Решите уравнение 3 sin 2x 3 cos 2x 4
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2π; 3π/2].
Решение:
а) Решите уравнение
ОДЗ уравнения: R
Используя формулу косинуса двойного угла cos2α = cos 2 α – sin 2 α, получим
Произведение синуса и косинуса равно 1 возможно в двух случаях:
Решим первую систему уравнений:
Найдем общее решение системы, для этого отметим точки на единичной окружности, красным цветом – точки первой серии корней, чёрным цветом – точки второй серии корней.
Общим решением системы является совпадение точек, т. е.
Решим вторую систему уравнений:
Найдем общее решение системы, для этого отметим точки на единичной окружности, красным цветом – точки первой серии корней, чёрным цветом – точки второй серии корней.
В данном случае точки не совпадают, значит, система не имеет решений.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2π; 3π/2].
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -5π/2].
Решение:
а) Решите уравнение
ОДЗ уравнения: R
Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество sin 2 x + cos 2 x = 1, получим
Введем новую переменную, пусть t = cos 2 x
Вернемся к первоначальной переменной, получим
Используя единичную окружность, корни можно объединить:
Объединяем корни, получим
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -5π/2].
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].
Решение:
а) Решите уравнение
ОДЗ уравнения – все числа.
Преобразуем данное уравнения, воспользуемся формулой двойного аргумента: sin2x = 2sinx·cosx.
Сгруппируем 1 и 2 слагаемые, вынесем за скобки общий множитель 4cosx. Сгруппируем 3 и 4 слагаемые, вынесем за скобки общий множитель 3, получим:
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Тогда получаем два уравнения:
Решим 1 уравнение:
Решим 2 уравнение:
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].
С помощью единичной окружности отберем корни на отрезке [π; 5π/2].
cos=-3/4 в конечном ответе при раскрытии скобки получается: x=arccos3/4-pi+2pin x=pi-arccos3/4+2pin
а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Воспользуемся формулой Из неё следует, что Поэтому уравнение можно преобразовать так:
б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие заданному отрезку.
Приведём другое решение пункта а.
Если использовать вместо той формулы, формулу 3cos4x=3(1-2sin^2 2x), то ответ совсем другой выходит.
Степан! Указанная Вами формула правильная. Если, используя ее, решать без ошибок, то получатся такие же ответы.
если использовать формулу Степана, то получаются два уравнения: sin2x=+-1 и sin2x=+-1/sqrt(2)
Читайте также: