Отчет об устойчивости excel как сделать
На практике многие экономические параметры (цены на продукцию и сырье, запасы сырья, спрос на рынке, заработная плата и т. д.) с течением времени меняют свои значения. Поэтому оптимальное решение задачи линейного программирования, полученное для конкретной экономической ситуации, после ее изменения может оказаться непригодным или неоптимальным. В связи с этим возникает задача анализа устойчивости задачи линейного программирования, а именно того, как возможные изменения параметров исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение.
Свойство устойчивости в общем случае - это сохранение оптимальности решения при небольших отклонениях параметров. Если значение оптимального решения резко меняется при небольших отклонениях параметров, то такой моделью сложно пользоваться на практике, где изменения цен и запасов - явление обыденное.
Анализ решения задач линейного программирования основывается на варьировании параметров а^, b[, Cj (i = 1, т; j = 1, п).
Интервалы изменения параметров задачи, для которых решение не изменяется, называется областью устойчивости.
Проверим решение задачи линейного программирования (пример 2.2) на устойчивость к изменению параметров модели. Для этого необходимо после запуска в Excel задачи на решение в окне Результаты поиска решения выделить с помощью мыши два типа отчетов: Результаты и Устойчивость (см. рис. 2.15).
Отчет по результатам состоит из трех таблиц (рис. 2.17):
- • таблица 1 содержит информацию о целевой функции;
- • таблица 2 содержит информацию о значениях переменных, полученных в результате решения задачи;
- • таблица 3 показывает результаты оптимального решения для ограничений задачи.
Microsoft Excel 12.0 Отчет по результатам
Рабочий лист: [лин прог.хЬх]ЛистХ
Отчет создан: 31.03.2010 12:18:55
Целевая ячейка (Максимум)
Ячейка Имя Исходное значение Результат
$D$11 Прибыль (ЦФ) Ограничения 0 2340
Ячейка Имя Исходное значение Результат
$В$10 План выпуска х1 0 15
$С$10 План выпуска х2 0 0
Ячейка Имя Значение Формула Статус Разница
$D$3 Время 1 Ограничения 30 $D$3 Замечание 2.13. При выходе за указанные в отчете по устойчивости пределы изменения цен оптимальное решение может меняться как по номенклатуре выпускаемой продукции, так и по объемам выпуска (без изменения номенклатуры).
В табл. 2 (см. рис. 2.18) содержится информация, относящаяся к ограничениям:
• величина использованных ресурсов в колонке Результ. значение',
- • предельные значения приращения ресурсов;
- • ценность дополнительной единицы i-го ресурса (теневая цена).
В графе Допустимое Уменьшение показывают, насколько можно уменьшить (устранить излишек) или увеличить (повысить минимально необходимое требование) ресурс, сохранив при этом оптимальное решение. Рассмотрим анализ дефицитных ресурсов, так как анализ недефицитных ресурсов был дан в отчете по результатам. Анализируя отчет по результатам, установили, что существуют причины (ограничения), не позволяющие молочному комбинату выпускать большее, чем в оптимальном решении, количество сыра и получать более высокую прибыль. В рассматриваемой задаче такими ограничениями являются дефицитные ресурсы «Время 2» и «Спрос 1». Поскольку знак ограничений этих ресурсов имеет вид «меньше или равно», то возникают вопросы, насколько максимально можно увеличить время работы 2-го цеха и насколько должен возрасти спрос на сыр «Нежный», чтобы обеспечить увеличение выпуска продукции? Ответ на этот вопрос показан в графе Допустимое Увеличение. Время работы 2-го цеха увеличить без изменения оптимального решения нельзя, так как допустимое увеличение равно 0 (строка 16 на рис. 2.18). Спрос же на сыр «Нежный» может неограниченно возрастать, что приведет к новым оптимальным решениям.
Ценность дополнительной единицы /-го ресурса (теневая цена) рассчитывается только для дефицитных ресурсов. После определения дефицитных ресурсов возникает следующий вопрос: какой из дефицитных ресурсов нужно увеличивать в первую очередь? Ответ на этот вопрос дает графа Теневая цена: чем выше значение теневой цены, тем выше ценность ресурса.
В отчете ПО РЕЗУЛЬТАТАМ приведены значения неизвестных и функции, а также данные о выполнении ограничений. В графе СТАТУС указано, что первое и третье ограничения связанные, а второе - не связанное. Это означает, что первый и третий ресурс используются полностью, а второй (сырье) не использован в объеме 292,5 ед.
Ресурс, который полностью расходится в производстве называется дефицитным, а который находится в излишке – избыточным.
| Изменяемые ячейки | ||||||
| Результ. | Нормир. | Целевой | Допустимое | Допустимое | ||
| Ячейка | Имя | значение | стоимость | Коэффициент | Увеличение | Уменьшение |
| $B$3 | значение продукт 1 | 397,5 | ||||
| $C$3 | значение продукт2 | -150 | 1,00E+30 | |||
| $D$3 | значение продукт3 | 191,25 | ||||
| Ограничения | ||||||
| Результ. | Теневая | Ограничение | Допустимое | Допустимое | ||
| Ячейка | Имя | значение | Цена | Правая часть | Увеличение | Уменьшение |
| $E$8 | компл. изд. левая часть | 3,75 | ||||
| $E$9 | сырье левая часть | 2707,5 | 1E+30 | 292,5 | ||
| $E$10 | материалы левая часть | 37,5 |
В отчете по устойчивости а графах ДОПУСТИМОЕ УВЕЛИЧЕНИЕ и ДОПУСТИМОЕ УМЕНЬШЕНИЕ приведены границы устойчивости неизвестных задачи (допустимое увеличение и уменьшение коэффициентов целевой функции), также границы устойчивости теневых цен (двойственных оценок).
Это очень важная информация, так как в модели задачи заложена априорная прибыль от единицы продукции каждого вида. Однако с течением времени могут измениться цены на продукцию или ресурсы, себестоимость продукции в результате влияния различных факторов может оказаться неоптимальным. Поэтому, зная нижние и верхние границы устойчивости критериальных коэффициентов, можно оценить устойчивость решения задачи. Если прибыль каждого вида продукции не выходит за пределы устойчивости, то базис полученного решения остается неизменным. Если же хотя бы одно значение прибыли вышло за границы устойчивости, то это говорит о том, что нужно решить задачу заново при уточненных параметрах прибыли.
Нижняя границы прибыли – это такая прибыль, при достижении которой изделие снимается с производства (если оно выпускалось).
Верхняя граница прибыли – это такая прибыль на данное изделие, что выпуск всех других изделий прекращается и все ресурсы направляются только на выпуск данного изделия.
В графе НОРМИРОВАННАЯ СТОИМОСТЬ элемент второй строки показывает, на сколько уменьшится значение функции, если в решении переменную х2 увеличить на единицу.
Во втором блоке отчета приведены данные о ресурсах. ТЕНЕВАЯ ЦЕНА (двойственная оценка) показывает дефицитность ресурса и меру его дефицитности.
Третий ресурс (материалы) является самым дефицитным, так как его теневая цена самая высокая. Второй ресурс (сырье) является избыточным, поэтому его теневая цена равна нулю.
Теневая цена показывает, на сколько возрастет (уменьшится) значение функции в оптимальном решении при увеличении ресурса на единицу. Если наличие третьего ресурса будет не 3150, а 3149, то значение целевой функции уменьшится на 37,5. при увеличении ресурса на единицу, значение целевой функции увеличится на единицу.
Таким образом, если наличие ресурса находится в границах устойчивости двойственной оценки, то не решая задачу заново, можно определить величину изменения суммарной прибыли.
Нижняя граница ресурса – это такой объем ресурса, при котором все ресурсы, кроме данного, становятся не дефицитными.
Верхняя граница ресурса – это такой объем ресурса, при котором все ресурсы, кроме данного, становятся дефицитными.
Используя отчет по устойчивости, можно, не решая задачу заново, оценить рентабельность нового продукта. Например, требуется оценить целесообразность введения в план производства четвертого вида продукта, нормы затрат ресурсов которого соответственно равны 5 (комплектность), 6 (сырье) и 6 (материалы) ед., а прибыль от реализации единицы продукта составит 200 ден. ед.
Рассчитаем стоимость ресурсов, расходуемых на единицу этой продукции:
5*3,75 + 6*0 + 6*37,5 = 243,75 ден. ед.
Получаем, что затраты на выпуск продукции превышают прибыль, получаемую за нее. Поэтому выпускать такую продукцию нецелесообразно. Это продукция будет рентабельной при установлении ее цены больше, чем 243,75.
Отчёт по устойчивости приводится в виде таблицы на рисунке 26. Первая часть таблицы содержит информацию, относящуюся к переменным:
· результат решения задачи;
· нормированная стоимость, которая показывает, насколько изменится значение ЦФ в случае принудительного включения единицы этой продукции в оптимальное решение. Например, нормированная стоимость для изделий вида А равна 7 тыс. руб/шт. (строка 1). Это означает, что если мы несмотря на оптимальное решение (0, 30, 10, 0) попробуем включить в план выпуска единицу изделия вида А, то новый план выпуска принесёт нам доход 143 тыс. руб., что на 7 тыс. руб. меньше, чем полученное оптимальное решение;
Рис. 26. Содержание отчёта по устойчивости
· коэффициенты целевой функции;
Во второй части таблицы рисунка 26 содержится информация, относящаяся к ограничениям:
· величина использованных ресурсов в колонке Результ. значение;
Анализ использования ресурсов в оптимальном плане выполняется с помощью второй теоремы двойственности:
если Yi>0, то (14)
если (15)
Ресурсы «труд» и «оборудование» имеют отличные от нуля оценки 4/3 (1,33333) и 1/3 (0,333) – эти ресурсы полностью используются в оптимальном плане и являются дефицитными, т.е. сдерживающими рост целевой функции. Правые части этих ограничений равны левым частям:
Этот ресурс не влияет на план выпуска продукции.
Общая стоимость используемых ресурсов при выпуске 30 изделий второго вида и 10 изделий третьего вида составит 150 тыс. руб.:
= 80×4/3 + 480×0 + 130×1/3 = 150 тыс. руб.
Согласно четвертому ограничению задачи не использованный полностью в оптимальном плане ресурс получает нулевую оценку. Нулевая оценка ресурса свидетельствует о его недефицитности. Недефицитность ресурса возникает не из-за его неограниченных запасов (в задаче они ограничены величиной bi), а вследствии невозможности его полного использования в оптимальном плане. Так как суммарный расход недефицитного ресурса меньше его общего количества, то план производства им не лимитируется. Данный ресурс не препятствует и дальше максимизировать целевую функцию
Заметим, что ценность различных видов ресурсов нельзя отождествлять с действительными ценами, по которым осуществляется его закупка. В данном случае речь идет о некоторой мере, имеющей экономическую природу, которая характеризует ценность ресурса только относительно полученного оптимального решения.
Анализ эффективности отдельных изделий выполняется на основе соотношений из второй теоремы двойственности:
если то (16)
если то (17)
Поясним равенство нулю Х1 и Х4. Если изделие вошло в оптимальный план (Хj > 0), то в двойственных оценках оно не убыточно, т.е. стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы изделия, равна его цене. Такие изделия эффективны, выгодны с точки зрения принятого критерия оптимальности. В нашей задаче – это изделия вида А и D.
Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за его убыточности. В нашей задаче в план выпуска не вошли изделия вида А и D, потому что затраты по ним превышают цену на 7 (10 - 3 = 7) тыс. руб. и 9,666 (10,666 - 1 = 9,666) тыс. руб. соответственно. Этот факт можно подтвердить, подставив в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора Y:
7×4/3 + 5×0+ 2×1/3 = 30/3 = 10 > 3,
2×4/3 + 8×0 + 4×1/3 = 12/3 = 4 = 4,
2×4/3 + 4×0 + 1×1/3 = 9/3 = 3 = 3,
6×4/3 + 3×0 + 8×1/3 = 32/3 = 10,666 > 1.
Разницу между правым и левыми частями ограничений двойственной задачи можно найти в Отчете по устойчивости в столбце Нормируемая стоимость.
Анализ влияния изменения правых частей ограничений на значения целевой функции (чувствительность решения к изменению запасов сырья).
Предположим, что запас сырья ресурса «труд» изменился на 12 ед., т.е. теперь он составляет 80 + 12 = 92 ед.
Для двойственных оценок оптимального плана существенное значение имеет их предельный характер. Оценки являются точной мерой влияния ограничений на функционал лишь при малом приращении ограничения. Известно, что оценки не меняют своей величины, если не меняется набор векторов, входящих в базис оптимального плана, тогда как интенсивность этих векторов (значения неизвестных) в плане могут меняться.
Поэтому необходимо знать такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы ограничений исходной ЗЛП, или интервалы устойчивости двойственных оценок, в которых оптимальный план двойственной задачи не менялся бы. Эту информацию можно получить из Отчета по устойчивости. В отчете (рис. 27) видно, что запасы дефицитных ресурсов «труд» и «оборудование» могут быть как уменьшены, так и увеличены. Увеличение запаса ресурса «сырье» не влияет на план выпуска продукции.
Рис. 27. Отчет по устойчивости
4. Нелинейное программирование
Задача нелинейного программирования формулируется подобно задаче линейного программирования, но с учетом того, что целевая функция или/и хотя бы одно ограничение являются нелинейными. Вследствие этого задачи нелинейного программирования (НП) сложнее задач линейного программирования (ЛП). И для них не существует общего метода решения, который был бы аналогичен симплексному методу в ЛП. Следует также заметить, что задачи нелинейного программирования включают в себя также нелинейные целочисленные задачи и задачи дискретного программирования. С учетом методов решения задачи нелинейной оптимизации делятся на задачи условной оптимизации (поиск экстремума функции с учетом дополнительных условий в виде ограничений и граничных условий) и задачи безусловной оптимизации (поиск экстремума функции без всяких дополнительных условий). Для решения такого типа задач существует много различных методов. Применение того или иного метода решения зависит от типа нелинейности. Надстройка Поиск решения помогает облегчить численное решение задач нелинейного программирования.
Читайте также: