Решение уравнения sin t a
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 1. Учебник. М: Мнемозина, 2013.
2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, 10-11. Часть 2. Задачник. М: Мнемозина, 2013.
3. Математика. Подготовка к ЕГЭ: секреты оценки заданий повышенного и высокого уровней сложности. Решения и комментарии: учебно-методическое пособие / Е.Н.Васильева, Л.С. Ольховая. – Ростов-на-Дону: Легион, 2014.
Организационный этап (1 минута)
Приветствие. Проверка присутствующих в классе.
Краткое повторение изученного материала, актуализация опорных знаний (5 минут)
Повторение способов решения уравнения вида sin t = a, (де а – действительное число), с помощью числовой окружности.
Решим уравнения: sin t = .
Используем геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости (рисунок 1), получаем пару решений данного уравнения:
Введение проблемной ситуации: Любое ли тригонометрическое уравнение вида sin t = a можно решить с помощью числовой окружности? Как решать уравнение sin t = .
Оглашение темы урока и постановка целей (1 минута)
Сегодня мы с вами узнаем, как решать подобные уравнения, и как записывать решения подобных уравнений.
Тема сегодняшнего урока: «Арксинус. Решение уравнения sin t =a»
Сегодня на уроке мы введем понятие арксинуса; выведем общую формулу решения уравнения sin t = a; выработаем алгоритм решения данного уравнения.
Изучение нового материала (26 минут)
Давайте попробуем решить уравнение sin t = .
С помощью числовой окружности (рисунок 2) получим:
t = t 1 + , t = t 2 + .
где t 1 – длина дуги АМ , а t 2 – длина дуги АР (так как АР=АС-РС, АС=π, а РС=АМ , получаем что t 2 = π- t 1 ).
Когда впервые возникла ситуация с решение уравнений такого типа, ученым-математикам пришлось придумать способ её описания на математическом языке. В рассмотрение был введен новый символ arcsin а . Читается: арксинус а («arcus» в переводе с латинского значит «дуга» (сравните со словом «арка»). С помощью этого символа числа t 1 и t 2 записываются следующим образом:
t 1 = arcsin , t 2 = π – arcsin ..
Теперь с помощью этого символа корни уравнения sin t = а можно записать так:
Давайте попробуем ответить на вопрос: «Что же означает arcsin а ?»
Вывод: это число (длина дуги), синус которого равен и которое принадлежит первой четверти числовой окружности.
Решим уравнение sin t = – .
С помощью числовой окружности (рисунок 3) и символа arcsin а получим:
Ответим на вопрос: «Что же означает arcsin ( - ) ?»
Вывод: это число (длина дуги), синус которого равен ( - ) и которое принадлежит четвёртой четверти числовой окружности.
Сформулируем определение арксинуса в общем виде:
Если , то arcsin а – это такое число из отрезка , синус которого равен а.
Заметим два обстоятельства:
Дуги АМ и А L равны по длине и противоположны по направлению, значит (рисунок 4)
АК=АС+СК=АС+ L А=
=АС-А L =π- arcsin ( - )
Обобщим полученные выше решения и запишем:
Если , то уравнение sin t =a имеет две серии решений:
Существует три частных случая, когда решения записывают более простым соотношением, они записаны на форзаце вашего учебника (рисунок 5).
Рассмотрим примеры на вычисление арксинуса.
Пример 1. Вычислите arcsin .
Значит, поскольку и Итак, arcsin =
Пример 2. Вычислите arcsin . .
Пример 3. Вычислите arcsin 0.
Отметим, что для любого а справедлива формула:
Две полученные выше формулы для решения уравнения можно объединить в одну общую формулу для решения уравнения sin t =a :
Обобщение изученного материала
Итак, давайте составим алгоритм решения уравнения вида sin t =a :
составить общую формулу;
вычислить значение arcsin a ;
подставить найденное значение в общую формулу
Пример 4. Решите уравнение sin t = .
Составим общую формулу решения:
Вычислим значение арксинуса:
Подставим найденное значение в формулы решений:
Пример 5. Решите уравнение sin t = .
Пример 6. Решите уравнение sin t = .
Пример 7. Решите уравнение sin t = - 1,2.
Домашнее задание
§16, с. 92 – 98. (изучить теоретический материал).
№ 16.2 (в,г) ,16.5 (в,г) , 16.6 (в,г)
Итоги урока
Итак, сегодня на уроке мы ввели понятие арксинуса; вывели общую формулу решения уравнения sin t = a и выработали алгоритм решения данного уравнения.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Acrsin. Решение уравнений sint=a"
· познакомиться с понятием arcsin;
· вывести общую формулу решения уравнений вида sin t = a.
Прежде чем перейти к изучению нового материала, давайте выполним несколько упражнений.
Напомним ещё раз, что же называется arccos a.
Сегодня на уроке, мы познакомимся с понятием arcsin и научимся решать простейшие тригонометрические уравнения вида sin t = a, где а принадлежит промежутку [-1; 1].
Функцию arccos мы вводили как обратную функцию для функции cos t. Аналогично, введём функцию arcsin a. Для того, чтобы на некотором промежутке существовала обратная функция, необходимо, чтобы функция была непрерывна и монотонна на этом промежутке.
Давайте теперь сформулируем определение арксинуса в общем виде.
Обратите внимание, что арксинусом любого числа является угол.
Сформулируем основное свойство арксинуса.
Отметим важное равенство, связывающее arccos a и arcsin a, из промежутка [-1; 1].
Введённое понятие арксинуса, помогает решать уравнение вида sin t = a, где а не является табличным значением и принадлежит отрезку [-1; 1].
Решим уравнение sin t = a, модуль которого не превышает единицы в общем виде.
Рассмотрим частные случаи решения тригонометрического уравнения sin t = a.
Давайте ещё раз сформулируем алгоритм решения тригонометрических уравнений вида sin t = a.
Давайте рассмотрим более сложное уравнение и постараемся его привести к простейшему уравнению sin t = a.
Итак, в результате мы получили формулы корней для уравнений cos t = a и sin t = a, при условии, что модуль а не превышает единицы.
Переменную мы пока обозначали буквой t для удобства, подчёркивая тем самым, что вся информация получена с помощью числовой окружности. Но когда имеется готовая формула, переменная может быть обозначена любой буквой, в том числе более традиционной для уравнений буквой x. Так мы чаще всего и будем поступать при решении тригонометрических уравнений.
Определите правильный порядок действий для решения уравнений вида sin t = a .
Укажите порядок следования
1) определить выполняется ли условие \(\left|a\right|\le1\)
3) записать ответ.
4) если условие выполняется, то записать решение в общем виде
5) если arcsin a - табличное значение, то вычислить его
Вопрос 4
Какой угол t называется arcsin a
Выберите несколько из 4 вариантов ответа:
Вопрос 5
Выберите правильное окончание утверждения:
"Уравнения вида sin t = a . "
Выберите несколько из 4 вариантов ответа:
если \(\left|a\right|\le1\) , то имеют решения вида \(^<\left(-1\right)^k>\arcsin\ a+\pi k,\ k\in Z\)
если \(\left|a\right|\ge1\) , то имеют решения вида \(^<\left(-1\right)^k>\arcsin\ a+\pi k,\ k\in Z\)
если \(\left|a\right|\ge1\) , то не имеют решений
если \(\left|a\right|\le1\) , то не имеют решений
Вопрос 6
Какие из предложенных чисел являются решениями уравнения sin t = 1 ?
( метод замены переменной и подстановки ).
2. Разложение на множители.
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:
sin x + cos x – 1 = 0 ,
преобразуем и разложим на множители выражение в
левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,
2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,
cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,
cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,
3. Приведение к однородному уравнению.
Уравнение называется однородным от носительно sin и cos , если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла . Чтобы решить однородное уравнение, надо:а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
cos ( или sin ) в старшей степени;
д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y 1 = - 1, y 2 = - 3, отсюда
1) tan x = –1, 2) tan x = –3,
4. Переход к половинному углу.
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =
= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
5. Введение вспомогательного угла.
a sin x + b cos x = c ,
где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:
6. Преобразование произведения в сумму.
П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .
Читайте также: