Как найти точку приложения равнодействующей
При воздействии на одно тело нескольких сил одновременно тело начинает двигаться с ускорением, являющимся векторной суммой ускорений, которые бы возникли под воздействием каждой силы по отдельности. К действующим на тело силам, приложенным к одной точке, применяется правило сложения векторов.
Векторная сумма всех сил, одновременно воздействующих на тело, это сила равнодействующая, которая определяется по правилу векторного сложения сил:
R → = F 1 → + F 2 → + F 3 → + . . . + F n → = ∑ i = 1 n F i → .
Равнодействующая сила действует на тело также, как и сумма всех действующих на него сил.
Правило параллелограмма и правило многоугольника
Для сложения 2 -х сил используют правило параллелограмма (рисунок 1 ).
Рисунок 1 . Сложение 2 -х сил по правилу параллелограмма
Выведем формулу модуля равнодействующей силы с помощью теоремы косинусов:
R → = F 1 → 2 + F 2 → 2 + 2 F 1 → 2 F 2 → 2 cos α
При необходимости сложения более 2 -х сил используют правило многоугольника: от конца
1 -й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 2 -й силе; от конца 2 -й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 3 -й силе и т.д.
Рисунок 2 . Сложение сил правилом многоугольника
Конечный вектор, проведенный от точки приложения сил в конец последней силы, по величине и направлению равняется равнодействующей силе. Рисунок 2 наглядно иллюстрирует пример нахождения равнодействующей сил из 4 -х сил: F 1 → , F 2 → , F 3 → , F 4 → . Причем суммируемые векторы совсем необязательно должны быть в одной плоскости.
Результат действия силы на материальную точку будет зависеть только от ее модуля и направления. У твердого тела есть определенные размеры. Потому силы с одинаковыми модулями и направлениями вызывают разные движения твердого тела в зависимости от точки приложения.
Линией действия силы называют прямую, проходящую через вектор силы.
Рисунок 3 . Сложение сил, приложенных к различным точкам тела
Если силы приложены к различным точкам тела и действуют не параллельно по отношению друг к другу, тогда равнодействующая приложена к точке пересечения линий действия сил (рисунок 3 ). Точка будет находиться в равновесии, если векторная сумма всех сил, действующих на нее, равняется 0 : ∑ i = 1 n F i → = 0 → . В данном случае равняется 0 и сумма проекций данных сил на любую координатную ось.
Разложение вектора силы по направлениям
Разложение сил на две составляющие – это замена одной силы 2 -мя, приложенными в той же точке и производящими на тело такое же действие, как и эта одна сила. Разложение сил осуществляется, как и сложение, правилом параллелограмма.
Задача разложения одной силы (модуль и направление которой заданы) на 2 , приложенные в одной точке и действующие под углом друг к другу, имеет однозначное решение в следующих случаях, когда известны:
- направления 2 -х составляющих сил;
- модуль и направление одной из составляющих сил;
- модули 2 -х составляющих сил.
Необходимо разложить силу F на 2 составляющие, находящиеся в одной плоскости с F и направленные вдоль прямых a и b (рисунок 4 ). Тогда достаточно от конца вектора F провести 2 прямые, параллельные прямым a и b . Отрезок F A и отрезок F B изображают искомые силы.
Рисунок 4 . Разложение вектора силы по направлениям
Второй вариант данной задачи – найти одну из проекций вектора силы по заданным векторам силы и 2 -й проекции (рисунок 5 а ).
Рисунок 5 . Нахождение проекции вектора силы по заданным векторам
Во втором варианте задачи необходимо построить параллелограмм по диагонали и одной из сторон, как в планиметрии. На рисунке 5 б изображен такой параллелограмм и обозначена искомая составляющая F 2 → силы F → .
Итак, 2 -й способ решения: прибавим к силе силу, равную - F 1 → (рисунок 5 в ). В итоге получаем искомую силу F → .
Три силы F 1 → = 1 Н ; F 2 → = 2 Н ; F 3 → = 3 Н приложены к одной точке, находятся в одной плоскости (рисунок 6 а ) и составляют углы с горизонталью α = 0 ° ; β = 60 ° ; γ = 30 ° соответственно. Необходимо найти равнодействующую силу.
Решение
Рисунок 6 . Нахождение равнодействующей силы по заданным векторам
Нарисуем взаимно перпендикулярные оси О Х и O Y таким образом, чтобы ось О Х совпадала с горизонталью, вдоль которой направлена сила F 1 → . Сделаем проекцию данных сил на координатные оси (рисунок 6 б ). Проекции F 2 y и F 2 x отрицательны. Сумма проекций сил на координатную ось О Х равняется проекции на данную ось равнодействующей: F 1 + F 2 cos β - F 3 cos γ = F x = 4 - 3 3 2 ≈ - 0 , 6 Н .
Точно также для проекций на ось O Y : - F 2 sin β + F 3 sin γ = F y = 3 - 2 3 2 ≈ - 0 , 2 Н .
Модуль равнодействующей определим с помощью теоремы Пифагора:
F = F x 2 + F y 2 = 0 , 36 + 0 , 04 ≈ 0 , 64 Н .
Направление равнодействующей найдем при помощи угла между равнодействующей и осью (рисунок 6 в ):
t g φ = F y F x = 3 - 2 3 4 - 3 3 ≈ 0 , 4 .
Сила F = 1 к Н приложена в точке В кронштейна и направлена вертикально вниз (рисунок 7 а ). Необходимо найти составляющие данной силы по направлениям стержней кронштейна. Все необходимые данные отображены на рисунке.
Решение
Рисунок 7 . Нахождение составляющих силы F по направлениям стержней кронштейна
Дано:
F = 1 к Н = 1000 Н
Пускай стержни прикручены к стене в точках А и С . На рисунке 7 б изображено разложение силы F → на составляющие вдоль направлений А В и В С . Отсюда понятно, что
Силы называются параллельными, если линии их действия параллельны между собой.
Наиболее простым случаем является система из двух параллельных сил (рис. 2.12, а).
Равнодействующая двух параллельных сил равна по величине их сумме R = F] + F2, параллельна им, и линия ее действия делит прямую, соединяющую точки приложения сил, на части, обратно пропорциональные величине
Для разложения силы F на два направления (рис. 2.12, б), т.с. получения двух сил F и F2, необходимо воспользоваться соотношениями
Центр параллельных сил. Центром системы параллельных сил называют точку приложения их равнодействующей.
Равнодействующая системы параллельных сил равна алгебраической сумме составляющих сил и параллельна им:
Линию действия равнодействующей можно определить при последовательном сложении составляющих сил, когда на основании (2.21) можно определить положение результирующей при сложении двух сил. Данный прием достаточно прост, но очень трудоемок при большом количестве действующих сил.
Рассмотрим простейший случай двух параллельных сил (рис. 2.13). К телу в точках А и В приложены две параллельные силы Р и Р2. Равнодействующая R, определенная на основании (2.21), очевидно, будет приложена в точке С, лежащей на прямой АВ. Повернем обе силы около точек их приложения на угол а (силы после поворота показаны на рис. 2.13 пунктиром). Величина равнодействующей не изменится, она тоже повернется на угол а и будет проходить через ту же точку С. Точка С является центром параллельных сил Рх и Р2. Как бы ни поворачивались точки силы Р и Р2 вокруг точек своего приложения, их равнодействующая будет проходить через этот центр.
Применяя последовательно правило сложения двух параллельных сил, можно показать, что описанное свойство справедливо для любого количества параллельных сил, и из него следует порядок определения их центра:
- — найти линию действия равнодействующей параллельных сил;
- — все силы системы повернуть на один и тот же угол;
- — для нового положения сил снова найти линию действия равнодействующей;
- — точка пересечения линий действия равнодействующих в двух положениях системы сил и определит центр этой системы.
Аналитическое определение координат центра параллельных сил покажем, рассмотрев систему сил Pv Р2> F3, РА, . (рис. 2.14), имеющую точки приложения сил с известными координатами А(хх,ух)у А2(х2, у2), А3(х3, г/3), Ал(х4у уА) и т.д.
Найдем точку С(хс, ус), через которую должна пройти равнодействующая R = F + Р2 + F3 + Fa +. = X Fj.
По теореме Вариньона (2.17) сумма моментов сил системы относительно начала координат равна моменту равнодействующей относительно него же:
Теперь повернем все силы на угол а = 90° вокруг точек их приложения и снова применим теорему Вариньона:
Подставив в (2.24) и (2.25) выражение (2.23), получим
Формулы (2.26) определяют положение центра системы параллельных сил.
Если нет необходимости знать точку приложения равнодействующей параллельных сил, а необходима только линия ее действия, используется одна из формул (2.26), в зависимости от направления системы параллельных сил.
В инженерных расчетах одним из часто встречающихся видов систем параллельных сил являются распределенные нагрузки. На рис. 2.15 показаны величины равнодействующих и их положение на участке загружения для двух наиболее простых видов таких нагрузок в плоскости: равномерно распределенной (рис. 2.15, а) и треугольной распределенной (рис. 2.15, б).
Формула для определения главного момента (2.17) останется неизменной, а количество уравнений равновесия уменьшается до двух.
Читайте также: