Схема горнера в excel
Итак, коэффициенты частного – числа 1, 5, 6, а остаток r = 0. Значит,
х 3 + 4х 2 + х – 6 = (х – 1) (х 2 + 5х + 6) = 0
Отсюда: х – 1 = 0 или х 2 + 5х + 6 = 0;
2.2 Реализация схемы Горнера в электронной таблице EXCEL
Ранее вычисление значений элементарных функций выполнялись «вручную» по алгоритмической схеме с заполнением расчетных таблиц. В современных условиях можно использовать различные программные средства, например, электронные таблицы.
Рассмотрим задание: Используя схему Горнера, составить таблицу значений многочлена 0,883x 5 1,217x 4 +1,452x 3 +0,572x 2 -2,343x+1,158 на отрезке [0,5; 2,0]; шаг h=0,25. Вычисления выполнять c точностью до 0,0001, ответ округлить до тысячных.
Для вычислений по схеме Горнера составим таблицу (рис. 1), содержащую все промежуточные результаты и значения искомого многочлена.
В верхней строке таблицы запишем коэффициенты ai данного многочлена, в первом столбце − значения аргумента х. Остальные строки содержат значения bi, которые в схеме Горнера находятся по единой формуле:
В последнем столбце таблицы получаются значения многочлена Р(х). Округляя их до тысячных долей, получим ответ (таблица 1).
Для визуальзации полученных данных построим график (рис. 2).
Таким образом, схему Горнера можно использовать, если необходимо найти значение многочлена при заданном значении переменной. Если цель − найти все корни многочлена, то схему Горнера можно применять несколько раз. Схема Горнера очень красива своей простой и позволяет решать с повышенной точностью подобные уравнения. Использование схемы Горнера значительно упрощает вычисления, а также помогает эффективно подбирать корни.
Реализованная схема в электронной таблице Excel только ускоряет вычислительный процесс и позволяет проверять ошибки, которые были допущены вручную. Эффективнее использовать расчетную таблицу, используя технологии автозаполнения ячеек электронных таблиц, вместо того чтобы заполнять новые данные вручную.
Решая поставленные задачи, вы выяснили, что схема Горнера (или правило Горнера, метод Горнера) — алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы мономов (одночленов), при заданном значении переменной. Метод Горнера позволяет найти корни многочлена, а также вычислить производные полинома в заданной точке. Схема Горнера также является простым алгоритмом для деления многочлена на бином вида . Метод назван в честь Уильяма Джорджа Горнера.
Схему Горнера можно использовать, если необходимо найти значение многочлена при заданном значении переменной. Если цель − найти все корни многочлена, то схему Горнера можно применять несколько раз. Схема Горнера очень красива своей простой и позволяет решать с повышенной точностью подобные уравнения. Использование схемы Горнера значительно упрощает вычисления, а также помогает эффективно подбирать корни.
Реализованная схема в электронной таблице Excel только ускоряет вычислительный процесс и позволяет проверять ошибки, которые были допущены вручную. Эффективнее использовать расчетную таблицу, используя технологии автозаполнения ячеек электронных таблиц, вместо того чтобы заполнять новые данные вручную.
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч.1 Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). А.Г. Мордкович. Изд. «Мнемозина», 2019.
Кострикин А.И. Введение в алгебру (в 3-х Т.Т.). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001 – 2004.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Просвещение, 1993. — 288 с.:
Нестеренко Ю.В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. – М.: Издательский центр “Академия”, 2018.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. – М.: Айрис-пресс, 2004. - 608 с.
Профильное обучение математике старшеклассников. Учебно-дидактический комплекс. – Новосибирск. Сиб. унив. изд-во, 2003.
а) Найти НОД ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) по алгоритму Евклида (ученик готовит на доске).
Решение:
НОД ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) = x 2 – 1.
Ответ: x 2 – 1.
б) Узнайте, делится ли многочлен f(x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 на (x – 1), (x + 1), (x – 2) (проверяется фронтально). [1]
Решение. По теореме Безу, если f(1) = 0, то f(x) делится на (x – 1). Проверим это.
f(1) = 1 – 5 + 8 – 5 + 1 + 2 > 0, f(x) не делится на (x – 1);
f(–1) = – 1 – 5 – 8 – 5 – 1 + 2 < 0, f(x) не делится на (x + 1);
f(2) = 32 – 80 + 64 – 20 + 4 = 0, f(x) делится на (x – 2).
Ответ: делится на (x – 2).
в) Многочлен P(x) при делении на (x – 1) дает остаток 3, а при делении на (x – 2) дает остаток 5. Найти остаток от деления многочлена P(x) на (x 2 – 3 x + 2).
(Решение проектируется на экран или заранее написать на доску).
P(x) = (x – 1) Q 1(x) + 3 (1)
P(x) = (x – 2) Q 2(x) + 5 (2)
Из (1) и (2) следует, что P(1) = 3, P(2) = 5.
Пусть P(x) = (x 2 – 3 x + 2) Q (x) + a x + b или
P(x) = (x – 1) (x – 2) Q (x) + a x + b (3)
Подставив в (3) последовательно x = 1 и x = 2, получим систему уравнений, из которой a = 2, b = 1.
Ответ: 2 x + 1.
г) При каких m и n многочлен x 3 + m x + n при любых x делится на x 2 + 3 x + 10 без остатка.
(Решение проектируется на экран или заранее написать на доску).
Решение. При делении “уголком” получим x 3 + m x + n = (x 2 + 3 x + 10) (x – 3) + ((m – 1) x + (n + 30)).
Т.к. деление выполняется без остатка, то (m – 1) x + (n + 30) = 0, а это возможно (при любом x) только в случае, когда m = 1, n = –30.
Ответ: m = 1, n = –30.
2. Теоретический опрос.
а) Как читается теорема Безу?
б) Привести пример, где используется теорема Безу.
в) Из правила перемножения двух многочленов как найти старший коэффициент произведения?
г) Имеет ли степень нулевой многочлен?
д) Найти степень многочлена (3 x 499 – 5 x 400 + 7 x 372 – 11) 4 + (x – 1) 2006 . (Ответ: десятая)
е) Приведите многочлен (x 2 – 1) (x 2005 + x 2003 + x 2001 + … + x) к стандартному виду. (Ответ: x 2007 – 1).
III. Подготовка к изучению нового материала
В многочлен, как и в любое буквенное выражение, можно вместо переменной подставлять числа, и в результате он превращается в числовое выражение, то есть, в конечном счете, в число. Сделаем два важных для решения задач замечания:
Значение f(0) равно свободному члену многочлена.
Значение f(1) равно сумме коэффициентов многочлена.
Нахождение значений многочлена не представляет никаких принципиальных трудностей, однако вычисления при этом могут оказаться достаточно громоздкими. Для упрощения вычислений существует прием, называемый схемой Горнера – по имени английского математика XVI века. Эта схема состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк.
Например, чтобы вычислить значение многочлена f(x) = 2 x 4 – 9 x 3 – 32 x 2 – 57 при x = 7 (то есть узнать делится ли он на (x – 7) по теореме Безу), надо подставить вместо x число 7. Если f(7) = 0, то f(x) делится без остатка. Если f(7) не равно 0, то f(x) делится на (x – 7) с остатком. Чтобы облегчить нахождение значения f(7) применим схему Горнера. Заполним таблицу из двух строк по следующему алгоритму:
1. Строка коэффициентов записывается первой.
2. Старший коэффициент дублируется во второй строке, а перед ним ставится значение переменной (в нашем случае число 7), при котором вычисляем значение многочлена.
Получается таблица, пустые клетки которой надо заполнить.
2 • 7 – 9 = 5, во второй пустой клетке ставится число 5 • 7 – 32 = 3, в третьей ставится число 3 • 7 + 0 = 21, а в последней 21 • 7 – 57 = 90. Полностью эта таблица выглядит так:
Замечание: программа для вычисления значений многочлена в ЭВМ составляется по схеме Горнера.
IV. Закрепление изученного материала
Рассмотрим решение домашнего задания № 1 (б) по схеме Горнера. Итак, применяя схему Горнера, узнайте, делится многочлен (x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 на (x – 1), (x + 1), (x – 2). Если требуется проверить несколько значений, то для экономии выкладок строят одну объединенную схему.
f(x) делится без остатка на (x – 2), т.к. r = 0. [2]
V. Нахождение корней многочлена
Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на единицу меньше. Иногда этим приемом – он называется “понижением степени” – можно найти все корни многочлена.
В частности, подобрав один корень кубического уравнения, тем самым понизив степень, можно его полностью решить, решив полученное квадратное уравнение.
При решении таких задач большую пользу приносит та же схема Горнера. Однако, на самом деле схема Горнера дает гораздо больше: числа, стоящие во второй строке (не считая последнего) – это коэффициенты частного отделения на (x – a).
Пример 1. Найти корни многочлена f(x) = (x 4 – x 3 – 6 x 2 – x + 3).
Решение. Делители свободного члена: – 1, 1, – 3, 3 могут быть корнями многочлена. При x = 1 очевидно сумма коэффициентов равна нулю. Значит, x1 = 1 – корень. Проверим по схеме Горнера на корень число – 1 и другие делители свободного члена.
x = –1 — корень
второй раз x = –1 — не корень
проверим x = 3
x = 3 – корень.
f(x) = (x + 1) (x – 3) (x 2 + x – 1), x 2 + x – 1 = 0,
Замечание. При нахождении корней многочлена не следует проводить лишних точных вычислений в тех случаях, когда очевидные грубые оценки приводят к нужному результату.
Например, схема Горнера для проверки значений 31 и – 31 как “кандидатов в корни” многочлена x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31 может выглядеть следующим образом:
31 и – 31 не являются корнями многочлена x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31.
Пример 2. Найти корни многочлена f (x) = x 4 + 2 x 3 – 6 x 2 – 22 x + 55.
Решение. Делители 55: – 1, 1, – 5, 5, – 11, 11, – 55, 55. Заметим, что – 1 и 1 не являются корнями многочлена. Следует проверить остальные делители.
Замечание. Очень важно учащимся овладеть “длинной” схемой Горнера. В данном примере как раз удобна “длинная” схема.
x 2 + 57 x + 3 129 = 0, корней нет.
Ответ: корней нет. [2]
VI. Самостоятельная работа
На доске три человека решают для последующей проверки.
Найти корни многочлена по схеме Горнера:
а) f (x) = x 3 + 2 x 2 – 5 x – 6;
Ответ: – 1; 2; – 3.
б) f (x) = x 5 – 5 x 4 + 6 x 3 – x 2 + 5 x – 6;
Ответ: 1; 2; 3.
в) f (x) = x 4 + 12 x 3 + 32 x 2 – 8 x – 4.
Ответ:
(Проверка осуществляется в парах, выставляются оценки).
VII. Исследовательская работа учащихся
– Ребята, вы не заметили, какие многочлены в основном мы разбирали на уроках?
(Ответы учащихся).
– Да, это многочлены с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1.
– В каких числах получались ответы?
(Ответы учащихся).
– Правильно, корни многочлена с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1 либо целое, либо иррациональное, либо целые и иррациональные, либо не имеют корней. Запишите вывод в своих тетрадях.
на бином $x-a$. Работать придётся с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число $a$, взятое из бинома $x-a$:
После деления многочлена n-ой степени на бином $x-a$, получим многочлен, степень которого на единицу меньше исходного, т.е. равна $n-1$. Непосредственное применение схемы Горнера проще всего показать на примерах.
Разделить $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$, используя схему Горнера.
Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$, расположенные по убыванию степеней переменной $x$. Заметьте, что данный многочлен не содержит $x$ в первой степени, т.е. коэффициент перед $x$ в первой степени равен 0. Так как мы делим на $x-1$, то во второй строке запишем единицу:
Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число $5$, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки:
Следующую ячейку заполним по такому принципу: $1\cdot 5+5=10$:
Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: $1\cdot 10+1=11$:
Для пятой ячейки получим: $1\cdot 11+0=11$:
И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Задача решена, осталось только записать ответ:
Как видите, числа, расположенные во второй строке (между единицей и нулём), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$. Естественно, что так как степень исходного многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ равнялась четырём, то степень полученного многочлена $5x^3+10x^2+11x+11$ на единицу меньше, т.е. равна трём. Последнее число во второй строке (ноль) означает остаток от деления многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$. В нашем случае остаток равен нулю, т.е. многочлены делятся нацело. Этот результат ещё можно охарактеризовать так: значение многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ при $x=1$ равно нулю.
Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ при $x=1$ равно нулю, то единица является корнем многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$.
Разделить многочлен $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ на $x+3$ по схеме Горнера.
Сразу оговорим, что выражение $x+3$ нужно представить в форме $x-(-3)$. В схеме Горнера будет учавствовать именно $-3$. Так как степень исходного многочлена $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ равна четырём, то в результате деления получим многочлен третьей степени:
Полученный результат означает, что
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^3+4x-17)+4$$
В этой ситуации остаток от деления $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ на $x+3$ равна $4$. Или, что то самое, значение многочлена $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ при $x=-3$ равно $4$. Кстати, это несложно перепроверить непосредственной подстановкой $x=-3$ в заданный многочлен:
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
Т.е. схему Горнера можно использовать, если необходимо найти значение многочлена при заданном значении переменной. Если наша цель – найти все корни многочлена, то схему Горнера можно применять несколько раз подряд, – до тех пор, пока мы не исчерпаем все корни, как рассмотрено в примере №3.
Коэффициенты рассматриваемого многочлена есть целые числа, а коэффициент перед старшей степенью переменной (т.е. перед $x^6$) равен единице. В этом случае целочисленные корни многочлена нужно искать среди делителей свободного члена, т.е. среди делителей числа 45. Для заданного многочлена такими корнями могут быть числа $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ и $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Проверим, к примеру, число $1$:
Можно, конечно, просто переписать таблицу заново, но при заполнении вручную это займет немало времени. Тем более, что чисел, проверка которых окончится неудачей, может быть несколько, и каждый раз записывать новую таблицу затруднительно. При вычислении «на бумаге» красные строки можно просто вычёркивать.
Продолжим поиск целочисленных корней. Теперь уже нужно искать корни многочлена $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Опять-таки, целочисленные корни этого многочлена ищут среди делителей его свободного члена, – числа $45$. Попробуем ещё раз проверить число $-1$. Новую таблицу составлять не будем, а продолжим использование предыдущей табл. №2, т.е. допишем в нее еще одну строку:
Итак, число $-1$ является корнем многочлена $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Этот результат можно записать так:
Учитывая равенство (2), равенство (1) можно переписать в такой форме:
Теперь уже нужно искать корни многочлена $x^4-22x^2+24x+45$, – естественно, среди делителей его свободного члена (числа $45$). Проверим еще раз число $-1$:
Число $-1$ является корнем многочлена $x^4-22x^2+24x+45$. Этот результат можно записать так:
С учетом равенства (4), равенство (3) перепишем в такой форме:
Теперь ищем корни многочлена $x^3-x^2-21x+45$. Проверим еще раз число $-1$:
Проверка окончилась неудачей. Выделим шестую строку красным цветом и попробуем проверить иное число, например, число $3$:
В остатке ноль, посему число $3$ – корень рассматриваемого многочлена. Итак, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Теперь равенство (5) можно переписать так:
Проверим ещё раз число $3$:
Полученный результат можно записать так (это продолжение равенства (6)):
Из последней скобки видно, что число $-5$ также является корнем данного многочлена. Можно, конечно, формально продолжить схему Горнера, проверив значение $x=-5$, но необходимости в этом нет. Итак,
Числа $-1; \; 3; \; 5$ – корни данного многочлена. Причем, так как скобка $(x+1)$ в третьей степени, то $-1$ – корень третьего порядка; так как скобка $(x-3)$ во второй степени, то $3$ – корень второго порядка; так как скобка $(x+5)$ в первой степени, то $x=-5$ – корень первого порядка (простой корень).
Вообще, обычно оформление таких примеров состоит из таблицы, в которой перебираются возможные варианты корней, и ответа:
Из таблицы следует вывод, полученный нами ранее с подробным решением:
Убедиться, что числа $2$ и $-5$ являются корнями многочлена $3x^6+9x^5-28x^4+6x^3-30x^2-30x+100$. Разделить заданный многочлен на биномы $x-2$ и $x+5$.
Степень многочлена $3x^6+9x^5-28x^4+6x^3-30x^2-30x+100$ равна $6$. После деления на два заданных бинома степень заданного многочлена уменьшится на $2$, т.е. станет равна $4$.
Конечно, данный метод подбора малоэффективен в общем случае, когда корни не являются целыми числами, но для целочисленных корней метод довольно-таки неплох.
Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).
Вычислить e x , используя разложение в ряд:
Это еще одна "классическая" задача, с которой начинается обучение основам программирования. На Excel она решается также естественно, как и первая задача, не требуя программирования в традиционном понимании. И здесь в решении появляется новое качество, позволяющее явно демонстрировать сходимость ряда , стремление к нулю текущего члена суммы ряда. По существу выполняемых действий эта задача решается также как и первая. Для решения задачи, введем рекуррентные соотношения, представив:
И здесь решение задачи сводится к вычислению рекуррентных соотношений, которые, как мы знаем, реализуются в Excel достаточно просто. Взгляните вначале на рисунок, показывающий, как выглядит решение задачи на рабочем листе Excel:
Приведем краткие комментарии:
- На листе 2 рабочей книги я начал с того, что задал как обычно, постановку задачи.
- Ввел исходные данные, дав имена x и A0 ячейкам, хранящим значения этих переменных.
- Построил три ряда значений: k - порядковые номера членов ряда, Ak - значения k -го члена ряда, Sum(Ak) - сумма первых k членов ряда.
- При построении ряда порядковых номеров в ячейку C9 занес 0 , в ячейку C10 формулу " =C9+1 ". Затем скопировал эту формулу, получив необходимое множество значений.
- При построении ряда значений Ak поступил аналогично, - в ячейку D9 занес начальное значение 1 , а в соседнюю ячейку D10 - формулу " =D9*x/C10 ". Затем формула была скопирована.
- При построении ряда, задающего накапливающуюся сумму, в ячейку E9 ввели формулу: " SUM(A0:D9) ". Обратите внимание, здесь A0 - это абсолютная ссылка - имя переменной, а D9 - это относительная ссылка. Последняя будет изменяться при копировании, позволяя тем самым накапливать сумму значений.
- В завершение, Мастер диаграмм помог построить график, демонстрирующий сходимость Ak к нулю и Sum(Ak) к e x .
- Заметьте, в данном решении появляется совершенно новое качество, крайне важное для обучения - здесь показан процесс решения, а не только конечный результат. Данное решение позволяет наглядно видеть, как сходится процесс вычислений, изучать влияние аргумента на скорость сходимости. Такое решение способствует тому, чтобы стать исследователем, вместо того, чтобы оставаться простым наблюдателем.
Задача 3
Найти корень уравнения 4-й степени:
используя метод Ньютона.
И этот класс задач решается на Excel теми же средствами, не требуя специального программирования. Вот как выглядят рекуррентные соотношения, определяющие нахождение корня по методу Ньютона:
В этом соотношении F1(X) - производная функции, которая для нашего уравнения задается соотношением:
Константа h задает шаг, позволяющий регулировать процесс сходимости. Обычно выбирается в пределах от 0,5 до 1,5 . Замечу, что скорость сходимости во многом зависит также от выбора начального приближения X0 .
Благодаря тем возможностям, которые предоставляет Excel по визуализации результатов, решение задачи можно разбить на два этапа. На первом этапе целесообразно построить график функции, дающий общую картину изменения функции и позволяющий определить интервал, на котором находится корень функции. Такой график позволяет со знанием дела выбрать начальное приближение для метода Ньютона. На втором этапе, имея хорошо подобранное начальное приближение, применяется метод Ньютона для поиска точного значения корня.
Вот мои действия по решению этой задачи:
Как обычно, я записал на рабочем листе постановку задачи и подготовил исходные данные.
На следующем шаге я записал рекуррентные соотношения позволяющие вычислить функцию на некотором интервале с фиксированным шагом. Реализуется все достаточно просто, как это уже описывалось для ранее рассмотренных подобных задач. В ячейку A12 я занес начальное значение аргумента функции - левый конец исследуемого интервала поведения функции. В ячейку A13 занес формулу " = A12 + DeltaX " и затем скопировал ее так, чтобы получить нужный мне интервал. В ячейку B13 я записал формулу, вычисляющую функцию F(x) по схеме Горнера - " = (((Cof1*A12 + Cof2)*A12 + Cof3)*A12 + Cof4)*A12 + Cof5 "
Скопировав эту формулу, я получил два ряда данных - аргументов и значений функции. Заметьте, DeltaX , Cof1 , Cof2 , …Cof5 - это имена, которые я дал исходным данным нашей задачи. Имена Cof1 - Cof5 заменяют имена коэффициентов функции - a , b , c , d , e .
Имея источник данных, я построил график функции в заданном интервале, вызвав Мастера построения диаграмм. Варьируя параметрами X0 и DeltaX , я подобрал для моей функции интервал так, чтобы на нем был хотя бы один корень. Благодаря тому, что все изменения мгновенно отражаются на графике, для функции, с которой я работал:
достаточно быстро удалось подобрать интервал - (-2, 3) , на котором функция имеет два действительных корня. Более того, из графика видно, что других действительных корней у этой функции больше нет. Вы сами можете в этом убедиться, взглянув на график:
Действия на втором этапе немногим отличаются от действий первого этапа. Отличие чисто техническое - создаются три ряда значений: Xk , F(Xk) , F1(Xk) и для определения Xk используется другая формула.
При создании ряда Xk в ячейку A26 я ввел начальное значение X0 , а в ячейку A27 формулу: " =A26 - Step*B26/C26 ", задающую изменение X в схеме Ньютона. Затем эта формула была скопирована так, чтобы получить достаточное число приближений.
Для получения ряда значений функции F(Xk) в ячейку B26 была введена формула, задающая функцию: " =(((Cof1*A26 + Cof2)*A26 + Cof3)*A26 + Cof4)*A26 + Cof5 "
Затем эта формула была скопирована параллельно значениям аргументов.
Аналогичные операции были проделаны для получения значений ряда производных F'(Xk) . Формула, введенная в ячейку C26, имела вид: " =((4*Cof1*A26 +3*Cof2)*A26 + 2*Cof3)*A26 + Cof4 "
Затем и эта формула была скопирована параллельно значениям аргументов.
Заметьте, что хотя здесь и нет циклических ссылок, формулы каждого ряда ссылаются на значения из других рядов. Поэтому правильные значения будут установлены только тогда, когда будут скопированы формулы всех трех рядов. Как выглядят связи между ячейками можно наглядно увидеть на рисунке, на котором, чтобы не загромождать его, показаны лишь начальные связи.
Все завершается, как всегда, построением графика. На следующем рисунке можно видеть, как для выбранного начального приближения сходится итерационный процесс, Xk - стремится к значению корня, F(Xk) - к нулю. Здесь же показано и поведение производной, которая тоже в данном случае стремится к постоянному значению. Оцените удобство Excel для решения подобных задач. Известно, что для итерационных процессов успех во многом зависит от правильного выбора начального приближения. Здесь подобрать начальное приближение легко и просто. Заодно отметим, что данное решение позволяет найти поочередно все корни уравнения. Известно, что с ростом степени уравнения итерационные методы начинают "спотыкаться" и перестают сходиться. Нам удавалось, однако, найти решение этого и других подобных уравнений, используя даже такой плохо сходящийся метод, как метод простой итерации. Часто процесс приближения расходился, но найти корень уравнения с приемлемой точностью за сч ет подбора начального приближения все же удавалось.
Читайте также: