Расчет на продавливание металлической пластины
При выполнении расчетов стенок емкостей, стенок конструкций или различных покрытий возникает задача определения напряжений и прогибов. Хочется получить быстрый ответ на простые вопросы — .
. на сколько и как выгнется пластина под нагрузкой, и не разрушится ли она? Теория предлагает по заданной известной функции нагрузки найти функцию прогибов. Для этого нужно решить неоднородное бигармоническое дифференциальное уравнение четвертого порядка в частных производных. От одного прочтения предыдущего предложения, я думаю, многим читателям стало грустно и тоскливо. А если добавить, что для практической реализации одного из методов предстоит решить систему из 15-и уравнений и найти 15 неизвестных, то большинство на этом просто прекратят чтение и потеряют всякий интерес к теме, либо продолжат поиск программ, выполняющих автоматически подобные расчеты. Эти программы, выполняющие расчет прогиба пластин, чаще всего реализуют приближенные численные методы конечных элементов и конечных разностей и стоят приличных денег.
Но есть и другой путь… (Как известно, выходов всегда не меньше двух. ) Эта дорога старая, заросшая лесом новых теорий, но не до конца забытая!
Этот путь является достаточно узким и индивидуальным для различных форм пластин, способов закрепления контуров и относительных величин прогибов. Для каждой расчетной схемы – свои таблицы коэффициентов к расчетным формулам! Расчет прогиба пластины по старым методикам прост – это несомненный плюс, но не универсален – это существенный минус.
Цель данной статьи – рассказать, как наши деды — инженеры прошлого века — решали такие практические вопросы, и показать простой пример модернизированного расчета в Excel задачи об изгибе пластины для одного из наиболее распространенных случаев в практике.
Из-за отсутствия каких-либо машин для выполнения рутинных сложных расчетов (кроме светлой головы, листка бумаги, карандаша, таблиц функций и логарифмической линейки ничего не было) ученые в начале и в середине 20-ого века стремились вооружить простого инженера короткими и понятными алгоритмами, «привязанными» к рассчитанным в НИИ номограммам и таблицам. Такой подход обеспечивал значительное упрощение и ускорение работы инженеров, хотя и не давал им полного понимания теории.
Расчет прогиба пластины изучается в общей теории оболочек, которая является сложным самостоятельным разделом механики, давно выделившимся из недр классического сопромата.
Теория тонких пластин распространяется на листы и плиты, у которых толщина h менее 20% от наименьшего габаритного размера в плане a .
Тонкие пластины делят на 3 класса в зависимости от величины максимального прогиба w :
гибкие — 0,25 h < w
абсолютно гибкие — w >5 h
Попадание конкретной пластины в тот или иной класс, как видите, зависит от прогиба, а значит — от величины нагрузки. Важно отметить, что одна и та же пластина при разных нагрузках может быть отнесена к разным классам, и расчет её будет производиться по различным формулам.
Далее в примере рассматривается тонкая жесткая пластина.
Расчет в Excel прогиба пластины. Пример.
Прямоугольная пластина из изотропного материала (Сталь Ст3) жестко закреплена по всему контуру. В перпендикулярном направлении к плоскости пластины приложена равномерно распределенная по всей площади нагрузка.
Требуется вычислить наибольший прогиб пластины от действия нагрузки и найти максимальные возникающие в теле листа напряжения.
Исходные данные:
Первые три параметра являются справочными характеристиками свойств материала пластины.
1. Предел текучести для пластичных материалов или прочности для хрупких материалов [σ] в Н/мм 2 записываем
в ячейку D3: 245
Этот параметр не участвует в расчетах и нужен лишь для сравнения с полученными в результате расчета напряжениями. Правильнее вместо него использовать допускаемые напряжения материала с учетом всех запасов для конкретного случая применения.
2. Модуль упругости или модуль Юнга E в Н/мм 2 заносим
в D4: 210000
3. Коэффициент Пуассона μ вписываем
в D5: 0,28
В примечаниях к ячейкам D4 и D5 приведены значения модулей упругости и коэффициентов Пуассона для некоторых материалов.
4.,5.,6. Далее вводим в таблицу размеры пластины h , a и b в мм
в ячейку D6: 5,0
в D7: 500
в D8: 1000
В примечаниях к ячейкам D6, D7 и D8 записаны ограничения, которые должны соблюдаться. В случае их нарушения цифры окрашиваются инверсным белым цветом, а поле ячейки – красным, сообщая пользователю об ошибке ввода данных.
7. Значение распределенной равномерно по всей площади нагрузки q в Н/мм 2 вносим
в D9: 0,016
Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора скачать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей в окне, расположенном вверху страницы или сразу после статьи.
Ссылка на скачивание файла с программой: raschet-progiba-plastiny-NEW (xlsx 174KB).
Результаты расчета:
8. Цилиндрическую жесткость пластины D в Н*мм (аналог EI – линейной жесткости для стержней) вычисляем
в ячейке D11: D =( E * h 3 )/(12*(1- μ 2 )=2373589
9.,11. Безразмерные коэффициенты k1 и k2 , зависящие от формы и размеров пластины, а также от способов закрепления контурных сторон, можно найти в таблицах старых справочников (Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки; Вайнберг Д.В, Вайнберг Е.Д. Расчет пластин). Правда, k2 зависит еще и от μ , а в таблицах приведены значения только для стали μ ≈0,3 и бетона μ ≈1/6, но, проанализировав ряд таблиц, можно увидеть, что эта зависимость не очень значительная…
Выполнив аппроксимацию в Excel табличных данных, получим аналитические выражения для расчетов коэффициентов
в ячейке D12: при 0,5< a / b
k1 =0,16747*( a / b ) 6 -0,766*( a / b ) 5 +1,4455*( a / b ) 4 -1,4342*( a / b ) 3 +0,78433*( a / b ) 2 -0,22506*( a / b )+0,029239=0,0254
k1 =-0,00012*( a / b )+0,0026=0,0254
k2 =0,71922*( a / b ) 6 -3,1489*( a / b ) 5 +5,6353*( a / b ) 4 -5,1372*( a / b ) 3 +2,3658*(a/b) 2 -0,50294*( a / b )+0,12003=0,0829
k1 =-0,0008*( a / b )+0,0833=0,0829
Точность аппроксимации очень и очень высокая. Об этом можно судить как по абсолютным Δабс и относительным Δотн погрешностям, так и по величине достоверности R 2 .
10. Максимальный прогиб пластины w в мм будет в рассматриваемой схеме в центре пластины в точке O; вычисляем его
в ячейке D13: w = k1 * q * a 4 / D =1,07
Расчет прогиба в MS Excel выполнен. Величина прогиба не превышает четверти толщины листа, следовательно применение использованных формул правомерно.
12. Наибольшие моменты на единицу длины сечения пластины Mmax возникают в рассматриваемой схеме по серединам больших сторон контура в точках A и A’. Вычисляем их в Н*мм/мм
в ячейке D15: Mmax = k2 * q * a 2 =332
13. Наибольшие напряжения в пластине σmax в точках действия максимального момента вычисляем в Н/мм 2
в ячейке D16: σmax =6* Mmax / h 2 =80
Напряжения не превышают предела текучести. Деформации листа являются упругими, после снятия нагрузки пластина вернется в исходное плоское состояние.
Заключение.
По предложенной программе в Excel можно выполнять расчет прогиба тонкой жесткой прямоугольной пластины из любого изотропного материала – стекла, пластмассы, бетона, любого металла при жестком закреплении контура.
Прогиб вычисляется точно для любых материалов. Напряжения рассчитываются точно только для стали. Чем значительней коэффициент Пуассона материала отличается от коэффициента Пуассона стали, тем больше будет ошибка в определении действующих напряжений.
Так как способов закрепления контура пластины, видов форм пластины, сочетаний нагрузок — очень много, то задача расчета прогибов при рассмотренном подходе к решению распадается на сотни индивидуальных задач, в которых значения коэффициентов k1 и k2 также индивидуальны!
В продолжение темы «Расчет прогиба пластины» может быть в одной из будущих публикаций попробую рассмотреть более универсальный подход – метод конечных разностей с использованием MS Excel.
P. S. (27.03.2022)
В файл с расчетами добавлены вычисления максимальных прогибов и напряжений по двум схемам для круглых пластин.
Как правильно сделать расчёт на смятие или продавливание
Товарищи машиностроители, вам такой расчёт наверное более очевиден, чем строителям, подскажите.
Имеется стальной лист толщиной 23 мм [абстрактное упрощение] условно бесконечной длины, лежащий на двух таких же бесконечно длинных опорах. Расстояние между опорами 300 мм.
В листе отверстие д=60 мм
В отверстие вставлен болт М56 [абстрактное упрощение], на котором имеется нагрузка 50 т
Болт подвижен в плоскости перпендикулярной листу (отклонения возможны в пределах +-2 градуса)
Чтобы болт нормально вращался в узле контакта с листовой деталью под его головкой ставится квадратная цилиндрическая подкладка толщиной 50 мм, шириной 180 мм и с радиусом кривизны цилиндрической поверхности 460 мм.
А теперь вопрос (вернее 2):
1. Как определить, достаточно ли данной цилиндрической прокладки, чтобы она не продавила/прорвала листовую деталь?
2. Если (вдруг!) данной подкладки не достаточно, то как посчитать, какой толщины/ширины нужно всунуть плоскую подкладку между цилиндрической подкладкой и листовой деталью?
Имеется стальной лист толщиной 23 мм [абстрактное упрощение] условно бесконечной длины, лежащий на двух таких же бесконечно длинных опорах. Расстояние между опорами 300 мм.
не совсем понятно:
- у Вас радиальное "условно бесконечное" опирание ?
или это квадратный/прямоугольный лист с опиранием по двум сторонам?
это две разные задачи с точки зрения граничных условий
----- добавлено через ~2 мин. -----
1. Как определить, достаточно ли данной цилиндрической прокладки, чтобы она не продавила/прорвала листовую деталь?
Что является критерием "достаточности"?
появление пластических деформаций?
или все же РАЗРЫВ листа?
опять же это две разные задачи с точки зрения конечной цели расчета
в общем данная задача отнюдь не экзотика. она вполне решабельна - нужно только однозначно её сформулировать
нестандартное оборудование, Пневмо-Гидро Системы
Я вижу два способа решения
1. Посчитать напряжения и прогибы МКЭ, например ,в SW Simulation
2. Посчитать вручную контактные напряжения куска сферы с плоскостью.
Прогибы листа в месте контакта и сами посчитает по Сопромату.
Откорректировать размеры после расчётов. Скорее всего менять нужно радиус сферы шайбы (прокладки), а не её толщину/диаметр
Проектирование гидротехнических сооружений
Valerym, попробую прояснить ситуацию - приложил 3д модель и скриншот, как это выглядит
Лист (жёлтый) опёрт шарнирно по его длинным сторонам. Можно считать, что лист имеет ширину 300 мм и длину 3000мм (на самом деле больше, но это, наверное, роли не играет).
Нагрузка статическая. После того, как она будет приложена, узел больше не будет двигаться.
Критериев оценки "достаточности" принятого решения как таковых нет. Усилие (50 т) должно передаваться с болта на лист (а с листа, соответственно, на его "опоры").
Прогиб листа с одной стороны не нормируется (вплоть до кривизны, повторяющей цилиндрическую поверхность подкладки) и переход металла в зону пластических деформаций - тоже допустим
С другой стороны, узел, если будет визуально "смят" - будет вызывать косые взгляды в сторону проектировщика
А вот что с листом будет?
М=PL/4=500*0.3/4=37.5 кНм
Если считать этот лист изгибаемым элементом, то
M/W < сигмы текучести
допустим, сигма = 245 МПа
Wтр > 37,5/245000 = 0,000153 м3 = 153 см3
W = b*h^2 / 6
имея толщину листа 23 мм = 2,3 см, логически приходим к тому, что для восприятия данной нагрузки нужен участок листа шириной
b = 6 * W / h^2 = 6 * 153 / 2.3^2 = 173 см
. формально - вроде всё хорошо, и никаких излишеств не требуется.
Но я, как инженер, в этом расчёте вижу корявость.
Во-первый лист не сплошной, а с отверстием в наиболее нагруженном месте
Во-вторых передача нагрузки на лист не точечная, а размазанная по пятну контакта, которое соизмеримо с "пролётом балки", т.е. этим пренебречь нельзя
В-третьих, длинный узкий лист, нагруженный в одной точке, не будет работать как балка. В данном случае он скорее мембрана.
Упрощенный метод расчета опорных плит на продавливание
Для относительно тонких опорных плит ситуация осложняется тем, что под действием нагрузки, плита деформируется и ее краевые участки отрываются от основания. При этом плита контактирует с основанием только на части ширины, что приводит к резкому увеличению напряжений в бетоне фундамента и может привести к его разрушению.
Вообще говоря, элементарный анализ совместной работы опорной плиты и фундамента показывает, что в системе «колонна — опорная плита — фундамент», наиболее опасным звеном является фундамент. Действительно, если опорная плита, не обладая достаточной несущей способностью, будет разрушена, то колонна просто обопрется своим сечением непосредственно на бетон и продавит его.
Для легких металлических конструкций традиционный метод расчета опорных плит приводит к перерасходу стали и, в ряде случаев, создает трудности при приварке тонких элементов сечения колонны к толстым плитам. Определенных успехов можно добиться, используя иные подходы к расчету опорных пластин. Согласно экспериментальным исследованиям, а также расчетам относительно тонких пластин методом конечных элементов, установлено, что передача давления с колонны происходит через ограниченную зону опорной плиты, повторяющей очертание опорного сечения колонны, включая ребра, фасонки и др. При этом ширина зоны опирания зависит, в основном, от свойств упругого основания и толщины опорной плиты. Наблюдается увеличение площади зоны в местах пересечения отдельных элементов сечения колонны (рис. 4 а). За пределами зоны опирания пластины, контакта между ней и основанием нет, т.е. пластина работает с отрывом. Такая задача в механике моделируется односторонними связями, работающими только на сжатие (растяжение) и достаточно полно реализована в различных конечно-элементных программах. Отбрасывая участки опорной плиты, не участвующие в передаче давления, придем к схеме, показанной на рис. 4 б. Для упрощения расчетной схемы, заменим криволинейные очертания границы зоны опирания на прямолинейные, как это показано на рис. 4 в.
Обозначив ширину и длину отдельных участков через ci и li, найдем суммарную площадь зоны опирания
где Rb — расчетное сопротивление бетона при сжатии; φ — коэффициент, учитывающий повышение предела прочности бетона в условиях стесненных деформаций при локальном действии нагрузок и принимающий значение от 1 до 1,5. Учитывая относительно небольшую зону передачи нагрузок по сравнению с размерами фундамента, можно принять φ = 1,5.
Определим размеры отдельных участков опорной зоны. Для определения размера ci рассмотрим пластину, которая не сопротивляется изгибу и работает только на продавливание (рис. 5).
Предположим, что нагрузка, передающаяся с элемента колонны (полки, стенки или опорных ребер), распространяется по толщине этой плиты под углом α через опорную плиту. Тогда ширина опорной зоны поперек полки или стенки колонны найдется следующим образом
Длина опорной зоны li должна определяться с учетом участка bi, как бы продолжающего элемент по его длине, т.е.
Предлагаемая методика может применяется для расчета узлов легких колонн и стоек и используется в следующей последовательности:
1. Определяется конфигурация зоны передачи нагрузки с учетом всех элементов опорного сечения колонны (полок, стенки и ребер);
2. Определяются размеры отдельных элементов расчетной зоны передачи давления (размеры сi, bi и li);
3. Определяется суммарная площадь зоны опирания AΣ;
4. Находится предельная продольная сила Nlim, которая может быть воспринята бетоном фундамента;
5. Условие несущей способности опорной плиты на продавливание имеет вид N ≤ Nlim. Несущая способность бетона фундамента при этом считается обеспеченной, так как из условия (7), напряжения в нем не превышают величины Rbφ;
6. При невыполнении условий п. 5, производится изменение конструкции опорного узла за счет добавления ребер, увеличения их длины и т.д. Увеличения толщины опорной пластины следует производить в последнюю очередь. Возможно назначение другого, более высокого класса бетона фундамента или подливки под опорную плиту.
Расчет опорных плит на нагрузку от анкерных болтов
Опорные плиты также должны быть проверены на действие сосредоточенных сил, передающихся с растянутых анкерных болтов. Усилия в анкерных болтах могут определяться различными известными способами. В рекомендациях, усилия в анкерных болтах определяются с учетом развития пластических деформаций в бетоне фундамента (рис. 11).
Расчетное усилие в анкерном болте находится как
Rb — расчетное сопротивление бетона осевому сжатию; N — продольная сила, действующая в колонне; n — число растянутых болтов, расположенных с одной стороны базы колонны; bb, lb — ширина и длина опорной пластины; lа — расстояние между анкерами; е0 — эксцентриситет продольной силы е0 =M/N.
Пренебрегая усиливающим влиянием анкерных шайб, действующих на опорную плиту подобно упругому штампу, будем считать, что усилие от анкеров передается в виде сосредоточенной нагрузки, распределенной по контуру отверстия в плите.
Требуемая толщина опорной плиты при расчетах в упругой стадии определяется по формуле:
где Mef,1 — расчетный изгибающий момент, действующий на полоску опорной плиты единичной ширины и определяемый в зависимости от расчетной схемы рассматриваемого участка.
В общем случае, расчетные участки опорной плиты могут быть представлены в виде консоли или участков, опертых на 2 или на 3 стороны (рис. 12).
Для консольного участка (рис. 11а) изгибающий момент Mef,1 найдется как
где ΣNa — сумма усилий в анкерных болтах, расположенных на расчетном участке; е — расстояние от оси анкера до наружной грани полки колоны; bef — расчетная ширина консоли, равная ширине полки колонны.
При наличии опорных ребер, приваренных к продольным торцам полки, они включаются в расчетную ширину bef.
Для квадратной пластины, опертой по двум сходящимся сторонам (рис. 11 б, в), расчетный изгибающий момент определяется по формуле
где α2 = 0,155 — при установке анкерных болтов с одной стороны полки; α2 = 0,135 — при установке анкерных болтов с двух сторон полки.
То же, для пластин, опертых на три стороны (рис. 11 г)
где α3 — коэффициент, определяемый в зависимости от соотношения сторон пластины (табл. 5)
Выводы:
1. Предлагаемая методика расчета относительно тонких опорных плит металлических колонн, основана на гипотезе передачи реактивного давления в относительно узких опорных зонах пластины, продавливаемой сечением колонны как жестким штампом.
2. Размеры опорных зон определяются по всем элементам приопорного сечения колонны, включая полки, стенку основного сечения, ребра, фасонки и др., расположенные в опорной зоне.
3. Предлагается, как вариант, упрощенная схема определения ширины и длины отдельных участков опорной зоны по схеме простого продавливания пластины с распределением зоны продавливания под углом 45° по толщине пластины.
4. Как основная, предлагается методика определения несущей способности пластины заданной толщины или определения ее толщины по заданной нагрузке по условию одновременного достижения предельного состояния как в самой пластине, так и в бетоне фундамента. Используются модели взаимодействия криволинейного упругого штампа с упругим основанием в условиях плоского деформированного состояния. Кривизна штампа определяется предельной кривизной изгибаемой пластины из условия ее прочности. Методика может быть уточнена за счет определения фактической формы цилиндрической поверхности изгибаемой пластины и учета действия касательных напряжений в пластине.
5. Для внецентренно-сжатых колонн следует выполнять проверки прочности опорных плит на действие сосредоточенных нагрузок, передающихся с растянутых анкерных болтов.
Пример расчета опорной плиты центрально-сжатой колонны
Исходные данные: N = 40 т, площадь опорной плиты А = В*52,5*25 = 1312,5 см2. Тип базы по рис. 12 а.
1. Расчет по традиционной методике:
Реактивные напряжения σ = 40000/1312,5 = 30,48 кг/см2;
Участок 1 (консоль) M = 10в2*30,48/2 = 1524 кг/см2;
Участок 2 (пластина, опертая на 3 стороны) b/а = 2,4, α = 0,133, M = 608 кгсм.
Требуемая толщина пластины
tef = √6M/Ry*γс = √6*1524/2450 = 1,93 см.
2. Расчет по предлагаемой методике: определим несущую способность опорной пластины на отдельных участках при толщине, найденной по традиционной методике:
— по полкам:
P1 = 1,93 85 2 /0,0161 2450 + 1,5(0,6 2+1,2) 85 = 353,5+306 = 659,5 кг/см;
— по стенкам
P2 = 1,93 85 2 /0,0161 2450 + 1,5(0,6 2+0,6) 85 = 353,5+229,5 = 583 кг/см;
Суммарная несущая способность опорной пластины при расчетной длине участков полок l = l0+ 2(1,93+0,6) = 25,06 см.
Несущая способность опорной части:
Ps = 659*25,06 2+583*30 = 50 544 кг.
Как видно, несущая способность опорной пластины, рассчитанная по существующей и предлагаемой методике превышает на 26 % несущую способность, определенную по традиционной методике. Установка дополнительных ребер (t = 1,2 см) не изменяет несущей способности, определенной по традиционной методике, в то время как для предлагаемого метода расчета, оказывает существенное влияние: PΣ = 50544 + 16527 = 67 071 т.
Читайте также: