Метод нелдера мида эксель
Метод Нелдера-Мида является развитием симплексного метода Спендли, Хекста и Химсворта. Выпуклая оболочка множества -й равноудаленной точки в -мерном пространстве называется регулярным симплексом. Эта конфигурация рассматривается в методе Спендли, Хекста и Химсворта. В двухмерном пространстве регулярным симплексом является правильный треугольник, а в трехмерном - правильный тетраэдр. Идея метода состоит в сравнении значений функции в вершинах симплекса и перемещении симплекса в направлении оптимальной точки с помощью итерационной процедуры. В симплексном методе, предложенном первоначально, регулярный симплекс использовался на каждом этапе. Нелдер и Мид предложили несколько модификаций этого метода, допускающих, чтобы симплексы были неправильными. В результате получился очень надежный метод прямого поиска, являющийся одним из самых эффективных при .
Главными особенностями алгоритма можно назвать следующие:
- Метод Нелдера-Мида не накладывает ограничений на гладкость функции
- Данный метод явялется эффективным при низкой скорости вычисления минимизируемой функции. Как правило, на каждой итерации происходит вычисление значения функции не более чем в 3 точках.
- Отсутствие теории сходимости. АЛгоритм может расходиться даже на гладких функциях.
Постановка математической задачи
Задачей оптимизации называется задача поиска экстремума функции, заданной на некотором множетсве.
Как правило, под задачей оптимизации также подразумевается поиск элемента , при котором целевая функция достигает экстремума.
Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации необходимо задать:
- Допустимое множество
- Целевую функцию
- Критерий поиска (max или min)
Тогда решить задачу означает одно из:
- Показать что
- Показать, что целевая функция не ограничена.
- Найти
- Если не существует , то найти
Если допустимое множество , то такая задача называется задачей безусловной оптимизации, в противном случае — задачей условной оптимизации.
Рассматриваемая задача
Метод Нелдера-Мида, также известный как метод деформируемого многогранника, — метод безусловной оптимизации вещественной функции от нескольких переменных. Иными словами на допустимое множество накладываются следующие ограничения:
Кроме того, одним из главных преимуществ данного метода является то, что в нем не используется градиента целевой функции, что позволяет применять его к негладким функциям. Метод Нелдера-Мида использует понятие симплекса -мерного пространства'.
Множество называется выпуклым, если .
Выпуклой оболочкой множества называется наименьшее выпуклое множество такое, что
Симплексом или -симплексом называется выпуклая оболочка множества точек.
1-симплексом является отрезок
2-симплексом является треугольник
3-симплексом является тетраэдр.
Изложение метода
Параметрами метода являются:
- коэффициент отражения , обычно выбирается равным 1.
- коэффициент сжатия , обычно выбирается равным 0.5.
- коэффициент растяжения , обычно выбирается равным 2.
Инициализация.Произвольным образом выбирается точка , образующие симплекс n-мерного пространства. В этих точках вычисляются значения функции: .
1. Сортировка. Из вершин симплекса выбираем три точки: с наибольшим (из выбранных) значением функции , со следующим по величине значением и с наименьшим значением функции . Целью дальнейших манипуляций будет уменьшение по крайней мере . 2. Найдём центр тяжести всех точек, за исключением . Вычислять не обязательно. 3. Отражение. Отразим точку относительно с коэффициентом (при это будет центральная симметрия, в общем случае — гомотетия), получим точку и вычислим в ней функцию: . Координаты новой точки вычисляются по формуле 4. Далее сравниваем значение со значениями : 4а. Если , то производим растяжение. Новая точка и значение функции . Если , то заменяем точку на и заканчиваем итерацию (на шаг 8). Если , то заменяем точку на и заканчиваем итерацию (на шаг 8). 4b. Если , то заменяем точку на и переходим на шаг 8. 4с. Если , то меняем обозначения (и соответствующие значения функции) местами и переходим на шаг 5. 4d. Если , то переходим на шаг 5. 5. Сжатие. Строим точку и вычисляем в ней значение . 6. Если , то заменяем точку на и переходим на шаг 8. 7. Если , то производим сжатие симплекса — гомотетию к точке с наименьшим значением : для всех требуемых точек . 8. Последний шаг — проверка сходимости. Может выполняться по-разному, например, оценкой дисперсии набора точек. Суть проверки заключается в том, чтобы проверить взаимную близость полученных вершин симплекса, что предполагает и близость их к искомому минимуму. Если требуемая точность ещё не достигнута, можно продолжить итерации с шага 1.
Анализ метода
Изучение сходимости алгоритма Нелдера-Мида является трудной математической задачей. Известные результаты о сходимости симплекс-методов основаны на следующих предположениях:
- Симплекс не должен вырождаться при итерациях алгоритма
- На гладкость функции накладываются некоторые условия
В общем случае для метода Нелдера-Мида не выполняются сразу оба эти предположения, а следовательно, об условиях сходимости известно весьма мало. МакКиннон в 1998 году описал семейство строго выпуклых функций и класс начальных симплексов в двухмерном пространстве, для которых все вершины рабочего симплекса сходятся не к оптимальной точке. В 1998 году Лагариас опубликовал статью, в которой он исследовал сходимость метода в одно- и двухмерном пространствах для некоторых строго выпуклых функций с ограниченными поверхностями уровня.
Алгоритм Нелдера-Мида дает сильное уменьшение значение функции уже при первых нескольких итерациях и быстро достигает необходимой точности. Как правило, алгоритм производит одно или два вычисления функции на каждой итерации, если не учитывать сжатие, которое редко используется на практике. Это крайне важно в тех ситуациях, когда вычисление значений функции очень дорого или же требует много времени. Для подобных задач алгоритм Нелдера-Мида гораздо эффективнее многих других методов, требующих вычисления не менее значений функции на каждой итерации.
Главными преимуществами алгоритма являются его простота и эффективность.
С другой стороны, в силу отсутствия теории сходимости, на практике метод может приводить к неверному ответу даже для гладких функций. Также возможна ситуация, когда рабочий симплекс находится далеко от оптимальной точки, а алгоритм производит большое число итерации, при этом мало изменяя значения функции. Эвристический метод решения этой проблемы заключается в запуске алгоритма несколько раз и ограничении числа итераций.
Числовой эксперимент
В качестве числового эксперимента метод Нелдера-Мида был применен для вычисления минимума функции Розенброка:
для которой и . В качестве начального прибилжения был взят симплекс .
Ниже приведена таблица промежуточных результатов после каждых 10 итераций алгоритма.
| Число итераций | Координаты первой точки симплекса | Координаты второй точки симплекса | Координаты третьей точки симплекса | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 10 | x=2.78; y=7.55; | x=2.39; y=6.39; | x=1.73; y=6.87; | 6.725 | 1479.400 |
| 20 | x=2.63; y=6.96; | x=2.70; y=7.29; | x=2.64; y=6.88; | 2.769 | 3.225 |
| 30 | x=2.24; y=4.94; | x=2.35; y=5.50; | x=2.42; y=5.86; | 1.823 | 2.017 |
| 40 | x=1.90; y=3.58; | x=1.83; y=3.38; | x=1.97; y=3.89; | 0.821 | 0.996 |
| 50 | x=1.51; y=2.28; | x=1.53; y=2.36; | x=1.57; y=2.47; | 0.273 | 0.327 |
| 60 | x=1.20; y=1.42; | x=1.23; y=1.51; | x=1.27; y=1.61; | 0.050 | 0.079 |
| 70 | x=0.99; y=0.97; | x=1.01; y=1.02; | x=0.96; y=0.93; | 0.000 | 0.003 |
Итоговое количество итераций 79. Вычисленный минимум функционала равен .
Рекомендации программисту
Метод Нелдера-Мида прост в реализации, в качестве параметров алгоритма как правило используются следующие:
В качестве начального, как правило, используется произвольный симплекс. Также возможно многократное вычисление минимума при различных случайных начальных симплексах.
Ниже приведен пример функции на языке C++, реализующей алгоритм.
Заключение
Симплекс-метод Нелдера-Мида является очень эффективным алгоритмом поиска экстремума функции многих переменных, не накладывающим ограничений на гладкость функции. На каждой итерации алгоритма производится как правило одно-два вычисления значений функции, что чрезвычайно эффективно если эти вычисления очень медленны. Кроме того, алгоритма очень прост в реализации. Главным же его недостатком является отсутствие теории сходимости и наличие примеров, когда метод расходится даже на гладких функциях.
Метод Нелдера — Мида — метод оптимизации (поиска минимума) функции от нескольких переменных. Простой и в тоже время эффективный метод, позволяющий оптимизировать функции без использования градиентов. Метод надежен и, как правило, показывает хорошие результаты, хотя и отсутствует теория сходимости. Может использоваться в функции optimize из модуля scipy.optimize популярной библиотеки для языка python, которая используется для математических расчетов.
Алгоритм заключается в формировании симплекса (simplex) и последующего его деформирования в направлении минимума, посредством трех операций:
1) Отражение (reflection);
2) Растяжение (expansion);
3) Сжатие (contract);
Симплекс представляет из себя геометрическую фигуру, являющуюся n — мерным обобщением треугольника. Для одномерного пространства — это отрезок, для двумерного — треугольник. Таким образом n — мерный симплекс имеет n + 1 вершину.
Алгоритм
1) Пусть функция, которую необходимо оптимизировать. На первом шаге выбираем три случайные точки (об этом чуть позже) и формируем симплекс (треугольник). Вычисляем значение функции в каждой точке: , , .
Сортируем точки по значениям функции в этих точках, таким образом получаем двойное неравенство:
Мы ищем минимум функции, а следовательно, на данном шаге лучшей будет та точка, в которой значение функции минимально. Для удобства переобозначим точки следующим образом:
b = , g = , w = , где best, good, worst — соответственно.
2) На следующем шаге находим середину отрезка, точками которого являются g и b. Т.к. координаты середины отрезка равны полусумме координат его концов, получаем:
В более общем виде можно записать так:
3) Применяем операцию отражения:
Находим точку , следующим образом:
Т.е. фактически отражаем точку w относительно mid. В качестве коэффициента берут как правило 1. Проверяем нашу точку: если , то это хорошая точка. А теперь попробуем расстояние увеличить в 2 раза, вдруг нам повезет и мы найдем точку еще лучше.
4) Применяем операцию растяжения:
Находим точку следующим образом:
В качестве γ принимаем γ = 2, т.е. расстояние увеличиваем в 2 раза.
Если , то нам повезло и мы нашли точку лучше, чем есть на данный момент, если бы этого не произошло, мы бы остановились на точке .
Далее заменяем точку w на , в итоге получаем:
5) Если же нам совсем не повезло и мы не нашли хороших точек, пробуем операцию сжатия.
Как следует из названия операции мы будем уменьшать наш отрезок и искать хорошие точки внутри треугольника.
Пробуем найти хорошую точку :
Коэффициент β принимаем равным 0.5, т.е. точка на середине отрезка wmid.
Существует еще одна операция — shrink (сокращение). В данном случае, мы переопределяем весь симплекс. Оставляем только «лучшую» точку, остальные определяем следующим образом:
Коэффициент δ берут равным 0.5.
По существу передвигаем точки по направлению к текущей «лучшей» точке. Преобразование выглядит следующим образом:
Необходимо отметить, что данная операция дорого обходится, поскольку необходимо заменять точки в симплексе. К счастью было установлено, при проведении большого количества экспериментов, что shrink — трансформация редко случается на практике.
Алгоритм заканчивается, когда:
1) Было выполнено необходимое количество итераций.
2) Площадь симплекса достигла определенной величины.
3) Текущее лучшее решение достигло необходимой точности.
Как и в большинстве эвристических методов, не существует идеального способа выбора инициализирующих точек. Как уже было сказано, можно брать случайные точки, находящиеся недалеко друг от друга для формирования симплекса; но есть решение и получше, которое используется в реализации алгоритма в MATHLAB:
Выбор первой точки поручаем пользователю, если он имеет некоторое представление о возможном хорошем решении, в противном случае выбирается случайным образом. Остальные точки выбираются исходя из , на небольшом расстоянии вдоль направления каждого измерения:
где — единичный вектор.
определяется таким образом:
= 0.05, если коэффициент при в определении не нулевой.
= 0.00025, если коэффициент при в определении нулевой.
Пример:
Найти экстремум следующей функции:
В качестве начальных возьмем точки:
Вычислим значение функции в каждой точке:
Переобозначим точки следующим образом:
Находим середину отрезка bg:
Находим точку (операция отражения):
, т.к. пробуем увеличить отрезок (операция растяжения).
Проверяем значение функции в точке :
Оказалось, что точка «лучше» точки b. Следовательно мы получаем новые вершины:
И алгоритм начинается сначала.
Таблица значений для 10 итераций:
| Best | Good | Worst |
|---|
Аналитически находим экстремум функции, он достигается в точке .
После 10 итераций мы получаем достаточно точное приближение:
Еще о методе:
Алгоритм Нелдера — Мида в основном используется для выбора параметра в машинном обучении. В сущности, симплекс-метод используется для оптимизации параметров модели. Это связано с тем, что данный метод оптимизирует целевую функцию довольно быстро и эффективно (особенно там, где не используется shrink — модификация).
С другой стороны, в силу отсутствия теории сходимости, на практике метод может приводить к неверному ответу даже на гладких (непрерывно дифференцируемых) функциях. Также возможна ситуация, когда рабочий симплекс находится далеко от оптимальной точки, а алгоритм производит большое число итераций, при этом мало изменяя значения функции. Эвристический метод решения этой проблемы заключается в запуске алгоритма несколько раз и ограничении числа итераций.
Реализация на языке программирования python:
Создаем вспомогательный класс Vector и перегружаем операторы для возможности производить с векторами базовые операции. Я намерено не использовал вспомогательные библиотеки для реализации алгоритма, т.к. в таком случае зачастую снижается восприятие.
Спасибо за чтение статьи. Надеюсь она была Вам полезна и Вы узнали много нового.
С вами был FUNNYDMAN. Удачной оптимизации!)
1. Программа минимизации функции многих переменных методом деформируемого многогранника (по Нелдеру и Миду). Статья В.В. Цибанова. Формат PDF.
Аннотация. Реализован алгоритм минимизации функции многих переменных без вычисления производных. В основу положен метод деформируемого многогранника, известный также как модифицированный симплекс-метод. Программа ("Simplex") написана на языке Excel Vusual Basic (VBA). Предлагается в качестве простого и эффективного средства решения широкого круга вычислительных задач, таких как: решение линейных и нелинейных уравнений и их систем, минимизация суммы квадратов для линейных и нелинейных регрессий, поиск экстремумов функций без ограничений и с ограничениями в виде равенств и неравенств и т.п. Описан алгоритм и порядок использования программы, даны примеры решения наиболее типичных задач.
Примечание: демонстрация выполнена с использованием версии "Simplex-v1" (см. ниже).
2. Программы (VBA, © В.В. Цибанов, 2017) для бесплатного пользования (без вирусов, но содержит макросы; читать статью!):
Программа "Simplex" , базовая версия.
Программа "Simplex-v1", версия 1 (рекомендуемая). Дисперсия значений функции в конечном симплексе рассчитывается относительно достигнутого минимального значения, а не относительно значения в центроиде; вычисление функции в центроиде отменено.
3. Программа "simplex-fortrantovba". Та же программа; перевод на VBA с Fortfan IV. Исходный текст взят из монографии Д. Химмельблау "Прикладное нелинейное программирование" (см. ссылку ниже).
Составлена в целях сопоставительных испытаний программы "Simplex". Код написан по возможности близко к оригиналу и может быть сокращен. Внесены изменения в связи с избыточными (в оригинальной версии) обращениями к процедуре вычисления функции, а также с учетом особенностей среды Excel VBA.
4. Некоторые материалы из Интернета по алгоритму Нелдера-Мида:
II. ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ БЕЗ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
1. Руководство к программе "GLSM" (Generalized Least Squares Method). Статья В.В. Цибанова. Формат PDF.
2. Программы серии "GLSM" (VBA, © В.В. Цибанов, 2017) для бесплатного пользования:
Программа "GLSM" , базовая версия.
Программа "GLSM-v1", версия 1 (рекомендуемая). Внесены изменения в Sub Simplex() согласно версии "Simplex-v1" (см. выше); добавлены кнопки управления; защищены ячейки листов.
Метод Нелдера-Мида
Здравствуйте, есть ли у кого реализация данного метода для подобных функций?
Метод Нелдера — Мида
Доброго времени суток. У меня реализован алгоритм Нелдера — Мида для многомерной оптимизации.В.
Метод Нелдера-Мида
Очень нужна программка реализованная методом Нелдера-Мида, заранее спасибки
Метод нелдера-мида
Помогите пожалуйста написать программу. На delphi 7. Нахождение минимума функции методом.
потом скопируй и вставь свой код в пустой файл, сохрани его под именем nelder.m, а для запуска:
спасибо)) вроде получилось. только вот тут ошибку выдает.. не знаю что делать моя программа 8.2 функция f(x,y)=x^2-4x+y^2-y-xy
как все это дело запустить?? ничего не выходит(
Решение
masterturbo, такс, ну попробуем разобраться.если у тебя функция двух переменных, то на картинке функция записана верно, перепиши ее в отдельный файл м обзови его f.m, тогда внутри команды nelder будем писать 'f'.
А заковырка похоже в этой хитрой матрице V: т.к. переменных две, то вероятно и столбцов должно быть два!
Вообщем, поигрался я с этой ф-цией и нашел мелкие заковырки, в некоторых местах вместо 1 были строчные буквы L, которые очень похожи (строки 18, 26 и еще вроде где-то) и вконце вместо 0 был буква О (строка 113)
короче подправил и теперь даже работает
и рабочий вариант из командной строки вместе с результатами:
ЗЫ: если функция будет в отдельном файле, то ее имя нужно брать в одинарные прямые кавычки: 'f' ! Да вы волшебник! Спасибо, очень помогли))
а заковырки в коде это были от того что я текст распознавал с книги и некоторые символы не верно определились)) Ребята. Пожулуйста, если кому не трудно, как сделать так что бы рисовалиьс треугольники, когда алгоритм делает шаг. Я так радовалась что нашла готовую реализацию. А преподователь говорил, хочу что бы тругольники рисовались. Я программирование на очень большое ВЫ. Пожлауйста помогите.
Спасибо, кто отзовется. Для треугольников нужны три пары координат для каждого
Где тут массив с тремя парами координат ? Или я что не понимаю .
sergsh, привет.
я не знаю.
мне очень сложно разобраться как он работает. поэтому прошу ребят что бы помогли.
если не трудно. кто-нибудь скажите как это сделать. что бы треугольники рисовались.
сама точно не сделаю. а преподователь суровый очень. ему визуализация нужна. что бы он мог проверить правильно ли работет алгоритм.
помогите пожалуйста. буду очень признательна!
Добавлено через 8 часов 19 минут
А куда обратиться что бы за деньги сделали? Есть такое?
Добавлено через 23 секунды
И с помощью чего расплачиваться нужно?
Читайте также: