Наименьший положительный период функции y sin x равен
Ну да. В школе ЕМНИП, период (основной период) функции f(x) определяется как наименьшее положительное число Т такое, что для всех "х" числа х+Т и х-Т также входят в область определения f(x) и f(x)=f(x+T)= f(x-T)
Пользуясь определением найдем период функции y=|sinx|
Область определения функции - все действительные числа, с этим все просто.
Предположим существование такого числа.
Вышеуказанные равенства должны быть справедливы при всех "х". а значит и при х=0
|sin0|=|sin(0+Т) |=|sin(0-Т) |=|sinТ|=0=sinТ
Т=Pi *n, n целое
Наименьшее положительное число из этого множества соответствует n=1: Т=Pi
Таким образом, если период и существует, то он равен Pi
Теперь проверяем:
Действительно, для всех "х"
|sin(x+Pi)|=|-sin(x)|=|sin(x)|,
|sin(x-Pi)|=|-sin(Pi-x)|=|-sin(x)|=|sin(x)|
Если для функции \(y=f(x)\) при любом \(x\) из области определения ( x ∈ X ) выполняются равенства f x − T = f ( x ) = f x + T , то функция имеет период \(T\) и называется периодической .
Если \(T\) является периодом функции \(y=f(x)\), x ∈ X , то кратное \(T\) число также является её периодом.
Различных периодов у периодической функции бесконечное множество.
Наименьшим положительным периодом функции называется наименьшее из положительных чисел \(T\), являющихся периодом данной функции.
Хорошим примером периодических функций могут служить тригонометрические функции \(y = sin x\), \(y = cos x\) (период этих функций равен 2 π ), \(y = tg x\) (период равен π ) и другие. Функция \(y = const\) также является периодической. Для нее периодом является любое число T ≠ 0 .
График периодической функции обычно строят на промежутке x 0 ; x 0 + T , а затем повторяют на всю область определения.
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
§8. ПЕРИОДИЧНОСТЬ ФУНКЦИИ.
2. Наименьший положительный период тригонометрических функций.
Среди функций, которые рассматриваются в школе, периодическими есть тригонометрические функции и функция у = b , где b - некоторое число.
Наименьший положительный период функции у = sin x и у = cos x равен 2 π , а функций у = tg х и у = ctg х равен π .
Также можно найти наименьший положительный период функции у = f(ax + b) , где f - одна из тригонометрических функций.
Наименьший положительный период функций у = s и n ( k х + b ) и в = со s ( k х + b ) равна 2 π /| k |, а функции у = tg(kx + b ) и в = с tg ( k х + b ) равен π /| k |.
На этом уроке мы рассмотрим периодичность функций у = sin t и у = cos t. В начале урока мы обсудим, откуда возникает периодичность у тригонометрических функций, вспомним, что такое координатная прямая и числовая окружность и как отображаются тригонометрические функции на числовой окружности. Далее дадим определение периодической функции и периода и найдем наименьший положительный период для функций синуса и косинуса. Также рассмотрим, как период влияет на исследование функции, рассмотрим графики функции синуса и косинуса на наименьшем положительном периоде и решим ряд задач с использованием периодичности этих функций.
Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Тригонометрия»
Читайте также: