Изобара в координатах p t
На протяжении этого листка мы будем придерживаться следующего предположения: масса и химический состав газа остаются неизменными. Иными словами, мы считаем, что:
• , то есть нет утечки газа из сосуда или, наоборот, притока газа в сосуд;
• , то есть частицы газа не испытывают каких-либо изменений (скажем, отсутствует диссоциация — распад молекул на атомы).
Эти два условия выполняются в очень многих физически интересных ситуациях (например, в простых моделях тепловых двигателей) и потому вполне заслуживают отдельного рассмотрения.
Если масса газа и его молярная масса фиксированы, то состояние газа определяется тремя макроскопическими параметрами: давлением, объёмом и температурой. Эти параметры связаны друг с другом уравнением состояния (уравнением Менделеева — Клапейрона).
Термодинамический процесс (или просто процесс) — это изменение состояния газа с течением времени. В ходе термодинамического процесса меняются значения макроскопических параметров — давления, объёма и температуры.
Особый интерес представляют изопроцессы — термодинамические процессы, в которых значение одного из макроскопических параметров остаётся неизменным. Поочерёдно фиксируя каждый из трёх параметров, мы получим три вида изопроцессов.
1. Изотермический процесс идёт при постоянной температуре газа: .
2. Изобарный процесс идёт при постоянном давлении газа: .
3. Изохорный процесс идёт при постоянном объёме газа: .
Изопроцессы описываются очень простыми законами Бойля — Мариотта, Гей-Люссака и Шарля. Давайте перейдём к их изучению.
Графики изотермического процесса
Вообще, графики термодинамических процессов принято изображать в следующих системах координат:
• -диаграмма: ось абсцисс , ось ординат ;
• -диаграмма: ось абсцисс , ось ординат ;
• -диаграмма: ось абсцисс , ось ординат .
График изотермического процесса называется изотермой.
Изотерма на -диаграмме — это график обратно пропорциональной зависимости .
Такой график является гиперболой (вспомните алгебру — график функции ). Изотерма-гипербола изображена на рис. 1 .
Рис. 1. Изотерма на -диаграмме
Каждая изотерма отвечает определённому фиксированному значению температуры. Оказывается, что чем выше температура, тем выше лежит соответствующая изотерма на -диаграмме.
В самом деле, рассмотрим два изотермических процесса, совершаемых одним и тем же газом (рис. 2 ). Первый процесс идёт при температуре , второй — при температуре .
Рис. 2. Чем выше температура, тем выше изотерма
Фиксируем некоторое значение объёма . На первой изотерме ему отвечает давление , на второй — p_1' alt='p_2 > p_1' /> . Но при фиксированном объёме давление тем больше, чем выше температура (молекулы начинают сильнее бить по стенкам). Значит, T_1' alt='T_2 > T_1' /> .
В оставшихся двух системах координат изотерма выглядит очень просто: это прямая, перпендикулярная оси (рис. 3 ):
Рис. 3. Изотермы на и -диаграммах
Изотермический процесс
Пусть идеальный газ совершает изотермический процесс при температуре . В ходе процесса меняются только давление газа и его объём.
Рассмотрим два произвольных состояния газа: в одном из них значения макроскопических параметров равны , а во втором — . Эти значения связаны уравнением Менделеева-Клапейрона:
Как мы сказали с самого начала,масса и молярная масса предполагаются неизменными.
Поэтому правые части выписанных уравнений равны. Следовательно, равны и левые части:
Поскольку два состояния газа были выбраны произвольно, мы можем заключить, что в ходе изотермического процесса произведение давления газа на его объём остаётся постоянным:
Данное утверждение называется законом Бойля — Мариотта.
Записав закон Бойля — Мариотта в виде
можно дать и такую формулировку: в изотермическом процессе давление газа обратно пропорционально его объёму. Если, например, при изотермическом расширении газа его объём увеличивается в три раза, то давление газа при этом в три раза уменьшается.
Как объяснить обратную зависимость давления от объёма с физической точки зрения? При постоянной температуре остаётся неизменной средняя кинетическая энергия молекул газа, то есть, попросту говоря, не меняется сила ударов молекул о стенки сосуда. При увеличении объёма концентрация молекул уменьшается, и соответственно уменьшается число ударов молекул в единицу времени на единицу площади стенки — давление газа падает. Наоборот, при уменьшении объёма концентрация молекул возрастает, их удары сыпятся чаще и давление газа увеличивается.
Изохорный процесс
Изохорный процесс, напомним, — это процесс, проходящий при постоянном объёме. При изохорном процессе меняются только давление газа и его температура.
Изохорный процесс представить себе очень просто: это процесс, идущий в жёстком сосуде фиксированного объёма (или в цилиндре под поршнем, когда поршень закреплён).
Пусть идеальный газ совершает изохорный процесс в сосуде объёмом . Опять-таки рассмотрим два произвольных состояния газа с параметрами и . Имеем:
Делим эти уравнения друг на друга:
Как и при выводе закона Гей-Люссака, «разносим» индексы в разные части:
Ввиду произвольности выбора состояний мы приходим к закону Шарля:
Иными словами, при постоянном объёме газа его давление прямо пропорционально температуре:
Увеличение давления газа фиксированного объёма при его нагревании — вещь совершенно очевидная с физической точки зрения. Вы сами легко это объясните.
Изоэнтропийный процесс.
Изоэнтропийный процесс — это изменение термодинамической системы с условием не изменения энтропии (S = const). Изоэнтропийным является, например, обратимый адиабатический процесс: в таком процессе не происходит теплообмена с окружающей средой. Идеальный газ в таком процессе описывается следующим уравнением:
где γ — показатель адиабаты, определяемый типом газа.
В этой статье мы разберем, как решать графические задачи: будем перерисовывать графики процессов, происходящих с газом, в новые оси. Задачи достаточно простые: в них вы не встретите ни одного не изопроцесса.
Задача 1. Перечертить процесс, происходящий с газом из осей в оси и .
Задача 1. Рисунок 1
Начнем с анализа имеющегося графика. Итак, процесс 1-2 – изобара, потому что давление не меняется. Объем растет, следовательно, растет температура. Процесс 2-3 – изохора. Объем неизменен, давление падает – следовательно, и температура падает тоже. Последний участок – 3-1 – изотерма. Объем уменьшается, давление растет. Попробуем изобразить этот цикл в новых осях. Возьмем оси . Процесс 1-2 – изобара – будет в этих осях изображаться прямой, выходящей из начала координат. Двигаться по этой прямой будем вверх, так как мы уже заметили, что растут как температура, так и объем.
Обратите внимание: начальную точку лучше ставить в центр, так как пока мы еще не знаем, куда нам предстоит затем двигаться: вверх, вниз, вправо или влево, и лучше будет оставить место для любого отрезка.
Задача 1. Рисунок 2
Задача 1. Рисунок 3
Задача 1. Рисунок 4
Теперь рассмотрим оси . Изобара в этих осях – горизонтальная прямая, двигаемся вправо: температура растет (ведь объем-то увеличивается на исходном графике):
Задача 1. Рисунок 5
Следующий процесс – изохора – изображается в осях как прямая, обязательно выходящая из начала координат. Поэтому проводим вспомогательную прямую:
Задача 1. Рисунок 6
И спускаемся по ней (давление же падает) вниз до достижения начальной температуры.
Задача 1. Рисунок 7
После чего по изотерме нужно подняться вверх до достижения начального давления.
Задача 1. Рисунок 8
Задача 2. Перечертить процесс, происходящий с газом из осей в оси и .
Задача 2. Рисунок 1
Проанализируем представленный цикл, можно даже подписать на нем названия процессов. Процесс 1-2 – изохора, давление растет, следовательно, и температура также. Затем следует изобара, объем растет, следовательно, температура тоже продолжает расти. Далее видим изотерму, по ней мы спускаемся до начального давления – давление падает, а значит, растет объем. Наконец, замыкает процесс опять изобара, но теперь объем уменьшается, следовательно, температура падает.
Рисуем в осях : сначала горизонталь (изохора):
Задача 2. Рисунок 2
Затем вспомогательная прямая из начала координат в точку 2 – будущая изобара.
Задача 2. Рисунок 3
Теперь рисуем сам отрезок 2-3:
Задача 2. Рисунок 4
Теперь отрезок 3-4 – это изотерма. Причем обратите внимание: в конце ее, в точке 4, мы должны оказаться при таком же давлении, каким оно было в точке 1, следовательно, двигаться нужно вертикально вверх, но до пересечения с изобарой, на которой лежит точка 1, поэтому сразу изобразим и ее тоже:
Задача 2. Рисунок 5
Наконец, рисуем последнюю изобару 4-1:
Задача 2. Рисунок 6
Задача 2. Рисунок 7
Задача 2. Рисунок 8
Далее – изотерма. Объем растет, это видно из исходного графика, а давление, стало быть, падает. Поэтому – спускаемся вниз. И спускаемся ровно до такой температуры, какой она была в точке 1.
Задача 2. Рисунок 9
Завершаем цикл изобарой 4-1:
Задача 2. Рисунок 10
Задача 3. Перечертить процесс, происходящий с газом из осей в оси и .
Задача 3. Решение.
Задача 4. Перечертить процесс, происходящий с газом из осей в оси и .
Задача 4. Решение
Задача 5. Перечертить процесс, происходящий с газом из осей в оси и .
Задача 5. Решение.
Задача 6. Перечертить процесс, происходящий с газом из осей в оси и .
Задача 6. Рисунок 1.
Рассмотрим подробно решение этой задачи.
Проанализируем исходный график. Процесс 1-2 – изотерма. Давление растет, следовательно, объем должен падать. Процесс 2-3 – изохора, растут и температура, и давление. Процесс 3-4 – изобара, температура растет, следовательно, должен расти и объем. Процесс 4-5 – тоже изохора, только тут падает температура и падает давление (объем постоянный). Наконец, процесс 5-1 – изобара, температура падает, и, следовательно, объем также.
Итак, в осях изотерма имеет вид гиперболы. Причем мы по этой гиперболе поднимаемся вверх: давление растет.
Задача 6. Рисунок 2.
Далее изохора, то есть поднимаемся вертикально вверх, так как давление растет.
Задача 6. Рисунок 3.
После этого процесс 3-4 – изобара. Давление от точки 3 до точки 4 не меняется.
Задача 6. Рисунок 4
Далее снова изохора, только теперь давление падает, так что спускаемся вертикально вниз, до момента, когда давление не станет таким же, как в точке 1.
Задача 6. Рисунок 5
Наконец, процесс 5-1 – изобара, и горизонтальным участком мы соединим точки 5 и 1.
Задача 6. Рисунок 6
Теперь переходим к осям . Процесс 1-2 – изотерма – изобразим вертикальной прямой, так как объем падает, мы по ней будем спускаться вниз.
Задача 6. Рисунок 8.
Далее изохора – горизонтальная прямая.
Задача 6. Рисунок 9.
Изобара в этих осях – прямая, выходящая из начала координат. Проводим такую прямую в качестве вспомогательной (соединяем точку 3 и начало координат). По этой прямой нам предстоит подниматься вверх.
Задача 6. Рисунок 10.
Продолжает цикл изохора, и, поскольку давление газа в точках 1 и 5 одинаковое, должно оказаться так, что они лежат на одной изобаре. Проведем такую изобару из начала координат и точку 1, и участок 4-5 будем продолжать, пока не окажемся на этой прямой.
Задача 6. Рисунок 11.
Завершим цикл, соединив точки 5 и 1:
Задача 6. Рисунок 12.
Задача 7. Перечертить процесс, происходящий с газом из осей в оси и .
Задача 7. Решение
Задача 8. Перечертить процесс, происходящий с газом из осей в оси и .
Задача 8. Решение
Задача 9. Перечертить процесс, происходящий с газом из осей в оси и .
Задача 9. Рисунок 1.
Рассмотрим эту задачу подробнее. Процессы 3-4 и 5-1 – изобарические, 2-3 и 4-5 – изохорические, процесс 1-2 – изотермический. Начнем с него. Объем падает, следовательно, давление должно расти. Затем изохорический процесс 2-3 – температура падает, а с ней и давление. В процессе 3-4 растет объем и температура, в процессе 4-5 – растет давление. Точки 5 и 1 находятся на одной изобаре, температура и объем в этом процессе растут.
Рисуем в осях : поднимаемся вверх по традиционной изотерме 1-2 (давление растет), из точки 2 спускаемся вертикально вниз (2-3 – изохора), так как давление падает.
Задача 9. Рисунок 2.
Задача 9. Рисунок 3.
Далее в процессе 3-4 давление неизменно, но объем растет, следовательно, двигаемся вправо. Отметим, что в точках 3 и 4 давление меньше, чем в точках 1 и 5 – поэтому вид графика такой:
Задача 9. Рисунок 4.
В процессе 4-5 мы как раз поднимемся до давления, равного давлению в точке 1, а так как этот процесс – изохорический, то поднимаемся вертикально вверх:
Задача 9. Рисунок 5.
Задача 9. Рисунок 6.
Перейдем теперь к осям . Изотермический процесс 1-2 в этих осях изображается вертикальной прямой, двигаемся вверх, так как давление растет.
Задача 9. Рисунок 7.
Изохорический процесс в этих осях – прямая, выходящая из начала координат. Проведем такую прямую из точки 2 в начало координат. В этом процессе давление будет падать, значит, будем двигаться вниз к точке 3, давление в которой должно быть ниже, чем в точке 1.
Задача 9. Рисунок 8.
Далее давление сохраняется постоянным, растет температура – поэтому процесс 3-4 изобразим горизонтальным отрезком.
Задача 9. Рисунок 9.
В точках 4 и 5 давление одинаково, следовательно, они обязаны лежать на одной изобаре, проведем вспомогательную прямую из начала координат в точку 4, и процесс 4-5 нарисуем так, чтобы он совпадал с этой прямой. Причем в точке 5 давление такое же, как и в точке 1, поэтому подниматься будем до тех пор, пока не окажемся на уровне точки 1.
Изобарный процесс.
Изобарный (или изобарический) процесс — это изменение термодинамической системы с условием не изменения давления (P = const). Изобарой называют линию, которая отображает изобарический процесс на графике. Этот процесс описывает закон Гей-Люссака.
Изотермический процесс.
Изотермический процесс — это изменение термодинамической системы с условием не изменения температуры (T = const). Изотермой называют линию, которая отображает изотермический процесс на графике. Этот процесс описывает закон Бойля-Мариотта.
Изохорный процесс.
Изохорный (или изохорический) процесс — это изменение термодинамической системы с условием не изменения объема (V = const). Изохорой называют линию, которая отображает изохорический процесс на графике. Этот процесс описывает закон Шарля.
Графики изохорного процесса
График изохорного процесса называется изохорой. На -диаграмме изохора является прямой линией (рис. 7 ):
Рис. 7. Изохора на -диаграмме
Смысл пунктирного участка тот же: неадекватность модели идеального газа при низких температурах.
Далее, чем больше объём, тем ниже идёт изохора на -диаграмме (рис. 8 ):
Рис. 8. Чем ниже изохора, тем больше объём
Доказательство аналогично предыдущему. Фиксируем температуру и видим, что . Но при фиксированной температуре давление тем меньше, чем больше объём (снова закон Бойля — Мариотта). Стало быть, V_1' alt='V_2 > V_1' /> .
В оставшихся двух системах координат изохора является прямой линией, перпендикулярной оси (рис. 9 ):
Рис. 9. Изохоры на и -диаграммах
Законы Бойля — Мариотта, Гей-Люссака и Шарля называются также газовыми законами.
Мы вывели газовые законы из уравнения Менделеева — Клапейрона. Но исторически всё было наоборот: газовые законы были установлены экспериментально, и намного раньше. Уравнение состояния появилось впоследствии как их обобщение.
Изохорный, изобарный, изотермический и адиабатный процессы являются частными случаями политропного процесса.
При исследовании термодинамических процессов определяют:
Изохорный процесс
При изохорном процессе выполняется условие v = const.
Из уравнения состояния идеального газа (pv = RT) следует:
т. е. давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре:
Работа расширения в изохорном процессе равна нулю (l = 0), так как объем рабочего тела не меняется (Δv = const).
Количество теплоты, подведенной к рабочему телу в процессе 1-2 при cv = const определяется по формуле:
Т. к.l = 0, то на основании первого закона термодинамики Δu = q, а значит изменение внутренней энергии можно определить по формуле:
Изменение энтропии в изохорном процессе определяется по формуле:
Изобарный процесс
Изобарным называется процесс, протекающий при постоянном давлении p = const. Из уравнения состояния идеального газа слуедует:
т. е. в изобарном процессе объем газа пропорционален его абсолютной температуре.
Работа будет равна:
Количество теплоты при cp = const определяется по формуле:
Изменение энтропии будет равно:
Изотермический процесс
При изотермическом процессе температура рабочего тела остается постоянной T = const, следовательно:
т. е. давление и объем обратно пропорциональны друг другу, так что при изотермическом сжатии давление газа возрастает, а при расширении – снижается.
Работа процесса будет равна:
Так как температура остается неизменной, то и внутренняя энергия идеального газа в изотермическом процессе остается постоянной (Δu = 0) и вся подводимая к рабочему телу теплота полностью превращается в работу расширения:
При изотермическом сжатии от рабочего тела отводится теплота в количестве, равном затраченной на сжатие работе.
Изменение энтропии равно:
Адиабатный процесс
Адиабатным называется процесс изменения состояния газа, который происзодит без теплообмена с окружающей средой. Так как dq = 0, то уравнение первого закона термодинамики для адиабатного процесса будет иметь вид:
В адиабатном процессе работа расширения совершается только за счет расходования внутренней энергии газа, а при сжатии, происходящем за счет действия внешних сил, вся совершаемая ими работа идет на увеличение внутренней энергии газа.
Обозначим теплоемкость в адиабатном процессе через cад, и условие dq = 0 выразим следующим образом:
Это условие говорит о том, что теплоемкость в адиабатном процессе равна нулю (cад = 0).
и уравнение кривой адиабатного процесса (адиабаты) в p, v-диаграмме имеет вид:
В этом выражении k носит название показателя адиабаты (так же ее называют коэффициентом Пуассона).
Из предыдущих формул следует:
Техническая работа адиабатного процесса (lтехн) равна разности энтальпий начала и конца процесса (i1 – i2).
Адиабатный процесс, происходящий без внутреннего трения в рабочем теле, называется изоэнтропийным. В T, s-диаграмме он изображается вертикальной линией.
Обычно реальные адиабатные процессы протекают при наличии внутреннего трения в рабочем теле, в результате чего всегда выделяется теплота, которая сообщается самому рабочему телу. В таком случае ds > 0, и процесс называется реальным адиабатным процессом.
Политропный процесс
Политропным называется процесс, который описывается уравнением:
Показатель политропы n может принимать любые значения в пределах от -∞ до +∞, но для данного процесса он является постоянной величиной.
Из уравнения политропного процесса и уравнения Клайперона можно получить выражение, устанавливающее связь между p, vи Tв любых двух точках на политропе:
Работа расширения газа в политропном процессе равна:
В случае идеального газа эту формулу можно преобразовать:
Количество подведенной или отведенной в процессе теплоты определяется с помощью первого закона термодинамики:
представляет собой теплоемкость идеального газа в политропном процессе.
При cv, k и n = const cn = const, поэтому политропный процесс иногда определят как процесс с постоянной теплоемкостью.
Политропный процесс имеет обобщающее значение, ибо охватывает всю совокупность основных термодинамических процессов.
Графическое представление политропа в p, v координатах в зависимости от показателя политропа n.
pv 0 = const (n = 0) – изобара;
pv = const (n = 1) – изотерма;
p 0 v = const, p 1/∞ v = const, pv ∞ = const – изохора;
n > 0 – гиперболические кривые,
По материалам моего конспекта лекций по термодинамике и учебника «Основы энергетики». Автор Г. Ф. Быстрицкий. 2-е изд., испр. и доп. — М. :КНОРУС, 2011. — 352 с.
Изопроцессами называются процессы, протекающие при неизменном значении одного из параметров: давления (p), объема (V), температуры (T).
Изопроцессами в газах являются термодинамические процессы, на протяжении течения которых количество вещества и давление, объём, температура либо энтропия не поддаются изменениям. Таким образом, при изобарном процессе не изменяется давление, при изохорном - объём, при изотермическом - температура, при изоэнтропийном - энтропия (к примеру, обратимый адиабатический процесс). И линии, которые отображают перечисленные процессы на некой термодинамической диаграмме, называют, соответственно, изобара, изохора, изотерма и адиабата. Все эти изопроцессы являются частными случаями политропного процесса.
В идеальном газе эти процессы подчиняются газовым законам.
Газовыми законами называются количественные зависимости между двумя параметрами газа при фиксированном значении третьего параметра.
Изобарный процесс
Напомним ещё раз, что изобарный процесс — это процесс, проходящий при постоянном давлении. В ходе изобарного процесса меняются лишь объём газа и его температура.
Типичный пример изобарного процесса: газ находится под массивным поршнем, который может свободно перемещаться. Если масса поршня и поперечное сечение поршня , то давление газа всё время постоянно и равно
где — атмосферное давление.
Пусть идеальный газ совершает изобарный процесс при давлении . Снова рассмотрим два произвольных состояния газа; на этот раз значения макроскопических параметров будут равны и .
Выпишем уравнения состояния:
Поделив их друг на друга, получим:
В принципе, уже и этого могло бы быть достаточно, но мы пойдём немного дальше. Перепишем полученное соотношение так, чтобы в одной части фигурировали только параметры первого состояния, а в другой части — только параметры второго состояния (иными словами, «разнесём индексы» по разным частям):
А отсюда теперь — ввиду произвольности выбора состояний! — получаем закон Гей-Люссака:
Иными словами, при постоянном давлении газа его объём прямо пропорционален температуре:
Почему объём растёт с ростом температуры? При повышении температуры молекулы начинают бить сильнее и приподнимают поршень. При этом концентрация молекул падает, удары становятся реже, так что в итоге давление сохраняет прежнее значение.
Графики изобарного процесса
График изобарного процесса называется изобарой. На -диаграмме изобара является прямой линией (рис. 4 ):
Рис. 4. Изобара на -диаграмме
Пунктирный участок графика означает, что в случае реального газа при достаточно низких температурах модель идеального газа (а вместе с ней и закон Гей-Люссака) перестаёт работать. В самом деле, при снижении температуры частицы газа двигаются всё медленнее, и силы межмолекулярного взаимодействия оказывают всё более существенное влияние на их движение (аналогия: медленный мяч легче поймать, чем быстрый). Ну а при совсем уж низких температурах газы и вовсе превращаются в жидкости.
Разберёмся теперь, как меняется положение изобары при изменении давления. Оказывается, что чем больше давление, тем ниже идёт изобара на -диаграмме.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим две изобары с давлениями и (рис. 5 ):
Рис. 5. Чем ниже изобара, тем больше давление
Зафиксируем некоторое значение температуры . Мы видим, что . Но при фиксированной температуре объём тем меньше, чем больше давление (закон Бойля — Мариотта!).
Стало быть, p_1' alt='p_2 > p_1' /> .
В оставшихся двух системах координат изобара является прямой линией, перпендикулярной оси (рис. 6 ):
Рис. 6. Изобары на и -диаграммах
Читайте также: