математиками. Многие достижения древней математической науки до сих пор вызывают восхищение остротой ума их авторов, а имена Евклида, Архимеда, Герона известны каждому образованному человеку.
Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами − стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.
Образец длиной может быть построен путём добавления к образцу длиной , либо к образцу длиной ; и просодицисты показали, что число образцов длиною является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге « Искусство программирования ».
На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи , в его труде « Liber Abaci » (1202) .
Если в ряду чисел Фибоначчи взять отношение последующего члена к предыдущему или наоборот, то получим уже знакомые нам числа: 1,618 и 0,618. Причем, чем больше порядковые номера членов, тем точнее выполняется "золотое" соотношение.
Цель работы : изучить последовательность чисел Фибоначчи, исследовать окружающий нас мир, − растения, животные, человек, искусство, − на предмет последовательности Фибоначчи.
1.1. Последовательность Фибоначчи в алгебре
Числа Фибоначчи − элементы числовой последовательности в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.
Таким образом, числа Фибоначчи представляет собой рекуррентную последовательность, то есть такую, в которой каждый следующий член определяется значением предыдущего.
Ряд чисел Фибоначчи выглядит следующим образом:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .
Алгебраическая запись последовательности Фибоначчи выглядит так:
Для чисел Фибоначчи справедливы тождества:
Математические свойства чисел Фибоначчи . Числа Фибоначчи (или последовательность Фибоначчи F n ) обладают целым рядом интересных и важных свойств:
1.2. Последовательность Фибоначчи в геометрии
В геометрии последовательность Фибоначчи можно увидеть в соотношении площадей квадратов, которые в свою очередь заворачиваются в спираль. Эту спираль назвали "Спиралью Фибоначчи".
Можно заметить, что каждый новый квадрат строится так, что его сторона равна сумме сторон смежных с ним квадратов (см. рисунок 1 и 2).
Спираль Фибоначчи или логарифмическая спираль − самая красивая из математических кривых. Эта спираль обычное явление в природе в течение многих миллионов лет.
2.1. Последовательность Фибоначчи во флоре
Во многих растениях можно встретить последовательность Фибоначчи. Например в тысячелистнике (см. рис. 3), его ствол ветвится в соответствии с данной последовательностью.
Другой пример шишка (см. рис. 4), ее "чешуйки" составляют 8 спиралей, а 8 это одно из чисел Фибоначчи.
Еще один пример, расположение листьев на цветах и деревьях. Листья появляются на стебле по спирали, как по часовой стрелке, так и против неё, под определённым углом расхождения. В угле расхождения замечена точная последовательность Фибоначчи . Такая последовательность ограничена полным оборотом в 360°.
2.2. Последовательность Фибоначчи в фауне
Также последовательность Фибоначчи можно встретить в животном мире. Яркий тому пример раковина ракушки, она заворачивается по спирали Фибоначчи (см. рис. 5).
Еще один пример последовательности Фибоначчи в животном мире − это паук, а точнее его паутина (см. рис. 6), она тоже заворачивается по спирали Фибоначчи.
Сам Леонард Пизанский построил последовательность, решая задачу про кроликов.
Задача: Кто-то поместил пару кроликов в некоем замкнутом пространстве, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что каждый месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а способность к производству потомства у них появляется по достижению двухмесячного возраста.
В итоге получается такой ряд цифр: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, где через запятую показано количество пар кроликов в каждом из двенадцати месяцев. Его можно продолжать бесконечно долго. Его суть в том, что каждое следующее число является суммой двух предыдущих.
2.3. Последовательность Фибоначчи анатомии человеческого тела
Оказывается, мы и сами являемся ярким примером последовательности Фибоначчи. Посмотрим на наши ладони, размеры фаланг пальцев равны 8, 5, 3 и 2 см (см. рис.7). А если посмотреть на наши отпечатки, то можно увидеть, что они заворачиваются в спираль Фибоначчи (см. рис. 8).
Так же эту спираль можно увидеть и в строении нашей ушной раковины (см. рис. 9).
2.4. Последовательность Фибоначчи во вселенной
Логарифмическая спираль объясняет универсальный принцип роста, некий закон − общий для всей нашей вселенной.
Еловые шишки, морские коньки, раковины моллюсков и улиток, океанские волны, папоротник, рога животных и расположение семечек подсолнуха или маргаритки — все это образует логарифмические спирали. Ураганы, водовороты и галактики внешнего космоса закручиваются в логарифмические спирали. Даже человеческий палец, составленный из трех костей, образующих по отношению друг к другу золотое сечение, принимает спиральную форму в согнутом виде. На рис. 10 мы видим космическую спираль, по которого закручивается наша галактика. Миллионы лет и световые годы разделяют еловую шишку и спираль Млечного Пути, но устройство их одинаково, вероятно, есть первичный закон, управляющий динамикой природных явлений.
Спираль как плавная бесконечная линия символизирует развитие, непрерывность, центростремительное и центробежное движение, ритм дыхания и самой жизни . Особое значение имеет двойная спираль, символизируя отношения между противоположностями.
Также последовательность Фибоначчи называют золотой последовательностью. И человек интуитивно стремиться к золотой последовательности, через божественную (золотую) пропорцию. Везде, где человек ощущает гармонию − в звуках, в цвете, в размерах, − всюду присутствует "Золотое число" или Ф=1,618.
Например, конструкция пирамиды в Гизе основана на пропорции Ф=1,618.
Леонардо да Винчи считал, что идеальные пропорции человеческого тела должны быть связаны с числом Ф. Именно он назвал деление отрезка в отношении Ф золотым сечением. В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. Например, в большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении, близком к Ф.
Витрувианский человек (см. рис. 12) — рисунок, сделанный Леонардо Да Винчи примерно в 1490-1492 годах, как иллюстрация для книги, посвященной трудам Витрувия. Леонардо изображает обнаженную мужскую фигуру в двух наложенных положениях с разведенными руками, одновременно вписанную и в круг, и в квадрат. Центр круга, находящийся в пупке, делит тело на большую и меньшую верхнюю часть в золотой пропорции. Среди изобилия исследований да Винчи в одном из его журналов "витрувианская архитектура" есть знаменитый "Витрувианский человек" − изучение пропорций человека.
Программистам числа Фибоначчи должны уже поднадоесть. Примеры их вычисления используются везде. Всё от того, что эти числа предоставляют простейший пример рекурсии. А ещё они являются хорошим примером динамического программирования. Но надо ли вычислять их так в реальном проекте? Не надо. Ни рекурсия, ни динамическое программирование не являются идеальными вариантами. И не замкнутая формула, использующая числа с плавающей запятой. Сейчас я расскажу, как правильно. Но сначала пройдёмся по всем известным вариантам решения.
Код предназначен для Python 3, хотя должен идти и на Python 2.
Для начала – напомню определение:
Замкнутая формула
Пропустим детали, но желающие могут ознакомиться с выводом формулы. Идея в том, чтобы предположить, что есть некий x, для которого Fn = x n , а затем найти x.
Решаем квадратное уравнение:
Откуда и растёт «золотое сечение» ϕ=(1+√5)/2. Подставив исходные значения и проделав ещё вычисления, мы получаем:
что и используем для вычисления Fn.
Хорошее:
Быстро и просто для малых n
Плохое:
Требуются операции с плавающей запятой. Для больших n потребуется большая точность.
Злое:
Использование комплексных чисел для вычисления Fn красиво с математической точки зрения, но уродливо — с компьютерной.
Рекурсия
Самое очевидное решение, которое вы уже много раз видели – скорее всего, в качестве примера того, что такое рекурсия. Повторю его ещё раз, для полноты. В Python её можно записать в одну строку:
Хорошее:
Очень простая реализация, повторяющая математическое определение
Плохое:
Экспоненциальное время выполнения. Для больших n очень медленно
Злое:
Переполнение стека
Запоминание
У решения с рекурсией есть большая проблема: пересекающиеся вычисления. Когда вызывается fib(n), то подсчитываются fib(n-1) и fib(n-2). Но когда считается fib(n-1), она снова независимо подсчитает fib(n-2) – то есть, fib(n-2) подсчитается дважды. Если продолжить рассуждения, будет видно, что fib(n-3) будет подсчитана трижды, и т.д. Слишком много пересечений.
Поэтому надо просто запоминать результаты, чтобы не подсчитывать их снова. Время и память у этого решения расходуются линейным образом. В решении я использую словарь, но можно было бы использовать и простой массив.
(В Python это можно также сделать при помощи декоратора, functools.lru_cache.)
Хорошее:
Просто превратить рекурсию в решение с запоминанием. Превращает экспоненциальное время выполнение в линейное, для чего тратит больше памяти.
Плохое:
Тратит много памяти
Злое:
Возможно переполнение стека, как и у рекурсии
Динамическое программирование
После решения с запоминанием становится понятно, что нам нужны не все предыдущие результаты, а только два последних. Кроме этого, вместо того, чтобы начинать с fib(n) и идти назад, можно начать с fib(0) и идти вперёд. У следующего кода линейное время выполнение, а использование памяти – фиксированное. На практике скорость решения будет ещё выше, поскольку тут отсутствуют рекурсивные вызовы функций и связанная с этим работа. И код выглядит проще.
Это решение часто приводится в качестве примера динамического программирования.
Хорошее:
Быстро работает для малых n, простой код
Плохое:
Всё ещё линейное время выполнения
Злое:
Да особо ничего.
Матричная алгебра
И, наконец, наименее освещаемое, но наиболее правильное решение, грамотно использующее как время, так и память. Его также можно расширить на любую гомогенную линейную последовательность. Идея в использовании матриц. Достаточно просто видеть, что
А обобщение этого говорит о том, что
Два значения для x, полученных нами ранее, из которых одно представляло собою золотое сечение, являются собственными значениями матрицы. Поэтому, ещё одним способом вывода замкнутой формулы является использование матричного уравнения и линейной алгебры.
Так чем же полезна такая формулировка? Тем, что возведение в степень можно произвести за логарифмическое время. Это делается через возведения в квадрат. Суть в том, что
где первое выражение используется для чётных A, второе для нечётных. Осталось только организовать перемножения матриц, и всё готово. Получается следующий код. Я организовал рекурсивную реализацию pow, поскольку её проще понять. Итеративную версию смотрите тут.
Хорошее:
Фиксированный объём памяти, логарифмическое время
Плохое:
Код посложнее
Злое:
Приходится работать с матрицами, хотя они не так уж и плохи
Сравнение быстродействия
Сравнивать стоит только вариант динамического программирования и матрицы. Если сравнивать их по количеству знаков в числе n, то получится, что матричное решение линейно, а решение с динамическим программированием – экспоненциально. Практический пример – вычисление fib(10 ** 6), числа, у которого будет больше двухсот тысяч знаков.
n = 10 ** 6
Вычисляем fib_matrix: у fib(n) всего 208988 цифр, расчёт занял 0.24993 секунд.
Вычисляем fib_dynamic: у fib(n) всего 208988 цифр, расчёт занял 11.83377 секунд.
Теоретические замечания
Не напрямую касаясь приведённого выше кода, данное замечание всё-таки имеет определённый интерес. Рассмотрим следующий граф:
Подсчитаем количество путей длины n от A до B. Например, для n = 1 у нас есть один путь, 1. Для n = 2 у нас опять есть один путь, 01. Для n = 3 у нас есть два пути, 001 и 101. Довольно просто можно показать, что количество путей длины n от А до В равно в точности Fn. Записав матрицу смежности для графа, мы получим такую же матрицу, которая была описана выше. Это известный результат из теории графов, что при заданной матрице смежности А, вхождения в А n — это количество путей длины n в графе (одна из задач, упоминавшихся в фильме «Умница Уилл Хантинг»).
Почему на рёбрах стоят такие обозначения? Оказывается, что при рассмотрении бесконечной последовательности символов на бесконечной в обе стороны последовательности путей на графе, вы получите нечто под названием "подсдвиги конечного типа", представляющее собой тип системы символической динамики. Конкретно этот подсдвиг конечного типа известен, как «сдвиг золотого сечения», и задаётся набором «запрещённых слов» . Иными словами, мы получим бесконечные в обе стороны двоичные последовательности и никакие пары из них не будут смежными. Топологическая энтропия этой динамической системы равна золотому сечению ϕ. Интересно, как это число периодически появляется в разных областях математики.
Наложение решётки Фибоначчи (она же золотая спираль или сфера Фибоначчи) на поверхность сферы — чрезвычайно быстрый и эффективный приближенный метод равномерного распределения точек на сфере. Я продемонстрирую, как небольшие изменения, внесённые в каноническую реализацию, могут привести к значительным улучшениям показателей ближайших соседей.
Рисунок 1. Небольшая модификация канонической решётки Фибоначчи может привести к улучшению расстояния упаковки (максимального расстояния между ближайшими соседями) на 8,3%.
Задача равномерного распределения точек на сфере имеет очень долгую историю. Она обладает огромной важностью во многих областях математики, физики, химии и вычислений, в том числе в численном анализе, теории аппроксимации, кристаллографии, морфологии вирусов, электростатике, теории кодирования и компьютерной графике.
К сожалению, она так и не была точно решена, за исключением небольшого количества частных случаев. Следовательно, практически во всех ситуациях мы можем только надеяться найти близкие к оптимальному решения этой задачи.
Из всех этих почти оптимальных решений один из самых простых способов основан на решётке Фибоначчи, или на золотой спирали. Очевидно, изобретатель этого способа вдохновлялся филлотаксисом (который описывает распределение семян в цветке подсолнуха или в сосновой шишке).
Более того, в отличие от большинства других итеративных или рандомизированных способов, например, имитации отжига, спираль Фибоначчи является одним из немногих способов непосредственного построения, работающих для произвольного количества точек .
Стандартное современное определение решётки Фибоначчи (см. верхний ряд на рисунке 2), равномерно распределяющей точек внутри единичного квадрата , имеет вид:
а оператор обозначает дробную часть аргумента.
(Этот способ очень хорошо работает и для прямоугольников.)
Для создания спирали Фибоначчи (золотой спирали) (см. нижний ряд на рисунке 2) нужно просто наложить это распределение точек на единичном диске при помощи равноплощадного преобразования
Рисунок 2. Решётка Фибоначчи (верхний ряд) и спираль Фибоначчи (нижний ряд) для различных значений .
Аналогично, эти множества точек можно наложить с единичного квадрата на сферу при помощи цилиндрического равноплощадного проецирования (см. рисунок 2):
Стоит заметить, что существует множество стандартов обозначений углов в сферической геометрии. В приведённой выше формуле используется нотация, в которой является долготой, а — углом от условного севера.
То есть, решётка Фибоначчи — это простой способ очень равномерного распределения точек в прямоугольнике, на диске или поверхности сферы.
(См. примечание 2 о том, почему решётка Фибоначчи не соединяется на всех краях, и почему это хорошо.)
Вот простейшая реализация этого на Python.
Рисунок 3. Решётка Фибоначчи (или спираль Фибоначчи), наложенная на поверхность сферы — это очень простой способ создания очень равномерного распределения точек.
Эта спираль и наложение на сферу страдают от двух разных, но взаимосвязанных проблем.
Первая заключается в том, что наложение сохраняет площадь, но не расстояние. Если вы стремитесь оптимизировать показатель расстояния, например, между ближайшими соседями, то такие ограничения и отношения расстояний необязательно сохранятся при проецировании площадей.
Вторая проблема, решить которую с практической точки зрения будет сложнее всего, заключается в том, что спиральное наложение имеет расположенную в центре точку сингулярности (а наложение на сферу имеет сингулярность на каждом из полюсов). В случае сферы рассмотрим две точки. находящиеся очень близко к полюсу, но отличающиеся по долготе на 180 градусов. В единичном квадрате (а также в цилиндрической проекции) они будут соответствовать двум точкам, находящимся рядом с верхним краем, но всё равно расположенным достаточно далеко друг от друга. Однако при наложении на поверхность сферы их можно будет соединить очень короткой дугой, проходящей через северный полюс. Именно эта проблема делает многие спиральные наложения неоптимальными. Эта проблема не существует для решётки Фибоначчи в .
Существует множество одинаково состоятельных критериев для описания степени равномерности распределения точек на поверхности сферы. В том числе:
- Упаковка и покрытие
- Выпуклые оболочки, ячейки Вороного и треугольники Делоне
- Ядра -энергии Риса
- Кубатура и определители
В этом посте мы исследуем только два таких критерия. В основной части рассмотрим самый известный критерий: минимальное расстояние между ближайшими соседями; в оставшейся части мы вкратце опишем среднее расстояние между ближайшими соседями. (См. примечание 3 об исследовании способов оптимизации решётки Фибоначчи под другие критерии).
Задачу поиска максимально ближнего соседа часто называют задачей Тэмса по имени ботаника Тэмса, искавшего объяснение структуры поверхности пыльцевых зёрен. Также её часто называют задачей Фейеша Тота. А конфигурацию, соответствующую таким оптимальным ближайшим соседям, часто называют сферическим кодом.
Платоновы тела
Здесь важно развеять один миф — веру в то, что все платоновы тела (правильные многогранники) являются оптимальными конфигурациями для соответствующих значений .
К сожалению, это не так. Об этом исчерпывающе написано на сайте Wolfram mathworld:
«В случае двух точек эти точки должны находиться на противоположных концах диаметра. В случае четырёх точек они должны находиться на вершинах вписанного правильного четырёхгранника. Не существует уникального наилучшего решения в случае пяти точек, потому что расстояние невозможно сделать меньше него для шести точек. В случае шести точек они должны быть расположены в вершинах вписанного правильного восьмигранника. В случае семи точек наилучшим решением являются четыре равносторонних сферических треугольника с углами 80 градусов. В случае восьми точек лучшим распределением будут не вершины вписанного куба, а квадратная антипризма с одинаковыми рёбрами многогранника. Решением для девяти точек являются восемь равносторонних сферических треугольников с углами . В случае 12 точек решением будет вписанный правильный икосаэдр».
Повторим этот момент, потому что он неочевиден и малоизвестен:
Два платоновых тела — куб () и додекаэдр () не являются оптимальными конфигурациями точек для минимального расстояния между ближайшими соседями. И на самом деле, они далеки от этого.
Рисунок 4. Квадратная антипризма («антикуб») является оптимальной конфигурацией упаковки для n=8. (Изображение взято отсюда).
Так что прежде чем мы начнём изучать способы улучшения канонической решётки Фибоначчи для произвольного , давайте определимся с нотацией.
Пусть для каждой из точек будет расстоянием от точки до её ближайшего соседа . Тогда задача Тэмса требует от нас максимизировать минимум среди всех точек. То есть
Это значение уменьшается со скоростью примерно , то есть полезно также будет задать нормализованное расстояние, а ещё асимптотический предел нормализованного расстояния как
Каноническая решётка
Стандартная реализация (представленная в приведённом выше коде) разделяет единичный интервал на равных подинтервалов, а затем помещает точку в среднюю точку каждого из этих интервалов (так называемое правило средней точки в интегрировании по Гауссу). То есть
Этот способ обеспечивает постоянное значение для всех .
Решётка Фибоначчи со смещением
Ключевым моментом для улучшения уравнения 1 является осознание того, что всегда соответствует расстоянию между точками и , которые расположены рядом с полюсами. То есть для улучшения точки рядом с полюсами должны быть отдалены друг от друга.
Чтобы добиться этого, нам нужно передвинуть (сместить) все точки слегка вдаль от полюсов. Разумеется, это означает, что почти все из них становятся чуть ближе друг к другу. Однако поскольку они не являются критичными для оптимизации , в такой ситуации это допустимо.
В частности, мы можем достичь этого, задав с каждого конца интервала подинтервал длиной , где нет точек, а затем равномерно распределив точек в оставшемся интервале , что гарантирует наличие точки с каждого конца интервала.
Стоит учесть, что соответствует канонической решётке, а представляет увеличившийся зазор рядом с полюсами.
Благодаря таким методикам, как Монте-Карло, мы можем эмпирически найти для каждого оптимальное значение , которое оптимизирует расстояние упаковки. Давайте обозначим это оптимальное значение как .
Плохая новость заключается в том, что для , похоже, не существует простого выражения в конечном виде. Однако хорошая новость заключается в том, что можно найти очень изящные свойства.
Первое свойство — функция является не непрерывной, а ступенчатой функцией, которая (значительно) увеличивается только при определённых значениях . Более того, соответствующие значения почти всегда очень близки к круглому числу. Если конкретнее, то эмпирический анализ показывает, что превосходным описанием наилучших значений является следующая таблица:
Ниже показана базовая реализация такой решётки со смещением.
При смещении точек решётки Фибоначчи слегка вдаль от полюсов (в соответствии с уравнением 2) создаётся упаковка , повышение плотности которой составляет до 8,3%, чем у канонической решётки Фибоначчи.
(См. примечание 4 о дополнительных способах изменения канонической решётки, ещё больше увеличивающих .)
Сравнение
Мы можем сравнить этот результат с некоторыми из современных методов, которые обычно являются сложными и требуют рекурсивного и/или динамического программирования (чем выше значение, тем лучше):
Для большого значения , (а конкретно ) при оптимизации расстояния упаковки оптимальное значение довольно велико, что приводит к значительному пробелу или пустоте с каждого полюса.
Простой способ для устранения этого пробела заключается в размещении точки на каждом полюсе с последующим размещением оставшихся в соответствии с уравнением 2 и уточнённым смещением , представленным в таблице ниже.
Это не только минимизирует пробел на каждом из полюсов, но и обеспечивает небольшое улучшение решётки со смещением, заданной уравнением 2. Величина улучшения очень мала, всего до 1%, и обычно составляет менее 0,1%.
Следовательно, с точки зрения расстояния упаковки она, вероятно, представляет лишь теоретический, а не практический интерес. Однако, в большинстве случаев скорее всего стоит обеспечить её широкую применимость к готовой конфигурации.
Хотя максимизация минимума ближайших соседей является наиболее изученным и чрезвычайно полезным методом с точки зрения теории, она может и не быть наиболее полезным критерием во многих инженерных и вычислительных областях применения.
К сожалению, оптимизация минимального расстояния ближайших соседей обеспечивает неоптимальные конфигурации для среднего расстояния ближайших соседей. Это неудивительно, ведь смещение сдвигает от полюсов все точки, за исключением небольшого количества, а значит, делает их ближе.
Оказывается, что для всех , по сути, есть одно значение , обеспечивающее наилучшую конфигурацию. А именно .
Обратите внимание — поскольку это значение меньше 0.5, точки на самом деле стягиваются ближе к полюсам по сравнению с канонической реализацией!
Хотя при смещении точек с создаются неоптимальные конфигурации для расстояний упаковки, в этом случае создаются оптимальные конфигурации по критерию среднего расстояния ближайших соседей. Благодаря этому оно идеально для большинства инженерных и вычислительных областей применения.
Наложение решётки Фибоначчи(золотой спирали, или сферы Фибоначчи) на поверхность сферы — чрезвычайно быстрый и эффективный приближенный способ равномерного распределения точек на сфере.
Однако смещение точек решётки Фибоначчи немного вдаль от полюсов (в соответствии с уравнением 2) приводит к созданию конфигурации точек, упаковка которой повышается максимум на 8,3% по сравнению с канонической решёткой Фибоначчи (по критерию расстояния упаковки).
При увеличение может стать ещё больше — сначала нужно разместить по точке на каждом из полюсов, а затем расположить оставшиеся точек в соответствии с уравнением 2 и смещением по таблице из раздела 4. Это не только (очень незначительно) улучшает упаковку ближайших соседей, но и предотвращает появление большого зазора на каждом из полюсов.
Примечания
1. Строго говоря, сфера состоит только из всех точек, равноудалённых от центра. Именно множество всех таких точек образует поверхность. Следовательно, фраза «поверхность сферы» является тавтологией. Однако в этом посте я часто использую эту фразу, чтобы не запутывать читателей.
2. Оператор решётки Фибоначчи (см. верхний ряд рисунка 1) обозначает, что мы на самом деле накладываем единичный квадрат на цилиндр. Часто считается, что новое пространство является тором, но при внимательном наблюдении заметно, что точки рядом с верхним и нижним краями выровнены неточно. В нашем случае, когда выполняется наложение решётки на диск или на поверхность сферы, это на самом деле идёт нам на пользу, потому что уменьшает ограничения, а значит, обеспечивает бОльшую степень свободы при поиске хороших разделений точек.
Именно по этой причине наложение решётки Фибоначчи на поверхность сферы практически всегда обеспечивает лучшие результаты, чем наложение на поверхность сферы обычного двухмерного ряда с низким расхождением (в котором все края соединяются).
3. В этом посте исследуются критерии, касающиеся ближайших соседей. Об оптимизации таких конфигураций, при которых максимизируется объём выпуклой оболочки можно прочитать в моём предыдущем посте «Равномерное распределение точек на сфере» [перевод на Хабре].
4. Перемещение точек всё дальше от точек даёт нам понять, что существует определённый предел, при котором конструктивно располагать точки на каждом из полюсов. Подробности этого изложены в моём предыдущем посте об этой теме, ссылку на который я указал в примечании 3. Однако при этих новых найденных оптимальных значениях эта дополнительная сложность повышает всего максимум на 0,2%, поэтому в большинстве областей применения реализовывать её скорее всего не стоит.
Построить спираль Архимеда по следующим данным:
- в столбце А – значения угла t в радианах от 0 до 10 с шагом 0,2
- в столбце В – значения r = 0,5* t
- в столбце С – значения х = r * cos ( t )
- в столбце D – значения y = r * sin ( t )
- выделить значения в столбцах С и D и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми )
Построить астроиду по следующим данным:
- в столбце А – значения угла t в радианах от 0 до 7 с шагом 0,2
- в столбце В – значения х = 2*( cos ( t )) 3
- в столбце С – значения y = 2*( sin ( t )) 3
- выделить значения в столбцах B и С и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми )
Построить улитку Паскаля по следующим данным:
- в столбце А – значения a от 0 до 360 с шагом 10 (угол в градусах)
- в столбце В – значения t = a * π/180 (угол в радианах)
- в столбце С – значения p = cos ( t )–0,5
- в столбце D – значения x = p * cos ( t )
- в столбце Е – значения у = p * sin ( t )
- выделить значения в столбцах D и E и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми )
Построить лемнискату Бернулли по следующим данным:
- в столбце А – значения a от 0 до 360 с шагом 10 (угол в градусах)
- в столбце В – значения t = a * π/180 (угол в радианах)
- в столбце С – значения r = 2* sin (2* t ) 2
- в столбце D – значения x = r * cos ( t )
- в столбце E – значения y = r * sin ( t )
- выделить значения в столбцах D и E и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми )
Построить график в форме сердца по следующим данным:
- в столбце А – значения a от 0 до 360 с шагом 10 (угол в градусах)
- в столбце В – значения t = a * π/180 (угол в радианах)
- в столбце С – значения x = 16*( sin ( t )) 3
- в столбце D – значения у =13* cos ( t )–5* cos (2* t )–2* cos (3* t )– cos (4* t )
- выделить значения в столбцах C и D и построить диаграмму
(тип: точечная с гладкими кривыми )
Читайте также: