Полный дифференциал функции z sin xy
Задание. Найти частные производные функции z в точке A(-1;0) .
z = ln(x 2 +y 2 )+y/x
Решение.
Находим частные производные:
Задача 1. Дана функция z = f(x,y). Требуется:
1) найти частные производные dz/dx и dz/dy;
2) найти полный дифференциал dz;
3) показать, что для данной функции справедливо равенство: d 2 z/dxdy = d 2 z/dydx.
Пример 1. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .
Решение.
Найдем частные производные и .
,
.
Подставим их в уравнение
Получим тождество. Следовательно, функция z удовлетворяет данному уравнению.
Пример 2. Дана функция и две точки A(4;2 )и B(4.03;1.96). Требуется: 1) вычислить значение функции в точке В;
2) вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;
3) оценить в процентах относительную погрешность, возникшую при замене приращения функции ее дифференциалом.
Решение.
Смешанные частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:
Правила ввода функции, заданной в явном виде
- Примеры
x 2 +xy ≡ x^2+x*y .
cos 2 (2x+y) ≡ (cos(2*x+y))^2
≡ (x-y)^(2/3)
Правила ввода функции, заданной в неявном виде
- Все переменные выражаются через x,y,z
- Примеры
≡ x^2/(z+y)
cos 2 (2x+zy) ≡ (cos(2*x+z*y))^2
≡ z+(x-y)^(2/3)
Частные производные функции нескольких переменных
Ели одному из аргументов функции z = f(x,y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: Δxz=f(x+Δx,y)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу x ; Δyz=f(x,y+Δy)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу у .Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:
– это частная производная функции z по аргументу x ;
– это частная производная функции z по аргументу у .
Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.
Пример 1 . z=2x 5 +3x 2 y+y 2 –4x+5y-1
Пример 2 . Найти частные производные функции z = f(x;y) в точке A(x0;y0).
Полный дифференциал для функции двух переменных:
Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Точки разрыва функции
Построение графика функции методом дифференциального исчисления
Экстремум функции двух переменных
Вычисление интегралов
Пример . Найти производные и дифференциалы данных функций.
а) y=4 tg2 x
Решение:
дифференциал:
б)
Решение:
дифференциал:
в) y=arcsin 2 (lnx)
Решение:
дифференциал:
г)
Решение:
=
дифференциал:
Задано ромб, у якого усі сторони та одна з діагоналей pівні 6 см. Всередині або на сторонах цього ромба вибирають довільним чином 9 точок. Доведіть, щ … о принаймні дві з них знаходяться на відстані не більшій від 3 см.
5. У трапеції АВСD з основами AD і BC, AD> BC, діагоналі АС і BD перетинаються в точці Е. Дотична до описаного кола трикутника ВСЕ, проведена в точ … ці Е, перетинає пряму AD в точцi F так, що точка D лежить мiж точками A i F. Відомо, що =a. AD-b. Знайдіть довжину вiдрiзка EF
Приведите пример нескольких бинарных отношений:а) отношение, которое частично упорядочивают множество и как минимум 4 элемента упорядоченыb) исходное … и обратное бинарное отношение, которые обладают разными свойствами и оба нерефлексивны
Читайте также: