Несмещенные точечные оценки параметров распределения х и у excel
Смысл статистических методов заключается в том, чтобы по выборке ограниченного объема, то есть по некоторой части генеральной совокупности, высказать обоснованное суждение о ее свойствах целиком.
Естественно, что замена исследования генеральной совокупности исследованием выборки порождает ряд вопросов:
1. В какой степени выборка отражает свойства генеральной совокупности, т. е. в какой степени выборка репрезентативна по отношению к генеральной совокупности?
2. Какую информацию о значениях параметров генеральной совокупности могут дать параметры выборки?
3. Можно ли утверждать, что полученные выборочным путем статистические характеристики (средние величины, дисперсия или любые другие производные величины) равны тем характеристикам, которые могут быть получены из генеральной совокупности.
Проверка показывает, что значения параметров, полученных для разных выборок из одной генеральной совокупности, обычно не совпадают. Рассчитанные выборочным путем числовые значения параметров выборок являются лишь результатом приближенного статистического оценивания значений этих параметров в генеральной совокупности. Статистическое оценивание, в силу изменчивости наблюдаемых явлений, позволяет получать только их приближенные значения.
Примечание. Строго говоря, в статистике оценка — это правило вычисления оцениваемого параметра, а термин оценить, т. е. провести оценивание, означает указать приближенное значение.
Различают оценки точечные и оценки интервальные.
Точечная оценка параметров распределения
Пусть x1, x2, …, xn – выборка объема n из генеральной совокупности с функцией распределения F(x).
Числовые характеристики этой выборки называются выборочными (эмпирическими) числовыми характеристиками.
Отметим, что выборочные числовые характеристики являются характеристиками данной выборки, но не являются характеристиками распределения генеральной совокупности. Однако эти характеристики можно использовать для оценок параметров генеральной совокупности.
Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.
Точечная оценка характеризуется свойствами:несмещенность, состоятельность и эффективность.
Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.
Точечная оценка называется состоятельной, если при неограниченном увеличении объема выборки (n ® ¥) она сходится по вероятности к истинному значению параметра, то есть стремится к истинному значению оцениваемого параметра генеральной совокупности.
Эффективной называют точечную оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию, те есть гарантирует наименьшее отклонение выборочной оценки от такой же оценки генеральной совокупности..
В математической статистике показывается, что состоятельной, несмещенной оценкой генерального среднего значения а является выборочное средне:
где хi – варианта выборки, ni – частота варианты хi, – объем выборки.
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправления выборочная дисперсия
Оценка s 2 для генеральной дисперсии является также и состоятельной, но не является эффективной. Однако в случае нормального распределения она является «асимптотически эффективной», то есть при увеличении n отношение ее дисперсии к минимально возможной неограниченно приближается к единице.
Итак, если дана выборка из распределения F(x) случайной величины Х с неизвестным математическим ожиданием а и дисперсией s 2 , то для вычисления значений этих параметров мы имеем право пользоваться следующими приближенными формулами:
Точечные оценки имеют тот недостаток, что при малом объеме выборки могут значительно отличаться от оцениваемых параметров. Поэтому, чтобы получить представление о близости между параметром и его оценкой, в математической статистике вводятся, так называемые, интервальные оценки.
Доверительный интервал
Доверительный интервал – это интервал, в котором заранее заданной доверительной вероятностью находится неизвестный параметр генеральной совокупности.
Доверительная вероятность – это вероятность, с которой неизвестный параметр генеральной совокупности принадлежит доверительному интервалу.
Обычно принимают р = 0,95 или (реже) 0,99. Эти вероятности признаны достаточными для уверенного суждения о генеральных параметрах на основании известных выборочных показателей.
Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид: где S – СКО, - критическое значение распределения Стьюдента (Смотри ПРИЛОЖЕНИЕ 1 к Теме 7)
Доверительный интервал для дисперсии имеет вид
где - обратное распределение хи-квадрат (Смотри ПРИЛОЖЕНИЕ 2 к Теме 7)
ЗАДАЧА. Дана выборка 5, 6, 8, 2, 3, 1, 1, 4. Записать данные в виде вариационного ряда. Определить оценки среднего, дисперсии, и стандартного отклонения а также построить доверительные интервалы для среднего и дисперсии на уровне значимости a=0,05.
Решение. Представим данные в виде вариационного ряда: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8. Так как n = 8, то выборочное среднее и исправленная выборочная дисперсия равны
Точечная оценка математического ожидания
Пусть выборка из генеральной совокупности, соответствующей случайной величине x с неизвестным математическим ожиданием Mx =q и известной дисперсией .
Рассмотрим оценку неизвестного математического ожидания
.
Оценка несмещённая, поскольку её математическое ожидание равно Mx =q :
,
Оценка состоятельная, поскольку при n®¥, :
.
Итак, для оценки неизвестного математического ожидания случайной величины будем использовать выборочное среднее: .
Точечная оценка дисперсии
Для дисперсии случайной величины можно предложить следующую оценку:
, где — выборочное среднее.
Доказано, что эта оценка состоятельная, но смещенная.
В качестве состоятельной несмещенной оценки дисперсии используют величину
.
Именно несмещенностью оценки объясняется ее более частое использование в качестве оценки дисперсии.
Пример 1
Видео
Пример 1. Задана выборка, содержащая 100 значений случайной величины.
Вычислим точечные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины.
На приведенном ниже рисунке изображён фрагмент листа Excel с вычислениями.
Получили .
Точечная оценка вероятности события
Предположим, что в некотором эксперименте событие A происходит (благоприятный исход испытания) с вероятностью p и не происходит с вероятностью q =1– p и пусть случайная величина m — количество благоприятных исходов в серии испытаний. Задача состоит в получении по результатам серии n случайных экспериментов оценки неизвестного параметра распределения p.
При заданном числе испытаний n величина m — случайная величина, имеющая биномиальное распределение. Если событие A в серии из n независимых испытаний произошло m раз, то m — значение случайной величины m .
Оценку величины будем вычислять по формуле .
Эта оценка несмещённая, состоятельная и эффективная.
Доказано, что эта оценка эффективна — обладает при прочих равных условиях минимальной дисперсией.
На рисунке приведен график зависимости точечной оценки вероятности p числа успехов от числа испытаний n в серии испытаний Бернулли. График построен по выборке 1000 значений случайной величины, имеющей биномиальное распределение с параметром p = 0.4. Видно, что с ростом числа испытаний точечная оценка приближается к известному точному значению параметра, которое равно 0.4.
График зависимости точечной оценки вероятности от числа испытаний
Пример 2
Видео
Пример 2. Задана выборка, содержащая 20 значений случайной величины (значения m ) — количество успехов в эксперименте из 1000 независимых испытаний (проведено 20 одинаковых экспериментов по 1000 независимых испытаний в каждом).
Найдём точечную оценку вероятности успеха p и исследуем статистические свойства этой оценки.
На приведенных ниже рисунках изображены фрагменты листа Excel с вычислениями.
Вычисленные значения оценки вероятности записаны в столбце B . Видно, что все эти значения близки к 0.3.
Значения вероятности лежат в интервале [0.2672, 0.3525], . Можно достаточно уверенно полагать вероятность успеха равной 0.3.
Точечная оценка параметров равномерного распределения
Пусть выборка из генеральной совокупности, соответствующей случайной величине x , имеющей равномерное распределение на [0, q ] с неизвестным параметром q . Наша задача — оценить этот неизвестный параметр.
Для случайной величины x , имеющей равномерное распределение на [0, q ] математическое ожидание и дисперсия известны: и .
А поскольку оценка величины M x известна, , то за оценку параметра q можно взять оценку .
Несмещенность оценки очевидна: .
,
т.е. при n ® ¥ дисперсия оценки стремится к нулю.
Для получения другой оценки параметра обратимся к другой статистике:
Пусть .
Найдем функцию распределения случайной величины :
, для .
Тогда математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны соответственно и , т.е. оценка состоятельная, но смещенная.
Однако если вместо рассмотреть , то и , — состоятельная и несмещенная оценка.
А поскольку , то оценка существенно эффективнее оценки . Например, при разброс оценки в 33 раза меньше разброса оценки .
Последний пример еще раз показывает, что выбор статистической оценки неизвестного параметра распределения — важная и нетривиальная задача.
Пример 3
Видео
Пример 3. Задана выборка, содержащая 100 значений случайной величины, о которой известно, что она имеет равномерное распределение на промежутке [0, q ].
Вычислим и сравним три оценки неизвестного параметра q , котрые вычисляются по формулам:
, , .
На приведенном ниже рисунке изображён фрагмент листа Excel с вычислениями.
Получили, что оценки и близки. Это и понятно, сомножитель в оценке при больших мало отличается от единицы.
Тема 2. Статистическое оценивание параметров распределений
Вспомним первый урок по теме (там же внизу оглавление) и основную задачу математической статистики. Она состоит в том, что для изучения генеральной совокупности объёма из неё производится выборка, состоящая из элементов, которая хорошо характеризует всю совокупность (свойство представительности). И на основании исследования этой выборочной совокупности мы с высокой достоверностью можем оценить генеральные характеристики. Чаще всего требуется выявить закон распределения генеральной совокупности (о чём пойдёт речь позже) и оценить его важнейшие числовые параметры, такие как генеральная средняя , генеральная дисперсия и среднее квадратическое отклонение .
Очевидно, что для оценки этих параметров нужно вычислить соответствующие выборочные значения. Так, выборочная средняя позволяет нам оценить генеральную среднюю , причём, оценить её точечно. Почему точечно? Потому что – это отдельно взятое, конкретное значение. Если из той же генеральной совокупности мы будем проводить многократные выборки, то в общем случае у нас будут получаться различные выборочные средние, и каждая из них представляет собой точечную оценку генерального значения .
Аналогично, несмещённой точечной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия , и соответственно, стандартного отклонения – исправленное стандартное отклонение .
…что-то не понятно / недопонятно в терминах? Срочно изучать предыдущие уроки!
Недостаток точечных оценок состоит в том, что при небольшом объёме выборки (как оно часто бывает), мы можем получать выборочные значения, которые далеки от истины.
И в этих случаях логично потребовать, чтобы выборочная характеристика (средняя, дисперсия или какая-то другая) отличалась от генерального значения не более чем на некоторое положительное значение . А точнее, менее.
Справка: – греческая буква «тета», – греческая буква «дельта».
Значение называется точностью оценки, и озвученное выше требование можно записать с помощью модуля:
Обозначение: точность оценки также обозначают через («эпсилон»).
Но статистические методы не позволяют 100%-но утверждать, что рассчитанное значение будет удовлетворять этому неравенству – ведь в статистике всегда есть место случайности, когда мы можем «выиграть в лотерею» в плохом смысле этого слова. Таким образом, можно говорить лишь о вероятности , с которой это неравенство осуществится: .
А теперь я раскрою модуль:
и сформулирую суть:
Интервал называется доверительным интервалом и представляет собой интервальную оценку генерального значения по найденному выборочному значению . Данный интервал с вероятностью «накрывает» истинное значение . Эта вероятность называется доверительной вероятностью или надёжностью интервальной оценки
Надёжность «гамма» часто задаётся наперёд, популярные варианты
На данном уроке будут рассмотрены:
- доверительный интервал для… – заголовок параграфа в поле зрения; – быстрая ссылка для опытных читателей.
Доверительный интервал для оценки генеральной средней
нормально распределённой генеральной совокупности
И мы сразу разберём распространённую и «заезженную» задачу, которую предлагают даже студентам-гуманитариям:
…да-да, пример уже 21-й!
Известно, что генеральная совокупность распределена нормально со средним квадратическим отклонением . Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью 0,95, если выборочная средняя , а объем выборки .
Внимание! Важное замечание: если в задаче указан тип выборки (повторная / бесповторная), то решение будет иметь свои особенности – читайте 10-ю статью об оценках по повторной и бесповторной выборке.
А теперь принципиальный момент непосредственно по задаче:
здесь известно стандартное отклонение генеральной совокупности.
Дело в том, что в похожих задачах оно бывает не известно, и тогда решение будет отличаться!
Но сейчас решение таково, разбираемся в ситуации:
– из генеральной совокупности попугаев проведена выборка в особей и по её результатам найдена выборочная средняя: (средняя масса попугая, например).
Выборочная средняя – это точечная оценка неизвестной нам генеральной средней . Как отмечалось выше, недостаток точечной оценки состоит в том, что она может оказаться далёкой от истины. И по условию, требуется найти интервал , которой с вероятностью накроет истинное значение .
Именно так! Здесь будет неверным сказать, что попадёт в этот интервал.
Решаем. Точность оценки рассчитывается по формуле , где – коэффициент доверия. Этот коэффициент отыскивается из соотношения , где – функция Лапласа.
В данном случае , следовательно:
И по таблице значений функции Лапласа либо пользуясь расчётным макетом (пункт 5*), выясняем, что значению соответствует аргумент .
Таким образом, точность оценки:
и искомый доверительный интервал:
Этот интервал с вероятностью (надёжностью) накрывает истинное генеральное значение среднего веса попугая. Но всё же остаётся 5%-ная вероятность, что генеральная средняя окажется вне найденного интервала.
Ответ: .
И тут возникает светлая мысль уменьшить этот интервал – чтобы получить более точную оценку. Что для этого можно сделать? Давайте посмотрим на формулу .
Очевидно, что чем меньше стандартное отклонение (мера разброса значений), тем короче доверительный интервал. Но это в отдельно взятой задаче ни на что не влияет – ведь нам известно конкретное значение , и изменить его нельзя.
Поэтому для уменьшения «дельты» можно уменьшить коэффициент доверия, например, вместо рассмотреть и тогда: , и доверительный интервал действительно станет в 2 раза короче. Но засада в том, что упадёт и доверительная вероятность:
, то есть о том, что этот более узкий интервал накроет генеральную среднюю, мы теперь можем утверждать лишь с вероятностью 68,26%. Что, конечно, неудовлетворительно, для серьёзного статистического исследования.
Поэтому для уменьшения доверительного интервала (при том же значении ) остаётся увеличивать объём выборки . Что совершенно понятно и без формулы , ведь чем больше объём выборки, тем точнее она характеризует генеральную совокупность (при прочих равных условиях). Об объёме мы поговорим на уроке об оценках по повторной и бесповторной выборке, ну а пока продолжаем.
Творческая задача для самостоятельного решения:
По результатам выборочного исследования объектов найдена выборочная средняя .
1) С какой вероятностью можно утверждать, что генеральная средняя отличается от найденного значения менее чем на 3, если известно, что генеральная совокупность распределения нормально с дисперсией 400?
2) Определить доверительный интервал, который с надежностью накроет истинное значение генеральной средней.
Расчётный макет (пункты 5 и 5*) – в помощь. Краткое решение в конце урока.
И тут, наверное, у вас назрели вопросы – а откуда известно, что генеральная совокупность распределена нормально, и тем более, откуда известно её стандартное отклонение?
Обычно эта информация известна из предыдущих исследований. Классический пример – измерительный прибор. Очевидно, что его случайные погрешности удовлетворяют условию теоремы Ляпунова, а значит, распределены нормально. Кроме того, производитель, как правило, тестирует прибор, и указывает в его паспорте стандартное отклонение случайных ошибок измерения, которое можно принять за .
Но если установить нормальность распределения достаточно просто (в том числе статистическими методами), то с генеральным значением всё сложнее – зачастую вычислить его трудно или невозможно.
В такой ситуации остаётся ориентироваться на исправленное стандартное отклонение , и решение несколько изменится. Ещё одна классическая задача, которая уже встретилась ранее:
В результате 10 независимых измерений некоторой величины , выполненных с одинаковой точностью, полученные опытные данные, которые представлены в таблице:
Предполагая, что результаты измерений подчинены нормальному закону распределения вероятностей, оценить истинное значение величины при помощи доверительного интервала, покрывающего это значение с доверительной вероятностью 0,95.
Не путать со случайными ошибками измерительного прибора! Здесь речь идёт об измерениях и помимо технических, велико влияние других, в частности, человеческого фактора, особенно, если вы используете махрово-аналоговый прибор – что-нибудь вроде механического секундомера или линейки.
Теперь построим доверительный интервал для оценки истинного (генерального) значения величины .
Если генеральное стандартное отклонение не известно
(наш случай), то этот интервал строится по похожей формуле:
, с той поправкой, что коэффициент доверия рассчитывается с помощью распределения Стьюдента. В рамках курса теорвера я не рассказывал об этом распределении, и поэтому ограничусь технической стороной вопроса.
Значение можно найти с помощью таблицы значений распределения Стьюдента, в частности, популярна таблица, специально адаптированная для данной задачи*. И, согласно этой таблице, доверительной вероятности и объёму выборки соответствует коэффициент доверия:
* В стандартной же таблице приводятся значения для так называемого уровня значимости и числа степеней свободы .
Другой, более универсальный способ – воспользоваться калькулятором, и чтобы далеко не ходить, я добавил этот функционал в расчётный макет: ищем Пункт 10б, забиваем значения , и получаем «на выходе» .
Вычислим точность оценки:
Таким образом, искомый доверительный интервал:
– данный интервал с вероятностью накрывает истинное значение измеряемой величины .
Ответ:
Для самостоятельного решения:
На основании испытаний установлено, что в среднем для изготовления шавермы полупроводникового диода требуется секунд, а исправленное среднее квадратическое отклонение составляет секунд. Предположив, что время изготовления диода есть нормальная случайная величина, определить с надежностью доверительный интервал для оценки среднего времени изготовления диода
Краткое решение и ответ в конце урока – расчётный макет (Пункт 10б) – в помощь.
Итак, что главное в разобранных задачах? Главное, обратить внимание, генеральное ли нам дано отклонение или исправленное выборочное . От этого зависит, какую формулу нужно использовать, эту:
, где ,
или эту:
, где отыскивается с помощью распределения Стьюдента.
И ещё один момент: при увеличении объёма выборки , распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению, и поэтому уже при (2-й случай) допускается нахождение с помощью того же соотношения . Но я бы не рекомендовал так делать. Потому что если дано , то предполагается, что решать нужно именно через «Стьюдента», и при наличии Экселя с этим никаких проблем – можно рассчитать любые значения, которые отсутствуют в таблицах.
И быстренько более редкая задача:
Доверительный интервал для оценки
генеральной дисперсии и стандартного отклонения
Этот интервал можно построить несколькими способами, которые я постараюсь уместить буквально в пару экранов. И сейчас последует продолжение той же задачи об измерениях:
По равноточным измерениям найдено исправленное среднее квадратическое отклонение . Предполагая, что результаты измерений распределены нормально, построить доверительный интервал для оценки истинного значения (генерального стандартного отклонения) с надёжностью .
Обратите внимание, что для решения этой задачи нам не обязательно знать выборочную среднюю (хотя в Примере 23 мы её нашли).
Способ первый. Доверительный интервал для оценки неизвестной дисперсии нормально распределённой генеральной совокупности определяется следующим образом (не пугаемся):
, где – распределение «хи-квадрат» (ещё один скелет в шкафу:)), а , – его критические значения, вычисленные для ,
Данный интервал с вероятностью (надёжностью) накрывает истинное значение . И если из всех частей неравенства извлечь корни, то получим соответствующий интервал для оценки генерального стандартного отклонения:
Значения известны, и осталось разобраться с нижним этажом. Во-первых, вычислим:
и теперь, по таблице критических значений распределения или с помощью расчётного макета (Пункт 11б) находим:
Обратите внимание, что получены различные значения, и наш доверительный интервал будет асимметричным (ввиду асимметрии распределения «хи-квадрат»):
– не забываем извлечь корни из знаменателей!
– таким образом, с вероятностью можно утверждать, что данный интервал накроет генеральное стандартное отклонение .
Как видите, интервал асимметричен относительно выборочного значения , и его широкий диапазон объясним малым объёмом выборки – велика вероятность, что при 10 измерениях полученное значение «эс» действительно далеко от истинного значения «сигма».
Способ второй. Другой, более простой подход состоит в построении симметричного интервала по формуле:
, где значение отыскивается по соответствующей таблице.
Согласно таблице, доверительной вероятности и объёму соответствует значение , таким образом:
В результате мы получили примерно такой же по размаху интервал. Для малых выборок может даже получиться , в таких случаях принимают ещё более грубую интервальную оценку:
Ответ: 1) , 2) .
Как и для распределения Стьюдента, при увеличении распределение хи-квадрат стремится к нормальному, и уже при можно использовать приближенную формулу:
, где коэффициент доверия определяется из знакомого лапласовского соотношения .
Иногда встречаются обратная задача – по известной точности оценки (т.е. известному интервалу) найти доверительную вероятность . Иногда требуется построить одностороннюю оценку. Но ввиду их исключительного «иногда», я передаю привет студентам Московского института статистики и продолжаю :)
Точнее завершаю, и ради исследовательского интереса предлагаю продолжить вам – экзаменационный Пример 20:
В результате обработки экспериментальных данных объёма мы получили следующие выборочные характеристики: .
В предположении о нормальном распределении генеральной совокупности, с надёжностью определить доверительные интервалы:
1) для оценки неизвестной генеральной средней ;
2) для оценки генерального среднего квадратического отклонения двумя способами – с помощью распределения хи-квадрат: и приближённо, по формуле , где .
И заметьте, что здесь «плакал» лёгкий способ построения интервала , так как в стандартной таблице отсутствуют значения для .
Краткое решение и примерный образец оформления в конце урока, который подошёл к концу. В следующей небольшой статье я разберу частную, но весьма популярную задачку по этой же теме – Оценка вероятности биномиального распределения, ну а если вам не терпится, то сразу к послеследующей статье.
До скорых встреч!
Решения и ответы:
Пример 22. Решение:
1) По условию, точность оценки равна и дисперсия .
Из формулы найдём коэффициент доверия:
Вычислим соответствующую доверительную вероятность:
– таким образом, с вероятностью 86,64% можно утверждать, что генеральная средняя отличается от менее чем на (т.е. находится в доверительном интервале от 90 до 96)
2) Для доверительной вероятности :
– этому значению функции Лапласа соответствует аргумент: .
Вычислим точность оценки:
Определим доверительный интервал:
– данный интервал с вероятностью 99% накрывает истинное значение .
Пример 24. Решение: доверительный интервал для оценки истинного значения измеряемой величины имеет вид:
Для заданного уровня доверительной вероятности и количества степеней свободы по таблице распределения Стьюдента находим: .
Вычислим точность оценки:
сек.
Таким образом, искомый доверительный интервал:
– данный интервал с вероятностью 99,9% накрывает истинное значение среднего времени изготовления одного диода.
Пример 26. Решение: вычислим исправленное среднеквадратическое отклонение:
1) Определим доверительный интервал , где .
Для уровня доверительной вероятности и объёма выборки по соответствующей таблице найдём .
Вычислим точность оценки:
Таким образом:
– с вероятностью данный интервал накроет генеральное среднее значение .
2) Найдём доверительный интервал для генерального стандартного отклонения .
а) С помощью распределения :
Вычислим и с помощью соответствующей функции Экселя (Пункт 11б) найдём:
Таким образом:
– искомый интервал, накрывающий генеральное значение с вероятностью .
б) Дадим интервальную оценку приближенно, с помощью формулы:
Коэффициент доверия найдём из соотношения . В данном случае:
, и с помощью таблицы или расчётного макета (Пункт 5*), выясняем, что .
Таким образом:
– искомый интервал.
Ответ:
1) ,
2) с помощью распределения и приближённо.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Когда оценка определяется одним числом, она называется точечной оценкой. Точечная оценка, как функция от выборки, является случайной величиной и меняется от выборки к выборке при повторном эксперименте.
К точечным оценкам предъявляют требования, которым они должны удовлетворять, чтобы хоть в каком-то смысле быть «доброкачественными». Это несмещённость, эффективность и состоятельность.
Интервальные оценки определяются двумя числами – концами интервала, который накрывает оцениваемый параметр. В отличие от точечных оценок, которые не дают представления о том, как далеко от них может находиться оцениваемый параметр, интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность оценок.
В качестве точечных оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения используют выборочные характеристики соответственно выборочное среднее, выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение.
Определение. Оценка называется несмещенной , если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемого параметра:
Выборочное среднее арифметическое является несмещенной оценкой математического ожидания, а выборочная дисперсия — смещенная оценка генеральной дисперсии D. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является оценка
Свойство состоятельности оценки .
Второе требование к оценке — ее состоятельность — означает улучшение оценки с увеличением объема выборки.
Сходимость по вероятности означает, что при большом объеме выборки вероятность больших отклонений оценки от истинного значения мала.
Свойство эффективной оценки .
Третье требование позволяет выбрать лучшую оценку из нескольких оценок одного и того же параметра.
Определение. Несмещенная оценка является эффективной , если она имеет наименьшую среди всех несмещенных оценок дисперсию.
Пример №1 . Найдите несмещенную оценку дисперсии измерений некоторой случайной величины одним прибором (без систематических ошибок), результаты измерения которой (в мм): 13,15,17.
Решение. Таблица для расчета показателей.
| x | |x - xср| | (x - xср) 2 |
| 13 | 2 | 4 |
| 15 | 0 | 0 |
| 17 | 2 | 4 |
| 45 | 4 | 8 |
Простая средняя арифметическая (несмещенная оценка математического ожидания)
Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего - смещенная оценка).
Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).
Пример №2 . Найдите несмещенную оценку математического ожидания измерений некоторой случайной величины одним прибором (без систематических ошибок), результаты измерения которой (в мм): 4,5,8,9,11.
Решение. m = (4+5+8+9+11)/5 = 7.4
Пример №3 . Найдите исправленную дисперсию S 2 для выборки объема n=10, если выборочная диспресия равна D = 180.
Решение. S 2 = n*D/(n-1) = 10*180/(10-1) = 200
Читайте также: