Решите уравнение sin x корень из 3 cos x корень из 3
а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Запишем уравнение в виде:
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа
Замечание. Отбор корней может быть обоснован и любым другим способом: с помощью графика, решения двойных неравенств и т.п.
Здесь допущена ошибка в решении. Под буквой а). Там где соs квадрат х выносят за скобку, в скобке будет знак +. От этого изменится ответ и корни
Для полинома в виде перепишем средний член в виде суммы двух членов, произведение коэффициентов которых равно , а сумма равна .
Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.
Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.
Разобьем полином на множители, вынося наибольший общий делитель, .
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , то и все выражение будет равняться .
Найдем обратный синус от обеих частей уравнения, чтобы извлечь из-под синуса.
Функция синуса принимает отрицательные значения в третьем и четвертом квадрантах. Для определения второго решения вычитаем решение из , чтобы найти угол приведения. Затем прибавляем данный угол приведения к , чтобы найти решение в третьем квадранте.
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , то и все выражение будет равняться .
Найдем обратный косинус от обеих частей уравнения, чтобы извлечь из-под косинуса.
Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем значение угла из и определим решение в четвертом квадранте.
Для записи в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Модуль - это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Период функции равен , то есть значения будут повторяться через каждые радиан в обоих направлениях.
Найдем обратный синус от обеих частей уравнения, чтобы извлечь из-под синуса.
Функция синуса принимает отрицательные значения в третьем и четвертом квадрантах. Для определения второго решения вычитаем решение из , чтобы найти угол приведения. Затем прибавляем данный угол приведения к , чтобы найти решение в третьем квадранте.
Прежде всего, это однородное уравнение, т. е сумма степеней при синусах и косинусах у всех ненулевых членов одинакова, в данном случае равна 2. Такие уравнения решаются делением всех членов уравнения на наивысшую степень одной из функций. Но прежде нужно удостовериться, что мы не делим на 0, т. е. ни синус ни косинус не равны нулю. Это проверяется непосредственной подстановкой. Допустим, sin(x)=0. Подставляем в уравнение, получаем 0+0=0. Получилось тождество, значит sin(x) является решением уравнения, и на sin(x) делить нельзя. Допустим, что cos(x)=0, тогда sin(x)=(+-1), (sin(x))^2=1, подставляем в уравнение получаем 1+0=0. Получили неверное равенство. Значит cos(x) не равно нулю, и мы имеем право все члены уравнения разделить на (cos(x))^2. Делим, получаем: (tg(x))^2+sqrt(3)*tg(x)=0. Решаем полученное квадратное уравнение: (tg(x))^2+sqrt(3)*tg(x)=0, (tg(x))*(tg(x)+sqrt(3)=0. Получаем два решения:
tg(x)=0, x=pi*k и tg(x)=-sqrt(3), x=-pi/3+pi*k.
Читайте также: