Имеется два вида корма 1 и 2 содержащие питательные вещества s1 s2 s3 excel
Решить задачу линейного программирования с помощью программы «Поиск решения» в MS Excel.
Формулировка задачи: Рацион для питания животных на ферме состоит из двух видов кормов I и II. Один кг корма I стоит 80 д.е. и содержит: 1 ед. жиров, 3 ед. белков, 1 ед. углеводов, 2 ед. нитратов. Один кг корма II стоит 10 д.е. и содержит: 3 ед. жиров, 1 ед. белков, 8 ед. углеводов, 4 ед. нитратов. Составить наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий жиров не менее 6 ед., белков не менее 9 ед., углеводов не менее 8 ед., нитратов не более 16 ед.
Экономико-математическая модель задачи:
Пусть Х 1 – количество корма I , X 2 – количество корма II, тогда суммарная стоимость будет равна:
Z=80X 1 +10X 2 → min (1)
Составим систему ограничений:
Найти решение системы ограничений (2) Х = (х 1 , х 2 ), такое, что целевая функция (2) будет принимать максимальное значение.
Ход решения задачи:
Для решения задачи на ПК с использованием Excel необходимо:
1. Ввести исходные данные в ячейки рабочего листа Excel.
2. Разместить блоки ячеек на рабочем листе Excel, необходимые для моделирования наиболее дешевого рациона питания, а также для формирования элементов математической модели и целевой функции.
3. Сформировать на рабочем листе Excel элементы математической модели и целевую функцию.
4. Настроить программу «Поиск решения» и выполнить ее.
Вводим исходные данные:
Размещаем блоки ячеек, необходимые для моделирования наиболее дешевого рациона питания, а также для формирования математической модели и целевой функции:
Выделяем блок ячеек «Оптимальный выпуск» (B12:C12) и заполняем их значениями 0,01
Выделяем первую ячейку «Фактически использовано» (E4), нажимаем на кнопку Автосуммирование, далее нажимаем на кнопку DELETE и выделяем блок B12:C12, нажимаем на кнопку * и выделаем блок B4:C4 (содержание питательных веществ). Нажимаем CTRL+SHIFT+ENTER.
Проделываем эту же операцию с ячейками E5:E7 соответственно.
Выделяем первую ячейку блока «Затраты» (ячейка B14). Вводим с клавиатуры формулу =B8*МАКС(B12;0), нажимаем CTRL+SHIFT+ENTER.
Соответственно заполняем вторую ячейку затрат (С14).
Выделить ячейку «Итоговая стоимость» (ячейка Е16), нажать кнопку Автосуммирование, затем DELETE. И выделить блок B14:С14, нажать кнопку ENTER.
Далее переходим к настройке «Поиск решения»
Выделяем ячейку E16 нажимаем сервис, далее поиск решения.
Далее устанавливаем целевую ячейку Е16, ставим точку равной минимальному значению, изменяя ячейки В12:С12
далее ставим ограничения: нажимаем кнопку «добавить»
Далее добавляем следующие ограничения:
далее сохранить найденное решение.
Используя MS Excel, решить задачу своего варианта (соответствует списочному номеру студента). Отчет оформить на рабочем листе Excel.
На предприятии для производства запасных частей для автомобилей используется три вида ресурсов. Выпускаются три вида запасных частей. Организация производства на предприятии характеризуется таблицей:
Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S 1 , S 2 , и S 3 . содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице.
Необходимый минимум питательных веществ
Число единиц питательных веществ в 1 кг корма
Стоимость 1 кг. корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед.
Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание питательных веществ каждого вида было бы не менее установленного предела.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?
1) Обозначим переменные:
Пусть x 1 – количество корма I
x 2 – количество корма II
С учетом этих обозначений экономико-математическая модель задачи имеет вид:
Ограничения по витамину S 1 , S 2 , S 3 .
Решим полученную задачу линейного программирования графическим методом.
Построим прямые ограничений:
При перемещении линии уровня в направлении вектора-градиента получаем точку В, это и есть точка минимума, найдем ее координаты – оптимальное решение.
3 х 1 + х 2 = 9 х 2 = 9 – 3 х 1 х 2 = 9 – 3*2 х 2 = 3
х 1 + 2 х 2 = 8 х 1 + 2(9 – 3 х 1 ) = 8 - 5 х 1 = -10 х 1 = 2
Значение целевой функции в точке В (2; 3) равно:
Таким образом, если взять 2 кг. корма I вида и 3 кг. корма II вида, то будет обеспечена максимальная полезность корма, при этом затраты составят 26 ден. ед.
При решении задачи на максимум линию уровня следует передвигать в направлении вектора С. При этом и чтобы составить дневной рацион, в котором содержание питательных каждого вида было бы не менее установленного предела, потребовалось бы неограниченное количество корма каждого вида и затраты при этом бесконечно возрасли.
Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования
На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.
Задание 1. Методы сетевого планирования и управления.
Задание 2. Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S1 S2 и S3. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице:
Питательное вещество (витамин) Необходимый минимум питательных веществ Число единиц питательных веществ в 1 кг корма
I II
S1
S2
S3 9
8
12 3
1
1 1
2
6
Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед.
Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?
Задание 3. Крупная юридическая фирма использует ежедневно в среднем 30 упаковок копировальной бумаги. Фирма работает 260 дней в году. Годовая стоимость хранения бумаги оценивается в 20 руб. за упаковку. Оформление и получение заказа стоит 120 руб. Срок доставки бумаги составляет 1 день. В настоящее время менеджер офиса использует объем заказа в 200 упаковок.
Определите объем заказа, который даст минимальные расходы, период поставок, точку заказа, затраты на управление запасами за год.
Порекомендуете ли Вы менеджеру использовать оптимальный объем заказа вместо 200?
Содержание
Прикрепленные файлы: 1 файл
К.р. по МОР.docx
Задание 2. Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S1 S2 и S3. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице:
Питательное вещество (витамин)
Необходимый минимум питательных веществ
Число единиц питательных веществ в 1 кг корма
Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед.
Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?
На основе имеющихся данных составим целевую функцию и систему ограничений. За х1 примем количество I вида корма, за х2 – количество II вида корма.
Так как необходимо минимизировать стоимость дневного рациона, то целевая функция будет выглядеть следующим образом:
Дневной рацион должен содержать питательные вещества каждого вида не менее установленного предела, система ограничений будет следующей:
3х1 + 1х2 ≥ 9, (ограничение по питательному веществу S1)
1х1 + 2х2 ≥8, (ограничение по питательному веществу S2)
1х1 + 6х2 ≥12, (ограничение по питательному веществу S3)
х1 ≥0; х2≥0 (условия неотрицательности переменных)
Строим область допустимых решений.
Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы координат.
Функциональные ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением полуплоскостей с граничными прямыми:
Для этого найдем по две точки каждой прямой, решив данные уравнения.
Данную прямую построим по двум точкам (0; 9) и (3; 0); обозначим на графике цифрой I. (рис. 10)
Построив данную прямую по двум точкам (0; 4) и (8; 0), обозначим на графике цифрой II.
Построив данную прямую по двум точкам (0; 2) и (12; 0), обозначим на графике цифрой III.
Так как уравнения системы ограничений имеют знак неравенства, то ответом для каждого из них будет являться полуплоскость. Нужную найдем по правилу контрольной точки.
Подставим в неравенство 3х1+х2=9 координату контрольной точки (0;0)
Неравенство неверно, поэтому выбираем ту полуплоскость, где не находится контрольная точка.
Подставим координаты (0; 0) в неравенство х1 + 2х2 = 8; 0 ≠8
Неравенство неверно, поэтому выбираем ту полуплоскость, где не находится контрольная точка.
Подставим координаты (0; 0) в неравенство х1 + 6х2 = 12; 0 ≠12
Неравенство неверно, поэтому выбираем ту полуплоскость, где не находится контрольная точка.
Построим все прямые из системы ограничений в системе координат и заштрихуем области решения каждого неравенства (полуплоскости). Все заштрихованные зоны уравнений системы ограничений пересекаются в области допустимых решений (ОДР). Обозначим вершины ОДР латинскими буквами ABCD.
Далее строим линию уровня. Для этого приравняем целевую функцию к постоянной величине a: 4х1 + 6х2 = а. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня.
Пусть а = 36, вычислим координаты двух точек, удовлетворяющих соответствующему уравнению 4х1 + 6х2 = 36.
Получены координаты первой точки линии уровня Е (0; 6).
Получены координаты второй точки линии уровня F (9; 0).
Через эти точки проведем линию уровня F(x) = 4х1 + 6х2 – 36 = 0
Строим вектор-градиент, по которому определяем направление поиска минимума функции. Координатами вектора является начало координат (0; 0) и коэффициенты при переменных в целевой функции (4; 6).
Так как в нашей задаче необходимо найти минимум функции, то будем двигать линию уровня параллельно самой себе против направления вектора-градиента до пересечения с самой низкой точкой ОДР. Этой точкой является В, где и находится минимум целевой функции.
Для определения точных координат точки В совместно решим систему уравнений прямых (I и II), при пересечении которых получена данная точка.
Координаты точки В (2; 3). Подставив их в уравнение целевой функции, получим искомый минимум:
F(x) = 4х1 + 6х2 = 4 * 2 + 6 * 3 = 8 + 18 = 26
Ответ. Для того, чтобы стоимость дневного рациона была минимальной, необходимо, чтобы в нем содержалось 2 кг корма I вида и 3 кг корма II вида. Тогда минимальная стоимость дневного рациона будет составлять 26 ден. ед.
Если решать задачу на максимум, то есть находить максимальную стоимость дневного рациона, то целевая функция будет следующей:
Система ограничений при этом не изменится. Линию уровня необходимо смещать параллельно самой себе в направлении вектора- градиента. На графике видно, что в направлении максимизации целевой функции ОДР является незамкнутым выпуклым многоугольником. Поэтому целевая функция неограниченна и задача не имеет решений, то есть max F(x) = +∞;. Максимальная стоимость дневного рациона неограниченна.
Проверка правильности решения с помощью средств MS Excel.
Рис.11. данные введены.
- Введем зависимость для целевой функции (рис.12).
Рис.12. введена зависимость для целевой функции.
Рис.13. Введены зависимости для ограничений.
Рис.14. Введены все условия задачи.
- Найдем решение. После нажатия кнопки Найти решение запускается процесс решения задачи (рис.15).
Рис.15. Решение получено.
Ответ. 2 кг корма I вида и 3 кг корма II вида. Минимальная стоимость дневного рациона будет составлять 26 ден. ед.
Задание 3. Крупная юридическая фирма использует ежедневно в среднем 30 упаковок копировальной бумаги. Фирма работает 260 дней в году. Годовая стоимость хранения бумаги оценивается в 20 руб. за упаковку. Оформление и получение заказа стоит 120 руб. Срок доставки бумаги составляет 1 день. В настоящее время менеджер офиса использует объем заказа в 200 упаковок.
Определите объем заказа, который даст минимальные расходы, период поставок, точку заказа, затраты на управление запасами за год.
Порекомендуете ли Вы менеджеру использовать оптимальный объем заказа вместо 200?
Параметры работы юридической фирмы: М = 7800 уп./год; К = 120 руб.; h = 20 руб. за уп./год; Q = 200 уп.
Оптимальный объем заказа находится по формуле:
Оптимальная периодичность пополнения запасов находится по формуле: (дней)
Поскольку среднесуточный расход равен 30 уп. бумаги , точка восстановления запаса (уровень запасов, при котором делается новый заказ) составит 30*1=30 шт.
Затраты на управление запасами за год находятся по формуле:
На данный момент менеджер использует объем заказа 200 уп. При таком объеме заказа расходы на хранение и доставку заказа составят:
При оптимальном объеме заказа 306 уп. Расходы на хранение и доставку составят:
Отсюда видно, что использование оптимального объема заказа увеличивает издержки предприятия на 560 руб. в год, поэтому я бы не порекомендовала менеджеру использовать оптимальный объем заказа.
Задание 4. В бухгалтерии организации в определенные дни непосредственно с сотрудниками работают два бухгалтера. Если сотрудник заходит в бухгалтерию для оформления документов (доверенностей, авансовых отчетов и пр.), когда оба бухгалтера заняты обслуживанием ранее обратившихся работников, то он уходит из бухгалтерии, не ожидая обслуживания. Статистический анализ показал, что среднее число сотрудников, обращающихся в бухгалтерию в течение часа, равно l; среднее время, которое затрачивает бухгалтер на оформление документа, равно Тср мин. (значения l и Тср по вариантам даны ниже в таблице).
Оценить основные характеристики работы данной бухгалтерии как СМО с отказами (указание руководства не допускать непроизводительных потерь рабочего времени!). Сколько бухгалтеров должно работать в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками, чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85%?
Задача составления рациона
Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S1, S2 и S3. Содержание числа единиц питательных веществ в 1кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице (цифры условные).
| Питательное вещество (витамин) | Необходимый минимум питательных веществ | Число единиц питательных веществ в 1 кг корма | |
| I | II | ||
| S1 | 18 | 3 | 1 |
| S2 | 16 | 1 | 2 |
| S3 | 5 | 1 | 6 |
Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 руб.
Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание каждого вида питательных веществ было бы не менее установленного предела.
Необходимо построить математическую модель задачи. Обозначим через x1 и x2 соответственно число единиц питательных веществ I и II вида кормов. Получим следующую модель:
В прямоугольной декартовой системе координат строим прямую 3x1 + x2 = 18, соответствующую первому неравенству системы ограничений (x1 – ось абсцисс).
Аналогично строим остальные прямые, соответствующие неравенствам системы ограничений.
Каждая прямая делит координатную плоскость на две полуплоскости, одна из которых является областью решений неравенства, соответствующего данной прямой. Для того чтобы определить какая из полуплоскостей является областью решений достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на данной прямой, подставить в неравенство. Подставим в первое неравенство точку O с координатами (0,0). Получаем строгое неравенство (0<18). Следовательно, точка О лежит в полуплоскости решений.
Аналогично находим области решений остальных неравенств и их пересечение. При этом необходимо учесть: x1 > 0 и x2 > 0. Следовательно, рассматриваем только ту часть многоугольника решений, которая лежит в I четверти декартовой системы координат.
Получаем многоугольник решений. Теперь необходимо найти точку (набор точек) в которой целевая функция принимает минимальное значение. Для этого строим нормаль линии уровня n = (4, 6) и одну из этих линий, например 4x1 + 6x2 = 100 (черная). Число 100 взято случайно.
Так как решается задача на отыскание минимального значения целевой функции задачи, передвигаем прямую 4x1 + 6x2 = 100 в направлении, противоположном направлению нормали n, до последней общей точки прямой с многоугольником решений задачи.
Получаем точку (X) пересечения прямых (красной и синей), ограничивающих область допустимых решений и соответствующих неравенствам (1) и (2). Определяем координаты точки (Х) пересечения, решая систему:
Получаем Х = (4, 6). Вычисляем целевую функцию. F (X) = 4*4+6*6=52.
Результат: максимальное значение целевая функция принимает при Х = (4, 6).
Контрольные по информатике запись закреплена
Задание 1.
Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S1S2 и S3. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице:
Питательное вещество
(витамин) Необходимый минимум
питательных веществ Число единиц питательных веществ
в 1 кг корма
I II
S1
S2
S3 9
8
12 3
1
1 1
2
6
Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед.
Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом.
Осуществить проверку правильности решения с помощью средств MSExcel (надстройки Поиск решения).
Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?
Задание 2.
На основе информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования сырья для максимизации выручки от реализации готовой продукции.
Вид сырья Нормы расхода сырья
на единицу продукции Запасы
сырья
А Б В
I 1 2 1 430
II 3 0 2 460
III 1 4 0 420
Цена единицы
продукции 3 2 5 -
1. Сформулируйте прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получите оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулируйте двойственную задачу и найдите ее оптимальный план (двойственные оценки) с помощью средств MS Excel (надстройка Поиск решения).
3. Поясните нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
а) проанализируйте использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
б) определите, как изменятся выручка и план выпуска продукции, если запасы сырья первого вида увеличить на 5 единиц, а запасы сырья второго вида уменьшить на 5 единиц;
в) оцените целесообразность включения в план выпуска продукции изделия четвертого вида ценой 7 единиц, если нормы затрат сырья составляют 2, 4 и 3 единицы соответственно.
Задание 4.
В течение девяти последовательных недельфиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателяприведен ниже.
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Y(t) 8 13 15 19 25 27 33 35 40
Требуется:
1) построить линейную модельY(t)=a_0+a_1 t,параметры которой оценить МНК (Y(t)— расчетные, смоделированные значениявременного ряда);
2) оценить адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использованииR/Sкритерия взять табулированные границы 2,7–3,7);
3) оценить точность моделей на основе использования среднейотносительной ошибки аппроксимации;
4) по построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитатьпри доверительной вероятности р = 70%);
5) фактические значения показателя, результаты моделированияи прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с точностью до одного знака после запятой.Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах.
Читайте также: