Действие силы на твердое тело не изменится если перенести точку приложения силы
Аксиомы статики – это законы, установленные непосредственными наблюдениями и опытной проверкой следствий, логически вытекающих из аксиом.
Аксиома 1.Система двух сил, действующих на свободное твердое тело, является уравновешенной тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю и действуют вдоль одной прямой в противоположные стороны.
На рис. 1.2 показаны две уравновешенные системы сил:
Аксиома 1 дает необходимые и достаточные условия уравновешенности системы двух сил, две следующие аксиомы устанавливают простейшие операции, приводящие к эквивалентным системам сил.
Аксиома 2. Если к данной системе сил добавить или отнять от нее уравновешенную систему сил, то полученная система сил будет эквивалентна исходной.
Из этой аксиомы вытекает следствие: «Действие силы на твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль линии ее действия».
Для доказательства следствия рассмотрим силу , приложенную в точке A (рис. 1.3,а). В точке B на линии действия силы приложим уравновешенную систему сил , где . Тогда в соответствии с аксиомой 2 получим
(рис. 1.3,б). Согласно аксиоме 1 система сил
0, а согласно аксиоме 2 их можно отбросить (рис. 1.3,в), т.е.
, что и доказывает следствие.
Таким образом, сила, приложенная к абсолютно твердому телу, является скользящим вектором.
Аксиома 3(аксиома параллелограмма сил). Система двух сил, приложенных к телу в одной точке, имеет равнодействующую, приложенную в той же точке и равную геометрической сумме сил.
Эта аксиома не только устанавливает существование равнодействующей рассматриваемой системы сил
(рис. 1.4), но и дает правило ее определения: . Модуль равнодействующей
Аксиома 4(3-й закон Ньютона). Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.
Силы взаимодействия двух тел удовлетворяют всем условиям аксиомы 1, кроме одного – они приложены к разным телам (рис. 1.5), и поэтому не образуют уравновешенную систему сил.
Аксиома 5(принцип отвердевания). Равновесие изменяемого (деформируемого) тела не нарушится, если тело станет абсолютно твердым.
Другими словами, при равновесии деформируемого тела силы, действующие на него, удовлетворяют тем же условиям, что и для абсолютно твердого тела, но эти условия для деформируемого тела будут только необходимыми, не являясь достаточными.
Рассмотрим в качестве примера деформируемого тела нить, которая находится в равновесии под действием двух сил и , приложенных к ее концам, как показано на рис. 1.6,а. В соответствии с аксиомой 1 эти силы должны действовать вдоль одной прямой (вдоль нити) в противоположные стороны и иметь одинаковые модули. Для того, чтобы эти условия стали достаточными, к ним следует добавить еще одно: силы, действующие на нить, должны быть растягивающими. При тех же условиях абсолютно твердое тело – стержень (рис. 1.6,б) будет находиться в равновесии под действием как растягивающих, так и сжимающих сил.
1.3. Связи и их реакции
Твердое тело, на перемещения которого наложены ограничения, называют несвободным. Тела, ограничивающие перемещения данного тела, называют связями. Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называют реакциями связей. Силы, не зависящие от связей, называют активными (например, силы тяжести).
Реакции связей определяются действующими активными силами. Направление реакции связи всегда противоположно тому направлению, в котором связь не позволяет перемещаться определенной точке тела. Несмотря на то, что большинство окружающих нас тел являются несвободными, их можно считать свободными, если воспользоватьсяпринципом освобождаемости от связей: «Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие на тело силами – реакциями связей».
Рассмотрим наиболее типичные идеализированные связи и укажем возможные направления их реакций.
Гладкая поверхность. Поверхность называется гладкой, если можно пренебречь силой трения, возникающей в точке контакта этой поверхности и данного тела. Эта точка не может перемещаться вдоль общей нормали к соприкасающимся поверхностям, потому в указанном направлении действует реакция гладкой поверхности (рис. 1.7,а). Если нормаль к одной из соприкасающихся поверхностей в точке контакта не определена, то реакция направлена по нормали к другой поверхности (рис. 1.7,б).
Идеальная нить. Это невесомая, нерастяжимая, идеально гибкая нить, не оказывающая сопротивления при изгибе. Точка соединения тела и нити не может перемещаться вдоль нее, поэтому реакция натянутой нити направлена вдоль нити к точке подвеса, как показано на рис. 1.8.
Неподвижный цилиндрический шарнир. Шарнир позволяет телу вращаться вокруг неподвижной оси и скользить вдоль нее (рис. 1.9, ось шарнира перпендикулярна плоскости рисунка). Реакция шарнира лежит в плоскости, перпендикулярной его оси, ее направление заранее указать нельзя. Поэтому реакцию обычно представляют двумя составляющими: и .
Подвижный цилиндрический шарнир. Шарнир препятствует перемещению закрепленной точки вдоль нормали к опорной поверхности, что и объясняет направление реакции шарнира (рис. 1.10).
Сферический шарнир и подпятник. Реакции шарнира и подпятника могут иметь произвольные направления в пространстве, и поэтому представлены тремя составляющими: , , (рис. 1.11).
Идеальный стержень. Это тонкий, невесомый, недеформируемый стержень, имеющий на концах шарниры. Реакция стержня направлена вдоль прямой, соединяющей его концы, так как именно в этом направлении он не позволяет перемещаться закрепленной точке (рис. 1.12).
Теоретическая механика есть наука об общих законах механического движения и механического взаимодействия материальных тел.
Механическим движением называется изменение с течением времени взаимного положения материальных тел в пространстве. Материальной точкой называют материальное тело, размеры которого достаточно малы и которое можно принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу. В теоретической механике тела рассматривают как недеформируемые или абсолютно твердые. Абсолютно твердым телом называют такое тело, расстояние между двумя точками которого остается постоянным.
Состояние равновесия или движения тела зависит от механических взаимодействий его с другими телами. Величина, являющаяся мерой механического воздействия на материальную частицу со стороны других материальных тел, учитывающая величину и направление этого воздействия, называется в механике силой. Сила – величина векторная. Ее действие на тело определяется: 1) модулем силы, 2) направлением силы, 3) точкой приложения силы. Силу, как и другие векторные величины, будем обозначать буквой с чертой над нею ( например, ), а модуль силы – той же буквой, но без черты над нею ( F ).
Системой сил называют совокупность сил, действующих на тело. Если систему сил, действующих на тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом состояния покоя или движения тела, то такие две системы называются эквивалентными. Если система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Сила, равная равнодействующей по модулю, противоположная ей по направлению и действующая вдоль той же прямой, называется уравновешивающей силой.
Для измерения механических величин будем использовать Международную систему единиц СИ, в которой основными единицами измерения являются метр (м), килограмм массы (кг) и секунда (с). Единицей измерения силы является ньютон (1Н = 1 кг · м / с 2 ).
Теоретическая механика делится на три части – статику, кинематику и динамику. Статика – раздел теоретической механики, в котором излагается учение о силах и об условиях равновесия материальных тел под действием сил. Кинематика изучает общие геометрические свойства движения тел. В динамике изучается движение материальных тел под действием сил.
Раздел первый
СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Глава 1. Исходные положения статики.
СХОДЯЩИЕСЯ СИЛЫ
В статике рассматриваются, в основном, две задачи: 1) преобразование сложных систем сил к более простому виду; 2) определение условий равновесия систем сил, действующих на твердое тело.
§1. Аксиомы статики
При изучении статики будем исходить из общих положений, называемых аксиомами статики, справедливость которых проверяется на опыте.
1. Аксиома равновесия двух сил. Если на твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии только в том случае, когда эти силы равны по модулю ( F1 = F2 ) и направлены по одной прямой в противоположные стороны (рис. 1 ).
2. Аксиома о добавлении (отбрасывании) системы сил, эквивалентной нулю. Действие данной системы сил на твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять систему сил, эквивалентную нулю.
Следствие: действие силы на твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.
Пусть на тело действует сила (рис. 2). Приложим на линии действия силы в произвольной точке B две уравновешенные силыитакие, чтои. От этого действие силына тело не изменится. Но силыитакже образуют уравновешенную систему, которая может быть отброшена. В результате на тело будет действовать только одна сила, но приложенная в точке В (т.е. сила – вектор скользящий).
3. Аксиома параллелограмма сил: две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах ( рис. 3).
Вектор называется геометрической суммой векторови:
.
4. Аксиома о равенстве сил действия и противодействия: всякой силе действия есть равная, но противоположная сила противодействия.
Заметим, что силы в рассматриваемом случае приложенные к разным телам и поэтому не образуют уравновешенную систему сил.
5. Аксиома затвердевания: равновесие деформируемого тела, находящегося под действием сил, не нарушится, если тело считать абсолютно твердым.
Например, равновесие цепи не нарушится, если звенья считать сваренными друг с другом.
6. Аксиома связей. Связями называют материальные тела или точки, которые ограничивают свободу перемещения рассматриваемого тела (точки). Аксиома связей утверждает, что всякую связь можно отбросить и заменить силой, реакцией связей (или системой сил) (рис. 4, а и б).
Статика изучает равновесие тел под действием приложенных к ним сил. Равновесие — это состояние тела, при котором каждая его точка остаётся всё время неподвижной в некоторой инерциальной системе отсчёта. Условием равновесия материальной точки является равенство нулю равнодействующей (т. е. векторной суммы) всех сил, приложенных к точке. В этом случае наша точка будет двигаться равномерно и прямолинейно в произвольной инерциальной системе отсчёта. Значит, система отсчёта, связанная с точкой, также будет инерциальной, и в ней точка будет покоиться.
В случае твёрдого тела ситуация сложнее. Прежде всего, важно учитывать точку приложения каждой силы.
- Сила тяжести приложена в центре тяжести тела. Для тела простой формы центр тяжести совпадает с центром симметрии.
- Силы упругости и трения приложены в точке или в плоскости контакта тела с соприкасающимся телом.
Прямая линия, проходящая через точку приложения вдоль вектора силы, называется линией действия силы. Оказывается, точку приложения силы можно переносить вдоль линии
её действия — от этого механическое состояние тела не изменится (в частности, равновесие не
нарушится).
Для равновесия твёрдого тела недостаточно потребовать равенства нулю векторной суммы
всех приложенных к телу сил.
В качестве примера рассмотрим пару сил — так называются две равные по модулю противоположно направленные силы, линии действия которых не совпадают. Пусть пара сил и приложена к твёрдому стержню (Рисунок 1).
Рисунок 1. Пара сил Векторная сумма этих сил равна нулю. Но стержень покоиться не будет: он начнёт вращаться. В данном случае не выполнено второе условие равновесия твёрдого тела. Чтобы его сформулировать, нужно ввести понятие момента силы.
Как должна быть направлена линия действия силы, чтобы тело стало вращаться вокруг неподвижной оси? Для начала заметим следующее.
- Если линия действия силы параллельна данной оси, то вращения не будет.
- Если линия действия силы пересекает данную ось, то вращения не будет.
В каждом из этих случаев действие силы вызывает лишь деформацию твёрдого тела. Чтобы началось вращение, линия действия силы и ось вращения должны быть скрещивающимися прямыми. Без ограничения общности можно считать эти прямые перпендикулярными друг другу. Мы всегда можем этого добиться, разложив силу на две составляющие — параллельную и перпендикулярную оси вращения — и отбросив параллельную составляющую как не вызывающую
вращения. Поэтому везде далее мы считаем, что все силы, действующие на тело, перпендикулярны оси вращения.
Момент силы
Плечо силы — это расстояние от оси вращения до линия действия силы (т. е. длина общего
перпендикуляра к двум этим прямым). В качестве примера на Рисунке 2 изображён диск, к которому приложена сила . Ось вращения перпендикулярна плоскости чертежа и проходит через точку O. Плечом силы является
величина = OH, где H — основание перпендикуляра, опущенного из точки O на линию действия силы.
Рисунок 2. Плечо силы
Момент силы относительно оси вращения — это произведение силы на плечо:
Чтобы учесть также направление вращения, вызываемого действием силы, моменту силы приписывают знак. Именно, момент силы считается положительным, если сила стремится поворачивать тело против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке.
Условия равновесия
Если тело имеет неподвижную ось вращения и если алгебраическая сумма моментов всех сил относительно этой оси обращается в нуль, то тело будет находиться в равновесии. Это так называемое правило моментов. Оказывается, что в этом случае обращается в нуль алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой другой оси, параллельной оси вращения.
В общем случае, когда твёрдое тело может совершать как поступательное, так и вращательное движение, мы имеем два условия равновесия.
- Равна нулю векторная сумма всех сил, приложенных к телу.
- Равна нулю алгебраическая сумма моментов всех сил, приложенных к телу, относительно данной оси вращения или любой другой оси, параллельной данной.
Так, в примере на Рисунке 1 алгебраическая сумма моментов пары сил не обращается нуль (оба момента положительны). Поэтому стержень не находится в равновесии. При решении задач удобно использовать сформулированные выше условия равновесия в следующем виде.
Все теоремы и уравнения статики выводятся из нескольких исходных положений, принимаемых без математических доказательств и называемых аксиомами или принципами статики. Аксиомы статики представляют собою результат обобщений многочисленных опытов и наблюдений над равновесием и движением тел, неоднократно подтвержденных практикой. Часть из этих аксиом является следствиями основных законов механики, с которыми мы познакомимся в динамике.
Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (F1 = F2) и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 10).
Аксиома 1 определяет простейшую уравновешенную систему сил, так как опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, находиться в равновесии не может.
Аксиома 2. Действие данной системы, сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.
Эта аксиома устанавливает, что две системы сил, отличающиеся на уравновешенную систему, эквивалентны друг другу.
Следствие из 1-й и 2-й аксиом. Действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.
аксиома статика центр тяжести
В самом деле, пусть на твердое тело действует приложенная в точке А сила (рис.11). Возьмем на линии действия этой силы произвольную точку В и приложим к ней две уравновешенные силы и , такие, что , . От этого действие силы на тело не изменится. Но силы и согласно аксиоме 1 также образуют уравновешенную систему, которая может быть отброшена. В результате на тело. Будет действовать только одна сила , равная , но приложенная в точке В.
Таким образом, вектор, изображающий силу , можно считать приложенным в любой точке на линии действия силы (такой вектор называется скользящим).
Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил). Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.
Вектор , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах и (рис.12), называется геометрической суммой векторов и :
Конечно, Такое равенство будет соблюдаться только при условии, что эти силы направлены по одной прямой в одну сторону. Если же векторы сил окажутся перпендикулярными, то
Следовательно, аксиому 3 можно еще формулировать так: две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, равную геометрической (векторной) сумме этих сил и приложенную в той же точке.
Аксиома 4. При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие.
Закон о равенстве действия и противодействия является одним из основных законов механики. Из него следует, что если тело А действует на тело В с силой , то одновременно тело В действует на тело А с такой же по модулю и направленной вдоль той же прямой, но противоположную сторону силой (рис. 13). Однако силы и не образуют уравновешенной системы сил, так как они приложены к разным телам.
Аксиома 5 (принцип отвердевания). Равновесие изменяемого (деформируемого) тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим (абсолютно твердым).
Высказанное в этой аксиоме утверждение очевидно. Например, ясно, что равновесие цепи не нарушится, если ее звенья считать сваренными друг с другом и т. д.
Системма сходямщихся сил -- это такая система сил, действующих на абсолютно твёрдое тело, в которой линии действия всех сил пересекаются в одной точке.
Такая система сил является на плоскости статически определимой, если число неизвестных сил в ней не больше двух (а не трёх, как в других статически определимых системах)
В трёхмерном пространстве сходящаяся система сил является статически определимой, если число неизвестных сил в ней не превышает трёх.
Произвольная плоская система сил - это система сил, линии действия которых расположены в плоскости независимо.
Любая плоская произвольная система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно избранному центру О, может быть заменена одной силой, равняющейся главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом, равняющемуся главному моменту системы относительно центра О.
Уравнения равновесия - это условия равновесия, в которые входят известные активные силы и неизвестные реакции связей, т.е. аналитические условия равновесия данной системы сил.
Задача называется статически определимой, если число неизвестных реакций связей равняется числу независимых уравнений равновесия.
Если для данной конструкции число всех реакций (неизвестных) будет больше количества уравнений, в которые входят реакции, то конструкция будет статически неопределимой.
В зависимости от взаимного движения тел трение между твердыми телами бывает трех видов:
- · трение скольжения.
- · трение качения;
- · трение вращения.
Пространственная система сил. Система сил называется пространственной, если линии их действия расположены в пространстве произвольным образом. Для пространственных систем сил остаются справедливыми все те положения, которые были сформулированы для плоской системы сил.
Центр тяжести твердого тела
Центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести данного тела, при любом положении тела в пространстве.
Центр тяжести применяется при исследовании устойчивости положений равновесия тел и сплошных сред, находящихся под действием сил тяжести и в некоторых других случаях, а именно: в сопротивлении материалов и в строительной механике - при использовании правила Верещагина.
Существуют два способа определения центра тяжести тела: аналитический и экспериментальный. Аналитический способ определения центра тяжести непосредственно вытекает из понятия центра параллельных сил.
Координаты центра тяжести, как центра параллельных сил, определяются формулами:
где Р - вес всего тела; pk - вес частиц тела; xk, yk, zk - координаты частиц тела.
Для однородного тела вес всего тела и любой её части пропорционален объёму P=Vг, pk=vkг , где г - вес единицы объёма, V - объем тела. Подставляя выражения P, pk в формулы определения координат центра тяжести и, сокращая на общий множитель г, получим:
Точка С, координаты которой определяются полученными формулами, называется центром тяжести объема.
Если тело представляет собой тонкую однородную пластину, то центр тяжести определяется формулами:
где S - площадь всей пластины; sk - площадь её части; xk, yk - координаты центра тяжести частей пластины.
Точка С в данном случае носит название центра тяжести площади.
Числители выражений, определяющих координаты центра тяжести плоских фигур, называются статическими моментами площади относительно осей у и х:
Тогда центр тяжести площади можно определить по формулам:
Для тел, длина которых во много раз превышает размеры поперечного сечения, определяют центр тяжести линии. Координаты центра тяжести линии определяют формулами:
где L - длина линии; lk - длина ее частей; xk, yk, zk - координата центра тяжести частей линии.
Способы определения координат центров тяжести тел
Основываясь на полученных формулах, можно предложить практические способы определения центров тяжести тел.
1. Симметрия. Если тело имеет центр симметрии, то центр тяжести находится в центре симметрии.
Если тело имеет плоскость симметрии. Например, плоскость ХОУ, то центр тяжести лежит в этой плоскости.
2. Разбиение. Для тел, состоящих из простых по форме тел, используется способ разбиения. Тело разбивается на части, центр тяжести которых находится методом симметрии. Центр тяжести всего тела определяется по формулам центра тяжести объема (площади).
Пример. Определить центр тяжести пластины, изображенной на помещенном ниже рисунке. Пластину можно разбить на прямоугольники различным способом и определить координаты центра тяжести каждого прямоугольника и их площади.
Ответ: xc=17.0см; yc=18.0см.
Дополнение. Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он используется, когда тело имеет вырезы, срезы и др., если координаты центра тяжести тела без выреза известны.
Пример. Определить центр тяжести круглой пластины, имеющей вырез радиусом r = 0,6 R
Круглая пластина имеет центр симметрии. Поместим начало координат в центре пластины. Площадь пластины без выреза
Площадь пластины с вырезом
Пластина с вырезом имеет ось симметрии О1x, следовательно, yc=0.
4. Интегрирование. Если тело нельзя разбить на конечное число частей, положение центров тяжести которых известны, тело разбивают на произвольные малые объемы , для которых формула с использованием метода разбиения принимает вид:
Далее переходят к пределу, устремляя элементарные объемы к нулю, т.е. стягивая объемы в точки. Суммы заменяют интегралами, распространенными на весь объем тела, тогда формулы определения координат центра тяжести объема принимают вид:
Формулы для определения координат центра тяжести площади:
Координаты центра тяжести площади необходимо определять при изучении равновесия пластинок, при вычислении интеграла Мора в строительной механике.
Пример. Определить центр тяжести дуги окружности радиуса R с центральным углом АОВ = 2б (рис. 6.5).
Дуга окружности симметрична оси Ох, следовательно, центр тяжести дуги лежит на оси Ох, yс = 0.
Согласно формуле для центра тяжести линии:
Экспериментальный способ. Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации можно определять экспериментально: методом подвешивания и взвешивания. Первый способ состоит в том, что тело подвешивается на тросе за различные точки. Направление троса на котором подвешено тело, будет давать направление силы тяжести. Точка пересечения этих направлений определяет центр тяжести тела.
Метод взвешивания состоит в том, что сначала определяется вес тела, например автомобиля. Затем на весах определяется давление заднего моста автомобиля на опору. Составив уравнение равновесия относительно какой- либо точки, например оси передних колес, можно вычислить расстояние от этой оси до центра тяжести автомобиля.
Иногда при решении задач следует применять одновременно разные методы определения координат центра тяжести.
Центры тяжести некоторых простейших геометрических фигур
Для определения центров тяжести тел часто встречающейся формы (треугольника, дуги окружности, сектора, сегмента) удобно использовать справочные данные.
Координаты центра тяжести некоторых однородных тел
Дуга окружности: центр тяжести дуги однородной окружности находится на оси симметрии (координата уc=0).
где б - половина центрального угла; R - радиус окружности.
Однородный круговой сектор: центр тяжести расположен на оси симметрии (координата уc=0).
где б - половина центрального угла; R - радиус окружности.
Сегмент: центр тяжести расположен на оси симметрии (координата уc=0).
где б - половина центрального угла; R - радиус окружности.
Треугольник: центр тяжести однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан.
где x1, y1, x2, y2, x3, y3 - координаты вершин треугольника
Конус: центр тяжести однородного кругового конуса лежит на его высоте и отстоит на расстояние 1/4 высоты от основания конуса.
Читайте также: