Равномерное распределение в excel
Возвращает отдельное значение биномиального распределения. Функция БИНОМРАСП используется в задачах с фиксированным числом тестов или испытаний, когда результатом любого испытания может быть только успех или неудача, испытания независимы, а вероятность успеха одинакова на протяжении всего эксперимента. Например, при помощи БИНОМРАСП можно вычислить, с какой вероятностью двое из трех следующих новорожденных будут мальчиками.
Важно: Эта функция была заменена одной или несколькими новыми функциями, которые обеспечивают более высокую точность и имеют имена, лучше отражающие их назначение. Хотя эта функция все еще используется для обеспечения обратной совместимости, она может стать недоступной в последующих версиях Excel, поэтому мы рекомендуем использовать новые функции.
Дополнительные сведения о новом варианте этой функции см. в статье Функция БИНОМ.РАСП.
Синтаксис
Аргументы функции БИНОМРАСП описаны ниже.
Число_успехов — обязательный аргумент. Количество успешных испытаний.
Число_испытаний — обязательный аргумент. Количество независимых испытаний.
Вероятность_успеха — обязательный аргумент. Вероятность успеха каждого испытания.
Интегральная — обязательный аргумент. Логическое значение, определяющее форму функции. Если "накопительный" имеет number_s, функция БИНОМРАСП возвращает накопительную функцию распределения. Если имеется ложь, возвращается функция вероятностной массы, которая является вероятностью number_s успеха.
Замечания
Число_успехов и число_испытаний усекаются до целых.
Если x = число_успехов, n = число_испытаний и p = вероятность_успеха, то весовая функция биномиального распределения выглядит следующим образом:
Если x = число_успехов, n = число_испытаний и p = вероятность_успеха, то интегральное биномиальное распределение выглядит следующим образом:
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
Рассмотрим равномерное непрерывное распределение. Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Сгенерируем случайные значения с помощью функции MS EXCEL СЛЧИС() и надстройки Пакет Анализа, произведем оценку среднего значения и стандартного отклонения.
Равномерно распределенная на отрезке [a; b] случайная величина имеет плотность распределения (вероятности) :
Функция распределения определяется следующим образом:
Равномерное непрерывное распределение (англ. Continuous uniform d istribution или Rectangular distribution ) часто встречается на практике.
Пример1. Например, известно, что гейзер извергается каждые 50 минут. Найти вероятность, того что турист увидит извержение, если будет ждать у гейзера 20 минут. В соответствии с вышеуказанными формулами вероятность увидеть извержение в течение времени наблюдения равна 20/50=0,4, т.е. 40%.
Пример2. Симметричный волчок после раскручивания падает набок. Вертикальная ось волчка после падения указывает на определенный угол от 0 до 360 градусов. Найти вероятность, того что ось волчка укажет на сектор от 90 до 180 градусов. Вероятность равна (180-90)/(360-0)=0,25.
В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .
Математическое ожидание и дисперсия
Математическое ожидание для равномерного непрерывного распределения вычисляется по формуле =(a+b)/2.
Генерация случайных чисел
Случайные числа, имеющие равномерное непрерывное распределение на отрезке [0; 1), можно сгенерировать с помощью функции MS EXCEL СЛЧИС() . В функции нельзя задать нижнюю и верхнюю границу интервала, но записав формулу =СЛЧИС()*(b-a)+a можно сгенерировать равномерно распределенные числа на любом интервале [a; b).
Примечание : Чтобы сгенерировать случайные числа, имеющие равномерное дискретное распределение , воспользуйтесь функцией СЛУЧМЕЖДУ() .
Сгенерировать случайные числа, извлеченные из непрерывного равномерного распределения, можно также с помощью надстройки Пакет анализа .
Сгенерируем массив из 50 чисел из диапазона [3,3; 7,5). Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие параметры (см. файл примера лист Генерация ):
Как видно из рисунка выше, в поле Случайное рассеивание установлен необязательный параметр равный 2. Параметр Случайное рассеивание может принимать значение от 1 до 32767. Если установить этот параметр, то MS EXCEL будет каждый раз генерировать один и тот же массив чисел, соответствующий этот значению. Этот подход удобен для генерации одинаковых массивов, например, на различных компьютерах.
Оценка среднего и стандартного отклонения
Нижнюю и верхнюю границу интервала возьмем [3,3; 7,5) и разместим их в ячейках B4:B5 . Сгенерируем 50 чисел ( выборку ) и поместим их в диапазоне С14:С63 .
Математическое ожидание этого распределения =(B4+B5)/2 и равно 5,4. Стандартное отклонение распределения равно =КОРЕНЬ(((B5-B4)^2)/12)=1,21
Чтобы оценить математическое ожидание воспользуемся значениями выборки =СУММ(C14:C63)/СЧЁТ(C14:C63) .
Оценить стандартное отклонение можно с помощью формулы =СТАНДОТКЛОН.В(C14:C63) в MS EXCEL 2010 или =СТАНДОТКЛОН(C14:C63) для более ранних версий.
Чтобы оценить дисперсию используйте формулу =ДИСП.В(C14:C63) в MS EXCEL 2010 или =ДИСП(C14:C63) для более ранних версий. Также можно использовать формулу =СТАНДОТКЛОН.В(C14:C63)^2 .
СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .
Рассмотрим Равномерное дискретное распределение, построим график функции распределения, вычислим среднее значение и дисперсию. Сгенерируем случайные значения (выборку) с помощью функции MS EXCEL СЛУЧМЕЖДУ() . На основании выборки оценим среднее и стандартное отклонение распределения.
Равномерное дискретное распределение (англ. Discrete uniform distribution) имеет место, например, при подбрасывании симметричной монеты. Пусть если выпал «орёл», то случайная величина принимает значение 1, если выпала «решка» - то 0. Т.к. вероятность наступления событий одинакова и всего 2 возможных исхода, то вероятность случайной величины принять значение 1 (или 0) равна 1/2=0,5.
Распределение называется равномерным, т.к. вероятность любого исхода одинакова.
Примечание : В данном случае, когда возможно всего 2 исхода, равномерное распределение является частным случаем Распределения Бернулли с параметром p = q =1- p =0,5.
Другой пример. Результат бросания симметричной игральной кости является равномерной дискретной случайной величиной , т.к. количество точек на грани кубика принимает одно из 6 равновероятных значений. Вероятность выпадения каждой из шести граней равна 1/6.
Для этого примера функция распределения будет выглядеть следующим образом.
Примечание : Для построения графика использованы идеи из статьи про ступенчатый график .
СОВЕТ : Подробнее о Функции распределения см. статью Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL .
Математическое ожидание и дисперсия
В файле примера на листе График приведен расчет математического ожидания по формуле =(a+b)/2.
Дисперсия (квадрат стандартного отклонения) для равномерного дискретного распределения может быть вычислена по формуле =((b-a+1)^2-1)/12.
Генерация случайных значений
Случайные числа, имеющие равномерное дискретное распределение , можно сгенерировать с помощью функции MS EXCEL СЛУЧМЕЖДУ() . В функции можно задать нижнюю и верхнюю границу интервала [a; b]. Функцией будут сгенерированы целые случайные числа из указанного интервала (см. файл примера лист Генерация ).
Обратите внимание, что массив случайных чисел, сгенерированных с помощью функции СЛУЧМЕЖДУ() , автоматически обновится при пересчете листа. Пересчет листа в MS EXCEL производится при вводе нового значения в ячейку или при нажатии клавиши F9 .
Примечание : Подробнее про функцию СЛУЧМЕЖДУ() см. статью Функция СЛУЧМЕЖДУ() - Случайное число из заданного интервала в MS EXCEL .
Чтобы сгенерировать нецелые случайные числа, например из интервала [1,1; 2,5], необходимо записать формулу = СЛУЧМЕЖДУ(1,1*10;2,5*10)/10 .
Множитель 10 отражает тот факт, что нецелые случайные числа будут сгенерированы с точностью до десятых. Если интервал задан с точностью до сотых, то нужно использовать множитель 100.
Как видно из формулы - границы интервала также могут быть нецелыми числами. Хотя, конечно, можно сгенерировать числа, например, с точностью до сотых с помощью формулы = СЛУЧМЕЖДУ(10*100;20*100)/100 . В этом случае случайные числа будут принадлежать интервалу [10;20] и иметь вид 10,37; 16,08; 15,43 и т.д.
Оценка среднего и стандартного отклонения
Сгенерируем 50 чисел (выборку) и разместим их в диапазоне B17:B66 . Нижнюю и верхнюю границу интервала возьмем [1; 6] и разместим их в диапазоне B5:B6 .
Математическое ожидание этого распределения =(B5+B6)/2 и равно (6+1)/2=3,5. Стандартное отклонение распределения равно = КОРЕНЬ(((B6-B5+1)^2-1)/12) =1,71
Чтобы оценить математическое ожидание воспользуемся значениями выборки =СУММ(B17:B66)/СЧЁТ(B17:B66) .
Оценить стандартное отклонение можно с помощью формулы =СТАНДОТКЛОН.В(B17:B66) в MS EXCEL 2010 или = СТАНДОТКЛОН(B17:B66) для более ранних версий.
Чтобы оценить дисперсию используйте формулу =ДИСП.В(B17:B66) в MS EXCEL 2010 или =ДИСП(B17:B66) для более ранних версий. Также можно использовать формулу =СТАНДОТКЛОН.В(B17:B66)^2 .
СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .
Распределение вероятностей – одно из центральных понятий теории вероятности и математической статистики. Определение распределения вероятности равносильно заданию вероятностей всех СВ, описывающих некоторое случайное событие. Распределение вероятностей некоторой СВ, возможные значения которой x 1, x 2, … xn образуют выборку, задается указанием этих значений и соответствующих им вероятностей p 1, p 2,… pn . ( pn должны быть положительны и в сумме давать единицу).
В данной лабораторной работе будут рассмотрены и построены с помощью MS Excel наиболее распространенные распределения вероятности: биномиальное и нормальное.
1 Биномиальное распределение
Представляет собой распределение вероятностей числа наступлений некоторого события («удачи») в n повторных независимых испытаниях, если при каждом испытании вероятность наступления этого события равна p . При этом распределении разброс вариант (есть или нет события) является следствием влияния ряда независимых и случайных факторов.
П римером практического использования биномиального распределения может являться контроль качества партии фармакологического препарата. Здесь требуется подсчитать число изделий (упаковок), не соответствующих требованиям. Все причины, влияющие на качество препарата, принимаются одинаково вероятными и не зависящими друг от друга. Сплошная проверка качества в этой ситуации не возможна, поскольку изделие, прошедшее испытание, не подлежит дальнейшему использованию. Поэтому для контроля из партии наудачу выбирают определенное количество образцов изделий ( n ). Эти образцы всестороннее проверяют и регистрируют число бракованных изделий ( k ). Теоретически число бракованных изделий может быть любым, от 0 до n .
В Excel функция БИНОМРАСП применяется для вычисления вероятности в задачах с фиксированным числом тестов или испытаний, когда результатом любого испытания может быть только успех или неудача.
Функция использует следующие параметры:
БИНОМРАСП (число_успехов; число_испытаний; вероятностъ_успеха; интегральная) , где
число_успехов — это количество успешных испытаний;
число_испытаний — это число независимых испытаний (число успехов и число испытаний должны быть целыми числами);
вероятность_ успеха — это вероятность успеха каждого испытания;
интегральный — это логическое значение, определяющее форму функции.
Если данный параметр имеет значение ИСТИНА (=1), то считается интегральная функция распределения (вероятность того, что число успешных испытаний не менее значения число_ успехов);
если этот параметр имеет значение ЛОЖЬ (=0), то вычисляется значение функции плотности распределения (вероятность того, что число успешных испытаний в точности равно значению аргумента число_ успехов).
Пример 1. Какова вероятность того, что трое из четырех новорожденных будут мальчиками?
1. Устанавливаем табличный курсор в свободную ячейку, например в А1. Здесь должно оказаться значение искомой вероятности.
2. Для получения значения вероятности воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции ( fx ) .
3. В появившемся диалоговом окне Мастер функций - шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Статистическая. Справа в поле Функция выбираем функцию БИНОМРАСП и нажимаем на кнопку ОК.
Появляется диалоговое окно функции. В поле Число_ s вводим с клавиатуры количество успешных испытаний (3). В поле Испытания вводим с клавиатуры общее количество испытаний (4). В рабочее поле Вероятность_ s вводим с клавиатуры вероятность успеха в отдельном испытании (0,5). В поле Интегральный вводим с клавиатуры вид функции распределения — интегральная или весовая (0). Нажимаем на кнопку ОК.
В ячейке А1 появляется искомое значение вероятности р = 0,25. Ровно 3 мальчика из 4 новорожденных могут появиться с вероятностью 0,25.
Если изменить формулировку условия задачи и выяснить вероятность того, что появится не более трех мальчиков, то в этом случае в рабочее поле Интегральный вводим 1 (вид функции распределения интегральный). Вероятность этого события будет равна 0,9375.
Задания для самостоятельной работы
1. Какова вероятность того, что восемь из десяти студентов, сдающих зачет, получат «незачет». (0,04)
2 . Нормальное распределение
Нормальное распределение - это совокупность объектов, в кото рой крайние значения некоторого признака — наименьшее и наибольшее — появ ляются редко; чем ближе значение признака к математическому ожиданию, тем чаще оно встречается. Например, распределение студентов по их весу приближается к нормальному распределению. Это распределение имеет очень широкий круг приложений в статистике, включая проверку гипотез.
Диаграмма нормального распределения симметрична относительно точки а (математического ожидания). Медиана нормального распределения равна тоже а. При этом в точке а функция f(x) достигает своего максимума, который равен
В Excel для вычисления значений нормального распределения используются функция НОРМРАСП, которая вычисляет значения вероятности нормальной функции распределения для указанного среднего и стандартного отклонения.
Функция имеет параметры:
НОРМРАСП (х; среднее; стандартное_откл; интегральная) , где:
х — значения выборки, для которых строится распределение;
среднее — среднее арифметическое выборки;
стандартное_откл — стандартное отклонение распределения;
интегральный — логическое значение, определяющее форму функции. Если интегральная имеет значение ИСТИНА(1), то функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если это аргумент имеет значение ЛОЖЬ (0), то вычисляет значение функция плотности распределения.
Если среднее = 0 и стандартное_откл = 1, то функция НОРМРАСП возвращает стандартное нормальное распределение.
Пример 2 . Построить график нормальной функции распределения f ( x ) при x , меняющемся от 19,8 до 28,8 с шагом 0,5, a =24,3 и
1. В ячейку А1 вводим символ случайной величины х, а в ячейку B 1 — символ функции плотности вероятности — f ( x ) .
2. Вводим в диапазон А2:А21 значения х от 19,8 до 28,8 с шагом 0,5. Для этого воспользуемся маркером автозаполнения: в ячейку А2 вводим левую границу диапазона (19,8), в ячейку A3 левую границу плюс шаг (20,3). Выделяем блок А2:А3. Затем за правый нижний угол протягиваем мышью до ячейки А21 (при нажатой левой кнопке мыши).
3. Устанавливаем табличный курсор в ячейку В2 и для получения значения вероятности воспользуемся специальной функцией — нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции ( fx ) . В появившемся диалоговом окне Мастер функций - шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Статистическая. Справа в поле Функция выбираем функцию НОРМРАСП. Нажимаем на кнопку ОК.
4. Появляется диалоговое окно НОРМРАСП. В рабочее поле X вводим адрес ячейки А2 щелчком мыши на этой ячейке. В рабочее поле Среднее вводим с клавиатуры значение математического ожидания (24,3). В рабочее поле Стандартное_откл вводим с клавиатуры значение среднеквадратического отклонения (1,5). В рабочее поле Интегральная вводим с клавиатуры вид функции распределения (0). Нажимаем на кнопку ОК.
5. В ячейке В2 появляется вероятность р = 0,002955. Указателем мыши за правый нижний угол табличного курсора протягиванием (при нажатой левой кнопке мыши) из ячейки В2 до В21 копируем функцию НОРМРАСП в диапазон В3:В21.
6. По полученным данным строим искомую диаграмму нормальной функции распределения. Щелчком указателя мыши на кнопке на панели инструментов вызываем Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне выбираем тип диаграммы График, вид — левый верхний. После нажатия кнопки Далее указываем диапазон данных — В1:В21 (с помощью мыши). Проверяем, положение переключателя Ряды в: столбцах. Выбираем закладку Ряд и с помощью мыши вводим диапазон подписей оси X: А2:А21. Нажав на кнопку Далее, вводим названия осей Х и У и нажимаем на кнопку Готово.
Рис. 1 График нормальной функции распределения
Получен приближенный график нормальной функции плотности распределения (см. рис.1).
Задания для самостоятельной работы
1. Построить график нормальной функции плотности распределения f ( x ) при x , меняющемся от 20 до 40 с шагом 1 при
3. Генерация случайных величин
Еще одним аспектом использования законов распределения вероятностей являет ся генерация случайных величин. Бывают ситуации, когда необходимо получить последовательность случайных чисел. Это, в частности, требуется для моделирования объектов, имеющих случайную природу, по известному распределению вероятно стей.
Процедура генерации случайных величин используется для заполнения диапазона ячеек случайными числами, извлеченными из одного или не скольких распределений.
В MS Excel для генерации СВ используются функции из категории Математические :
СЛЧИС () – выводит на экран равномерно распределенные случайные числа больше или равные 0 и меньшие 1;
СЛУЧМЕЖДУ (ниж_граница; верх_граница) – выводит на экран случайное число, лежащее между про извольными заданными значениями.
В случае использования процедуры Генерация случайных чисел из пакета Анализа необходимо заполнить следующие поля:
- число переменных вводится число столбцов значений, которые необходимо разместить в выходном диапазоне. Если это число не введено, то все столбцы в выходном диапазоне будут заполнены;
- число случайных чисел вводится число случайных значений, которое необ ходимо вывести для каждой переменной, если число случайных чисел не будет введе но, то все строки выходного диапазона будут заполнены;
- в поле распределение необходимо выбрать тип распределения, которое следует использовать для генерации случайных переменных:
1. равномерное - характеризуется вер x ней и нижней границами. Переменные из влекаются с одной и той же вероятностью для всех значений интервала.
2. нормальное — характеризуется средним значением и стандартным отклонени ем. Обычно для этого распределения используют среднее значе ние 0 и стандартное отклонение 1.
3. биномиальное — характеризуется вероятностью успеха (величина р) для неко торого числа попыток. Например, можно сгенерировать случайные двухальтер нативные переменные по числу попыток, сумма которых будет биномиальной случайной переменной;
4. дискретное — характеризуется значением СВ и соответствующим ему интервалом вероятности, диапазон должен состоять из двух столбцов: левого, содержаще го значения, и правого, содержащего вероятности, связанные со значением в дан ной строке. Сумма вероятностей должна быть равна 1;
5. распределения Бернулли, Пуассона и Модельное.
- в поле случайное рассеивание вводится произвольное значение, для которого необ ходимо генерировать случайные числа. Впоследствии можно снова использовать это значение для получения тех же самых случайных чисел.
Пример 3. Повар столовой может готовить 4 различных первых блюда (уха, щи, борщ, грибной суп). Необходимо составить меню на месяц, так чтобы первые блюда чередовались в случайном порядке.
1. Пронумеруем первые блюда по порядку: 1 — уха, 2 — щи, 3 — борщ, 4 — грибной суп. Введем числа 1-4 в диапазон А2:А5 рабочей таблицы.
2. Укажем желаемую вероятность появления каждого первого блюда. Пусть все блюда будут равновероятны (р=1/4). Вводим число 0,25 в диапазон В2:В5.
4. Указываем выходной диапазон и нажимаем ОК. В столбце С появляются случайные числа: 1, 2, 3, 4.
Задание для самостоятельной работы
1. Сформировать выборку из 10 случайных чисел, лежащих в диапазоне от 0 до 1.
2. Сформировать выборку из 20 случайных чисел, лежащих в диапазоне от 5 до 20.
3. Пусть спортсмену необходимо составить график тренировок на 10 дней, так чтобы дистанция, пробегаемая каждый день, случайным образом менялась от 5 до 10 км.
4. Составить расписание внеклассных мероприятий на неделю для случайного проведения: семинаров, интеллектуальных игр, КВН и спец. курса.
5. Составить расписание на месяц для случайной демонстрации на телевидении одного из четырех рекламных роликов турфирмы. Причем вероятность появления рекламного ролика №1 должна быть в два раза выше, чем остальных рекламных роликов.
Читайте также: