Макет прямоугольной системы координат в пространстве как сделать из бумаги
Начиная рисование чертежа, вы должны первое построение начинать в точке с точно заданными координатами, а не щелчком мыши в произвольном месте графической зоны чертежа.
Ввод координат в Автокаде, декартовая (прямоугольная) и полярная системы координат, относительные и абсолютные координаты
Декартовая (прямоугольная) система координат в AutoCAD (2D пространство)
С декартовой системой координат впервые я познакомился в школе в 5 классе. Все, наверное, помнят взаимно перпендикулярные оси X и Y, а также точку в перекрестии осей с называнием начало координат. Далее в 10, 11 классе на уроках черчения я познакомился с самой 3D моделью декартовой системы координат и понятием октант.
Октант ― любая из восьми областей, на которые пространство делится тремя взаимно перпендикулярными координатными плоскостями.
На уроках географии, физики мы изучали географические системы координат – все ранее приобретенные знания понадобятся для освоения задания (ввода) координат в Автокаде.
Получите среднее образование в школах Германии тут. Выбор лучших колледжей и частных школ пансионатов по доступным ценам.
В 3D моделировании мы рассмотрели модель декартовой системы координат в AutoCAD, а точнее в статье 3D пространство в AutoCAD и привязали ее к программе.
Прямоугольная система координат - прямолинейная система координат в Автокаде с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.
Декартовая система координат – прямоугольная система координат Автокад с одинаковыми масштабами по осям.
В двухмерном пространстве модели точки задаются в рабочей плоскости XY, т.к. не используется ось Z (мнимое отсутствие оси Z).
Рабочая плоскость подобна листу бумаги в клетку, если включена координатная сетка. В прямоугольной системе координат Автокад задание точки происходит двумя значениями координат X и Y. Пересечение осей X,Y образует точку начала координат. Координаты между собой разделяются запятыми. Образец записи прямоугольных (декартовых) координат в Автокаде (0,20).
Координата X в программе определяет расстояние от начала координат по горизонтали, Y – по вертикали. Значения расстояний могут быть положительными или отрицательными, т.е. при вводе значений координат в декартовой системе координат в Автокаде указывается расстояние для точки и ее направление (+,-) по осям X,Y относительно начальной (исходной) точки (0,0).
Полярная система координат AutoCAD (2D пространство)
В полярной системе Автокад координаты точки представляют собой расстояние и угол, отсчитываемые от начала координат.
Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата также называется полярным углом или азимутом, равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.
Википедия.
Абсолютные и относительные координаты Автокад
В декартовой и полярной системе координат AutoCAD можно задавать координаты либо в абсолютной, либо в относительной форме:
Пользовательская и мировая система координат в программе
Не стоит забывать, что в системе может существовать несколько пользовательских систем координат Автокад, которым можно присвоить имя и перемещаться среди них.
Координаты обычно указываются в перемещаемой пользовательской системе координат (ПСК), а не в фиксированной мировой системе координат (МСК). По умолчанию ПСК и МСК совпадают.
Более подробно мы рассмотрели ПСК и МСК в самоучителе по моделированию.
Как ввести координаты в Автокад или способы задания координат
Любые построения в программе сводятся к построениям по координатам. Щелкая мышкой в графической зоне чертежа при этом, используя объектную привязку или объектное отслеживание, полярную привязку и т.д. мы вводим в Автокаде значения координат сами того не подозревая. Все создаваемые объекты имеют характерные (узловые) точки (обычно на их месте появляются ручки), которые позиционируют объект в пространстве.
Например, отрезок строится по 2 точкам (конечные точки отрезка), соответственно мы должны задать координаты Автокад этих двух точек. Прямоугольник может задаваться по двум диагональным углам (по умолчанию), следовательно, требуется при его рисовании задать координаты двух точек диагональных углов.
То есть задание, ввод координат в Автокаде можно осуществлять непосредственно при помощи мыши, ввода значения координат командную строку и как альтернатива ей в поля динамического ввода.
В программе существует две системы координат AutoCAD: декартовая и полярная. К этим системам координат применимы абсолютные и относительные координаты Автокад. Также координаты можно задавать мышкой, вводом (заданием) значения координат в командную строку и вводить координаты с использованием динамического ввода. Выше перечисленные возможности (функционал) системы позволяет вводить координаты различными способами (методами).
Способы задания координат в Автокаде (2D пространство)
- Метод ввода абсолютных декартовых координат.
- Метод относительных прямоугольных координат.
- Метод ввода полярных координат AutoCAD.
- Метод задания относительных полярных координат.
- Ввод координат с использованием динамического ввода.
- Интерактивный метод ввода координат, задание координат в AutoCAD методом направления и расстояния.
Рассмотрим методы ввода координат более подробно.
Метод ввода абсолютных прямоугольных координат Автокад или как задать абсолютные координаты
Отсчет координат при абсолютном методе ввода координат в AutoCAD производится из точки пересечения осей X,Y (начальной точки координат (0.0)).
Точки слева от начальной координаты в Автокаде будут иметь отрицательные координаты X, а точки, расположенные ниже – отрицательные координаты Y. Вспомним 5 класс СОШ.
- Ось X – ось абсцисс.
- Ось Y – ось ординат.
- Координата X называется абсциссой точки A.
- Координата Y называется ординатой точки A.
Образец записи A(x,y).
Четыре угла, образованные осями координат X,Y носят название координатных углов, четвертями или квадрантами.
Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.
Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.
Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.
Система координат в пространстве
Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.
Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.
Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:
Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.
Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.
Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:
Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма
Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .
Произведение вектора на число:
Скалярное произведение векторов:
Косинус угла между векторами:
Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:
Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.
Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.
Запишем координаты векторов:
и найдем косинус угла между векторами и :
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.
Координаты точек A, B и C найти легко:
Из прямоугольного треугольника AOS найдем
Координаты вершины пирамиды:
Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.
Найдем координаты векторов и
и угол между ними:
Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:
3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1
Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.
Запишем координаты точек:
Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.
Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:
Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.
Плоскость в пространстве задается уравнением:
Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.
Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.
Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.
Покажем, как это делается.
Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).
Уравнение плоскости выглядит так:
Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.
То есть A + C + D = 0.
Аналогично для точки K:
Получили систему из трех уравнений:
В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.
Пусть, например, D = −2. Тогда:
Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:
Решив систему, получим:
Уравнение плоскости MNK имеет вид:
Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:
Вектор — это нормаль к плоскости MNK.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:
Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.
Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.
Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.
Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.
Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.
Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:
Напишем уравнение плоскости AEF.
Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.
Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.
Уравнение плоскости AEF:
Нормаль к плоскости AEF:
Найдем угол между плоскостями:
5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.
Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать "параллелепипед".
Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?
Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .
Координаты вектора — тоже:
Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:
Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле
Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.
Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.
Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:
6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.
Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат
Находим координаты вектора .
Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .
Найдем угол между прямой и плоскостью:
Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:
7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.
Построим чертеж и выпишем координаты точек:
Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D
Решим эту систему. Выберем
Уравнение плоскости A1DB имеет вид:
Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:
В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.
Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.
Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка — началом координат. Она обозначается обычно буквой О.
Оси координат обозначаются так: Ох, Оу, Оz — и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система координат обозначается Охуz.
Плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Оzх.
Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч отрицательной полуосью.
В прямоугольной системе координат каждой точке А пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. Они определяются аналогично координатам точек на плоскости.
Проведем через точку А три плоскости, перпендикулярные к осям координат, и обозначим через А1, А2 и А3.
Точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат. Первая координата точки А (она называется абсциссой и обозначается обычно буквой х) определяется так: х = ОА1, если А1 точка положительной полуоси: х = - ОА1, если А1 точка отрицательной полуоси: х = 0, если А1 совпадает с точкой О. Аналогично с помощью точки А2 определяется вторая координата (ордината) y точки А, а с помощью точки А3 третья координата (аппликата) z точки А. Координаты точки А записываются в скобках после обозначения точки: А (х; у; z), причем первой указывают абсциссу, второй ординату, третьей — аппликату.
Если точка А (х; у; z) лежит на координатной плоскости или на оси координат, то некоторые ее координаты равны нулю.
Трёхмерная прямоугольная система координат с наглядными иллюстрациями и заданиями для развития пространственного мышления.
Spatial coordinate system, coordinate, coordinate system, space, point, René Descartes, abscissa, ordinate, applicate, origo, number line, axis, coordinate quadrant, coordinate grid, geometry, unit, orthogonal projection, Descartes, mathematics, mathematician, analytic geometry, perpendicular, three-dimensional, polar coordinate system, exercise
Связанные экстра
Информация Гексагональная плотноупакованная решётка
Гексагональная плотноупакованная решётка
Металлы, имеющие гексагональную кристаллическую решётку, отличаются твёрдостью.
Информация Кубическая объёмноцентрированная решётка
Кубическая объёмноцентрированная решётка
Кубическая объёмноцентрированная решётка обеспечивает наименее плотную упаковку атомов в.
Информация Металлы
Металлы
Атомы в металлах образуют правильные металлические кристаллические решётки.
Информация На сколько частей делят пространство три плоскости?
На сколько частей делят пространство три плоскости?
Три плоскости мы можем расположить в пространстве несколькими способами. Проверим в каком.
Информация Оптическая изомерия
Оптическая изомерия
Aсимметричные молекулы и их зеркальные отражения не совпадают.
Информация Ориентирование в пространстве
Ориентирование в пространстве
Анимация помогает развитию пространственного мышления и ориентированию в пространстве с.
Информация Планировка кухонной мебели - пространственная система координат
Планировка кухонной мебели - пространственная система координат
Компьютерная модель кухонной мебели поможет вам познакомиться с использованием на.
Информация Свет и тень
Свет и тень
Изменяя положение источника света, вы сможете изучить тени геометрических тел, падающие.
Информация Геометрические преобразования – перенос
Геометрические преобразования – перенос
Анимация иллюстрирует перенос на плоскости и в пространстве.
Информация Геометрические преобразования – поворот
Геометрические преобразования – поворот
Анимация иллюстрирует поворот на плоскости (вокруг точки) и в пространстве (вокруг прямой).
Информация Геометрические трансформации – отражение
Геометрические трансформации – отражение
Анимация иллюстрирует зеркальную симметрию на плоскости (относительно прямой) и в.
Информация Построение геометрических фигур (3D)
Построение геометрических фигур (3D)
При помощи представленных рисунков построим из кубиков необходимую геометрическую фигуру.
Информация Построение геометрических фигур (цветных)
Построение геометрических фигур (цветных)
Необходимо сложить из цветных кубиков соответствующую пространственную геометрическую.
Информация Построение геометрических фигур (одноцветных)
Построение геометрических фигур (одноцветных)
Необходимо сложить из кубиков соответствующую пространственную геометрическую фигуру (тело).
Информация Угол наклона пространственных фигур
Угол наклона пространственных фигур
Варианты углов, образованных при пересечении прямых и плоскостей в пространстве.
Информация Взаимное расположение фигур в пространстве
Взаимное расположение фигур в пространстве
Разные варианты взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве.
0 1 1 1 z y x M М(х;у;z) Запомните! Первой указывают абсциссу (х), второй – ординату (у), третьей — аппликату (z).
z y x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –3 Задача 1. Дано: Oxyz A, B, C, D, E, F Найти: координаты точек: A, B, C, D, E, F B C D E F –3 A А (9; 5; 10); Решение:
z y x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –3 A B C D E F –3 А (9; 5; 10); Решение: Задача 1. Дано: Oxyz A, B, C, D, E, F Найти: координаты точек: A, B, C, D, E, F В (4; -3; 6);
9 1 2 3 4 5 6 7 8 F –3 z y x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 –3 A B D E А (9; 5; 10); Решение: Задача 1. Дано: Oxyz A, B, C, D, E, F Найти: координаты точек: A, B, C, D, E, F В (4; -3; 6); С (9; 0; 0); C
В (4; -3; 6); D (4; 0; 5); z y x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –3 A B C D E F –3 А (9; 5; 10); Решение: Задача 1. Дано: Oxyz A, B, C, D, E, F Найти: координаты точек: A, B, C, D, E, F С (9; 0; 0);
F –3 z y x 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –3 A B C D В (4; -3; 6); D (4; 0; 5); А (9; 5; 10); Решение: Задача 1. Дано: Oxyz A, B, C, D, E, F Найти: координаты точек: A, B, C, D, E, F С (9; 0; 0); Е (0; 8; 0); 8 E
В (4; -3; 6); D (4; 0; 5); А (9; 5; 10); Решение: Задача 1. Дано: Oxyz A, B, C, D, E, F Найти: координаты точек: A, B, C, D, E, F С (9; 0; 0); Е (0; 8; 0); F (0; 0; -3). z y x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –3 A B C D E 2 3 4 5 6 7 8 1 F –3
z y x М у = 0 z = 0
z y x M x = 0 z = 0
z y x M х = 0 y = 0
z y x M М (0; 0; 0) 0
Задача 2. координаты точек. Дано: ABCDA1B1C1D1– куб; A(0; 0; 0); B(0; 0; 1); D(0; 1; 0); A1(1; 0; 0). Найти: Решение: 0 z y x 1 1 1 A(0; 0; 0); B(0; 0; 1); D(0; 1; 0); C A1(1; 0; 0); B1 C1 D1 C1: ⟹ z = 0; x = CD = AB = 1; y = CB = AD = 1; C(1; 1; 0); B1(1; 0; 1); ⟹ y = 0; x = А 1 B1 = AB = 1; z = B1B = AA1 = 1; y = A1D1 = AD = 1; ⟹ x = 0; z = А1В1= AВ = 1; D1(0; 1; 1); x = C1D1 = AB = 1; y = B1C1 = AD = 1; C1(1; 1; 1). z = CC1 = AA1 =1; Ответ: C(1; 1; 0); B1(1; 0; 1); D1(0; 1; 1); C1(1; 1; 1).
y z x R O L N Задача 3. Дано: координаты проекции точки на Oxy, Oxz, Oyz; Ox, Oy, Oz Найти: Решение:
y z x R G O L N Задача 3. Дано: координаты проекции точки на Oxy, Oxz, Oyz; Ox, Oy, Oz Найти: Решение: K P
Краткое описание документа:
Демонстрация начинается с представления темы и изображения в пространстве прямоугольной системы координат. На первом слайде чертятся три оси системы координат Ох, Оу и Oz. На каждой оси от начала координат отмечается единичный отрезок. Можно отметить, что в дальнейшем координаты объектов будут измеряться количеством представленных единичных отрезков для данного координатного пространства. Представлено определение осей координат как прямых с выбранными направлениями. На слайде 2 отмечается обозначение координатного пространства Oxyz и название осей: Ох – ось абсцисс, Оу –ординат, Oz – аппликат. На третьем слайде выделяются координатные плоскости, образуемые осями координат. На первом рисунке в системе координат выделены оси Ох и Оу, которые принадлежат плоскости Оху, закрашенной зеленым цветом. На втором рисунке выделена координатная плоскость Oyz, которую образуют координатные оси Oy и Oz. Третий рисунок демонстрирует закрашенную бежевым цветом координатную плоскость Oxz, образованную осями Ox и Oz.
Более подробно рассматривается направление осей координат на слайде 4. В каждой из осей заданное при построении направление отмечается как положительное. При этом вторая полуось оси, направленная от центра координат в сторону, обратную положительному направлению, задает отрицательное направление. С помощью указателей и выделения красным цветом отмечаются положительные и отрицательные полуоси каждой оси системы координат. Далее рассматривается порядок обозначения координат в математической записи. На слайде 5 изображена система координат Oxyz, на которой отмечена точка М(x;y;z). От точки М на каждую из координатных плоскостей опускается перпендикуляр. Образованные перпендикулярами плоскости, параллельные координатным плоскостям, окрашены в различные цвета. Полученные при построении точки, принадлежащие осям координат, обозначены М1, М2, М3. Под рисунком указано правило, согласно которому записываются координаты – сначала абсцисса, затем ордината и аппликата.
На слайде 6 рассматривается решение задачи 1, в которой необходимо найти координаты отмеченных шести точек. Сначала определяются координаты точки А, от которой проводятся перпендикуляры к каждой координатной плоскости. В результате построения точки пересечения каждой плоскости с осями координат и будут являться координатами данной точки. Построенные соответствующие плоскости, образованные перпендикулярами, окрашены различными цветами, на осях координат отмечены значения координат точки. Таким образом находятся координаты А(9;5;10). На следующем слайде построены и окрашены разными цветами плоскости, образуемые перпендикулярами, проведенными от данной точки к координатным плоскостям. Так находятся координаты точки В(4;-3;6). Точка С лежит на оси Ох, поэтому ее координаты С(9;0;0). На слайде 9 определяются координаты точки D. Так как при проведении перпендикуляров от нее к координатным плоскостям обнаруживается, что она лежит на координатной плоскости Oxz, то координата у нулевая, то есть D(4;0;5). Аналогично определяются координаты точки E(0;8;0) и F(0;0;3).
Обобщая рассмотренные примеры, на слайде 12 отмечается, что любая точка М, которая лежит на координатной плоскости Оху имеет нулевую аппликату z=0. Аналогично на слайде 13 определяется нулевая ордината у=0 точки, лежащей на координатной плоскости Oxz. А также на слайде 14 рассматривается нулевая абсцисса точки М, лежащей на координатной плоскости Oyz.
Далее обобщаются в правила примеры определения координат точек, лежащих на координатных осях. На слайде 15 приводится пример точки М, лежащей на координатной оси Ох. Ордината и аппликата точки нулевые у=0 и z=0. На слайде 16 изображается точка М, лежащая на координатной оси Оу. Ее абсцисса и аппликата равны нулю х=0 и z=0. На слайде 17 аналогично рассматривается точка М, лежащая на оси Оz. Ее абсцисса и ордината нулевые. Отдельно на слайде 18 обращается внимание учеников на координаты начала координат точки М(0;0;0).
На слайде 19 представлено решение задачи, в которой дан куб ABCDA1B1C1D1. Даны координаты нескольких вершин куба A(0;0;0), B(0;0;1), D(0;1;0), A1(1;0;0). Необходимо найти координаты оставшихся вершин. На рисунке, сопровождающем решение задачи, в системе координат изображен куб. Из построения видно, что Точка А лежит в начале координат, В – на оси Ох, D – на оси Оу, а А1 – на оси аппликат. Из свойств куба можно определить, что точка С принадлежит координатной плоскости Оху, а значит ее аппликата нулевая. Из равенства ребер куба следует, что координаты х=1 и у=1. Следовательно, координаты точки С(1;1;0). Также можно определить, что точка B1 принадлежит координатной плоскости Oxz, поэтому ее ордината нулевая у=0. Из равенства ребер куба следует х=1 и z=1. Найденные координаты точки B1(1;0;1) Точка D1 лежит в координатной плоскости Oyz, поэтому ее абсцисса нулевая х=0. Из равенства ребер куба следует у=1 и z=1. Найденные координаты D1(0;1;1).
Пользуясь свойством куба равенства его ребер, находим координаты точки С1(1;1;1). Задача решена.
На слайде 3 рассматривается решение задачи, в которой необходимо найти координаты проекций точки С(-√3;-√2/2;-√5-√3) на все координатные плоскости и координатные оси. На рисунке к решению данной задачи изображается система координат, построена точка С, проведены от нее перпендикуляры к координатным плоскостям. Перпендикуляры пересекают координатные плоскости в точках R, L, N. В ходе рассмотрения построенных проекций определяются их координаты. Так как N принадлежит координатной плоскости Оху, то ее координаты N(-√3;-√2/2;0). Проекция L, лежащая на плоскости Oxz, имеет координаты L(-√3;0;-√5-√3), а проекция на координатную плоскость Oyz имеет координаты R(0;-√2/2;-√5-√3).
Аналогично решается задача о нахождении координат проекций точки на все оси координат. На рисунке слайда 21 от точки проводятся перпендикуляры к осиям координат, определяются координаты соответствующих точек, являющихся проекциями точки С: K(-√3;0;0), G(0;-√2/2;0), P(0;0;-√5-√3). Задача решена.
Читайте также: