Период функции sin
На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = sin х, ее основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.
Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Тригонометрия»
На этом уроке мы продолжим изучение тригонометрической функции у = sin х и решим типовые задачи. Вначале рассмотрим основные точки этой функции на промежутке [-π/2;π/2] на графике и на круге и выясним основные особенности функции на этом промежутке. Решим несколько примеров на чтение графика и сформулируем типовую прямую и обратную задачу для этой функции на рассматриваемом промежутке. Подробно рассмотрим монотонность функции на заданном промежутке и решим задачи с ее использованием. Далее рассмотрим модификации графика функции, а именно: сдвиг кривой вправо и влево, а также вверх и вниз. Решим несколько примеров на построение графика.
Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Тригонометрия»
Построение графика этой функции происходит таким же способом, как и графика функции y = cosx , начиная с построения, например, на отрезке 0 ; π .
Но можно упростить, применив формулу sinx = cos x − π 2 , которая показывает, что график функции y = sinx можно получить путём сдвига графика функции y = cosx вдоль оси абсцисс вправо на π 2 .
Кривая, являющаяся графиком функции y = sinx , называется синусоидой.
1. Область определения — множество ℝ всех действительных чисел.
5. Нули функции: x = π n , n ∈ ℤ ;
наибольшее значение равно \(1\) при x = π 2 + 2 π n , n ∈ ℤ ;
наименьшее значение равно \(-1\) при x = − π 2 + 2 π n , n ∈ ℤ ;
значения функции положительны на интервале 0 ; π , с учётом периодичности функции на интервалах 2 π n ; π + 2 π n , n ∈ ℤ ;
значения функции отрицательны на интервале π ; 2 π , с учётом периодичности функции на интервалах π + 2 π n ; 2 π + 2 π n , n ∈ ℤ .
- возрастает на отрезках − π 2 ; π 2 , с учётом периодичности функции на отрезках − π 2 + 2 π n ; π 2 + 2 π n , n ∈ ℤ ;
- убывает на отрезке π 2 ; 3 π 2 , с учётом периодичности функции на отрезках π 2 + 2 π n ; 3 π 2 + 2 π n , n ∈ ℤ .
Число Т называют периодом функции у = f (х) .
у = f (х) , то
Чаще всего (но не всегда) среди множества положительных периодов функции можно найти наименьший. Его называют основным периодом .
График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.
(0; 0) и (Т; 0) .
Рассмотрим функцию
Следовательно, при любом значении х
f (x + 1) = f(x).
А это значит, что рассматриваемая функция периодическая, период которой равен 1 . Любое целое число также является периодом данной функции, но обычно рассматривают только маленький положительный период функции.
Возьмём произвольный угол α и построим подвижной радиус ОМ единичной окружности такой, что угол, составленный с осью Ох этим радиусом, равен α .
sin (α + 2π) = sin α или
cos (α + 2π) = cos α или
Точно так же, прибавляя к углу α любое целое число полных оборотов, мы не изменим положения подвижного радиуса ОМ , а потому:
sin (α + 2 k π ) = sin α или
cos (α + 2 k π ) = cos α или
Функции, обладающие таким свойством, что их значения не изменяются от прибавления к любому допустимому значению аргумента определённого постоянного числа, называются периодическими .
Наименьшее положительное число, от прибавления которого к любому допустимому значению аргумента не изменяется значение функции, называется периодом функции.
Построим точку М ',
симметричную точке М относительно начала координат. Один из углов, образованных с осью Ох подвижным радиусом ОМ ' , будет равен α + π .
sin α = у, cos α = х,
tg (α + π) = tg α,
с tg (α + π) = с tg α .
отсюда следует, что значения tg α и с tg α не изменяются, если к углу α прибавить любое число полуоборотов:
tg (α + k π ) = tg α,
с tg (α + k π ) = с tg α .
y = A sin ( ωx + φ ) и
y = A cos ( ωx + φ )
вычисляются по формуле
T = 2π /ω ,
а период функции
y = A tg ( ωx + φ )
T = π /ω .
Если период функции y = f ( x ) равен T 1 , а период функции y = g ( x ) равен T 2 , то период функций
y = f ( x ) + g ( x ) и
равен наименьшему числу, при делении которого на T 1 и T 2 получаются целые числа.
Найти период функции
Период функции
T 1 = 2π / 1 = 2π .
Период функции
y = 7 со s π x
T 2 = 2π /π = 2 .
Периода у функции
не существует, так как такого числа, при делении которого на 2π и на 2 получались бы целые числа, нет.
Периода не существует.
Доказать следующее утверждение :
Доказать следующее утверждение :
Доказать следующее утверждение :
ПРИМЕР :
Найти основной период функции
Пусть Т основной период функции, тогда:
sin 7х = sin 7(х + t ) = sin (7х + 7 t )
так как 2 πk период синуса, то получим :
sin (7х + 7 t ) = sin (7х + 2 πk ),
Найти основной период функции
Пусть Т основной период функции, тогда:
со s 0,3х = со s 0,3(х + t ) = со s (0,3х + 0,3 t )
так как 2 πk период косинуса, то получим :
со s (0,3х + 0,3 t ) = со s (0,3х + 2 πk ),
Найти период функции :
y = 5 sin 2 x + 2 ctg 3х.
Период функции
y = 5 sin 2 x
равен Т 1 = 2 𝜋 / 2 = π ,
а период функции
y = 2 ctg 3х
равен Т 2 = 𝜋 / 3 .
Наименьшее число, при делении которого на
Т 1 = π и Т 2 = 𝜋 / 3
Найти период функции :
Находим периоды слагаемых. Период функции
y = 9 sin (5 x + π / 3 )
равен Т 1 = 2 𝜋 / 5 ,
а период функции
y = 4 c о s (7х + 2)
равен Т 2 = 2 𝜋 / 7 .
Очевидно, что период заданной функции равен
Т = 2π .
Найти период функции :
y = 3 sin π x + 8 tg (х + 5).
Период функции
y = 3 sin π x
равен Т 1 = 2 π / π = 2,
а период функции
y = 8 tg (х + 5)
равен Т 2 = 𝜋 / 1 = π.
Периода у заданной функции не существует, так как нет такого числа, при делении которого на 2 и на π одновременно получались бы целые числа.
Найти период функции :
y = sin 3 x + со s 5х.
Период функции
y = sin 3 x
равен Т 1 = 2 π / 3 ,
а период функции
y = со s 5х
равен Т 2 = 2 π / 5 .
Приведём к общему знаменателю периоды :
Т 1 = 10 π / 15 , Т 2 = 6 π / 15 .
Читайте также: