Sin x прикол
Математикам не чужда некая романтичность, иначе почему два хоть и важных предела получили наименование "замечательных". Точного обоснования именно такого их названия я не нашел, однако, стоит отметить, что с мнемонической точки зрения - определения отличные, запоминаются на уровне подсознания. Посмотрим, что такого примечательного в этих пределах. Дополнительно заинтригую тем, что есть как минимум 5 замечательных пределов.
Краткий ликбез по пределам
Предел - одно из основных понятий математического анализа. Отличают пределы рядов и функций (мы будем рассматривать функции далее).
На рисунке выше f(x) - обычная парабола, не имеющая пределов на числовой оси, а вот g(x) - показательная функция с основание меньшим единицы, ее предел при x , стремящимся к плюс бесконечности равен 0.
Читается так: чему равен предел функции f(x) при x, стремящимся к a. Читается так: чему равен предел функции f(x) при x, стремящимся к a.Допустим решим такой простой пример для понимания:
Надпись под пределом фактически означает, что вместо переменной x необходимо подставить в выражение -2. Подставляем и получаем ответ : -9. Думаю теперь можно переходить к основному содержанию.
Первый замечательный предел, он же тригонометрический
Геометрическое доказательство здесь опустим. Просто понимайте, что с уменьшением угла (цифра 1 в кружочке), его синус тоже будет уменьшаться (цифра 2 в кружочке). В какой-то момент времени и синус и угол будут невероятно близки к нулю, НО не предел их отношения, неукоснительно старающийся быть равным единице. Въедливый читатель воскликнет: а как же размерности? Ведь синус безразмерен, а угол измеряется в градусах! Отвечу: угол выражается в радианах, который считается безразмерной единицей. Вспомнить, что такое радиан (в конце статьи).
Кстати, а Вы знаете, что кроме косинуса, синуса, тангенса и котангенса есть еще много неизвестных широкому кругу людей функций? Читайте в моем материале про редкие тригонометрические функции .
Существует ряд следствий из первого замечательного предела
При решении задач с помощью первого замечательного предела следует помнить, что необходимо чтобы:
а) в числителе под синусом и в знаменателе были одинаковые выражения. В ином случае необходимо преобразовывать выражение к такому виду.
б) неопределенность имела вид [0/0]. Это значит, что если отдельно взять числитель и знаменатель, они оба будут стремиться к нулю.
Пример 1. Используем еще одно следствие из первого замечательного предела
Здесь и далее в квадратных скобках я пишу правило, которое будет использоваться для дальнейшего преобразования предела. Хоть это и кажется неправильно с математической точки зрения, однако способствует удобству восприятия решений.
Главная задача в этом примере - привести значения в знаменателе и в числителе к однообразному виду, что мы и делаем умножая их на 1/2.
Воспользуемся определением тангенса, а также тем фактом, что при аргументе, стремящимся к нулю, косинус этого аргумента стремится к 1. В конце получаем деление единицы на бесконечно малую величину, что приводит к плюс бесконечности в ответе.
Здесь используем знание тригонометрических формул двойного угла. В данном случае здесь 2 "полуторных угла (1,5х) ". Сводим к первому замечательному пределу, а в конце узнаем, что синус бесконечно малой величины стремится к нулю. Ответ готов!
Последний пример на самостоятельное устное решение. Пишите его в комментариях!
Во-второй части саги о замечательных пределах, поговорим о пределе под номером 2.
Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.
Олимпиады, ЕГЭ, ОГЭ по математике | Борис Трушин запись закреплена
Такой вопрос. Как мы знаем, cos (-x) = cos x, sin (-x) = -sin x. Можно ли избавляться от минуса в угле, если мы хотим перевести косинус в синус?
Он имел ввиду если угол изначально с минусом,то можно ли по четности косинуса его убрать, а потом найти синус этого угла. В этом случае НЕТ
Ну значит sin(pi/2-x)=sin(pi/2+x), да, это правда, как нравится, так и можно делать)
а можно более конкретный вопрос? что значит "избавляться от минуса в угле"? что значит "перевести косинус в синус"?
Лето вышло на финишную прямую и пора медленно, но верно, вспоминать, чему учили в школе в прошлом году (ну или -дцать лет назад, если школа — это уже далекие воспоминания). В 10-11 классе эту задачку должен уметь решать любой отличник. Кроме известных формул в задаче, как обычно, ничего нет, но всё равно её мало кто может решить. особенно летом, когда, всё, что проходили в прошлом году, закинуты в дальние чертоги памяти.
Сегодня "любимая" всеми школьниками тригонометрия. Надо найти корни вот такого уравнения: 2sin2х•(√3sinx+cosx)=3sin²x-cos²x .
Подумайте немножечко сами, а ниже будет подсказка и решение. К слову, эта задача предлагалась абитуриентам, поступавшим в лучший технический ВУЗ страны в 1969 году.
Решение
После того, как мы разложили правую часть на множители по формуле сокращенного умножения, на душе сразу становится легче, потому что слева и справа получаются одинаковые множители, которые можно вынести.
2sin2х• (√3sinx+cosx) =(√3sinx-cosx) •(√3sinx+cosx)
(√3sinx+cosx)•[ 2sin2х-√3sinx-cosx ] =0
Раз произведение равно нулю, значит, один из множителей (или оба сразу) равны нулю.
1. √3sinx+cosx=0;
х1=-π/6+πk, где k — целое число.
2. 2sin2х-√3sinx-cosx=0,
Применяем формулу разности синусов: 2sin(x/2+π/12)•cos(3x/2-π/12)=0
х2=-π/6+2πk, где k - целое;
x3= π/18+(2k+1)•π/3, где k — целое.
X1 содержит в себе x2, поэтому их надо объединить, и итоговый ответ может выглядеть примерно так: х1=-π/6+πk; x2= π/18+(2k+1)•π/3.
Как вам такие задачи? Сильно проблемно читать формулы и тригонометрию или нормально? Нужны ещё такие задачи или лучше более простых и логических задач? И конечно же не забываем про мой Youtube-канал .
Так как некоторые из Вас недовольны слишком простыми задачками в моих постах, сегодня я решил представить на Ваш суд разбор тригонометрического уравнения из ЕГЭ. Уж очень хочется узнать, какие варианты решения Вы предложите. Ну а для тех, кто пока только постигает все тонкости математики, позвольте напомнить, что значит обратная тригонометрическая функция арксинус (arcsin(x)):
Арксинус - это угол, синус которого равен x .
Казалось бы все просто, но при решении уравнений с арксинусом многие забывают, что область значений этой функции ограничена.
Считается, что арксинус может принимать значения от -пи/2 до +пи/2. Из-за этого ограничения, при решении тригонометрических уравнений в ответ добавляется пи*n и перед арксинусом ставится ещё -1 в целочисленной степени n , или 2*пи*n в случае с арккосинусом. Это делается, чтобы учесть периодичность 2*пи тригонометрической функции.
*Тем, кто забыл, что такое углы в радианах (пи/2 и т.д.) рекомендую посмотреть мое видео:
Например, такая периодичность учитывается при решении уравнения вида sin(x)=a. Решение такого уравнения всем известно из учебника по алгебре и началам анализа 10-го класса:
Теперь, после долгого введения рассмотрим наконец-то наше уравнение, которое требуется решить :)
На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = sin х, ее основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.
Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Тригонометрия»
Подсказка
Внимательно посмотрим на правую часть и увидим там формулу сокращенного умножения. А именно формулу разности квадратов a²-b²=(a-b)•(a+b).
Читайте также: