Производная функции y sin x в точке x 0 равна
Знаки операций:
+ - сложение,
- - вычитание,
* - умножение,
/ - деление,
^ - возведение в степень.
Знак умножения нужно вводить только между числами, во всех остальных случаях его можно не вводить.
Список функций:
| Функция | Описание | Пример ввода | Результат ввода |
|---|---|---|---|
| pi | Число \(\pi\) | pi | $$ \pi $$ |
| e | Число \(e\) | e | $$ e $$ |
| e^x | Степень числа \(e\) | e^(2x) | $$ e^ $$ |
| exp(x) | Степень числа \(e\) | exp(1/3) | $$ \sqrt[3] $$ |
| |x| abs(x) | Модуль (абсолютное значение) числа \(x\) | |x-1| abs(cos(x)) | \( |x-1| \) \( |\cos(x)| \) |
| sin(x) | Синус | sin(x-1) | $$ sin(x-1) $$ |
| cos(x) | Косинус | 1/(cos(x))^2 | $$ \frac $$ |
| tg(x) | Тангенс | x*tg(x) | $$ x \cdot tg(x) $$ |
| ctg(x) | Котангенс | 3ctg(1/x) | $$ 3 ctg \left( \frac \right) $$ |
| arcsin(x) | Арксинус | arcsin(x) | $$ arcsin(x) $$ |
| arccos(x) | Арккосинус | arccos(x) | $$ arccos(x) $$ |
| arctg(x) | Арктангенс | arctg(x) | $$ arctg(x) $$ |
| arcctg(x) | Арккотангенс | arcctg(x) | $$ arcctg(x) $$ |
| sqrt(x) | Квадратный корень | sqrt(1/x) | $$ \sqrt<\frac> $$ |
| root(n,x) | Корень степени n root(2,x) эквивалентно sqrt(x) | root(4,exp(x)) | $$ \sqrt[4] < e^> $$ |
| x^(1/n) | Корень степени n x^(1/2) эквивалентно sqrt(x) | (cos(x))^(1/3) | $$ \sqrt[\Large 3 \normalsize] $$ |
| ln(x) log(x) log(e,x) | Натуральный логарифм (основание - число e ) | 1/ln(3-x) | $$ \frac $$ |
| log(10,x) | Десятичный логарифм числа x | log(10,x^2+x) | $$ log_(x^2+x) $$ |
| log(a,x) | Логарифм x по основанию a | log(3,cos(x)) | $$ log_3(cos(x)) $$ |
| sh(x) | Гиперболический синус | sh(x-1) | $$ sh(x-1) $$ |
| ch(x) | Гиперболический косинус | ch(x) | $$ ch(x) $$ |
| th(x) | Гиперболический тангенс | th(x) | $$ th(x) $$ |
| cth(x) | Гиперболический котангенс | cth(x) | $$ cth(x) $$ |
Почему решение на английском языке?
При решении этой задачи используется большой и дорогой модуль одного "забугорного" сервиса. Решение он выдает в виде изображения и только на английском языке. Изменить это, к сожалению, нельзя. Ничего лучше мы найти не смогли. Зато он выводит подробное и очень качественное решение в том виде в котором оно принято в высших учебных заведениях. Единственное неудобство - на английском языке, но это не большая цена за качество.
Некоторые пояснения по выводу решения.
| Вывод | Перевод, пояснение |
|---|---|
| derivative | производная |
| Find the derivative of . with respect to x via implicit differentiation. | Находим производную . по x с помощью неявного дифференцирования. |
| \(\large\frac\) или \(\large\fracu\) | Это производная функции \(u\) по переменной \(x\). В общеобразовательных школах чаще пишут "штрих": \(u'_x\) или просто \(u'\) |
| \(\large\frac\) или \(\large\frace^u\) | Это производная функции \(e^u\) по переменной \(u\). |
| Express \(x^x\) as a power of \(e\) | Представим \(x^x\) как степень \(e\) |
| Factor out constants | Выносим константы за знак дифференциала |
| Simplify . using the identity . | Упрощаем . используя равенство . |
| Using the chain rule | Используем правило дифференцирования сложной (дословно - "цепи") функции |
| Using the product rule | Используем правило дифференцирования произведения |
| Using the quotient rule | Используем правило дифференцирования частного (дроби) |
| Using the power rule | Используем правило дифференцирования степени |
| Differentiate the sum term by term | Дифференцируем сумму почленно |
| The derivative of x is 1 | Производная x это 1 |
| Simplify the expression | Упрощаем выражение |
| Answer | Ответ |
| \(log(x)\) | Натуральный логарифм, основание - число e. У нас пишут \(ln(x)\) |
| \(arccos(x)\) или \(cos^(x)\) | Арккосинус. У нас пишут \( arccos(x) \) |
| \(arcsin(x)\) или \(sin^(x)\) | Арксинус. У нас пишут \( arcsin(x) \) |
| \(tan(x)\) | Тангенс. У нас пишут \(tg(x) = \frac\) |
| \(arctan(x)\) или \(tan^(x)\) | Арктангенс. У нас пишут \(arctg(x)\) |
| \(cot(x)\) | Котангенс. У нас пишут \(ctg(x) = \frac\) |
| \(arccot(x)\) или \(cot^(x)\) | Арккотангенс. У нас пишут \(arcctg(x)\) |
| \(sec(x)\) | Секанс. У нас пишут также \(sec(x) = \frac\) |
| \(csc(x)\) | Косеканс. У нас пишут \(cosec(x) = \frac\) |
| \(cosh(x)\) | Гиперболический косинус. У нас пишут \(ch(x) = \frac> \) |
| \(sinh(x)\) | Гиперболический синус. У нас пишут \(sh(x) = \frac> \) |
| \(tanh(x)\) | Гиперболический тангенс. У нас пишут \(th(x) = \frac>> \) |
| \(coth(x)\) | Гиперболический котангенс. У нас пишут \(cth(x) = \frac \) |
Если вам что-то осталось не понятно обязательно напишите об этом в Обратной связи и мы дополним эту таблицу.
264. Используя распределительное свойство умножения, вычислите произ- ведение удобным способом: a) 71 9; 6) 39.9 в) 15 61; 1) 5.52 д) 3 - 901; е) 701 … - 12. 265. Раскройте скобки: а) 9 - (5х + 2); 6) 7 (9x - 11); в) 5 (7c + 3); г) (10 + 7x) 6; д) (3y — 5) 3; е) (9 – 5y) - 8. 266. Найдите значение выражения: а) 12а + 51b, при а = 11 и b = 23, б) 59р - 23q, при p = 13 и 4 = 22 267.528 - 5 = 528 (10:2) = (528.10. - 5280
2a+5b делится на 101 и a*b делится на 101. Написать наименьшее число 3a+2b
вася сьедает 1 банку сгущенки за 1 час а петя за 2 часа, за какое время они сьедят её вместе
Построение графика функции методом дифференциального исчисления
Экстремум функции двух переменных
Как найти производную, исходяя из ее определения?
Правила нахождения производных
Пример 1 . Найти производную функции y=cos 4 x .Решение.
Внешней функцией здесь служит степенная функция: cos(x) возводится в четвертую степень. Дифференцируя эту степенную функцию по промежуточному аргументу cos(x) , получим
(cos 4 x)′cos x = 4cos 4-1 x = 4cos 3 x
но промежуточный аргумент cos(x) – функция независимой переменной х ; поэтому надо полученный результат умножить на производную от cos(x) по независимой переменной х . Таким образом, получим
y′x = (cos 4 x)′cos x·(cosx)′x = 4·cos 3 x·(-sin x) = -4·cos 3 x·sin x
При дифференцировании функций нет необходимости в таких подробных записях. Результат следует писать сразу, представляя последовательно в уме промежуточные аргументы.
Пример 2 . Найти производную функции
.
.
В некоторых случаях, если, например, нужно найти производную функции y = (u(x)) v(x) , или функции, заданной в виде произведения большого числа сомножителей, используется так называемый способ логарифмического дифференцирования.
Пример 3 . Найти производную функции
.
Решение.
Применим метод логарифмического дифференцирования. Рассмотрим функцию
Пример 4 . Найти производную функции y=x e x
Решение.
;
.
Смешанные частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:
Правила ввода функции, заданной в явном виде
- Примеры
x 2 +xy ≡ x^2+x*y .
cos 2 (2x+y) ≡ (cos(2*x+y))^2
≡ (x-y)^(2/3)
Правила ввода функции, заданной в неявном виде
- Все переменные выражаются через x,y,z
- Примеры
≡ x^2/(z+y)
cos 2 (2x+zy) ≡ (cos(2*x+z*y))^2
≡ z+(x-y)^(2/3)
Частные производные функции нескольких переменных
Ели одному из аргументов функции z = f(x,y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: Δxz=f(x+Δx,y)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу x ; Δyz=f(x,y+Δy)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу у .Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:
– это частная производная функции z по аргументу x ;
– это частная производная функции z по аргументу у .
Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.
Пример 1 . z=2x 5 +3x 2 y+y 2 –4x+5y-1
Пример 2 . Найти частные производные функции z = f(x;y) в точке A(x0;y0).
Читайте также: