Find out решение интегралов

Обновлено: 10.01.2025

После вычисления неопределённого интеграла, вы сможете получить бесплатно ПОДРОБНОЕ решение введённого вами интеграла.

Найдем решение неопределенного интеграла от функции f(x) (первообразную функции).

Формула средних прямоугольников

Это самая простая квадратурная формула вычисления интеграла, в которой используется одно значение функции
(1)
где ; h=x₁-x₀.
Формула (1) представляет собой центральную формулу прямоугольников. Вычислим остаточный член. Разложим в ряд Тейлора функцию y=f(x) в точке ε₀:
(2)
где ε₁[x,ε₀]; x∈[x₀,x₁]. Проинтегрируем (2):
(3)

Во втором слагаемом подынтегральная функция нечетная, а пределы интегрирования симметричны относительно точки ε₀. Поэтому второй интеграл равен нулю. Таким образом, из (3) следует .
Т. к. второй множитель подынтегрального выражения не меняет знак, то по теореме о среднем получим , где . После интегрирования получим . (4)
Сравнивая с остаточным членом формулы трапеций, мы видим, что погрешность формулы прямоугольников в два раза меньше, чем погрешность формулы трапеций. Этот результат верен, если в формуле прямоугольников мы берём значение функции в средней точке.
Получим формулу прямоугольников и остаточный член для интервала [a, b]. Пусть задана сетка x_i=a+ih, i=0,1. n, h=x_i+1-x_i . Рассмотрим сетку ε_i=ε₀+ih, i=1,2. n, ε₀=a-h/2. Тогда . (5)
Остаточный член .
Геометрически формула прямоугольников может быть представлена следующим рисунком:

Если функция f(x) задана таблично, то используют либо левостороннюю формулу прямоугольников (для равномерной сетки)

либо правостороннюю формулу прямоугольников

.
Погрешность этих формул оценивается через первую производную. Для интервала [x₀, x₁] погрешность равна

Примеры

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

С применением синуса и косинуса

Гиберболические синус и косинус

Гиберболические тангенс и котангенс

Гиберболические арксинус и арккосинус

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) arccos(x) Функция - арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция - арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x exp(x) Функция - экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция - Синус от x cos(x) Функция - Косинус от x sinh(x) Функция - Синус гиперболический от x cosh(x) Функция - Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция - квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция - Квадрат x ctg(x) Функция - Котангенс от x arcctg(x) Функция - Арккотангенс от x arcctgh(x) Функция - Гиперболический арккотангенс от x tg(x) Функция - Тангенс от x tgh(x) Функция - Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция - кубический корень из x gamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x В выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x - умножение 3/x - деление x^3 - возведение в степень x + 7 - сложение x - 6 - вычитание 15/7 - дробь
Другие функции: asec(x) Функция - арксеканс от x acsc(x) Функция - арккосеканс от x sec(x) Функция - секанс от x csc(x) Функция - косеканс от x floor(x) Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция - Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа asech(x) Функция - гиперболический арксеканс от x csch(x) Функция - гиперболический косеканс от x sech(x) Функция - гиперболический секанс от x acsch(x) Функция - гиперболический арккосеканс от x
Постоянные: pi Число "Пи", которое примерно равно

3.14159.. e Число e - основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности - знак для бесконечности

Интеграл является одним из самых важных понятий математического анализа. Данное понятие появляется тогда, когда необходимо решить задачи о нахождении площади под кривой, массы неоднородного тела. Также интеграл помогает в решении задач, которые касаются восстановления функции по ее производной.

В зависимости от того пространства, на котором задается подынтегральная функция, интеграл бывает нескольких видов - поверхностный, криволинейный, тройной, двойной и др.

Интегралы применяются в физике, математике для того, чтобы определить зависимость между силой и работой, магнитного потока и ЭДС, рассчитать количество электричества, теплоты за время, площадь криволинейной трапеции, длину дуги плоской кривой и др. Также знание интегралов позволяет вычислить силу давления жидкости, пути, пройденного точкой, найти центр масс.

Калькулятор предоставляет ПОДРОБНОЕ решение определённых интегралов.

Этот калькулятор находит решение определенного интеграла от функции f(x) с данными верхними и нижними пределами.