Каково будет решение уравнения sin x a при a больше 1

Обновлено: 25.01.2025

Разнообразие приемов решения, представленных в примерах, показывает, что выпускники вправе использовать любые пути даже при выполнении однотипных заданий. Выбор способа должен оставаться за выпускником. В последние годы на выпускных экзаменах по математике все чаще предлагаются задачи с параметрами, которые у учащихся вызывают немалые трудности из-за отсутствия навыков решения таких задач. Предлагаем решение заданий группы С3 ЕГЭ-2002.

1. При каких значениях параметра a сумма log_a (2 x – 1) и log_a (2 x – 7) равна единице ровно при одном значении x?

Решение. Из условия задачи следует, что log_a (2 x – 1) + log_a (2 x – 7) = 1 и это уравнение должно иметь только одно решение.

x > log₂ 7 при a > 0 и a № 1.

Преобразуя уравнение, получим: (2 x – 1)(2 x – 7) = a,

Пусть 2 x = y, y > 0; тогда имеем квадратное уравнение y 2 – 8y + 7 – a = 0. D = 36 + 4a. Так как a > 0, то D > 0, то есть квадратное уравнение имеет два корня. Учитывая условие y > 0, из двух корней подойти должен только один, то есть y₁ > 0, y₂ Ј 0. Таким образом, должно выполняться условие y₁y₂=7–a Ј 0, то есть a і 7.

Ответ: при a О [7; + ҐЧ ).

2. При каких значениях параметра a сумма не равна единице ни при каких значениях x?

Решение. Составим сумму и запишем условие:

Это условие равносильно тому, что уравнение не имеет решений при любых значениях x.

x і 0 при a > 0 и a № 1.

Преобразуя наше уравнение, получим равносильное уравнение

Пусть Имеем квадратное уравнение

(6 – a)y 2 + (17 – 2a)y + 12 – a = 0 . (1)

D = (17 – 2a 2 ) – 4(6 – a)(12 – a) = 4a + 1.

Так как a > 0, то D > 0 и квадратное уравнение (1) имеет два корня. Учитывая условие y і 0, имеем y₁<0 и y₂<0, то есть y₁y₂>0, y₁+y₂<0.

С учетом условия a>0 и a № 1, имеем a О (0; 1) И (1; 6) И (12; + Ґ ).

Рассмотрим отдельно случай a=6. Тогда квадратное уравнение становится линейным: 5y + 6 = 0, то есть что не удовлетворяет условию y і 0.

Ответ: при a О (0; 1) И (1; 6] И (12; + Ґ ).

3. При каких значениях параметра a сумма будет больше единицы при всех значениях x?

Получили неравенство, которое должно выполняться при всех значениях x при a>0, a № 1.

Перепишем неравенство в виде

При 0 < a < 1 имеем Так как 1+x 2 >0 при x О R, то (8–a)x 4 +(22–2a)x 2 +(15–a)<0.

Пусть x 2 = y, y і 0. Тогда неравенство (8–a)y 2 +(22–2a)y+(15–a)<0 должно выполняться при всех y О [0;+ Ґ ). Это возможно только при 8–a<0, то есть a>8, что не удовлетворяет условию 0<a<1.

При a>1 имеем то есть (8–a)x 4 +(22–2a)x 2 +(15–a)>0 при всех значениях x.

Пусть x 2 = y, y і 0. Тогда (8–a)y 2 +(22–2a)y+(15–a)>0 должно выполняться при всех y О [0; + Ґ ). Это возможно только при 8–a>0.

При a>1 D>0, то есть квадратный трехчлен имеет два корня y₁ и y₂ и при y О [y₁; y₂] принимает неположительные значения. Для того, чтобы квадратный трехчлен был положителен для любого y О [0; + Ґ ), необходимо, чтобы y₁<0 и y₂<0, то есть y₁y₂>0, y₁+y₂<0.

Таким образом получим систему неравенств откуда a О (1; 8).

При a=8 имеем 6y + 7>0 при всех y О [0; + Ґ ).

Ответ: при a О (1; 8].

4. При каких значениях параметра a сумма log_a (sin x + 2) и log_a (sin x + 3) будет равна единице хотя бы при одном значении x?

Решение. log_a (sin x + 2) + log_a (sin x + 3) = 1. (1)

Получили уравнение, которое должно иметь хотя бы один корень. a>0, a № 1; x О R. При этих условиях уравнение (1) равносильно уравнению

(sin x + 2)(sin x + 3) = a,

sin 2 x + 5sin x + 6 – a = 0.

Пусть sin x = y, | y | Ј 1. Тогда

y 2 + 5y + 6 – a = 0. (2)

D = 25 – 4(6 – a) = 4a + 1.

При a > 0 D > 0, то есть уравнение (2) имеет два корня y₁ и y₂.

Графиком функции f(y) = y 2 + 5y + (6 – a) является парабола, ветви которой направлены вверх, а абсцисса ее вершины равна –2,5. Следовательно, меньший корень квадратного уравнения не может принадлежать отрезку [–1; 1]. Для того, чтобы больший корень принадлежал отрезку [–1; 1], должны выполняться условия f(–1) Ј 0 и f(1) і 0, то есть то есть a О [2; 12].

Ответ: при a О [2; 12].

5. При каких значениях параметра a выражение 3 + cos x (a cos x + 4sin x) не равно нулю ни при каких значениях x?

Решение. Перефразируем данное задание: при каких значениях параметра a уравнение

3 + cos x (a cos x + 4sin x) = 0 не имеет решений ни при каких значениях x?

3sin 2 x + 4sin x cos x + (a + 3) cos 2 x = 0.

Так как cos x = 0 не является решением данного уравнения, то 3tg 2 x + 4tg x + (a + 3) = 0. Это квадратное уравнение не имеет решений только если D < 0, то есть D = 16 – 12(a + 3) и 16 – 12(a + 3) < 0,

6. При каких значениях параметра a уравнение имеет единственное решение?

Решение. Рассмотрим условие:

Решим данное уравнение графически. Рассмотрим графики функций Чтобы исходное уравнение имело единственное решение, графики наших функций должны иметь только одну точку пересечения.

Графиком функции y = 2 + x является прямая, проходящая через точки (0; 2) и (2; 4).

Графиком функции является кривая, полученная из графика функции сдвигом его на | a | единиц вправо вдоль оси Ox, если a > 0; на | a | единиц влево вдоль оси Ox, если a<0. Единственная точка пересечения получается при a і –2.

Ответ: при a О [2; + Ґ ).

7. При каких значениях параметра a уравнение имеет единственное решение?

Решение. . Рассмотрим условие:

Рассмотрим графики функций Графиком функции y = x + a является прямая, параллельная прямой y = x и проходящая через точку (0; a).

Единственная точка пересечения A при D = 0, то есть

При — две точки пересечения, а при a О (– Ґ ; 1) — одна точка пересечения.

8. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно четыре корня?

Решение. x > 0.

Пусть Тогда уравнение 2y 2 – y + a = 0 должно иметь два положительных корня, то есть при D>0 y₁>0 и y₂>0. Таким образом

Развивающие – способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти,

Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

• частично – поисковый
• проверка уровня знаний,
• работа по обобщающей схеме,
• решение познавательных обобщающих задач,
• системные обобщения,
• самопроверка,
• восприятие нового материала,
• взаимопроверка.

Оформление доски (определение обратных тригонометрических функций, решение тригонометрических уравнений вида cost=а, sint=a)

План урока:

1. Организационный момент.
2. Информационный проект «История развития тригонометрии».
3. Фронтальная работа по содержанию учебного материала.
4. Закрепление и проверка знаний учащихся по предыдущим темам.
5. Итог урока.
6. Домашние задание.

1. Организационный момент.

Французский писатель Анатоль Франс (1844–1924) однажды заметил: «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни.

Сегодня у нас обобщающий урок по теме «Тригонометрические уравнения вида cost=а, sin t=a». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решений тригонометрических уравнений.

Перед нами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

2. Информационный проект «История развития тригонометрии».

Но в начале мы с вами совершим экскурс в прошлое. Узнаем, с чем связано возникновение тригонометрии? Кто впервые ввел понятие тригонометрии и тригонометрических функций?

Алена Зажигина познакомит нас с историей становления тригонометрии. (Презентация. Слайды 3-15)

3.Фронтальная работа по содержанию учебного материала.

1. Дайте определение арккосинуса числа а.

Если |a| ≤ 1, то arccos a = t

2. Дайте определение арксинуса числа а.

Если |a|≤ 1, то arcsin a = t

3. Определите значения обратных тригонометрических функций (устно). (слайд 16)

Турист плыл на теплоходе сначала 1,2 ч по озеру, а затем 3,6 ч по реке, которая впадает в озеро. Собственная скорость теплохода 22,4 км/ч, а скорость … течения реки 1,7 км/ч. Найдите длину всего пути туриста на теплоходе.

Помогите с задачей, пожалуйста. Как правильно записать условие к ней? И решение?: номер 102(1)

Сократите дробь 26/65. Напишите, чему равен знаменатель сокращённой дроби.

Методическая цель: продемонстрировать применение информационных технологий на уроке при решении практических заданий.

– образовательные: показать методы решения простейших тригонометрических уравнений, расширить кругозор сведениями из истории тригонометрии;

– развивающие: учиться логически мыслить, оценивать свои знания;

– воспитательные: формировать эмоционально-ценностное отношение к учебной деятельности, воспитывать интерес к математике.

– карточки для проверочной работы;

Ход урока

Здравствуйте, садитесь! Сегодня на уроке мы будем решать простейшие тригонометрические уравнения вида и .

Знаете, однажды французский писатель Анатоль Франс заметил: “Чтобы переваривать знания, нужно поглощать их с аппетитом”.

Давайте сегодня на уроке будем следовать совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам при сдаче экзаменов.

Эпиграфом нашего урока станут слова китайской пословицы “Ты можешь стать умнее тремя путями: путем опыта – это самый горький путь, путем подражания – это самый легкий путь; путем размышления – это самый благородный путь”. (демонстрация на слайде)

План нашего урока записан на доске. Давайте постараемся работать согласно плану, и первым этапом урока станет “Лестница успеха”, поднимаясь по которой мы повторим основные определения и понятия по теме.

2. “Лестница успеха” (устная работа).

Дать определение уравнения?

Что значит решить уравнение?

Что называется арксинусом числа а?

Что называется арккосинусом числа а?

При каком значении а уравнения Sin x = a и Cos x = a не имеют решения? Почему?

Найдите “лишнее” уравнение:

1. Sin x = 0
2. Cos x = -1
3. Sin 2x = 1
4. Cos x = 1|2
5. Sin (3x – 1)= 2

1. Arcsin v3/2
2. Arcsin (-?)
3. Arccos (-?)
4. – Arcsin v2/2
5. Arccos (-v2/2)
6. Arcsin 0
7. Arccos (-1)
8. Arccos v3/2

Из элементов, изображенных на экране, составьте уравнение и решите его. (возможны различные варианты)

Читайте также:

  
• Streets of rage 4 mr x nightmare достижения
  
• Песня фнаф i cant fix you на русском я так долго старалась мотив выбирала eilli
  
• Самый длинный поезд в гта 5
  
• Интенсивный пилинг с гликолевой кислотой 12 и коллоидным серебром для проблемной кожи silver skin
  
• Варфейс смг 45 скрытые ттх