Решение рядов с sin

Обновлено: 25.01.2025

Ряд
$$
\sum_^<\infty>a_\label
$$
называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм $\$ имеет конечный предел $S$, то есть
$$
\lim_S_ = S.\label
$$
Число $S$, определяемое условиями \eqref и \eqref, называют суммой ряда \eqref и пишут
$$
\sum_^<\infty>a_ = S.\label
$$

Если последовательность $\\>$ не имеет конечного предела (предел не существует или бесконечен), то говорят, что ряд \eqref расходится (является расходящимся).

Доказать, что ряд
$$
\sum_^<\infty>q^,\ \mbox\ |q| < 1,\label
$$
сходится, и найти его сумму $S$.

$\vartriangle$ Используя формулу для суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии, получаем
$$
S_ = \sum_^q^ = \frac<1-q^> = \frac-\frac.\nonumber
$$
Так как $q^ \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, если $|q| < 1$ то последовательность $\$ имеет конечный предел, равный $\displaystyle\frac$, то есть ряд \eqref сходится и его сумма $S = \displaystyle\frac$. $\blacktriangle$

Доказать, что если при всех $n \in N$ выполняется равенство
$$
a_ = b_-b_\label
$$
и существует конечный
$$
\lim_b_ = b,\label
$$
то ряд \eqref сходится, а его сумма $S = b_-b$, то есть
$$
\sum_^<\infty>(b_-b_) = b_-b.\label
$$

$\vartriangle$ Используя условие \eqref, получаем $S_ = \displaystyle\sum_^a_ = \sum_^(b_-b_) = b_-b_ + b_-b_ + \ldots + b_-b_ + b_-b_ = b_-b_$ откуда в силу \eqref следует сходимость ряда \eqref и равенство \eqref. $\blacktriangle$

Найти сумму ряда \eqref, если $a_ = \displaystyle\frac$.

Необходимое условие сходимости ряда.

$\circ$ Так как ряд \eqref сходится, то существует конечный предел $S$ последовательности $\\>$, где $S_$ — $n$-я частичная сумма ряда (формула \eqref). Тогда $\displaystyle\lim_S_ = S$ и $\displaystyle\lim_S_ = S$, откуда следует, что $S_-S_ = a_ \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. $\bullet$

Таким образом, соотношение \eqref выражает необходимое условие сходимости ряда.

Доказать, что ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>\frac>$ расходится.

$\vartriangle$ Так как $\displaystyle\frac> \geq \frac>$ при $k = 1, 2, \ldots, n$, то $S_ = \displaystyle\sum_^\frac> \geq n \frac>$ откуда следует, что $S_ \rightarrow +\infty$ при $n \rightarrow \infty$, то есть ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>\frac>$ расходится. $\blacktriangle$

Условие \eqref не является достаточным для сходимости ряда \eqref: ряд, рассмотренный в примере 4, удовлетворяет условию \eqref, но расходится.

Доказать, что ряд
$$
\sum_^<\infty>\sin n\alpha,\ \mbox\ \alpha \neq \pi m\ (m \in \mathbb),\label
$$
расходится.

$\vartriangle$ Докажем, что
$$
\sin n\alpha \nrightarrow 0\ \mbox\ n \rightarrow \infty,\label
$$

Предположим, что $\sin n\alpha \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Тогда $\sin (n + 1)\alpha \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, то есть $\sin n\alpha \cos \alpha + \cos n\alpha \sin \alpha \rightarrow 0$, откуда следует, что $\cos n\alpha \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, так как $\sin \alpha \neq 0$. Итак, если $\sin n\alpha \rightarrow 0$, то $\cos n\alpha \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, что невозможно, так как $\sin^ n\alpha + \cos^ n\alpha = 1$.

Таким образом, для ряда \eqref должно выполняться условие \eqref, и поэтому ряд \eqref расходится. $\blacktriangle$

Свойства сходящихся рядов.

Если ряды $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$ и
$$
\sum_^<\infty>b_,\label
$$
сходятся, а их суммы равны соответственно $S$ и $\sigma$, то при любых $\lambda, \mu \in \mathbb$ сходится ряд
$$
\sum_^<\infty>(\lambda a_ + \mu b_),\label
$$
а его сумма равна
$$
\tau = \lambda S + \mu\sigma.\label
$$

$\circ$ Пусть $S_$, $\sigma_$ и $\tau_$ — $n$-е частичные суммы рядов \eqref, \eqref и \eqref соответственно. Тогда $\tau_ = \lambda S_ + \mu\sigma_$. Так как $S_ \rightarrow S$ и $\sigma_ \rightarrow \sigma$ при $n \rightarrow \infty$, то последовательность $\<\tau_\>$ имеет конечный предел, то есть ряд \eqref сходится, и справедливо равенство \eqref. $\bullet$

Если сходится ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$, то при каждом $m \in \mathbb$ сходится ряд
$$
\sum_^<\infty>a_,\label
$$
который называют $m$-м остатком ряда $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$. Обратно: если при фиксированном $m$ ряд \eqref сходится, то и ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$ также сходится.

$\circ$ Пусть $S_ = a_ + \ldots + a_$ и $\sigma_^ = a_ + \ldots + a_$-соответственно $n$-я частичная сумма ряда \eqref и $k$-я частичная сумма ряда \eqref. Тогда
$$
S_ = S_ + \sigma_^,\ \mbox\ n = m + k.\label
$$
Если ряд \eqref сходится, то последовательность $\$ имеет конечный предел при $n \rightarrow \infty$, и поэтому из равенства \eqref следует, что последовательность $\<\sigma_^\>$, где $m$ фиксировано, имеет конечный предел при $k \rightarrow \infty$, то есть ряд \eqref сходится.

Обратно: если $m$ фиксировано и существует конечный $\displaystyle\lim_\sigma_^$ то существует конечный $\displaystyle\lim_S_$. $\bullet$

Согласно свойству 2 отбрасывание конечного числа членов ряда или добавление конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходимость.

Если ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$ сходится, то и ряд
$$
\sum_^<\infty>b_,\label
$$
полученный группировкой членов ряда $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$ без изменения порядка их расположения, также сходится и имеет ту же сумму, что и ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$.

Критерий Коши сходимости ряда.

Для сходимости ряда \eqref необходимо и достаточно, чтобы
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_: \forall n \geq N_, \forall p \in \mathbb \rightarrow |a_ + a_ + \ldots + a_| < \varepsilon.\label
$$

$\circ$ Так как $a_ + a_ + \ldots + a_ = S_-S_$ где $S_$ — $n$-я частичная сумма ряда \eqref, то условие \eqref означает, что последовательность $\$ является фундаментальной. В силу критерия Коши для последовательности условие \eqref равносильно существованию конечного предела последовательности $\$, то есть равносильно сходимости ряда \eqref. $\bullet$

Если условие \eqref не выполняется, то есть
$$
\exists \varepsilon_ > 0: \forall k \in \mathbb,\ \exists n \geq k\ \exists p \in \mathbb:\ |a_ + \ldots + a_| \geq \varepsilon_.\label
$$
то ряд \eqref расходится.

Доказать, что гармонический ряд
$$
\sum_^<\infty>\frac,\label
$$
расходится.

$\vartriangle$ Для любого $k \in \mathbb$ возьмем $n = k$, $p = k$. Тогда $\displaystyle\sum_^a_ = \frac + \ldots + \frac > \frack = \frac = \varepsilon_$, и в силу условия \eqref ряд \eqref расходится. $\blacktriangle$

Ряды с комплексными членами.

Последовательность комплексных чисел $\\>$ называют сходящейся, если существует такое комплексное число $z$, что
$$
\lim_|z_-z| = 0,\nonumber
$$
где $|z|$ — модуль комплексного числа $z$. В этом случае пишут $\displaystyle\lim_z_ = z$ или $z_ \rightarrow z$ при $n \rightarrow \infty$.

Если $z_ = x_ + iy_$, $z = x + iy$, то условие $z_ \rightarrow z$ при $n \rightarrow \infty$ эквивалентно выполнению условий $x_ \rightarrow x$ и $y_ \rightarrow y$ при $n \rightarrow \infty$.

Ряд с комплексными членами
$$
\sum_^<\infty>z_,\label
$$
называют сходящимся, если существует
$$
\lim_ \sum_^z_ = S,\nonumber
$$
где $S \in \mathbb$. В этом случае пишут $\displaystyle\sum_^<\infty>z_ = S$, а комплексное число $S$ называют суммой ряда \eqref.

В первой части этой темы мы начали рассмотрение вопроса сходимости числовых рядов с использованием необходимого признака (или необходимого условия) сходимости. В этой теме продолжим разбор примеров. Напомню, что необходимый признак сходимости числового ряда формулируется так:

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_^<\infty>\left(\frac\right)^$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\left(\frac\right)^$. Перед тем, как применять некий признак сходимости, немного порассуждаем, – не хватаясь за ручку :) Дело в том, что $\frac > 1$, поэтому и $u_n > 1$. Следовательно, предел общего члена (если этот предел существует) не меньше единицы. Т.е. равенство $\lim_u_n=0$ невозможно. Следовательно, ряд будет расходиться.

Конечно, найти $\lim_u_n=0$ нам всё-таки придётся, так как при оформлении стандартных типовых расчётов или контрольных работ обычно требуется решение с нахождением предела. Однако, по сути, мы уже знаем ответ на вопрос задачи. Т.е. мы знаем, что ряд расходится, – осталось лишь продемонстрировать это формально.

Для нахождения предела общего члена ряда будем использовать второй замечательный предел:

Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $\lim_u_n\neq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=(-1)^n\frac$. Для начала поисследуем выражение $(-1)^n\frac$ неформально, т.е. прикинем, к чему оно может стремиться, если $n\to\infty$.

Косинус можем отбрасывать сразу: он изменяется в пределах от -1 до 1, т.е. $-1≤\cos(n!)≤ 1$. По сравнению с остальными слагаемыми величина косинуса на бесконечности станет пренебрежимо малой. Отбросим также степени, которые меньше наибольшей степени числителя и знаменателя. Останется у нас следующее выражение: $(-1)^n\frac=(-1)^n\frac$. Выражение $(-1)^n\frac$ может принимать только два значения: $\frac$ или $\left(-\frac\right)$. Т.е. общий член ряда к нулю стремиться никак не сможет, необходимый признак сходимости выполнен не будет. Осталось лишь показать это формально.

Кстати сказать, наши интуитивные рассуждения приводят к мысли: а будет ли вообще существовать предел $\lim_u_n=0$? Ведь полученное нами после "упрощения" выражение $(-1)^n\frac$ принимает два значения: $\frac$ и $\left(-\frac\right)$. Т.е. попросту говоря, к чему-то одному мы прийти никак не сможем. Отсюда имеем и способ решения задачи: показать, что предел не существует, рассмотрев два случая – когда $(-1)^n=1$ и когда $(-1)^n=-1$.

В каком случае $(-1)^n=1$? Ответ прост: когда n – чётное число, т.е. когда $n=2k$, $k\in N$. Аналогично, $(-1)^n=-1$ когда n – нечётное число, т.е. $n=2k-1$, $k\in N$. Найдём два предела: в первом пойдём в бесконечность по чётным номерам членов ряда, а во втором – по нечётным:

Так как две разные подпоследовательности имеют различные пределы, то последовательность $\$ не имеет предела. Так как предел общего члена $\lim_u_n$ не существует, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_^<\infty>\sin n$.

Общий член ряда имеет вид: $u_n=\sin n$. Поговорим о нём несколько неформально. Итак, что мы знаем о синусе? Мы знаем, что эта функция ограничена, и что она периодическая. Т.е. значения синуса повторяются и повторяются – до бесконечности. Это кстати, легко увидеть по графику функции $y=\sin x$. Обратите внимание, что если мы "пойдём в бесконечность" по синим точкам, то получим в пределе единицу; а если по красным точкам – то в пределе будет ноль:

Иными словами, совершенно логичным будет предположение, что $\lim_\sin n$ не существует, и ряд будет расходиться. Однако мы можем упростить себе задачу: нам ведь достаточно показать, что $\lim_\sin n\neq 0$. Итак, цель решения определена: показать, что предел общего члена ряда не равен нулю.

Пойдём методом от противного. Предположим, что $\lim_\sin n=0$. Если предел некоей последовательности равен числу $a$, то и предел любой её подпоследовательности также равен числу $a$. Исходя из этого утверждения, можем записать, что $\lim_\sin (n+1)=0$. Так как $\sin(n+1)=\sin n\cos 1+\cos n\sin 1$ (см. тригонометрические формулы), то

$$ \lim_\left(\sin n\cos 1+\cos n\sin 1\right)=0;\\ \lim_\left(\sin n\cos 1\right)+\lim_\left(\cos n\sin 1\right)=0;\\ \cos 1\cdot\lim_\sin n+\sin 1\cdot\lim_\cos n=0. $$

Так как согласно нашему предположению $\lim_\sin n=0$, то:

Итак, $\lim_\sin n=0$ и $\lim_\cos n=0$. Отсюда получаем:

Однако $\sin^2n+\cos^2n=1$, поэтому $\lim_\left(\sin^2n+\cos^2n\right)=1$. Полученное противоречие говорит о том, что наше допущение о равенстве нулю предела общего члена ряда неверно. Т.е. $\lim_u_n\neq 0$, поэтому ряд расходится.

В принципе, несложно показать, что предела общего члена ряда попросту не существует. Если вас заинтересует этот вопрос, прошу отписать мне об этом на форум, и я коснусь этого вопроса детально. Однако для доказательства расходимости ряда достаточно показать, что $\lim_u_n\neq 0$, – это доказательство и было проведено выше.

Ответ: ряд расходится.

Общий член ряда имеет вид: $u_n=\frac><\ln\left(1+\frac\right)>$. Чтобы представить, как ведет себя общий член ряда на бесконечности, нужно иметь некоторые знания про эквивалентные бесконечно малые функции. Например, если вы посмотрите таблицу в конце этого документа, то, полагаю, заметите формулу $1-\cos x\sim\frac$ при $x\to 0$. Давайте посмотрим на числитель общего члена ряда. Если $n\to\infty$, то $\frac\to 0$. Подставляя $x=\frac$ в формулу $1-\cos x\sim\frac$ будем иметь:

Если рассуждать нестрого, то полученный нами результат означает следующее: при $n\to\infty$ выражение $1-\cos\frac$ принимает значения сколь угодно близкие к значениям выражения $\frac$.

Теперь обратимся к знаменателю. Если вновь глянуть таблицу в конце данного документа, то мы подберем нужную формулу: $\ln(1+x)\sim x$ при $x\to 0$. Так как при $n\to\infty$ имеем $\frac\to 0$, то $\ln\left(1+\frac\right)\sim\frac$.

Если мы заменим выражения в числителе и знаменателе общего члена ряда эквивалентными им функциями, то получим дробь $\frac>>=\frac$. Вывод из этого таков: общий член ряда не станет стремиться к нулю (он устремится к $\frac$). Значит, необходимое условие сходимости выполнено не будет, т.е. ряд расходится. Осталось лишь показать это формально:

В первой и второй частях этой темы мы начали разбирать примеры применения признаков сравнения для исследования вопроса сходимости положительных рядов. На этой странице мы станем использовать сугубо второй признак сравнения (кроме последнего примера), или как его ещё именуют, признак сравнения в предельной форме. Напомню его формулировку:

Второй признак сравнения

Пусть заданы два положительных ряда $\sum\limits_^<\infty>u_n$ и $\sum\limits_^<\infty>v_n$. Если при условии $v_n\neq 0$ существует предел $$\lim_\frac=K,$$ где $0 < K < \infty$, то ряды $\sum\limits_^<\infty>u_n$ и $\sum\limits_^<\infty>v_n$ сходятся либо расходятся одновременно.

Ряды, с которыми станем сравнивать, всё те же, что и в предыдущих частях. Это обобщённый гармонический ряд

который сходится если $\alpha > 1$ и расходится при $\alpha ≤ 1$, и сумма геометрической прогрессии

Ряд (2) сходится если $|q| < 1$ и расходится если $|q|≥ 1$.

На этой странице поговорим о рядах, для исследования которых приходится привлекать эквивалентные бесконечно малые функции. В конце этого документа указана таблица, где составлен список основных эквивалентных бесконечно малых функций.

Для всех рядов на этой странице $\lim_u_n=0$, т.е. проверка необходимого условия сходимости не даст ответа на вопрос о сходимости рассматриваемых рядов.

В последнем примере №13 рассмотрим применение признака сравнения в несколько нестандартном случае.

Для вычисления пределов будем использовать методы, изложенные в теме "Пределы с иррациональностями", а также "Предел отношения двух многочленов".

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac>\arctg\frac<\pi>>$. Для начала определим, является ли этот ряд положительным, т.е. верно ли неравенство $u_n≥ 0$. Сомножитель $\frac>> 0$, это ясно, а вот что насчёт арктангенса? С арктангесом ничего сложного: так как $\frac<\pi>> >0$, то и $\arctg\frac<\pi>>>0$. Вывод: наш ряд является положительным. Применим признак сравнения для исследования вопроса сходимости этого ряда.

Для начала выберем ряд, с которым станем сравнивать. Если $n\to\infty$, то $\frac<\pi>>\to 0$. Следовательно, $\arctg\frac<\pi>>\sim\frac<\pi>>$. Почему так? Если посмотреть таблицу в конце этого документа, то мы увидим формулу $\arctg x\sim x$ при $x\to 0$. Мы эту формулу и использовали, только в нашем случае $x=\frac<\pi>>$.

Заменим в выражении $\frac>\arctg\frac<\pi>>$ арктангенс на дробь $\frac<\pi>>$. Получим мы следующее: $\frac>\frac<\pi>>$. С такими дробями мы уже работали ранее. Отбрасывая "лишние" элементы, придём к дроби $\frac\cdot\sqrt[3]>=\frac>=\frac>>$. Именно с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac>$ мы и станем сравнивать заданный ряд, используя второй признак сравнения. Так как $\frac≤ 1$, то ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac>$ расходится.

Так как $0<\frac<\pi>><\infty$, то ряды $\sum\limits_^<\infty>\frac>\arctg\frac<\pi>>$ и $\sum\limits_^<\infty>\frac>$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac>$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac>\arctg\frac<\pi>>$.

Отмечу, что в данном случае вместо арктангенса в выражении общего члена ряда мог быть синус, арксинус или тангенс. Решение осталось бы тем же самым.

Ответ: ряд расходится.

Исследовать ряд $\sum\limits_^<\infty>\left(1-\cos\frac\right)$ на сходимость.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=1-\cos\frac$. Так как для любого значения $x$ имеем $-1≤\cos x≤ 1$, то $\cos\frac≤ 1$. Следовательно, $1-\cos\frac≥ 0$, т.е. $u_n≥ 0$. Мы имеем дело с положительным рядом.

Если $n\to\infty$, то $\frac\to 0$. Следовательно, $1-\cos\frac\sim \frac<\left(\frac\right)^2>=\frac$. Почему так? Если посмотреть таблицу в конце этого документа, то мы увидим формулу $1-\cos x \sim \frac$ при $x\to 0$. Мы эту формулу и использовали, только в нашем случае $x=\frac$.

Заменим выражение $1-\cos\frac$ на $\frac$. Отбрасывая "лишние" элементы, придём к дроби $\frac$. Именно с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac$ мы и станем сравнивать заданный ряд, используя второй признак сравнения. Так как $2 > 1$, то ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$ сходится.

Так как $0<\frac<\infty$, то ряды $\sum\limits_^<\infty>\left(1-\cos\frac\right)$ и $\sum\limits_^<\infty>\frac$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_^<\infty>\left(1-\cos\frac\right)$.

Ответ: ряд сходится.

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_^<\infty>n\left(e^\frac-1\right)^2$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=n\left(e^\frac-1\right)^2$. Так как оба сомножителя положительны, то $u_n >0$, т.е. мы имеем дело с положительным рядом.

Если $n\to\infty$, то $\frac\to 0$. Следовательно, $e^\frac-1\sim\frac$. Использованная нами формула размещена в таблице в конце этого документа: $e^x-1 \sim x$ при $x\to 0$. В нашем случае $x=\frac$.

Заменим выражение $e^\frac-1$ на $\frac$, получив при этом $n\cdot\left(\frac\right)^2=\frac$. Отбрасывая число, придём к дроби $\frac$. Именно с гармоническим рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac$ мы и станем сравнивать заданный ряд, используя второй признак сравнения. Напомню, что гармонический ряд расходится.

Так как $0<9<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac$ будет расходиться и ряд $\sum\limits_^<\infty>n\left(e^\frac-1\right)^2$.

Ответ: ряд расходится.

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_^<\infty>\ln\frac$.

Заметить эквивалентность, которая нужна в этом случае, несколько тяжеловато. Запишем выражение под логарифмом немного в иной форме:

Вот теперь формула видна: $\ln(1+x)\sim x$ при $x\to 0$. Так как при $n\to\infty$ имеем $\frac\to 0$, то $\ln\left(1+\frac\right)\sim\frac$.

Заменим выражение $\ln\frac$ на $\frac$. Отбрасывая "лишние" элементы, придём к дроби $\frac$. Именно с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac$ мы и станем сравнивать заданный ряд, используя второй признак сравнения. Так как $3 > 1$, то ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$ сходится.

Так как $0<2<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_^<\infty>\frac$ сходится и ряд $\sum\limits_^<\infty>\ln\frac$.

Ответ: ряд сходится.

Исследовать ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$ на сходимость.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac$. Так как $u_n ≥ 0$, то заданный ряд является положительным.

Общий член ряда содержит произведение элементов в степени $n$. Кроме того, есть $n!$. В этом случае удобно применить признак Д'Аламбера. Однако при желании можно использовать и признак сравнения. Так как $\left(\frac\right)^n < n! < e\cdot\left(\frac\right)^n$, то можем записать такое неравенство для общего члена ряда:

Так как $\left|\frac\right| < 1$, то ряд $\sum\limits_^<\infty>\left(\frac\right)^n$ (это ряд вида (2)) сходится. Так как ряд $\sum\limits_^<\infty>\left(\frac\right)^n$ сходится и $\frac < \left(\frac\right)^n$, то согласно первому признаку сравнения (пункт 2) будет сходиться и ряд $\sum\limits_^<\infty>\frac$.

Мы уже знакомы с периодическими функциями. Под периодом $T$ функции $f(x)$ будем понимать наименьший из ее периодов. Так, функции $\sin x$ и $\cos x$ имеют период $2\pi$, а функция $\operatorname x$ имеет период $\pi$.

Если функция $f(x)$ имеет период $2l$, то будем называть ее $2l$–периодической. Функцию, определенную на $[-l, l)$, можно периодически продолжить на $(-\infty, +\infty)$, сдвигая последовательно график функции на промежутке $[-l, l)$ параллельно оси $x$ на $2nl$, где $n = 0, \pm 1,\ldots$. Если существуют односторонние пределы $f(-l + 0)$ и $f(l-0)$, то, в силу периодичности выполняются равенства
$$
f(l + 0) = \lim_ f(x) = \lim_ f(l + u) = \lim_ f(-l + u) = \lim_ f(x) = f(-l + 0).\nonumber
$$

Если $f(-l + 0) \neq f(l-0)$, то продолженная функция в точках $l(2n + 1)$, $n \in \mathbb$, будет иметь разрывы первого рода со скачком $f(-l + 0)-f(l-0)$ даже в том случае, когда функция $f(x)$ была непрерывной на промежутке $[-l, l)$ (см. рис. 63.1). Функция $f(x)$, непрерывная на промежутке $[-l, l)$, будучи периодически продолженной на $(-\infty, +\infty)$, останется непрерывной в том и только том случае, когда $f(-l + 0) = f(l-0)$.

Если функция $f(x)$ абсолютно интегрируема на отрезке $[-l, l]$ и $2l$-периодическая, то для любого вещественного числа $a$ выполнено равенство
$$
\int\limits_^ f(x)\ dx = \int\limits_^ f(x)\ dx.\nonumber
$$

$\circ$ Это утверждение было уже доказано нами ранее. $\bullet$

Частичные суммы ряда Фурье абсолютно интегрируемой функции.

В дальнейшем считаем, что полупериод $l = \pi$. Такое предположение не ограничивает общности, поскольку от периода $2l$ к периоду $2\pi$ можно перейти при помощи простой замены независимой переменной.

Запишем для $2\pi$-периодической абсолютно интегрируемой функции ее тригонометрический ряд Фурье и построим последовательность частичных сумм этого ряда
$$
S_(x) = \frac + \sum_^ a_ \cos kx + b_ \sin kx.\label
$$
Заметим, что функция $S_(x)$ бесконечно дифференцируема и $2\pi$-периодична.

Найдем формулу для $S_(x)$ (формулу Дирихле). При $u \neq 2k\pi$, $k \in \mathbb$, справедливо тождество
$$
D_(u) = \frac + \cos u + \ldots + \cos nu = \dfrac<\displaystyle\sin \left(n + \frac\right)u>>.\label
$$
$\circ$ Достаточно заметить, что
$$
2D_(u) \sin \frac = \sin \frac + 2 \cos u \sin \frac + \ldots + 2 \cos nu \sin \frac =\\= \sin \frac + \sin \frac-\sin \frac + \ldots + \sin (n + \frac)u-\\-\sin (n-\frac)u = \sin (n + \frac)u.\ \bullet\nonumber
$$

Функция $D_(u)$, определяемая формулой \eqref, называется ядром Дирихле.

Ядро Дирихле — бесконечно дифференцируемая, четная и $2\pi$-периодическая функция, причем
$$
\frac <\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>D_(u)\ du = 1.\label
$$

$\circ$ Четность, $2\pi$-периодичность и бесконечная дифференцируемость ядра Дирихле следуют из формулы \eqref, так как теми же свойствами обладает функция $\cos ku$. Формула \eqref также следует из формулы \eqref, поскольку
$$
\frac <\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>D_(u)\ du = \frac <\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>(\frac + \cos u + \ldots + \cos nu)\ du =\\= 1 + \frac <\pi>\sum_^ \int\limits_<-\pi>^ <\pi>\cos ku\ du = 1.\ \bullet \nonumber
$$

Выведем теперь формулу Дирихле для частичных сумм ряда Фурье. Подставляя в формулу \eqref для частичной суммы выражения для коэффициентов Фурье и используя формулу \eqref для ядра Дирихле, получаем
$$
S_(x) = \frac <2\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>f(t)\ dt + \\ + \sum_^ (\cos ku \cdot \frac <\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>f(t) \cos kt\ dt + \sin kt \cdot \frac <\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>f(t) \sin kt\ dt) = \\ = \frac <\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>f(t) (\frac + \sum_^ \cos kx \cos kt + \sin kx \sin kt)\ dt = \\ = \frac <\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>f(t) (\frac + \sum_^ \cos k(x-t))\ dt = \\ = \frac <\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>f(t) D_(x-t)\ dt = \frac <\pi>\int\limits_^ f(x-u) D_(u)\ du.\nonumber
$$

Так как подынтегральная функция $2\pi$-периодическая, а интеграл по отрезку длины $2\pi$ в силу леммы 1 не зависит от того, в каком месте вещественной оси этот отрезок расположен, то
$$
S_(x) = \frac <\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>f(x-u) D_(u)\ du.\label
$$

Выражение \eqref для частичной суммы ряда Фурье называют формулой Дирихле. Если разбить отрезок интегрирования на два симметричных отрезка, сделать во втором интеграле замену переменной $u = -v$ и воспользоваться четностью ядра Дирихле, то эту формулу можно еще преобразовать к виду
$$
S_(x) = \frac <\pi>\int\limits_^ <\pi>(f(x + u) + f(x-u)) D_(u)\ du.\label
$$

Читайте также: