Биноминальное распределение в excel

Обновлено: 08.01.2025

Функция БИНОМ.РАСП относится к статистическим функциям Excel. Функции Список наиболее важных функций Excel для финансовых аналитиков. Эта шпаргалка охватывает сотни функций, которые критически важно знать аналитику Excel. Он вычисляет вероятность биномиального распределения для числа успешных результатов из указанного числа испытаний. Это руководство Excel для биномиального распределения покажет вам, как использовать эту функцию, шаг за шагом.

Биномиальное распределение - это статистическая мера, которая часто используется для обозначения вероятности определенного количества успехов в конкретном количестве независимых испытаний. Используются две формы:

Функция вероятности и массы - вычисляет вероятность того, что будет ровно x успехов из n независимых испытаний.
Кумулятивная функция распределения - вычисляет вероятность того, что будет не более x успешных результатов из n независимых испытаний.

В финансовом анализе Описание работы финансового аналитика В описании должности финансового аналитика ниже приводится типичный пример всех навыков, образования и опыта, необходимых для работы аналитиком в банке, учреждении или корпорации. Выполняйте финансовое прогнозирование, отчетность и отслеживание операционных показателей, анализируйте финансовые данные, создавайте финансовые модели, функция БИНОМ.РАСП может быть полезна, например, для определения вероятности публикации самой продаваемой книги из целого ряда будущих книг. опубликовано компанией.

Функция БИНОМРАСП, представленная в Excel 2010, представляет собой обновленную версию функции БИНОМРАСП.

Формула биномиального распределения

= БИНОМ.РАСП (число_секундов; испытания; вероятности_выполнения; совокупное)

BINOM.DIST использует следующие аргументы:

Number_s (обязательный аргумент) - это количество успехов в испытаниях.
Испытания (обязательный аргумент) - это количество независимых испытаний. Он должен быть больше или равен 0.
Probability_s (обязательный аргумент) - это вероятность успеха в каждом испытании.
Накопительное (обязательный аргумент) - это логическое значение, определяющее форму функции. Это может быть:
1. ИСТИНА - использует кумулятивную функцию распределения.
2. ЛОЖЬ - использует функцию массы вероятности.
Чтобы узнать больше, запустите наш бесплатный ускоренный курс по Excel прямо сейчас!

Как использовать функцию биномиального распределения в Excel?

Чтобы понять использование функции БИНОМ.РАСП, давайте рассмотрим пример:

пример

Допустим, нам даны следующие данные:

Формула для расчета биномиального распределения с использованием кумулятивной функции распределения показана ниже:

Получаем результат ниже:

Формула для вычисления биномиального распределения с использованием функции массы вероятности показана ниже:

Получаем результат ниже:

Несколько замечаний о функции БИНОМ.РАСП

Бесплатный курс Excel

Если вы хотите узнать больше о функциях Excel и стать экспертом по ним, ознакомьтесь с бесплатным ускоренным курсом Excel по финансам! Ознакомьтесь с нашими пошаговыми инструкциями и демонстрациями того, как стать опытным пользователем Excel.

Дополнительные ресурсы

Спасибо за то, что прочитали руководство Финансов по функции биномиального распределения в Excel! Потратив время на изучение и освоение этих функций, вы значительно ускорите свой финансовый анализ. Чтобы узнать больше, ознакомьтесь с этими дополнительными финансовыми ресурсами:

Рассмотрим Биномиальное распределение, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL БИНОМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Произведем оценку параметра распределения p, математического ожидания распределения и стандартного отклонения. Также рассмотрим распределение Бернулли.

Определение . Пусть проводятся n испытаний, в каждом из которых может произойти только 2 события: событие «успех» с вероятностью p или событие «неудача» с вероятностью q =1-p (так называемая Схема Бернулли, Bernoulli trials ).

Вероятность получения ровно x успехов в этих n испытаниях равна:

Примечание : Порядок получения успехов значения не имеет. Если важен порядок, то см. статью Отрицательное Биномиальное распределение .

Количество успехов в выборке x является случайной величиной, которая имеет Биномиальное распределение (англ. Binomial distribution ) p и n – являются параметрами этого распределения.

Примечание : Запись означает количество сочетаний из n элементов по x . Для сочетаний также используется запись . Подробнее о сочетаниях см. статью Сочетания без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL .

Напомним, что для применения схемы Бернулли и соответственно Биномиального распределения, должны быть выполнены следующие условия:
- каждое испытание должно иметь ровно два исхода, условно называемых «успехом» и «неудачей».
- результат каждого испытания не должен зависеть от результатов предыдущих испытаний (независимость испытаний).
- вероятность успеха p должна быть постоянной для всех испытаний.
Биномиальное распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Биномиального распределения имеется функция БИНОМ.РАСП() , английское название - BINOM.DIST(), которая позволяет вычислить вероятность того, что в выборке будет ровно х «успехов» (т.е. функцию плотности вероятности p(x), см. формулу выше), и интегральную функцию распределения (вероятность того, что в выборке будет x или меньше «успехов», включая 0).

СОВЕТ : Подробнее о Функции распределения и Плотности вероятности см. статью Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL .

До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция БИНОМРАСП() , которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности p(x). БИНОМРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .

Примечание : Для построения интегральной функции распределения идеально подходит диаграмма типа График , для плотности распределения – Гистограмма с группировкой . Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм.

Примечание : Для удобства написания формул в файле примера созданы Имена для параметров Биномиального распределения : n и p.

В файле примера приведены различные расчеты вероятности с помощью функций MS EXCEL:

Как видно на картинке выше, предполагается, что:
- В бесконечной совокупности, из которой делается выборка, содержится 10% (или 0,1) годных элементов (параметр p , третий аргумент функции = БИНОМ.РАСП() )
- Чтобы вычислить вероятность, того что в выборке из 10 элементов (параметр n , второй аргумент функции) будет ровно 5 годных элементов (первый аргумент), нужно записать формулу: =БИНОМ.РАСП(5; 10; 0,1; ЛОЖЬ)
- Последний, четвертый элемент, установлен =ЛОЖЬ, т.е. возвращается значение функции плотности распределения .
Если значение четвертого аргумента =ИСТИНА, то функция БИНОМ.РАСП() возвращает значение интегральной функции распределения или просто Функцию распределения . В этом случае можно рассчитать вероятность того, что в выборке количество годных элементов будет из определенного диапазона, например, 2 или меньше (включая 0).

Для этого нужно записать формулу: = БИНОМ.РАСП(2; 10; 0,1; ИСТИНА)

Примечание : При нецелом значении х, дробная часть отбрасывается . Например, следующие формулы вернут одно и тоже значение: =БИНОМ.РАСП( 2 ; 10; 0,1; ИСТИНА) =БИНОМ.РАСП( 2,9 ; 10; 0,1; ИСТИНА)

Примечание : В файле примера плотность вероятности и функция распределения также вычислены с использованием определения и функции ЧИСЛКОМБ() .

Показатели распределения

В файле примера на листе Пример имеются формулы для расчета некоторых показателей распределения:
- математического ожидания =n*p;
- дисперсии (квадрата стандартного отклонения) = n*p*(1-p);
- моды = (n+1)*p;
- коэффициента асимметрии =(1-2*p)*КОРЕНЬ(n*p*(1-p)).
Выведем формулу математического ожидания Биномиального распределения , используя Схему Бернулли .

По определению случайная величина Х в схеме Бернулли (Bernoulli random variable) имеет функцию распределения :

Это распределение называется распределение Бернулли .

Примечание : распределение Бернулли – частный случай Биномиального распределения с параметром n=1.

Найдем математическое ожидание ( среднее, mean ) распределения Бернулли ( x принимает только 2 значения).

Предположим, что мы провели n последовательных испытаний Бернулли и у нас сформировалась выборка , состоящая из n элементов: x1, x2, …, xn (каждое из которых равно 0 или 1). Сумма этих случайных величин Y=X1+X2+…+Xn, в свою очередь, также является случайной величиной и, как мы помним, будет иметь Биномиальное распределение с параметрами n и p .

Учитывая, что математическое ожидание для каждого x _i равно p , то для соответствующего Биномиального распределения μ=p*n.

Аналогичным образом, можно вычислить дисперсию Биномиального распределения.

Для этого сначала найдем дисперсию ( второй момент, variance ) распределения Бернулли :

Соответственно, дисперсия для Биномиального распределения равна σ 2 =n*p*(1-p)= n*p*q.

Генерация случайных чисел. Распределение Бернулли

С помощью надстройки Пакет анализа можно сгенерировать случайные числа , извлеченные из распределения Бернулли .

СОВЕТ : О надстройке Пакет анализа можно прочитать в статье Надстройка Пакет анализа MS EXCEL .

Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с различными вероятностями успеха: 0,1; 0,5 и 0,9. Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие параметры для каждой вероятности p:

Примечание : Если установить опцию Случайное рассеивание ( Random Seed ), то можно выбрать определенный случайный набор сгенерированных чисел. Например, установив эту опцию =25 можно сгенерировать на разных компьютерах одни и те же наборы случайных чисел (если, конечно, другие параметры распределения совпадают). Значение опции может принимать целые значения от 1 до 32 767. Название опции Случайное рассеивание может запутать. Лучше было бы ее перевести как Номер набора со случайными числами .

В итоге будем иметь 3 столбца по 100 чисел, на основании которых можно, например, оценить вероятность успеха p по формуле: Число успехов/100 (см. файл примера лист ГенерацияБернулли ).

Примечание : Для распределения Бернулли с p=0,5 можно использовать формулу =СЛУЧМЕЖДУ(0;1) , которая соответствует дискретному равномерному распределению .

Генерация случайных чисел. Биномиальное распределение

С помощью надстройки Пакет анализа можно сгенерировать случайные числа , извлеченные из Биномиального распределения .

Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с различными вероятностями успеха: 0,1; 0,5; 0,9. Количество испытаний n установим 20. Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие параметры для каждой вероятности p:

В итоге будем иметь 3 столбца чисел, на основании которых можно, например, оценить вероятность успеха p по формуле: Среднее значение успехов/ n (см. файл примера лист ГенерацияБином ).

Примечание : Для генерирования массива чисел, распределенных по Биномиальному закону , можно использовать формулу =БИНОМ.ОБР(20; p; СЛЧИС()) , где p – вероятность успеха. Функция СЛЧИС() генерирует непрерывное равномерное распределение от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист ГенерацияБином ).

Оценка параметра p

В схеме Бернулли оценить параметр распределения p можно по формуле =СУММ(B14:B113)/СЧЁТ(B14:B113) . В формуле предполагается, что массив случайных чисел находится в диапазоне B14:B113 .

Оценить параметр Биномиального распределения p можно по формуле = СРЗНАЧ(B13:B112)/n (предполагается, что случайные числа сгенерированы формулой =БИНОМ.ОБР(n; p; СЛЧИС() ). Также в формуле предполагается, что массив случайных чисел находится в диапазоне B13:B112 .

Обратная функция БИНОМ.ОБР()

Вспомним график функции Биномиального распределения :

Решим задачу. Предположим, что для целей контроля качества нам требуется определить наибольшее допустимое количество дефектных изделий, которое еще позволяет обойтись без отбраковки всей партии.

Задана величина выборки из партии ( n =20) и р= 0,2 - доля дефектных изделий, которая обычно наблюдается в данном производственном процессе. Также пусть задана вероятность допустить ошибку 1-го рода (см. статью про уровень доверия ) равная 90%. Пороговый приемочный критерий можно вычислить по формуле =БИНОМ.ОБР(20; 0,2; 90%) . Формула вернет значение 6 - наибольшее количество дефектных изделий, допустимое в выборке .

Примечание : Третий аргумент функции БИНОМ.ОБР() называется Альфа ( α error, type I error, риск производителя, альфа-риск ) и представляет собой вероятность допустить ошибку 1-го рода при проверке статистической гипотезы (см. статью Проверка статистических гипотез в MS EXCEL о равенстве среднего значения распределения (дисперсия известна) ).

Предположим, что в выборке обнаружилось 7 дефектных изделий. Это означает, что «очень вероятна» ситуация, что изменилась доля дефектных изделий p , которая является характеристикой нашего производственного процесса. Хотя такая ситуация «очень вероятна», но существует вероятность (альфа-риск, ошибка 1-го рода, «ложная тревога»), что все же p осталась без изменений, а увеличенное количество дефектных изделий обусловлено случайностью выборки.

Как видно на рисунке ниже, 7 – количество дефектных изделий, которое допустимо для процесса с p=0,21 при том же значении Альфа . Это служит иллюстрацией, что при превышении порогового значения дефектных изделий в выборке, p «скорее всего» увеличилось. Фраза «скорее всего» означает, что существует всего лишь 10% вероятность (100%-90%) того, что отклонение доли дефектных изделий выше порогового вызвано только сучайными причинами.

Таким образом, превышение порогового количества дефектных изделий в выборке, может служить сигналом, что процесс расстроился и стал выпускать б о льший процент бракованных изделий.

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция КРИТБИНОМ() , которая эквивалентна БИНОМ.ОБР() . КРИТБИНОМ() оставлена в MS EXCEL 2010 и выше для совместимости.

Связь Биномиального распределения с другими распределениями

Если параметр n Биномиального распределения стремится к бесконечности, а p стремится к 0, то в этом случае Биномиальное распределение может быть аппроксимировано Распределением Пуассона . Можно сформулировать условия, когда приближение распределением Пуассона работает хорошо:
- p0,9 (учитывая, что q=1-p , вычисления в этом случае необходимо производить через q (а х нужно заменить на n-x ). Следовательно, чем меньше q и больше n , тем приближение точнее).
При 0,1 10 Биномиальное распределение можно аппроксимировать Нормальным распределением .

В свою очередь, Биномиальное распределение может служить хорошим приближением Гипергеометрического распределения , когда размер совокупности N Гипергеометрического распределения гораздо больше размера выборки n (т.е., N>>n или n/N СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

Рассмотрим взаимосвязь Биномиального распределения, распределения Пуассона, Нормального распределения и Гипергеометрического распределения. Определим условия, когда возможна аппроксимация одного распределения другим, приведем примеры и графики.

Схема взаимосвязи 4-х распределений случайных величин выглядит так:
- Биномиальное распределение B(n;p),
- Распределение Пуассона Pois(λ),
- Нормальное распределение N(μ;σ) и
- Гипергеометрическое распределение H(n;D;N)
Формулы приближенного вычисления разрабатывались для упрощения и ускорения вычислений в условиях отсутствия или дороговизны времени вычислительных машин. Учитывая современные возможности компьютеров, аппроксимация для этих целей сейчас стала бессмысленна. Однако, примеры, рассмотренные ниже, полезны для понимания условий применения того или иного распределения при решении реальных практических задач и понимания взаимосвязи различных распределений между собой.

Аппроксимация Гипергеометрического распределения Биноминальным распределением

В случае, когда размер совокупности N Гипергеометрического распределения гораздо больше размера выборки n (т.е., N >> n или n/N >n имеет место хорошая аппроксимация? Дело в том, что в случае Гипергеометрического распределения выборка производится без возвращения , т.е., результат каждого последующего испытания зависит от результатов предыдущих испытаний, что является нарушением условия применимости Биномиального распределения . По мере уменьшения отношения n/N предыдущие испытания все меньше и меньше влияют на исход последующих, тем самым обеспечивая выполнение условий эксперимента по Схеме Бернулли , лежащей в основе Биномиального распределения , что в свою очередь приводит к совпадению результатов этих двух распределений.

Связь Распределения Пуассона и Биномиального распределения

Распределение Пуассона с параметром λ( лямбда) является предельным случаем Биномиального распределения , при условии, если:
- параметр nБиномиального распределения стремится к бесконечности;
- вероятность успеха p стремится к 0;
- произведение n*p=λ достаточно мало и постоянно.
Строгое доказательство этого утверждения называется теоремой Пуассона , а приближенная формула – формулой Пуассона .

Примечание : Вывод формулы Пуассона основан на известном пределе

Можно сформулировать условия, когда приближение распределением Пуассона работает хорошо:
- p0,9 (учитывая, что q=1-p , вычисления в этом случае необходимо производить через q (а х нужно заменить на n-x ). Следовательно, чем меньше q и больше n , тем приближение точнее).
Примечание : Если 0,1 10, то Биномиальное распределение можно аппроксимировать Нормальным распределением . Подробнее, см. раздел Аппроксимация Биномиального распределения Нормальным распределением .

Для пояснения связи этих двух распределений рассмотрим задачу.

Задача

Известно, что среднее количество звонков, поступающих на телефонную станцию в течение 1 часа, равно 50. Необходимо произвести расчет вероятности количества вызовов, поступивших на станцию за 1 час.

Т.к. звонки делаются независимо, а средняя частота звонков постоянна, то вероятность количества звонков, поступивших на станцию за 1 час, можно смоделировать распределением Пуассона с параметром λ=50.

Теперь взглянем на ситуацию не с позиции телефонной станции, а с позиции поступления отдельных звонков, и построим модель на основе Биномиального распределения с параметрами n и p .

В основе Биномиального распределения лежит Схема Бернулли . Испытание в нашем случае будет состоять из регистрации факта поступления 1 звонка на станцию за определенный период времени. Напомним, что для применения Схемы Бернулли должны быть выполнены следующие 3 условия:
- Каждое испытание должно иметь только два исхода , условно называемых «успехом» и «неудачей». Для нашего случая – поступил звонок или нет;
- Результат каждого эксперимента не должен зависеть от результатов предыдущих экспериментов (независимость испытаний). Для нашего случая это обеспечивается предположением о независимости звонков от разных абонентов (звонят не сговариваясь).
- Вероятность успеха p должна быть постоянной для всех испытаний. В нашем случае вероятность регистрации звонка не зависит от того когда он был сделан: в начале периода наблюдения (часа) или в конце.
Предположим, что сначала решили, что в течение часа будет проведено 100 наблюдений (n=100). Т.е. каждые 36 секунд (1час= 3600сек) будет фиксироваться факт поступления звонка, причем звонок должен быть единственным за период наблюдения (требования условия 1 ). Но, это условие может быть и не выполнено, т.к. в течение 36 секунд может поступить 2 и более звонка. Это следует, из того что вероятность p поступления 1 звонка в течение данного периода наблюдения достаточно высока и равна 0,5=50%: в час поступает 50 звонков, т.е. в среднем 1 звонок за 3600сек/50=72 сек. Кроме того, параметр распределения Пуассона λ = n * p , следовательно p =50/100=0,5 .

Поэтому, чтобы соблюсти условие 1 применимости Биномиального распределения , необходимо сократить период наблюдения, увеличив n, тем самым исключив возможность регистрации за период наблюдения более 1 звонка.

Увеличим размер выборки n до 1000. Теперь факт поступления звонка будет фиксироваться каждые 3,6 сек=(1час=3600сек)/1000. В этом случае вероятность «успеха» p в одном испытании по Схеме Бернулли будет равна 50 звонков /1000 интервалов=0,05 . Теперь мы выполнили все 3 условия необходимые для применения приближения Биномиального распределения распределением Пуассона (см. начало статьи) .

При n=1000 обе модели ( распределение Пуассона и Биномиальное распределение ) должны давать одинаковый результат. Следовательно, формулы =БИНОМ.РАСП(x;n;p;ИСТИНА) и =ПУАССОН.РАСП(x;n*p;ИСТИНА) должны возвращать примерно одинаковые значения для одних и тех же х . Это видно на картинке ниже (см. файл примера лист Биномин-Пуассон ).

По мере уменьшения размера выборки n (при этом будет пропорционально увеличиваться вероятность p , т.к. будет расти интервал наблюдения за поступившими звонками), то приближение будет все менее точным (из-за нарушения условия 1 применимости Биномиального распределения ).

Например, при n=100, оба распределения будут существенно отличаться (для удобства изменения интервала в файле примера использован элемент управления Счетчик ).

О точности приближения. Как было показано выше, из формулы Пуассона следует, что при увеличении n разность между величинами, вычисленными по формулам ПУАССОН.РАСП() и БИНОМ.РАСП() стремится к нулю. Однако, следует учитывать, что формула Пуассона гарантирует только малую абсолютную погрешность, а относительная погрешность, может быть сколь угодно большой.

Например, для n=1000 и p=0,05 (λ=50) относительная погрешность при вычислении плотности вероятности составляет несколько процентов (см. файл примера лист Биномин-Пуассон ).

При уменьшении n (и, соответственно, увеличении p ), относительная погрешность существенно возрастает и может стать неприемлемой.

Аппроксимация Биномиального распределения Нормальным распределением

Если параметры Биномиального распределения B(n;p) находятся в пределах 0,1 10, то Биномиальное распределение можно аппроксимировать Нормальным распределением.

При n*p>10 форма графика плотности вероятности Биномиального распределения близка к колоколообразной форме Нормального распределения .

Напомним, что математическое ожидание (среднее) Биномиального распределения равно n*p, а дисперсия = n*p*q. Нормальное распределение с параметрами:μ= n*p,σ =КОРЕНЬ(n*p*q) хорошо аппроксимирует соответствующее Биномиальное распределение .

Как видно из рисунка выше, формулы =БИНОМ.РАСП(x;n;p;ЛОЖЬ) и =НОРМ.РАСП(х;n*p;КОРЕНЬ(n*p*(1-p));ЛОЖЬ)

возвращают примерно одинаковые результаты: относительная погрешность составляет примерно 1% (см. файл примера лист Биномин-Норм, столбец S ).

Приложение : Строгое математическое доказательство, обосновывающее возможность этого приближения, называется локальной теоремой Муавра-Лапласа, которая является следствием более общей Центральной предельной теоремы .

Приближение также можно осуществить через интегральную функцию нормального распределения , введя так называемую поправку на дискретность, вследствие того, что аппроксимируемое Биномиальное распределение является дискретным , а Нормальное распределение – непрерывным распределением . Поправка заключается в том, что для оценки вероятности биномиальной случайной величины принять некое значение х, вычисляется вероятность случайной величины, распределенной по соответствующему нормальному закону , принять значение в диапазоне от x-0,5 до x+0,5. В файле примера это реализовано с помощью формулы: =НОРМ.РАСП(x+0,5;n*p;КОРЕНЬ(n*p*(1-p));ИСТИНА)- НОРМ.РАСП(x-0,5;n*p;КОРЕНЬ(n*p*(1-p));ИСТИНА)

Результаты вычислений по обеим формулам (через плотность вероятности и интегральную) практически совпадают: для μ=250 относительная разница составляет доли процента.

Изначально формулы приближенного вычисления разрабатывались для упрощения вычислений. Хотя в современных условиях это уже не актуально, использование аппроксимирующего распределения, в некоторых случаях может упростить ход решения задачи. Поясним на примере.

Задача . Производственный процесс изготавливает десятки тысяч микросхем в день. В среднем, 10% микросхем – бракованные (доля дефектных равна 0,1). Регулярно, контролер качества отбирает партию определенного размера и тестирует микросхемы. Нужно определить, размер партии n , при котором наблюденная частота f = x брак / n с вероятностью 0,95 отличается от доли дефектных изделий 0,1 не более чем на 0,02.

Решение1 . Вероятность обнаружить в контрольной партии размера n определенное число х бракованных микросхем при доли дефектных p=0,1 соответствует модели Биномиального распределения .

По условиям задачи вероятность отклонения частоты f в обе стороны от ожидаемого значения 0,1 должна быть меньше 5% (1-0,95). Вероятность отклонения частоты f только в одну сторону, например в сторону превышения, должна быть меньше 5%/2=2,5%. Эта вероятность является альфа-риском (риском отклонить гипотезу, что оцениваемая доля бракованных p не больше заданного нами порогового значения). Поэтому, мы можем оценить наибольшее значение x, при котором с вероятностью 0,975 диапазон отклонения f от p еще не будет превышать 0,02. Для этого расчета в MS EXCEL можно использовать функцию БИНОМ.ОБР() или КРИТБИНОМ() для MS EXСEL 2007 и более ранних версий.

В качестве аргументов функции БИНОМ.ОБР() нужно указать размер выборки n, вероятность «успеха» p (т.е. обнаружения брака) и альфа-риск . Для расчетов в файле примера на листе Биномин-Норм создана форма, в которой, с использованием инструмента Подбор параметра, можно подобрать размер выборки n. В результате расчетов получим, что выборка должна быть не меньше 875 микросхем.

Решение2 . Учитывая, что для данных значений n и p возможно использовать приближение нормальным распределением с параметрами μ=n*p и σ =КОРЕНЬ(n*p*(1-p)) , решим задачу другим способом.

Ожидаемое количество бракованных изделий в партии размера n равно n*p. В соответствии с условиями задачи, количество бракованных изделий должно лежать в пределах [n*p-0,02*n; n*p+0,02*n] с вероятностью 95%. Воспользовавшись нормальным распределением , вычислим вероятность, того что количество бракованных микросхем будет находиться в этом диапазоне. Это можно сделать с помощью выражения: =НОРМ.РАСП(n*p+0,02*n; n*p; КОРЕНЬ(n*p*(1-p)); ИСТИНА) – НОРМ.РАСП(n*p-0,02*n; n*p; КОРЕНЬ(n*p*(1-p)); ИСТИНА)

Это выражение, при определенном n, должно равняться заданной вероятности 95%. Подбор n также сделаем с использованием инструмента Подбор параметра (в параметрах MS EXCEL установите количество итераций=1000, а точность 0,0001 или точнее). Найденное решение будет равно 864, что близко к результату, полученному с использованием Биномиального распределения . Причем ход решения даже прозрачней, чем в первом варианте решения.

Примечание : Решение задачи близко по сути с определением доверительного интервала .

Аппроксимация распределения Пуассона Нормальным распределением

При значениях λ >15 , Распределение Пуассона хорошо аппроксимируется Нормальным распределением со следующими параметрами: μ=λ , σ 2 =λ .

Для λ =1000 относительная погрешность составляет менее 1%. Расчеты приведены в файле примера на листе Пуассон-Норм .

Возвращает отдельное значение биномиального распределения. Функция БИНОМРАСП используется в задачах с фиксированным числом тестов или испытаний, когда результатом любого испытания может быть только успех или неудача, испытания независимы, а вероятность успеха одинакова на протяжении всего эксперимента. Например, при помощи БИНОМРАСП можно вычислить, с какой вероятностью двое из трех следующих новорожденных будут мальчиками.

Важно: Эта функция была заменена одной или несколькими новыми функциями, которые обеспечивают более высокую точность и имеют имена, лучше отражающие их назначение. Хотя эта функция все еще используется для обеспечения обратной совместимости, она может стать недоступной в последующих версиях Excel, поэтому мы рекомендуем использовать новые функции.

Дополнительные сведения о новом варианте этой функции см. в статье Функция БИНОМ.РАСП.

Синтаксис

Аргументы функции БИНОМРАСП описаны ниже.

Число_успехов — обязательный аргумент. Количество успешных испытаний.

Число_испытаний — обязательный аргумент. Количество независимых испытаний.

Вероятность_успеха — обязательный аргумент. Вероятность успеха каждого испытания.

Интегральная — обязательный аргумент. Логическое значение, определяющее форму функции. Если "накопительный" имеет number_s, функция БИНОМРАСП возвращает накопительную функцию распределения. Если имеется ложь, возвращается функция вероятностной массы, которая является вероятностью number_s успеха.

Замечания

Число_успехов и число_испытаний усекаются до целых.

Если x = число_успехов, n = число_испытаний и p = вероятность_успеха, то весовая функция биномиального распределения выглядит следующим образом:

Если x = число_успехов, n = число_испытаний и p = вероятность_успеха, то интегральное биномиальное распределение выглядит следующим образом:

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Читайте также: