Доказать линейную независимость над r систем функций 1 sin x sin 2 x sin x
Если же это тождество выполняется только при , то функции называют линейно независимыми на интервале .
Пример 1. Показать, что система функций линейно независима на интервале .
Решение. В самом деле, равенство может выполняться для всех только при условии, что . Если же хоть одно из этих чисел не равно нулю, то в левой части равенства будем иметь многочлен степени не выше третьей, а он может обратиться в ноль не более, чем при трех значениях Пример 2. Показать, что система функций , где попарно различны, линейно независима на интервале .
Решение. Предположим обратное, т. е. что данная система функций линейно зависима на этом интервале. Тогда
Дифференцируя тождество, получаем
Пример 3. Показать, что система функций , где , линейно независима на интервале .
Решение. Определим значения и , при которых будет выполняться тождество
Разделим обе его части на
Замечание. Попутно доказана линейная независимость тригонометрических функций .
Пример 4. Доказать, что функции
линейно зависимы в интервале .
Решение. Покажем, что существуют такие числа , не все равные нулю, что в интервале справедливо тождество
Определитель этой системы трёх уравнений с тремя неизвестными равен нулю:
каково бы ни было .
Замечание. Для случая двух функций можно дать более простой критерий линейной независимости. Именно, функции и будут линейно независимыми на интервале , если их отношение не равно тождественной постоянной на этом интервале; если же , то функции будут линейно зависимыми.
Пример 5. Функции и линейно независимы в интервале , так как их отношение в этом интервале.
называется определителем Вронского для этой системы функций. Определитель Вронского вообще является функцией от Пример 7. Найти определитель Вронского для функций .
Пример 8. Найти определитель Вронского для функций:
так как первая и последняя строки определителя пропорциональны.
Теорема. Если система функций линейно зависима на отрезке , то ее определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке.
Эта теорема дает необходимое условие линейной зависимости системы функций. Обратное утверждение неверно, т. е. определитель Вронского может тождественно обращаться в ноль и в том случае, когда данные функции образуют линейно независимую систему на некотором интервале.
Пример 9. Рассмотрим две функции:
Графики их имеют вид, указанный на рис. 25.
Эта система функций линейно независима, так как тождество выполняется только при . В самом деле, рассматривая его на отрезке , мы получаем , откуда , так как ; на отрезке же имеем , откуда , так как на этом отрезке.
Найдем определитель Вронского системы. На отрезках и :
Таким образом, определитель Вронского на отрезке тождественно равен нулю.
Пусть имеем систему функций на отрезке . Положим
называется определителем Грама системы функций .
Теорема. Для того, чтобы система функций была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Грама равнялся нулю.
Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.
Доказать линейную независимость системы векторов
Помогите решить задачу из задачника по алгебре Кострикина. Вот задача: Пусть дана система векторов.
Доказать линейную независимость
При каких значениях \lambda из линейной независимости системы \begina_1 , .
Доказать линейную независимость
Доказать, что система E:= линейно независима, где: e1=(a11,0,0,0) e2=(a21,a22,a23,0).
Проверьте, пожалуйста, доказательство:
Докажем линейную независимость на всей числовой оси функций
Докажем утверждение по индукции.
Пусть утверждение справедливо для k = 1:
k = 1, alpha1*e^x = 0, forall x => alpha1
А для k функций
допустим противное, т.е. допустим, что существуют постоянные alpha1, alpha2, . alphak , не равные нулю одновременно и такие, что для всех x справедливо
alpha1e^x + alpha2e^(2x) + . + alpha(k-1)e^(k-1x) + alpha(k)e^(kx) -= 0
Разделим обе части равенства на exp(kx)
alpha1e^(1-k x) + alpha2e^(2-k x) + . + alpha(k-1)e^((k-1)-k x) + alpha(k) -= 0
и продифференцируем последнее тождество по x:
alpha1(1-k)e^(1-k x) + alpha2(2-k)e^(2-k x) + . + alpha(k-1)(k-1)-k)e^((k-1)-k x) -= 0
alpha1e^x + alpha2e^(2x) + . + alpha(k-1)e^(k-1x) + alpha(k)e^(kx) -= alpha(k)e^(kx) -= 0 => alpha(k)
alpha1= alpha2= . = alphak= 0.
Получили противоречие (предполагалось, что не все коэффициенты равны нулю). Это противоречие доказывает линейную независимость k функций. А отсюда, в свою очередь, по индукции следует линейная независимость всей исследуемой системы функций.
Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.
Доказать линейную независимость
Доказать, что система E:= линейно независима, где: e1=(a11,0,0,0) e2=(a21,a22,a23,0).
Доказать линейную независимость
При каких значениях \lambda из линейной независимости системы \begina_1 , .
Установить линейную независимость векторов
Доброго времени суток. Вот уже час бьюсь над задачей и никак не могу понять как решить. .
Доказать линейную независимость системы векторов
Помогите решить задачу из задачника по алгебре Кострикина. Вот задача: Пусть дана система векторов.
Решение
Индукция по k.
Пусть k>0 и (тождественно по x)
Докажем, что все коэффициенты этой линейной комбинации равны 0.
Берем дважды производную и умножаем на -1:
Первое равенство умножаем на k^2 и из получившегося равенства вычитаем второе
По индуктивному предположению все коэффициенты этой линейной комбинации равны 0, т.е.
Отсюда следует, что
Теперь легко сообразить и
Таким образом, наша система линейно независима для каждого целого k.
Это и требовалось.
С конечными системами все ясно. А что делать с бесконечными? Не приводить же матрицу Вронского (или как его) к ступенчатому виду.
Бесконечная система называется линейно независимой, если любая её конечная подсистема линейно независима. Образуем линейную комбинацию из нескольких функций, скажем, f1(x), f2(x). fN(x) (не обязательно идущих подряд) и приравняем её к 0. Умножим обе части на fK(x) и проинтегрируем по промежутку (0; pi). Все интегралы, кроме int [0; pi] sin^2 Kx dx, будут равны 0, отсюда коэффициент при fK(x) равен 0. И так для каждого коэффициента.
Читайте также: