Инструментарий компьютерного математического моделирования решение задач с помощью excel
Презентация на тему: " Компьютерное математическое моделирование в среде Excel." — Транскрипт:
1 Компьютерное математическое моделирование в среде Excel
2 Определение целей моделирования Математическому моделированию подлежат объекты и процессы реального мира. Первый этап определение целей моделирования. Основные из них таковы: 1. модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект (или как проистекает процесс), какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание); 2. модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определять наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление); 3. модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).
3 Виды моделей Модель может быть похожей копией объекта, выполненной из другого материала, в другом масштабе, с отсутствием ряда деталей. Это множество натурных моделей. Модель может отображать реальность более абстрактно словесным описанием в свободной форме, описанием, формализованным по каким-то правилам, математическими соотношениями и т.д.
4 Модель Модель «заместитель» некоторого «оригинала», воспро изводящий его с той или иной достоверностью и подробностью. Модель является представлением объекта в некоторой форме, отличной от формы его реального существования.
5 Классификация моделей В прикладных областях человеческой деятельности различаются следующие виды абстрактных моделей. Вербальные (текстовые) модели. Эти модели используют последовательности предложений на формализованных диалектах естественного языка для описания той или иной области действительности (примерами такого рода моделей являются милицейский протокол, правила дорожного движения). Математические модели, выражающие существенные черты объекта или процесса языком уравнений и других математических средств. Они традиционны для теоретической физики, механики, химии, биологии и ряда других, в том числе гуманитарных и социальных, наук. Информационные модели класс знаковых моделей, описывающих информационные процессы (возникновение, передачу, преобразование и использование информации) в системах самой разнообразной природы.
6 Определение целей моделирования Выделение существенных свойств объекта Поиск математического описания Исходный объект Математическая модель Определение целей моделирования Выбор метода исследования Поиск математического описания Уточнение модели Проведение исследования Анализ результатов Конец Схема решения задач методом математического моделирования
7 Этапы решения задачи методом математического моделирования 1. На первом этапе исследования объекта или процесса обычно строится описательная информационная модель. Такая модель выделяет существенные, с точки зрения целей проводимого исследования, параметры объекта, а несущественными параметрами пренебрегает. 2. На втором этапе создается формализованная модель, т.е. описательная информационная модель записывается с помощью какого-либо формального языка. В такой модели с помощью формул, уравнений, неравенств и т.д. фиксируются формальные соотношения между начальными и конечными значениями свойств объектов, а также накладываются ограничения на допустимые значения этих свойств. 3. На третьем этапе необходимо формализованную информационную модель преобразовать в компьютерную модель, т.е. выразить ее на понятном для компьютера языке. 4. Четвертый этап исследования информационной модели состоит в проведении компьютерного эксперимента. Если компьютерная модель существует в виде программы на одном из языков программирования, ее нужно запустить на выполнение и получить результаты. 5. Пятый этап состоит в анализе полученных результатов и корректировке исследуемой модели. В случае различия результатов, полученных при исследовании информационной модели, с измеряемыми параметрами реальных объектов, можно сделать вывод, что на предыдущих этапах построения модели были допущены ошибки или неточности.
9 Моделирование экологических процессов Моделирование биологических процессов Моделирование финансово-экономических процессов –Маркетинговое исследование. Задача «Кинотеатр» –Задача о вкладах Моделирование физических процессов –Модели движения. Моделирование полета тела, брошенного под углом к горизонту Моделирование в задаче выбора железнодорожной станции Построение и исследование графиков функций Диаграммы типа «Поверхность» –Построении графиков функций двух переменных гиперболического и эллиптического параболоидов Моделирование задачи оптимального управления. –Про аэродром –Старинная задача Задачи
Цель работы: Исследовать возможность моделирования исследование математических функций, при помощи современных компьютерных средств. Методы проведенных исследований: математическое моделирование. Основные результаты научного исследования (научные, практические): разработана компьютерная модель для исследования математических функций на основе программы Microsoft Excel .
актуальность темы работы – Microsoft Excel — одна из самых загадочных и интересных программ в пакете MS Office. Интересна она многочисленными средствами автоматизации работы, оформления документов и богатыми вычислительными возможностями. Загадочность ее состоит в том, что большинство пользователей применяют лишь малую толику того, что может дать им Excel. Это тем более удивительно, что спектр возможностей программы практически безграничен: от создания простых таблиц, построения диаграмм и графиков до решения сложных вычислительных задач и моделирования различных процессов.
постановка и формулировка проблемы – данная работа посвящена использованию электронных таблиц EXCEL в анализе функций. В ней, используя знания и навыки работы с мастером функций и диаграмм Excel, будет проведен анализ функций с проведением расчетов по формулам и с построением графиков.
Для анализа элементарных функций необходимо уметь решать следующие задачи:
- определение возрастания или убывания функции на заданном интервале,
- определение максимума (минимума) данной функции на заданном интервале,
- нахождение точек пересечения функции с осью ОХ,
- нахождение производной функции
1. При решении некоторых задач часто возникает необходимость использования последовательности чисел.
Вносим формулу n /( n +1)
Копируем, замечаем, что при возрастании n , последовательность n /( n +1) стремиться к 1, при n =10000000, уже равна 1.
2Данную программу можно использовать для решения систем линейных уравнений.
- Прогрессия От-2 до 2 с шагом 0,2 задаем х.
-Выразим у и внесем в соседние ячейки, скопируем.
Внесем полученный ответ, т.е. (0;2) в некоторые ячейки, В27:С27
Ниже внесем формулы функций с ссылкой на аргумент т. на В27 и минус значение функции т.е. С27. по адресам В30:В32
Сервис, Поиск Решения, Установить Целевую ячейку В30=0, изменяя наши результаты, указываем диапазон В27:С27, и ограничения В31=0 и В3=0
3. В нахождении корней функции с помощью Прогрессии заполняем значения аргумента с шагом 0,1 на отрезке от -1 до 1
В соседнюю ячейку формулу функции с ссылкой на значение аргумента и копируем.
Видим, что функция меняет знак с минуса на плюс три раза. Выбираем значения.
Уточняем их с помощью:
Сервис, Параметры, Вычисления , Автоматически, количество интераций 1000 (Итерация в программировании — организация обработки данных, при которой действия повторяются многократно), погрешность 0,000001.
Сервис , Подбор параметра:
4. Находить экстремум функции или наибольшее и наименьшее значения.
Возьмем любое значение х из отрезка от -2 до 2, ну например -0,8
В соседнюю ячейку введем формулу функции с ссылкой на это значение аргумента
Сервис, Поиск решения , установить целевой ячейкой ячейку в нашем случае В3 = минимальному значению (Изменяя ячейку А3, и ограничения указываем отрезок, А3.>=0, A 3<=0, Выполнить
. Проверим правильно ли найдено решение задания
С помощью Прогрессии заполняем значение х на от -2 до 2 с шагом 0,1.
В соседнюю ячейку внесем формулу функции ссылкой на значение аргумента.
Выделим ячейки у и с помощью функции минимум (Вставка, Функция) найдем минимум 1,75
В частном случае при нахождении экстремума на указанном отрезке, найденное значение может быть не минимумом (максимумом) функции, а просто минимальным (максимальным) значением на указанном отрезке, т.е. экстремумом являться не будет. Чтобы проверить, является ли найденное решение экстремумом функции, необходима дополнительная проверка с помощью вычисления производной функции. Если производная функции для найденного решения равна нулю, то точка является экстремумом, а не точкой перегиба функции.
Производная – это отношение малого приращения функции к малому приращению аргумента.
В ячейку Е2=А3+1Е-9 т.е. к ячейке А3+0,000000001
В ячейку Е3 =А3-1Е-9 т. е. от ячейки А3-0,000000001, т.е. наше приращение аргумента величина 0,000000001 (Уточним количество знаков после запятой- Формат, Ячейки, Числовой- укажем 10 знаков после запятой)
В ячейку F 2 внесем формулу функции с ссылкой на ячейку Е2, и аналогично в ячейку F 3 внесем формулу функции с ссылкой на ячейку Е3.
В ячейку G 2 формулу =( F 3- F 2)/( E 3- E 2) и когда производная будет равна нулю, тогда наша точка будет экстремумом.
Заключение
В настоящее время получило всеобщее признание то, что успех развития многих областей науки и техники существенно зависит от развития многих направлений математики. Математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений.
Программа Microsoft Excel – одна из наиболее практически значимых, востребованных. Электронные таблицы не только позволяют автоматизировать расчеты, но и являются эффективным средством моделирования различных вариантов и ситуаций. Меняя значения исходных данных, можно проследить за изменением получаемых результатов и из множества вариантов решения задачи выбрать наиболее подходящий.
Пользователи Excel давно и успешно применяют программу для решения различных типов задач в разных областях.
Excel – это самая популярная программа в каждом офисе во всем мире. Ее возможности позволяют быстро находить эффективные решения в самых разных сферах деятельности. Программа способна решать различного рода задачи: финансовые, экономические, математические, логические, оптимизационные и многие другие. Для наглядности мы каждое из выше описанных решение задач в Excel и примеры его выполнения.
Решение задач оптимизации в Excel
Оптимизационные модели применяются в экономической и технической сфере. Их цель – подобрать сбалансированное решение, оптимальное в конкретных условиях (количество продаж для получения определенной выручки, лучшее меню, число рейсов и т.п.).
В Excel для решения задач оптимизации используются следующие команды:
- Подбор параметров («Данные» - «Работа с данными» - «Анализ «что-если»» - «Подбор параметра») – находит значения, которые обеспечат нужный результат.
- Поиск решения (надстройка Microsoft Excel; «Данные» - «Анализ») – рассчитывает оптимальную величину, учитывая переменные и ограничения. Перейдите по ссылке и узнайте как подключить настройку «Поиск решения».
- Диспетчер сценариев («Данные» - «Работа с данными» - «Анализ «что-если»» - «Диспетчер сценариев») – анализирует несколько вариантов исходных значений, создает и оценивает наборы сценариев.
Для решения простейших задач применяется команда «Подбор параметра». Самых сложных – «Диспетчер сценариев». Рассмотрим пример решения оптимизационной задачи с помощью надстройки «Поиск решения».
Условие. Фирма производит несколько сортов йогурта. Условно – «1», «2» и «3». Реализовав 100 баночек йогурта «1», предприятие получает 200 рублей. «2» - 250 рублей. «3» - 300 рублей. Сбыт, налажен, но количество имеющегося сырья ограничено. Нужно найти, какой йогурт и в каком объеме необходимо делать, чтобы получить максимальный доход от продаж.
Известные данные (в т.ч. нормы расхода сырья) занесем в таблицу:
На основании этих данных составим рабочую таблицу:
- Количество изделий нам пока неизвестно. Это переменные.
- В столбец «Прибыль» внесены формулы: =200*B11, =250*В12, =300*В13.
- Расход сырья ограничен (это ограничения). В ячейки внесены формулы: =16*B11+13*B12+10*B13 («молоко»); =3*B11+3*B12+3*B13 («закваска»); =0*B11+5*B12+3*B13 («амортизатор») и =0*B11+8*B12+6*B13 («сахар»). То есть мы норму расхода умножили на количество.
- Цель – найти максимально возможную прибыль. Это ячейка С14.
Активизируем команду «Поиск решения» и вносим параметры.
После нажатия кнопки «Выполнить» программа выдает свое решение.
Оптимальный вариант – сконцентрироваться на выпуске йогурта «3» и «1». Йогурт «2» производить не стоит.
Решение финансовых задач в Excel
Чаще всего для этой цели применяются финансовые функции. Рассмотрим пример.
Условие. Рассчитать, какую сумму положить на вклад, чтобы через четыре года образовалось 400 000 рублей. Процентная ставка – 20% годовых. Проценты начисляются ежеквартально.
Оформим исходные данные в виде таблицы:
Так как процентная ставка не меняется в течение всего периода, используем функцию ПС (СТАВКА, КПЕР, ПЛТ, БС, ТИП).
- Ставка – 20%/4, т.к. проценты начисляются ежеквартально.
- Кпер – 4*4 (общий срок вклада * число периодов начисления в год).
- Плт – 0. Ничего не пишем, т.к. депозит пополняться не будет.
- Тип – 0.
- БС – сумма, которую мы хотим получить в конце срока вклада.
Вкладчику необходимо вложить эти деньги, поэтому результат отрицательный.
Для проверки правильности решения воспользуемся формулой: ПС = БС / (1 + ставка) кпер . Подставим значения: ПС = 400 000 / (1 + 0,05) 16 = 183245.
Решение эконометрики в Excel
Для установления количественных и качественных взаимосвязей применяются математические и статистические методы и модели.
Дано 2 диапазона значений:
Значения Х будут играть роль факторного признака, Y – результативного. Задача – найти коэффициент корреляции.
Для решения этой задачи предусмотрена функция КОРРЕЛ (массив 1; массив 2).
Решение логических задач в Excel
В табличном процессоре есть встроенные логические функции. Любая из них должна содержать хотя бы один оператор сравнения, который определит отношение между элементами (=, >, =, Пример задачи. Ученики сдавали зачет. Каждый из них получил отметку. Если больше 4 баллов – зачет сдан. Менее – не сдан.
- Ставим курсор в ячейку С1. Нажимаем значок функций. Выбираем «ЕСЛИ».
- Заполняем аргументы. Логическое выражение – B1>=4. Это условие, при котором логическое значение – ИСТИНА.
- Если ИСТИНА – «Зачет сдал». ЛОЖЬ – «Зачет не сдал».
Решение математических задач в Excel
Средствами программы можно решать как простейшие математические задачки, так и более сложные (операции с функциями, матрицами, линейными уравнениями и т.п.).
Условие учебной задачи. Найти обратную матрицу В для матрицы А.
- Делаем таблицу со значениями матрицы А.
- Выделяем на этом же листе область для обратной матрицы.
- Нажимаем кнопку «Вставить функцию». Категория – «Математические». Тип – «МОБР».
- В поле аргумента «Массив» вписываем диапазон матрицы А.
- Нажимаем одновременно Shift+Ctrl+Enter - это обязательное условие для ввода массивов.
Возможности Excel не безграничны. Но множество задач программе «под силу». Тем более здесь не описаны возможности которые можно расширить с помощью макросов и пользовательских настроек.
Программное обеспечение: MS Office – PowerPoint, Excel.
Этапы урока:
- Организационный.
- Актуализация знаний учебной деятельности.
- Постановка цели урока.
- Освоение нового материала через выдвижение гипотез и анализ результатов исследования моделей.
- Первичная проверка понимания знаний. Практическая работа. Анализ результатов.
- Подведение итогов урока.
- Домашнее задание.
ХОД УРОКА
I. Организационная часть
II. Актуализация знаний учебной деятельности (слайды 2-8)
На сегодняшнем уроке мы продолжим с вами знакомится с возможностями электронных таблиц и прежде чем перейти к новой теме давайте вспомним некоторые понятия:
Математической модели (описание моделируемого процесса на языке математики),
Компьютерной математической модели (программа, реализующая расчеты состояния моделируемой системы по её математической модели).
Для работы с ЭТ проведём тест.
1) Для обозначения адреса ячейки ЭТ используются:
- буквы русского и латинского алфавита;
- только русские буквы и цифры;
- буквы латинского алфавита и цифры;
- специальные символы.
2) Внутри ячеек ЭТ могут находиться следующие данные:
- только числа и формулы.
- только числа, текст и рисунок.
- числа, формулы, текст.
- ни один из перечисленных объектов.
- адреса ячеек и знаки арифметических операций.
- буквы и цифры, обозначающие адреса ячеек и знаки математических операций.
- набор стандартных констант.
- связь между исходными и рассчитываемыми данными
4) Относительна ссылка – это:
- когда адрес, на который ссылается формула, при копировании не изменяется;
- ссылка, полученная в результате копирования формулы;
- когда адрес, на который ссылается формула, изменяется при копировании;
- ссылка, полученная в результате перемещения формулы.
5) Абсолютная ссылка – это:
- когда адрес, на который ссылается формула, при копировании не изменяется;
- ссылка, полученная в результате копирования формулы;
- когда адрес, на который ссылается формула, изменяется при копировании;
- ссылка в Сибирь (дорев.)
6) Обычно, при написании формул используются данные, расположенные в нескольких ячейках, так называемый диапазон ячеек, который выглядит в строке формул следующим образом:
- A1 B3
- A1 * B3
- A1 : B3
- A1 – B3
III. Постановка цели урока.
Тема нашего урока – “Математическое моделирование с использованием ЭТ”.
Цель урока:
- Познакомиться с возможностями MS Excel при решении нестандартных задач из разных предметных областей (в частности, биологии).
- Практически применить знания, умения и навыки, полученные при изучении темы «Табличные вычисления на компьютере».
- Создание модели, позволяющей рассчитывать биоритмы человека
IV. Освоение нового материала
При изучении темы «Моделирование» в 1 четверти мы с вами знакомились с математическими компьютерными моделями и пришли к выводу, что эти модели создаются для большей наглядности происходящих процессов и явлений.
Чаще всего э/т используются в заданиях такого типа, которые были рассмотрены в предыдущих параграфах: для получения расчётных ведомостей, списков и т.д. Однако э/т могут оказаться полезными и для научных целей.
Одна из функций ЭТ – решение задач моделирования в различных областях человеческой деятельности. ЭТ позволяют моделировать различные процессы - физические, математические, экономические, экологические, биологические. Сегодня мы решим одну из таких задач. (слайды 11-13 сопровождают объяснение).
Существует легенда о том, что в древнем Китае монахи день за днем вели наблюдения за человеком, записывая параметры его физической активности, умственных способностей и эмоционального состояния. В результате многолетних исследований они пришли к выводу, что эти функции являются периодическими с периодами для физической активности 23 дня, эмоциональной – 28 дней и интеллектуальной – 33 дня.
Физический биоритм характеризует жизненные силы человека, т.е. его физическое состояние.
Эмоциональный биоритм характеризует внутренний настрой человека, т.е. его возбудимость, способность эмоционального восприятия окружающего.
Интеллектуальный биоритм характеризует мыслительные способности, интеллектуальное состояние человека.
Характерная особенность этой гипотезы заключается в том, что функции состояния человека в момент его рождения равны нулю, затем начинают возрастать, каждая за свой период принимает одно положительное максимальное и одно отрицательное минимальное значение.
Многие полагают, что «взлетам» графика, представляющих собой синусоидальную зависимость, соответствуют более благоприятные дни.
Дни, в которые график переходит через ось абсцисс, являются критическими, т.е. неблагоприятными. Далеко не все считают эту теорию научной, но многие верят в нее.
В некоторых странах в критические дни, когда ось абсцисс пересекают одновременно две или три кривые, людям рискованных профессий (летчикам, каскадерам и др.) предоставляется выходной.
За точку отсчета всех трех биоритмов берется день рождения человека. (слайд 13)
Цель моделирования: (слайд 14)
- Составить модель биоритмов для конкретного человека от указанной текущей даты на месяц вперед с целью ее дальнейшего анализа.
- На основе анализа индивидуальных биоритмов прогнозировать неблагоприятные дни, выбирать благоприятные дни для разного рода деятельности.
Объектом моделирования является любой человек, для которого известна дата его рождения.
Физкультминутка. (слайд 18)
V. Первичная проверка понимания знаний. Практическая работа. Анализ результатов.
Компьютерный эксперимент. (слайд 19)
- Ввести свои данные – дату рождения и начало отсчета, длительность прогноза.
- Скопировать формулы с учетом длительности прогноза.
- По результатам расчета на отдельном листе построить общую диаграмму для трех биоритмов.
Анализ результатов моделирования (слайд 20)
- Проанализировав диаграмму, выбрать неблагоприятные дни для сдачи зачета по физкультуре.
- Выбрать день для похода в театр.
- Выбрать дни, когда ответы на уроках будут наиболее (наименее) удачными.
(сделать соответствующие записи в тетради)
VI. Домашнее задание. (слайд 21)
Продумать построение модели физической, эмоциональной и интеллектуальной совместимости двух друзей.
VII. Подведение итогов.
Итак, сегодня на уроке мы в очередной раз убедились в многофункциональности таблиц Excel. Мы увидели, что с помощью этой программы можно решать и математические, и биологические задачи. Я думаю, что цель нашего урока достигнута.
VIII. Домашнее задание
Задачи для подготовки к ГИА
VIII. Резерв.
Решение задач А1, В15 из КИМов ГИА.
Читайте также: