Понятие о квантовой теории электропроводности металлов
Теория электропроводности металлов, построенная на основе квантовой механики и квантовой статистики Ферми-Дирака, называется квантовой теорией электропроводности металла.
Расчет электропроводимости металлов в квантовой теории был произведен Зоммерфельдом. Был выведен закон Ома в дифференциальной форме
где g - удельная проводимость; - плотность тока в данной точке; - напряженность электрического поля.
Для удельной проводимости было получено следующее выражение:
где - средняя длина свободного пробега электрона, обладающего энергией Ферми, - скорость такого электрона, m - его масса.
Сравним (3.12) с выражением, полученным из классической электронной теории металлов
В этом выражении - средняя длина свободного пробега электрона, - средняя скорость его теплового движения.
Несмотря на то, что выражения (3.12) и (3.13) по внешнему виду похожи, их содержание различно. Средняя скорость теплового движения зависит от температуры, как , а практически не зависит от температуры, так как с изменением температуры энергия Ферми, а, следовательно, и скорость, остаются практически неизменными.
Наиболее существенное различие формул (3.3.2) и (3.3.3) состоит в том, какой смысл вкладывается в понятие длины свободного пробега электрона в классической и квантовой теории металлов.
Классическая электронная теория рассматривает электроны как обычные частицы и причиной электрического сопротивления металлов считает столкновения электронов с узлами кристаллической решетки. Полагая, что электроны сталкиваются почти со всеми узлами решетки, встречающимися на их пути, классическая теория принимает равной параметру решетки d (d »10 -10 м ).
Квантовая теория рассматривает электрон как частицу, обладающую волновыми свойствами, а электрический ток в металле - как процесс распространения электронных волн, длина волны которых определяется формулой де Бройля
Такие представления позволяют объяснить наблюдаемую экспериментально температурную зависимость удельной проводимости g и удельного сопротивления . Рассмотрим идеальную кристаллическую решетку металла, в узлах которой находятся неподвижные ионы, а примеси и дефекты отсутствуют. Такая идеальная решетка не рассеивает электронные волны, и электрическое сопротивление такого металла должно быть равно нулю.
В реальных кристаллах при T > 0 ионы совершают тепловые колебания около положения равновесия, нарушая строгую периодичность решетки. Кроме того, в таких решетках обычно присутствуют структурные дефекты: примеси, вакансии, дислокации и так далее. Все эти неоднородности играют роль центров рассеивания для электронных волн и являются причиной электрического сопротивления. Расчет показывает, что средняя длина свободного пробега F> зависит от температуры по закону
где - модуль упругости; d - параметр решетки.
С учетом (3.15) удельная проводимость g, определяемая формулой (3.12), будет иметь вид
то есть ~ , а ~ , что хорошо согласуется с опытом в области не слишком низких температур.
При очень низких температурах формула (3.3.5) не выполняется. При этом длина свободного пробега оказывается обратно пропорциональной не первой, а пятой степени температуры, поэтому и удельное сопротивление ρ будет пропорционально пятой степени абсолютной температуры.
На рис.3.7 изображена зависимость удельного электрического сопротивления металла от температуры. При Т=0 удельное сопротивление металла равно не нулю, а остаточному сопротивлению rост,, обусловленному рассеиванием электронных волн на структурных дефектах решетки металла.
Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение.
Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной.
Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы.
3.6. Понятие о квантовой теории электропроводности металлов
Электрический ток в металлах – результат упорядоченного движения электронов. Электрическое сопротивление как в классической, так и в квантовой теории объясняется взаимодействием электронов проводимости с кристаллической решёткой, при котором электроны теряют часть своей энергии. Но характер взаимодействия в классической и квантовой теории рассматривается различным образом.
По классической теории:электроны сталкиваются с узлами кристаллической решетки и отдают ей часть своей энергии – этим обусловлено электрическое сопротивление металлов. Классическая теория принимает длину свободного пробега электроновλ>равной параметру решеткиd(d 10 -10 м).
По квантовой теории:электроны обладают волновыми свойствами, а их упорядоченное движение рассматривается как процесс распространения электронных волн де Бройля в периодической среде. Длина волны де Бройля определяется известной формулой:
. (3.27)
Электрическое сопротивление объясняется рассеиванием электронных волн.
Рассмотрим идеальную кристаллическую решётку металла, в узлах которой находятся неподвижные ионы, а примеси и дефекты отсутствуют. Так как длина волны де Бройля электронов больше периода решётки: , то такая решётка не рассеивает электронные волны, и электрическое сопротивление в этом случае должно быть равно нулю.
Рассеивание электронных волн происходит лишь на искажениях периодичности решётки. Такие искажения периодичности возникают в реальных кристаллах
за счёт тепловых колебания узлов решётки около положения равновесия при T > 0;
за счёт структурных дефектов: примесных атомов, вакансий, дислокаций и так далее.
Все эти неоднородности играют роль центров рассеивания электронных волн и являются причиной электрического сопротивления.
, (3.28)
где - удельная проводимость;- плотность тока в данной точке;- напряженность электрического поля.
. (3.29)
Здесь - средняя длина свободного пробега электрона, обладающего энергией Ферми,- скорость этого электрона,m - его масса.
Сравним (3.12) с выражением, полученным из классической электронной теории металлов:
. (3.30)
В этом выражении - средняя длина свободного пробега электрона,- средняя скорость его теплового движения.
Несмотря на то, что выражения (3.12) и (3.13) по внешнему виду похожи, их содержание различно. Средняя скорость теплового движения пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры, апрактически не зависит от температуры, так как с изменением температуры энергия Ферми, а следовательно, и скорость остаются практически неизменными.
Расчёт показывает, что средняя длина свободного пробега зависит от температуры по закону:
. (3.31)
Т и удельного сопротивления:
,,
что хорошо согласуется с опытом в области не слишком низких температур.
На рис.3.6 изображена зависимость удельного электрического сопротивления металла от температуры. При Т=0удельное сопротивление металла равно не нулю, а остаточному сопротивлениюост , обусловленному рассеиванием электронных волн на структурных дефектах решетки металла.
9.2. Понятие о квантовой теории электропроводности металлов
Согласно квантовой теории электрон в металле не имеет точной траектории, его можно представить волновым пакетом с групповой скоростью, равной скорости электрона. Квантовая теория учитывает движение электрона в периодическом поле решётки, что приводит к появлению эффективной массы электрона . Расчёт, выполненный на основе этого, приводит к формуле
которая по внешнему виде напоминает классическую формулу (3). Здесь n - концентрация электронов проводимости в металле, F - средняя длина свободного пробега электрона, имеющего энергию Ферми, vF - средняя скорость теплового движения такого электрона.
Разгоняться в электрическом поле могут только электроны, энергия которых близка к уровню Ферми [см. лекцию 7], т. е. в проводимости участвует малая часть электронов, импульс которых m * vF> близок к импульсу электрона на уровне Ферми PF , т. е. m * vF> . С учётом этого из (4) следует, что F.
Увеличение температуры приводит к возрастанию тепловых колебаний кристаллической решётки, на которых рассеиваются электроны (на квантовом языке говорят о столкновении электронов с фононами), и длины свободного пробега электрона F 1/s . Здесь - площади “сечения” колеблющихся атомов решётки, а - амплитуда колебания. Она связана с температурой . Следовательно, F и удельная электропроводность F 1/T, что согласуется с экспериментом.
Таким образом, квантовая теория объяснила электропроводность металлов.
Элементы зонной теории кристаллов
В прошлом семестре рассматривались энергетические уровни электрона в атоме водорода [см. конспект лекций, ч. III, формула (11. 14)]. Там было показано, что значения энергии, которые может иметь электрон в атоме водорода , где n=1, 2, 3 . главное квантовое число, т.е. энергия электрона в атоме квантована, она может принимать только дискретные значения. В общем случае энергетические уровни какого-либо валентного электрона в одном изолированном атоме могут быть представлены в виде , изображенном на рис. 1.
По вертикали отложены значения энергии, по горизонтали ничего не отложено. Наинизший уровень или уровень с наименьшей энергией Е1 называется основным или невозбужденным.
Р ассмотрим теперь N тождественных атомов, удалённых друг от друга настолько далеко, что их взаимодействиями можно пренебречь. Все они в этом случае будут иметь одинаковые энергетические уровни (см. рис.1). Будем сближать атомы друг с другом, чтобы они образовали кристаллическую решётку. Тогда из-за взаимодействия между атомами каждый энергетический уровень изолированного атома Е1, Е2. расщепится на N простых уровней (см. рис. 2).
Эта совокупность энергетических уровней, на которые расщепляется уровень изолированного атома, называется энергетической зоной или просто зоной кристалла. Ввиду того что N очень велико, расстояния между уровнями одной и той же зоны крайне малы и можно считать, что в пределах зоны Е энергия изменяется непрерывно. Однако соседние энергетические зоны, вообще говоря, разделены конечными интервалами энергии E. Эти интервалы называются запрещенными зона (см. рис. 3a), т.к. энергия электрона не может принимать значения энергии, лежащие в пределах таких интервалов. В противоположность запрещенным зонам зоны с дозволенными значениями энергии называют разрешенными. Самыми широкими разрешенными зонами оказываются зоны, соответствующие уровням валентных электронов. Заметим, что энергетические зоны, разумеется нельзя путать с пространственными зонами, т.е. областями пространства, в которых может находиться электрон. Высшая, целиком заполненная зона, называется валентной, следующая разрешенная - зоной проводимости.
Электропроводность металлов
Квантовая теория электропроводности металлов основывается на квантовой статистике Ферми-Дирака. Расчет электропроводности в рамках квантовой механики с использованием квантовой статистики дает для удельной электропроводности металла следующее выражение:
которое по внешнему виду совпадает с классической формулой, но имеет другое физическое содержание. n - концентрация электронов проводимости в металле; - средняя длина свободного пробега электрона, обладающего энергией, равной энергии Ферми; F > средняя скорость теплового движения такого электрона. Результаты расчетов по формуле полностью совпадают с опытными данными.
Квантовая теория металлов, в частности объясняет зависимость электропроводности от температуры: g ~ T -1 (согласно классической теории g ~ T -1/2 ), а также аномально большие (порядка сотен периодов решетки) величины средней длины свободного пробега электронов в металле.
Квантовая теория рассматривает движение электронов с учетом их взаимодействия с кристаллической решеткой. Движению электрона сопоставляется волновой процесс - электронная волна. Идеальная кристаллическая решетка (в ее узлах неподвижные частицы и нет нарушений периодичности) ведет себя подобно оптически однородной среде - "электронная волна" не рассеивается. Это соответствует тому, что металл не оказывает электрическому току никакого сопротивления. "Электронные волны", распространяясь в идеальной кристаллической решетке, как бы огибают узлы решетки и проходят значительные расстояния.
В реальной решетке всегда имеются неоднородности - примеси, вакансии и т.д. То есть наблюдается рассеивание "электронных волн" на неоднородностях, что и является причиной электрического сопротивления металлов.
Рассеивание "электронных волн" на неоднородностях, связанныхс тепловыми колебаниями, можно рассматривать как столкновения электронов с фононами
Согласно классической теории, F > ~T 1/2 , поэтому она не смогла объяснить истинную зависимость электропроводности от температуры. В квантовой теории F> практически не зависит от температуры, т.к. доказывается, что с изменением температуры уровень Ферми остается практически неизменным. Однако с повышением температуры рассеяние "электронных волн" на тепловых колебаниях решетки (на фононах) возрастает, что соответствует уменьшению средней длины свободного пробега электронов.
В области комнатных температур , поэтому, учитывая независимость от Т, получим, что сопротивление металлов в согласии с опытными данными растет пропорционально температуре. Квантовая теория электропроводности устранила и это затруднение классической теории.
Сверхпроводимость
Как известно, сопротивление многих металлов (например, Al, Pb, Zn и др.) и их сплавов при очень низких температурах Тк (0,14 – 20 К), называемых критическими, скачкообразно уменьшается до нуля, т.е. металл становится абсолютным проводником. Впервые это явление, названное сверхпроводимостью, обнаружено Г. Камерлинг-Оннесом для ртути.
Рассмотрим некоторые свойства сверхпроводников. При переходе металла в сверхпроводящее состояние, как показывают опыты, не изменяется структура его кристаллической решетки, механические и оптические (в видимой и ИК областях) свойства. Однако при таком переходе вместе со скачкообразным изменением электрических свойств качественно изменяются магнитные и тепловые свойства. В отсутствии магнитного поля переход в сверхпроводящее состояние сопровождается скачкообразным изменением теплоемкости, а при переходе во внешнем магнитном поле скачком изменяются и теплопроводность и теплоемкость. Достаточно сильное магнитное поле (и, следовательно, большой электрический ток, протекающий по полупроводнику) разрушает сверхпроводящее состояние. Мейснер показал, что в сверхпроводящем состоянии магнитное поле в толще сверхпроводника отсутствует. Это означает, что при охлаждении сверхпроводника ниже критической температуры магнитное поле из него вытесняется (эффект Мейснера).Физическая природа сверхпроводимости была понята лишь в 1957 г. на основе теории сверхтекучести гелия, созданной Ландау. Теория сверхпроводимости создана американскими физиками Бардиным, Купером, Шриффером и усовершенствована Боголюбовым. Сверхтекучесть - протекание жидкости без трения по узким капиллярам - аналогична сверхпроводимости - оба являются макроскопическими квантовыми эффектами.
Объясним явление сверхпроводимости качественно. Между электронами металла помимо кулоновского отталкивания, ослабленного экранирующим действием положительных ионов решетки, в результате электрон-фононного взаимодействия (взаимодействия электронов с колебаниями решетки) возникает слабое взаимное притяжение. Это взаимное притяжение может быть больше отталкивания, т.е. электроны образуют своеобразное связанное состояние - куперовскую пару. "Размеры" пары много больше (на четыре порядка) среднего межатомного расстояния, т.е. между электронами, "связанными" в пару находится много "обычных" электронов.
Читайте также: