F распределение в excel

Обновлено: 08.01.2025

Распределение вероятностей – одно из центральных понятий теории вероятности и математической статистики. Определение распределения вероятности равносильно заданию вероятностей всех СВ, описывающих некоторое случайное событие. Распределение вероятностей некоторой СВ, возможные значения которой x ₁, x ₂, … x_n образуют выборку, задается указанием этих значений и соответствующих им вероятностей p ₁, p ₂,… p_n . ( p_n должны быть положительны и в сумме давать единицу).

В данной лабораторной работе будут рассмотрены и построены с помощью MS Excel наиболее распространенные распределения вероятности: биномиальное и нормальное.

1 Биномиальное распределение

Представляет собой распределение вероятностей числа наступлений некоторого события («удачи») в n повторных независимых испытаниях, если при каждом испытании вероятность наступления этого события равна p . При этом распределении разброс вариант (есть или нет события) является следствием влияния ряда независимых и случайных факторов.

П римером практического использования биномиального распределения может являться контроль качества партии фармакологического препарата. Здесь требуется подсчитать число изделий (упаковок), не соответствующих требованиям. Все причины, влияющие на качество препарата, принимаются одинаково вероятными и не зависящими друг от друга. Сплошная проверка качества в этой ситуации не возможна, поскольку изделие, прошедшее испытание, не подлежит дальнейшему использованию. Поэтому для контроля из партии наудачу выбирают определенное количество образцов изделий ( n ). Эти образцы всестороннее проверяют и регистрируют число бракованных изделий ( k ). Теоретически число бракованных изделий может быть любым, от 0 до n .

В Excel функция БИНОМРАСП применяется для вычисления вероятности в задачах с фиксированным числом тестов или испытаний, когда результатом любого испытания может быть только успех или неудача.

Функция использует следующие параметры:

БИНОМРАСП (число_успехов; число_испытаний; вероятностъ_успеха; интегральная) , где

число_успехов — это количество успешных испытаний;

число_испытаний — это число независимых испытаний (число успехов и число испытаний должны быть целыми числами);

вероятность_ успеха — это вероятность успеха каждого испытания;

интегральный — это логическое значение, определяющее форму функции.

Если данный параметр имеет значение ИСТИНА (=1), то считается интегральная функция распределения (вероятность того, что число успешных испытаний не менее значения число_ успехов);

если этот параметр имеет значение ЛОЖЬ (=0), то вычисляется значение функции плотности распределения (вероятность того, что число успешных испытаний в точности равно значению аргумента число_ успехов).

Пример 1. Какова вероятность того, что трое из четырех новорожденных будут мальчиками?

1. Устанавливаем табличный курсор в свободную ячейку, например в А1. Здесь должно оказаться значение искомой вероятности.

2. Для получения значения вероятности воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции ( fx ) .

3. В появившемся диалоговом окне Мастер функций - шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Статистическая. Справа в поле Функция выбираем функцию БИНОМРАСП и нажимаем на кнопку ОК.

Появляется диалоговое окно функции. В поле Число_ s вводим с клавиатуры количество успешных испытаний (3). В поле Испытания вводим с клавиатуры общее количество испытаний (4). В рабочее поле Вероятность_ s вводим с клавиатуры вероятность успеха в отдельном испытании (0,5). В поле Интегральный вводим с клавиатуры вид функции распределения — интегральная или весовая (0). Нажимаем на кнопку ОК.

В ячейке А1 появляется искомое значение вероятности р = 0,25. Ровно 3 мальчика из 4 новорожденных могут появиться с вероятностью 0,25.

Если изменить формулировку условия задачи и выяснить вероятность того, что появится не более трех мальчиков, то в этом случае в рабочее поле Интегральный вводим 1 (вид функции распределения интегральный). Вероятность этого события будет равна 0,9375.

Задания для самостоятельной работы

1. Какова вероятность того, что восемь из десяти студентов, сдающих зачет, получат «незачет». (0,04)

2 . Нормальное распределение

Нормальное распределение - это совокупность объектов, в кото рой крайние значения некоторого признака — наименьшее и наибольшее — появ ляются редко; чем ближе значение признака к математическому ожиданию, тем чаще оно встречается. Например, распределение студентов по их весу приближается к нормальному распределению. Это распределение имеет очень широкий круг приложений в статистике, включая проверку гипотез.

Диаграмма нормального распределения симметрична относительно точки а (математического ожидания). Медиана нормального распределения равна тоже а. При этом в точке а функция f(x) достигает своего максимума, который равен

В Excel для вычисления значений нормального распределения используются функция НОРМРАСП, которая вычисляет значения вероятности нормальной функции распределения для указанного среднего и стандартного отклонения.

Функция имеет параметры:

НОРМРАСП (х; среднее; стандартное_откл; интегральная) , где:

х — значения выборки, для которых строится распределение;

среднее — среднее арифметическое выборки;

стандартное_откл — стандартное отклонение распределения;

интегральный — логическое значение, определяющее форму функции. Если интегральная имеет значение ИСТИНА(1), то функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если это аргумент имеет значение ЛОЖЬ (0), то вычисляет значение функция плотности распределения.

Если среднее = 0 и стандартное_откл = 1, то функция НОРМРАСП возвращает стандартное нормальное распределение.

Пример 2 . Построить график нормальной функции распределения f ( x ) при x , меняющемся от 19,8 до 28,8 с шагом 0,5, a =24,3 и

1. В ячейку А1 вводим символ случайной величины х, а в ячейку B 1 — символ функции плотности вероятности — f ( x ) .

2. Вводим в диапазон А2:А21 значения х от 19,8 до 28,8 с шагом 0,5. Для этого воспользуемся маркером автозаполнения: в ячейку А2 вводим левую границу диапазона (19,8), в ячейку A3 левую границу плюс шаг (20,3). Выделяем блок А2:А3. Затем за правый нижний угол протягиваем мышью до ячейки А21 (при нажатой левой кнопке мыши).

3. Устанавливаем табличный курсор в ячейку В2 и для получения значения вероятности воспользуемся специальной функцией — нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции ( fx ) . В появившемся диалоговом окне Мастер функций - шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Статистическая. Справа в поле Функция выбираем функцию НОРМРАСП. Нажимаем на кнопку ОК.

4. Появляется диалоговое окно НОРМРАСП. В рабочее поле X вводим адрес ячейки А2 щелчком мыши на этой ячейке. В рабочее поле Среднее вводим с клавиатуры значение математического ожидания (24,3). В рабочее поле Стандартное_откл вводим с клавиатуры значение среднеквадратического отклонения (1,5). В рабочее поле Интегральная вводим с клавиатуры вид функции распределения (0). Нажимаем на кнопку ОК.

5. В ячейке В2 появляется вероятность р = 0,002955. Указателем мыши за правый нижний угол табличного курсора протягиванием (при нажатой левой кнопке мыши) из ячейки В2 до В21 копируем функцию НОРМРАСП в диапазон В3:В21.

6. По полученным данным строим искомую диаграмму нормальной функции распределения. Щелчком указателя мыши на кнопке на панели инструментов вызываем Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне выбираем тип диаграммы График, вид — левый верхний. После нажатия кнопки Далее указываем диапазон данных — В1:В21 (с помощью мыши). Проверяем, положение переключателя Ряды в: столбцах. Выбираем закладку Ряд и с помощью мыши вводим диапазон подписей оси X: А2:А21. Нажав на кнопку Далее, вводим названия осей Х и У и нажимаем на кнопку Готово.

Рис. 1 График нормальной функции распределения

Получен приближенный график нормальной функции плотности распределения (см. рис.1).

Задания для самостоятельной работы

1. Построить график нормальной функции плотности распределения f ( x ) при x , меняющемся от 20 до 40 с шагом 1 при

3. Генерация случайных величин

Еще одним аспектом использования законов распределения вероятностей являет ся генерация случайных величин. Бывают ситуации, когда необходимо получить последовательность случайных чисел. Это, в частности, требуется для моделирования объектов, имеющих случайную природу, по известному распределению вероятно стей.

Процедура генерации случайных величин используется для заполнения диапазона ячеек случайными числами, извлеченными из одного или не скольких распределений.

В MS Excel для генерации СВ используются функции из категории Математические :

СЛЧИС () – выводит на экран равномерно распределенные случайные числа больше или равные 0 и меньшие 1;

СЛУЧМЕЖДУ (ниж_граница; верх_граница) – выводит на экран случайное число, лежащее между про извольными заданными значениями.

В случае использования процедуры Генерация случайных чисел из пакета Анализа необходимо заполнить следующие поля:

- число переменных вводится число столбцов значений, которые необходимо разместить в выходном диапазоне. Если это число не введено, то все столбцы в выходном диапазоне будут заполнены;

- число случайных чисел вводится число случайных значений, которое необ ходимо вывести для каждой переменной, если число случайных чисел не будет введе но, то все строки выходного диапазона будут заполнены;

- в поле распределение необходимо выбрать тип распределения, которое следует использовать для генерации случайных переменных:

1. равномерное - характеризуется вер x ней и нижней границами. Переменные из влекаются с одной и той же вероятностью для всех значений интервала.

2. нормальное — характеризуется средним значением и стандартным отклонени ем. Обычно для этого распределения используют среднее значе ние 0 и стандартное отклонение 1.

3. биномиальное — характеризуется вероятностью успеха (величина р) для неко торого числа попыток. Например, можно сгенерировать случайные двухальтер нативные переменные по числу попыток, сумма которых будет биномиальной случайной переменной;

4. дискретное — характеризуется значением СВ и соответствующим ему интервалом вероятности, диапазон должен состоять из двух столбцов: левого, содержаще го значения, и правого, содержащего вероятности, связанные со значением в дан ной строке. Сумма вероятностей должна быть равна 1;

5. распределения Бернулли, Пуассона и Модельное.

- в поле случайное рассеивание вводится произвольное значение, для которого необ ходимо генерировать случайные числа. Впоследствии можно снова использовать это значение для получения тех же самых случайных чисел.

Пример 3. Повар столовой может готовить 4 различных первых блюда (уха, щи, борщ, грибной суп). Необходимо составить меню на месяц, так чтобы первые блюда чередовались в случайном порядке.

1. Пронумеруем первые блюда по порядку: 1 — уха, 2 — щи, 3 — борщ, 4 — грибной суп. Введем числа 1-4 в диапазон А2:А5 рабочей таблицы.

2. Укажем желаемую вероятность появления каждого первого блюда. Пусть все блюда будут равновероятны (р=1/4). Вводим число 0,25 в диапазон В2:В5.

4. Указываем выходной диапазон и нажимаем ОК. В столбце С появляются случайные числа: 1, 2, 3, 4.

Задание для самостоятельной работы

1. Сформировать выборку из 10 случайных чисел, лежащих в диапазоне от 0 до 1.

2. Сформировать выборку из 20 случайных чисел, лежащих в диапазоне от 5 до 20.

3. Пусть спортсмену необходимо составить график тренировок на 10 дней, так чтобы дистанция, пробегаемая каждый день, случайным образом менялась от 5 до 10 км.

4. Составить расписание внеклассных мероприятий на неделю для случайного проведения: семинаров, интеллектуальных игр, КВН и спец. курса.

5. Составить расписание на месяц для случайной демонстрации на телевидении одного из четырех рекламных роликов турфирмы. Причем вероятность появления рекламного ролика №1 должна быть в два раза выше, чем остальных рекламных роликов.

Критерий Фишера предназначен для сопоставления двух выборок по частоте встречаемости интересующего исследователя эффекта.

При увеличении расхождения между углами φ1 и φ2 и увеличения численности выборок значение критерия возрастает. Чем больше величина φ*, тем более вероятно, что различия достоверны.

Гипотезы критерия Фишера

H₀: Доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 не больше, чем в выборке 2.

H₁: Доля лиц, у которых проявляется исследуемый эффект, в выборке 1 больше, чем в выборке 2.

Графики функций

F -распределение при небольших параметрах (

В файле примера на листе График приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .

Примечание : Для построения функции распределения и плотности вероятности можно использовать диаграмму типа График или Точечная (со сглаженными линиями и без точек). Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм .

F-распределение в MS EXCEL

Примечание : Плотность вероятности можно также вычислить впрямую, с помощью формул (см. файл примера ).

Примеры расчетов приведены в файле примера на листе Функции .

Оценка взаимосвязи прибыли и затрат по функции ФИШЕР

Пример 1. Используя данные об активности коммерческих организаций, требуется сделать оценку связи прибыли Y (млн руб.) и затрат X (млн руб.), используемых для разработки продукции (приведены в таблице 1).

Таблица 1 – Исходные данные:

№	X	Y
1	210 000 000,00 ₽	95 000 000,00 ₽
2	1 068 000 000,00 ₽	76 000 000,00 ₽
3	1 005 000 000,00 ₽	78 000 000,00 ₽
4	610 000 000,00 ₽	89 000 000,00 ₽
5	768 000 000,00 ₽	77 000 000,00 ₽
6	799 000 000,00 ₽	85 000 000,00 ₽

Схема решения таких задач выглядит следующим образом:

№ п/п	Наименование показателя	Формула расчета
1	Коэффициент корреляции	=КОРРЕЛ(B2:B7;C2:C7)
2	Расчетное значение t-критерия tp	=ABS(C8)/КОРЕНЬ(1-СТЕПЕНЬ(C8;2))*КОРЕНЬ(6-2)
3	Табличное значение t-критерия trh	=СТЬЮДРАСПОБР(0,05;4)
4	Табличное значение стандартного нормального распределения zy	=НОРМСТОБР((0,95+1)/2)
5	Значение преобразования Фишера z’	=ФИШЕР(C8)
6	Левая интервальная оценка для z	=C12-C11*КОРЕНЬ(1/(6-3))
7	Правая интервальная оценка для z	=C12+C11*КОРЕНЬ(1/(6-3))
8	Левая интервальная оценка для rxy	=ФИШЕРОБР(C13)
9	Правая интервальная оценка для rxy	=ФИШЕРОБР(C14)
10	Стандартное отклонение для rxy	=КОРЕНЬ((1-C8^2)/4)

Таким образом, с вероятностью 0,95 линейный коэффициент корреляции заключен в интервале от (–0,386) до (–0,990) со стандартной ошибкой 0,205.

Проверка статистической значимости регрессии по функции FРАСПОБР

Пример 2. Произвести проверку статистической значимости уравнения множественной регрессии с помощью F-критерия Фишера, сделать выводы.

Для проверки значимости уравнения в целом выдвинем гипотезу Н₀ о статистической незначимости коэффициента детерминации и противоположную ей гипотезу Н₁ о статистической значимости коэффициента детерминации:

Проверим гипотезы с помощью F-критерия Фишера. Показатели приведены в таблице 2.

Таблица 2 – Исходные данные

Для этого используем в пакете Excel функцию:

α – вероятность, связанная с данным распределением;
p и n – числитель и знаменатель степеней свободы, соответственно.

Зная, что α = 0,05, p = 2 и n = 53, получаем следующее значение для F_крит (см. рисунок 2).

Рисунок 2 – Пример расчетов.

Таким образом можно сказать, что F_расч > F_крит. В итоге принимается гипотеза Н₁ о статистической значимости коэффициента детерминации.

Таблицы по нахождению критерия Фишера и Стьюдента

Таблицы значений F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента Вы можете посмотреть здесь.

Табличное значение критерия Фишера вычисляют следующим образом:

Определяют k1, которое равно количеству факторов (Х). Например, в однофакторной модели (модели парной регрессии) k1=1, в двухфакторной k=2.
Определяют k2, которое определяется по формуле n — m — 1, где n — число наблюдений, m — количество факторов. Например, в однофакторной модели k2 = n — 2.
На пересечении столбца k1 и строки k2 находят значение критерия Фишера

Для нахождения табличного значения критерия Стьюдента определяют число степеней свободы, которое определяется по формуле n — m — 1 и находят его значение при определенном уровне значимости (0,10, 0,05, 0,01).

Критерии Стьюдента

Для оценки статистической значимости модели по параметрам рассчитывают t-критерии Стьюдента.

Оценка значимости модели с помощью критерия Стьюдента проводится путем сравнения их значений с величиной случайной ошибки:

Случайные ошибки коэффициентов линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

Сравнивая фактическое и табличное значения t-статистики и принимается или отвергается гипотеза о значимости модели по параметрам.

Зависимость между критерием Фишера и значением t-статистики Стьюдента определяется так

Как и в случае с оценкой значимости уравнения модели в целом, модель считается ненадежной если tтабл > tфакт

Порядок расчета критерия φ*

1. Формулируем статистические гипотезы:

Но: доля студентов, получивших оценки 4 и 5 до эксперимента такая же, как и после эксперимента;

Н1: доля студентов, получивших оценки 4 и 5 после эксперимента больше, чем до эксперимента.

2. Определяем значения углов φ1 и φ2, соответствующие долям p1 = 0,666; p2 = 0,888

φ1= 2arcsin (√p1)= 2 arcsin √0,6662 arcsin (0,816)= 2·0.954=1.908

φ2= 2arcsin (√p2)= 2 arcsin √0,888=2 arcsin (0,942)= 2·1.228=2.457

3. Вычисляем эмпирическое значение φ по формуле.

4. Сравниваем эмпирическое значение критерия с критическим (представлено в таблице 2)

Таблица 2. Критические значения критерия при различных значениях уровнях значимости α (Попов Г.И. с соавт., 2007).

α	критические значения критерия φ*
0,001	2,91
0,01	2,31
0,05	1,64
0,1	1,29

Расчет в программе Excel

В программу введен контрольный пример. В верхней части программы показано, как должны быть представлены исходные данные в случае связанных выборок (слева) и в случае независимых выборок (справа).

Чтобы выполнить расчет, нужно заполнить клетки, выделенные желтым цветом в нижней части таблицы. После этого будет получено эмпирическое значение критерия (фи*эмп). Затем подученное значение эмпирического значения фи нужно сравнить с критическим значением (фи* крит) на заданном уровне значимости. Эти значения приведены в табл.1. Если фи*эмп больше чем фи*крит, различия между группами статистически достоверны.

Показатели качества уравнения регрессии

Показатель	Значение
Коэффициент детерминации	0.49
Средний коэффициент эластичности	0.51
Средняя ошибка аппроксимации	10.89

Для чего используется точный критерий Фишера?

Точный критерий Фишера в основном применяется для сравнения малых выборок. Этому есть две весомые причины. Во-первых, вычисления критерия довольно громоздки и могут занимать много времени или требовать мощных вычислительных ресурсов. Во-вторых, критерий довольно точен (что нашло отражение даже в его названии), что позволяет его использовать в исследованиях с небольшим числом наблюдений.

Особое место отводится точному критерию Фишера в медицине. Это важный метод обработки медицинских данных, нашедший свое применение во многих научных исследованиях. Благодаря ему можно исследовать взаимосвязь определенных фактора и исхода, сравнивать частоту патологических состояний между разными группами пациентов и т.д.

В каких случаях можно использовать точный критерий Фишера?

Сравниваемые переменные должны быть измерены в номинальной шкале и иметь только два значения, например, артериальное давление в норме или повышено, исход благоприятный или неблагоприятный, послеоперационные осложнения есть или нет.
Критерий подходит для сравнения очень малых выборок: точный критерий Фишера может применяться для анализа четырехпольных таблиц в случае значений ожидаемого явления менее 10, что является ограничением для применения критерия хи-квадрат Пирсона.
Точный критерий Фишера бывает односторонним и двусторонним. При одностороннем варианте точно известно, куда отклонится один из показателей. Например, во время исследования сравнивают, сколько пациентов выздоровело по сравнению с группой контроля. Предполагают, что терапия не может ухудшить состояние пациентов, а только либо вылечить, либо нет.
Двусторонний тест является предпочтительным, так как оценивает различия частот по двум направлениям. То есть оценивается верятность как большей, так и меньшей частоты явления в экспериментальной группе по сравнению с контрольной группой.

Аналогом точного критерия Фишера является Критерий хи-квадрат Пирсона, при этом точный критерий Фишера обладает более высокой мощностью, особенно при сравнении малых выборок, в связи с чем в этом случае обладает преимуществом.

Критические точки распределения Фишера

(k₁— число степеней свободы большей дисперсии,
k₂—число степеней свободы меньшей дисперсии)
Уровень значимости a =0.01

Рассмотрим распределение Фишера (F-распределение). С помощью функции MS EXCEL F .РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности, поясним применение этого распределения для целей математической статистики.

F-распределение (англ. F-distribution) применяется для целей дисперсионного анализа (ANOVA), при проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений (F-тест) и др.

Определение : Если U ₁ и U ₂ независимые случайные величины, имеющие ХИ2-распределение с k ₁ и k ₂ степенями свободы соответственно, то распределение случайной величины:

носит название F -распределения с параметрами k ₁ и k ₂ .

Плотность F -распределения выражается формулой:

где Г(…) – гамма-функция:

если альфа – положительное целое, то Г( альфа )=( альфа -1)!

СОВЕТ : Подробнее о Функции распределения и Плотности вероятности см. статью Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL .

Приведем пример случайной величины, имеющей F -распределение.

Пусть имеется 2 нормальных распределения N(μ ₁ ;σ ₁ ) и N(μ ₂ ; σ ₂ ), из которых сделаны выборки размером n ₁ и n ₂ . Если s ₁ 2 и s ₂ 2 – дисперсии этих выборок , то отношение

имеет F -распределение. Это соотношение нам потребуется при проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений (F-тест) .

Графики функций

F-распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для F-распределения имеется специальная функция F.РАСП() , английское название – F.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина Х, имеющая F - распределение , примет значение меньше или равное х, P(X файл примера ).

До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция FРАСП() , которая позволяет вычислить функцию распределения (точнее - правостороннюю вероятность, т.е. P(X>x)). Функция FРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости. Аналогом FРАСП() является функция F.РАСП.ПХ() , появившаяся в MS EXCEL 2010.

Примеры расчетов приведены в файле примера на листе Функции .

В MS EXCEL имеется еще одна функция, использующая для расчетов F-распределение – это F.ТЕСТ(массив1;массив2) . Эта функция возвращает результат F-теста : двухстороннюю вероятность того, что разница между дисперсиями выборок "массив1" и "массив2" несущественна. Предполагается, что выборки делаются из нормального распределения .

Обратная функция F-распределения

Обратная функция используется для вычисления альфа - квантилей , т.е. для вычисления значений x при заданной вероятности альфа , причем х должен удовлетворять выражению P

Функция F.ОБР.ПХ() используется для вычисления верхнего квантиля . Т.е. если в качестве аргумента функции указан уровень значимости, например 0,05, то функция вернет такое значение случайной величины х, для которого P(X>x)=0,05. В качестве сравнения: функция F.ОБР() вернет такое значение случайной величины х, для которого P(X F.ОБР.ПХ() использовалась функция FРАСПОБР() .

Вышеуказанные функции можно взаимозаменять, т.к. следующие формулы возвращают одинаковый результат: =F.ОБР(0,05;k1;k2) =F.ОБР.ПХ(1-0,05;k1;k2) = FРАСПОБР (1-0,05;k1;k2)

СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

Функция FПАСПОБР в Excel используется для проверки значимости модели регрессии с применением F-критерия (критерий Фишера), и возвращает числовое значение, соответствующее обратному значению для F-распределения вероятностей (верхнему квантилю). Например, если в качестве вероятности (первый аргумент функции) было введено значение уровня значимости, к примеру, 0,08, то FПАСПОБР вычислит значение случайной величины x, для которой выполняется следующее условие – P(X>x) = 0,08.

Функция FРАСПОБР для оценки значимости параметров модели регрессии

Критическое значения F может быть определено в случае, если в качестве первого аргумента рассматриваемой функции будет введено значение уровня значимости.

Для расчета F используется следующая формула:

Функция оперирует двумя дополнительными критериями:

Числитель степеней свободы: n1 = k.
Знаменатель степеней свободы: n2 = (n – k – 1).

Через переменную k обозначают число факторов, которые были включены в исследуемую модель регрессии.

В Excel предусмотрена функция для расчета вероятности для распределения Фишера – FРАСП. Между данной и рассматриваемой функциями существует следующая взаимосвязь: =FРАСПОБР(FРАСП(x;n1;n2);n1;n2)=x.

В MS Office 2007 и более поздних версиях была введена функция F.ОБР.ПХ, которая заменила рассматриваемую функцию. FПАСПОБР была оставлена для обеспечения совместимости с документами, созданными в более старых версиях Excel.

Определение верхнего квартиля F-распределения Фишера в Excel

Пример 1. В таблице указаны вероятность, связанная с распределением Фишера, а также числитель и знаменатель степеней свободы соответственно. Определить верхний квантиль данного F-распределения.

Вид таблицы данных:

Вычислим искомое значение с помощью функции:

Оценка в Excel эффективности использования технологий на производстве

Пример 2. На заводе есть несколько цехов по производству одного типа продукции. Существует 3 различные технологии изготовления данной продукции. Для оценки были записаны данные о количестве часов, необходимых для производства одной партии продукции каждым цехом с использованием каждой из трех технологий. Оценить эффективность использования технологий, проанализировать полученные значения.

Вид таблицы данных:

Проведем однофакторный дисперсионный анализ для данных, находящихся в диапазоне ячеек B3:D7, используя соответствующую надстройку Excel. Полученная таблица результатов:

По условия поставленной задачи нас интересует выделенное значение. Поскольку оно <0,05, между данными существует линейная зависимость. В результате анализа уже было определено значение, возвращаемое функцией FРАСПОБР (F критическое). Для расчета можно было использовать функцию:

Здесь СЧЁТЗ(B3:D3) определяет число полей данных, а СЧЁТЗ(B3:D7) – количество исследуемых числовых значений.

Распределение Фишера (F-распределение). Распределения математической статистики в EXCEL

носит название F -распределения с параметрами k ₁ и k ₂ .

Плотность F -распределения выражается формулой:

где Г(…) – гамма-функция:

если альфа – положительное целое, то Г( альфа )=( альфа -1)!

Приведем пример случайной величины, имеющей F -распределение.

Графики функций

F-распределение в MS EXCEL

Примеры расчетов приведены в файле примера на листе Функции .

Обратная функция F-распределения

СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

FРАСПОБР для проверки значимости модели регрессии в Excel

Функция FРАСПОБР для оценки значимости параметров модели регрессии

Для расчета F используется следующая формула:

Функция оперирует двумя дополнительными критериями:

Числитель степеней свободы: n1 = k.
Знаменатель степеней свободы: n2 = (n – k – 1).

Через переменную k обозначают число факторов, которые были включены в исследуемую модель регрессии.

Определение верхнего квартиля F-распределения Фишера в Excel

Вид таблицы данных:

Вычислим искомое значение с помощью функции:

Оценка в Excel эффективности использования технологий на производстве

Вид таблицы данных:

По условия поставленной задачи нас интересует выделенное значение. Поскольку оно

Здесь СЧЁТЗ(B3:D3) определяет число полей данных, а СЧЁТЗ(B3:D7) – количество исследуемых числовых значений.

Особенности использования функции FРАСПОБР в Excel

Функция имеет следующую синтаксическую запись:

Однофакторный дисперсионный анализ в Excel

Однофакторный дисперсионный анализ изучает влияния одного фактора на анализируемый признак.

В таблицы приведены статистические данные по количеству изготовленных деталей на заводе каждым мастером в течение каждой недели.

Необходимо выяснить зависимость количества изготовленных деталей от производительности мастера. Уровень значимости равен α=0.05.

Переходим на вкладку Данные -> Анализ данных. Выбираем однофакторный дисперсионный анализ и жмём Ок.

Появляется окно, здесь во входном интервале выбираем диапазон данный в нашей таблицы в нашем случае это диапазон ячеек $C$3:$G$6, альфа ставим 0,05 (обычно в Excel данная величина стоит по умолчанию) и в выходном интервале указываем произвольную ячейку на листе Excel, где желаете, чтобы отобразился результат, далее Ок.

В результате получим решение в виде таблицы.

Из таблицы значения F-критерия равно F_набл=3.8, а F_крит=3, правосторонний интервал (3; +∞) F_набл>F_крит, отсюда следует, что F_набл лежит в этом интервале, следовательно, нулевую гипотезу H о равенстве групповых матожиданий — отвергаем, следовательно фактор — количества изготовленных деталей зависит от признака — производительности мастера.

Найдём выборочный коэффициент детерминации:

Этот показатель говорит о том, что около половины еженедельного количества изготовленных деталей мастерами связано с номером недели.

Читайте также: