Металлическое кольцо радиусом r имеет заряд q
(Все задачи по электростатике и ответы к ним находятся в zip-архиве (347 кб), который можно скачать и открыть на своем компьютере. Попробуйте решить задачи самостоятельно и только потом сравнивать свои ответы с нашими. Желаем успехов!)
26.1. Два точечных заряда 0,6 мкКл и −0,3 мкКл находятся на расстоянии 10 см друг от друга. В какой точке напряженность электрического поля равна нулю? [на расстоянии ≅25 см от второго заряда]
26.2. В точке A напряженность электрического поля точечного заряда равна ЕA, а в точке B — ЕB. Найти напряженность поля в точке C. Все три точки лежат на одной силовой линии. Точка C лежит посередине между точками A и B. [смотрите ответ в общем файле]
26.3. Две частицы массами m и M, имеющие заряды q и Q соответственно, движутся в однородном электрическом поле на неизменном расстоянии l друг от друга. Определить напряженность поля и ускорение частиц. Силу тяжести не учитывать. [смотрите ответ в общем файле]
26.4. Конический маятник состоит из легкой нити длиной 1 м, на конце которой находится шарик массой 10 г заряженный зарядом 2× −5 Кл. Маятник находится в вертикальном однородном электрическом поле с напряженностью 1 кВ/м. Определить угловую скорость движения шарика и силу натяжения нити, если угол между нитью и вертикалью равен 30°. [w1 = 3.72 c −1 ; T1 = 0.14 Н; w2 = 3.03 c −1 ; T2 = 0.092 H]
26.5. Конический маятник состоит из нити длиной l, на конце которой находится шарик массой m, заряженный зарядом q. Маятник помещен в однородное горизонтальное электрическое поле с напряженностью E. Определить период обращения шарика, если угол отклонения нити от положения равновесия равен α. [смотрите ответ в общем файле]
26.6. В точке A потенциал поля точечного заряда равен φA, а в точке B — φB. Найти потенциал в точке C, если все три точки лежат на одной силовой линии, а точка C лежит посередине между точками A и B. [смотрите ответ в общем файле]
26.7. Тонкое проволочное кольцо радиусом R = 0,5 м имеет вырез длиной d = 2 см. По кольцу равномерно распределен заряд q = 0,33 нКл. Определить напряженность поля и потенциал в центре кольца. [≅ 0.076 В/м; ≅ 5.94 В]
26.8. Горизонтальный металлический диск вращается с угловой скоростью w вокруг вертикальной оси. Определить зависимость напряженности электрического поля от расстояния до оси, а также разность потенциалов между центром диска и его крайними точками. Радиус диска R. [смотрите ответ в общем файле]
26.9. Два тонких проволочных кольца имеют общую ось и расположены на расстоянии l = 52 см друг от друга. Радиусы колец R = 30 см. Кольца заряжены зарядами q и −q, где q = 0,4 мкКл. Найти разность потенциалов между центрами колец. [≅ 12 кВ]
26.10. Тонкое кольцо радиусом R заряжено зарядом q. Найти напряженность электрического поля на оси кольца как функцию от расстояния до центра кольца x. Рассмотреть случай x >> R. При каком значении x напряженность максимальна? [смотрите ответ в общем файле]
26.11. Три одинаковых шарика массой m каждый заряжены одинаковыми зарядами q и связаны тремя одинаковыми нитями так, что образуют правильный треугольник со стороной a. Одну из нитей пережигают. Определить максимальную скорость среднего шарика. Внешними силами пренебречь. [смотрите ответ в общем файле]
26.12. В пространство, где одновременно действуют горизонтальное и вертикальное электрические поля с напряженностью E1 = 0,04 В/м и E2 = 0,03 В/м, вдоль силовой линии результирующего поля влетает электрон, скорость которого на длине пути l = 2,7 мм изменяется в 2 раза. Определить конечную скорость электрона. [4×10 5 м/с]
26.13. В двух вершинах прямоугольника со сторонами a и b находятся точечные заряды q1 и q2. Какую работу надо совершить, чтобы перевести заряд q из точки A в точку B (рис.). [смотрите ответ в общем файле]
26.14. Два одинаковых заряженных шарика подвешены на двух одинаковых нитях длиной l = 5 см и связаны третьей такой же нитью (рис.). В момент пережигания нижней нити ускорения шариков равны a = 40 м/с 2 . Определить скорость шариков в момент когда они будут находиться на одной высоте с точкой подвеса. [≅ 0.66 м/с, решение задачи обсуждалось здесь ]
26.15. Заряженный шарик массой m = 1,5 г подвешен на нити в однородном горизонтальном электрическом поле. При этом нить отклонена на угол α = 30°. Направление электрического поля мгновенно изменяется на противоположное. Найти силу натяжения нити в момент максимального отклонения от вертикали. [≅ 8.7 мН]
26.16. Восемь протонов находятся в вершинах куба с ребром l = 10 см. Какова будет их максимальная скорость, если предоставить им возможность свободно двигаться? [≅ 2.8 м/с]
26.17. Найти напряженность электрического поля в центре полусферы, создаваемую зарядами, равномерно распределенными с поверхностной плотностью σ по всей поверхности полусферы. [смотрите ответ в общем файле]
26.18. Два небольших шарика, имеющие одинаковые массы и заряды и находящиеся на одной вертикали на высотах h1 и h2, бросили в одну сторону в горизонтальном направлении со скоростями v. Нижний шарик коснулся земли на расстоянии l от точки бросания по горизонтали. На какой высоте в этот момент был второй шарик? Сопротивлением воздуха и влиянием индуцированных на поверхности зарядов пренебречь. [смотрите ответ в общем файле]
26.19. Два электрона находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга. При этом один электрон неподвижен, а второй движется на него со скоростью v. На какое наименьшее расстояние сблизятся электроны? [смотрите ответ в общем файле]
26.20. Квадрат составлен из четырех одинаково и равномерно заряженных стержней (рис.). Если убрать стержень AB, то напряженность электрического поля в центре квадрата станет равна E. Какой станет напряженность в центре квадрата, если убрать еще и стержень BC? [смотрите ответ в общем файле]
26.21. Три квадратные одинаково и равномерно заряженные пластины из диэлектрика сложены вместе (рис.). При этом в некоторой точке T, расположенной над общей точкой, напряженность электрического поля равна E1. Когда пластину A убрали, напряженность в этой точке стала равна E2. Какой станет напряженность в точке T, если убрать и пластину B? [смотрите ответ в общем файле]
26.22. В атоме водорода электрон вращается по круговой орбите вокруг неподвижного протона. Найти отношение потенциальной энергии электрона к его кинетической энергии. [смотрите ответ в общем файле]
26.23. Электрический диполь состоит из двух точечных зарядов q и −q, находящихся на расстоянии l друг от друга. Диполь находится в состоянии устойчивого равновесия в однородном электрическом поле с напряженностью E. Какую работу надо совершить, чтобы повернуть диполь на 180°? [смотрите ответ в общем файле]
26.24. Три концентрические сферы радиусами R, 2R и 3R равномерно заряжены зарядами Q, 2Q и 3Q соответственно. Найти потенциалы и напряженности электрического поля на поверхностях сфер. [смотрите ответ в общем файле]
26.25. Протон и электрон одновременно начинают двигаться без начальной скорости от противоположно заряженных параллельных пластин навстречу друг другу. Через какое время они встретятся? Расстояние между пластинами d = 4 см, разность потенциалов между ними Δφ = 300 В. Взаимодействием протона и электрона пренебречь. [≅ 7.8×10 −9 c]
26.26. Заряженное тело сжали так, что все его размеры уменьшились в n раз. Во сколько раз изменилась энергия электрического поля этого тела? [смотрите ответ в общем файле]
26.27. Две сферы радиусом R имеют одинаковый заряд Q, равномерно распределенный по их поверхности. Какую минимальную энергию надо сообщить электрону на поверхности одной из сфер, чтобы он смог достичь второй сферы? Расстояние между центрами сфер L > 2R. [смотрите ответ в общем файле]
26.28. Заряженный шарик массой m висит на легкой нити. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы издалека медленно поднести другой заряженный шарик и поместить его в точку, где раньше находился первый шарик, если при этом первый шарик отклоняется, поднявшись на высоту h? [смотрите ответ в общем файле]
26.29. Пластины плоского конденсатора расположены вертикально и имеют длину l. Вдоль средней линии конденсатора из точки, расположенной на l выше пластин без начальной скорости падает шарик массой m, заряженный зарядом q (рис.). Какую разность потенциалов надо подать на пластины, чтобы шарик при падении не задел их? Расстояние между пластинами d, сопротивления нет. [смотрите ответ в общем файле]
26.30. Плоский конденсатор образован двумя одинаковыми пластинами площадью S = 100 см 2 . Пластины равномерно заряжены одинаковыми по величине и противоположными по знаку зарядами q = 10 −8 Кл. Определить силу взаимодействия пластин. [≅ 5.65×10 −4 Н]
26.31. Протон и α-частица, двигаясь с одинаковой скоростью вдоль одной прямой, влетают в длинный плоский конденсатор параллельно его пластинам. Во сколько раз α-частица улетит дальше протона внутри конденсатора? [в √2 раз] 26.32. Электрон, ускоренный разностью потенциалов Δφo, влетает в пространство между пластинами плоского конденсатора параллельно его пластинам. Расстояние между пластинами d, их длина l. Какую разность потенциалов надо подать на конденсатор, чтобы конденсатор не вылетел из него? [смотрите ответ в общем файле]
26.33. Пластины плоского воздушного конденсатора соединены непроводящей пружиной. Когда пластины зарядили зарядами +q и −q, расстояние между ними уменьшилось вдвое. Определить жесткость пружины, если площадь пластин S, начальное расстояние между ними d. [смотрите ответ в общем файле]
26.34. Пылинка массой m, заряженная зарядом q, равномерно падает вдоль осевой линии вертикального плоского конденсатора (рис.). Длина пластин — l, расстояние между ними — d. Какую разность потенциалов надо подать на пластины конденсатора, чтобы пылинка из него не вылетела? Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости. [смотрите ответ в общем файле]
26.35. Диполь, состоящий из двух точечных зарядов +q и −q, соединенных легким непроводящим стержнем длиной l, находится в однородном электрическом поле с напряженностью E. Угол между стержнем и силовыми линиями поля равен α (рис.). Найти потенциальную энергию диполя в электрическом поле. [смотрите ответ в общем файле]
26.36. Диполь, состоящий из двух точечных зарядов +q и −q массой m каждый, движется из бесконечности вдоль осевой линии плоского конденсатора (рис.). Расстояние между пластинами конденсатора d, расстояние между зарядами диполя l (l < d). Между пластинами конденсатора поддерживается постоянная разность потенциалов Δφ. Какова скорость диполя внутри конденсатора, если на бесконечности она равна vo? [смотрите ответ в общем файле]
26.37. На рисунке изображены силовые линии электрического поля. Может ли существовать такое электрическое поле?
Теорема Остроградского—Гаусса
Цель урока: Теорема Остроградского–Гаусса была установлена русским математиком и механиком Михаилом Васильевичем Остроградским в виде некоторой общей математической теоремы и немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом. Данная теорема может быть использована при изучении физики на профильном уровне, так как позволяет более рационально производить расчёты электрических полей.
Вектор электрической индукции
Для вывода теоремы Остроградского–Гаусса необходимо ввести такие важные вспомогательные понятия, как вектор электрической индукции и поток этого вектора Ф.
Известно, что электростатическое поле часто изображают при помощи силовых линий. Предположим, что мы определяем напряжённость в точке, лежащей на границе раздела двух сред: воздуха(=1) и воды (=81). В этой точке при переходе из воздуха в воду напряжённость электрического поля согласно формуле уменьшится в 81 раз. Если пренебречь проводимостью воды, то во столько же раз уменьшится число силовых линий. При решении различных задач на расчёт полей из-за прерывности вектора напряжённости на границе раздела сред и на диэлектриках создаются определённые неудобства. Чтобы избежать их, вводится новый вектор , который называется вектором электрической индукции:
Вектор электрической индукции равен произведению вектора на электрическую постоянную и на диэлектрическую проницаемость среды в данной точке.
Очевидно, что при переходе через границу двух диэлектриков число линий электрической индукции не изменяется для поля точечного заряда (1).
В системе СИ вектор электрической индукции измеряется в кулонах на квадратный метр (Кл/м 2 ). Выражение (1) показывает, что численное значение вектора не зависит от свойств среды. Поле вектора графически изображается аналогично полю напряжённости (например, для точечного заряда см. рис.1). Для поля вектора имеет место принцип суперпозиции:
Поток электрической индукции
Вектор электрической индукции характеризует электрическое поле в каждой точке пространства. Можно ввести ещё одну величину, зависящую от значений вектора не в одной точке, а во всех точках поверхности, ограниченной плоским замкнутым контуром.
Для этого рассмотрим плоский замкнутый проводник (контур) с площадью поверхности S, помещённый в однородное электрическое поле. Нормаль к плоскости проводника составляет угол с направлением вектора электрической индукции (рис. 2).
Потоком электрической индукции через поверхность S называют величину, равную произведению модуля вектора индукции на площадь S и на косинус угла между вектором и нормалью :
Вывод теоремы Остроградского–Гаусса
Эта теорема позволяет найти поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность, внутри которой находятся электрические заряды.
Пусть вначале один точечный заряд q помещён в центр сферы произвольного радиуса r1 (рис. 3). Тогда ; . Вычислим полный поток индукции проходящий через всю поверхность этой сферы: ; (). Если возьмём сферу радиуса , то также Ф = q. Если проведём сферу , не охватывающую заряд q, то полный поток Ф = 0 (так как каждая линия войдёт в поверхность, а другой раз выйдет из неё).
Таким образом, Ф = q, если заряд расположен внутри замкнутой поверхности и Ф = 0, если заряд расположен вне замкнутой поверхности. Поток Ф от формы поверхности не зависит. Он также не зависит от расположения зарядов внутри поверхности. Это значит, что полученный результат справедлив не только для одного заряда, но и для какого угодно числа произвольно расположенных зарядов, если только подразумевать под q алгебраическую сумму всех зарядов, находящихся внутри поверхности.
Теорема Гаусса: поток электрической индукции через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме всех зарядов, находящихся внутри поверхности: .
Из формулы видно, что размерность электрического потока такая же, как и электрического заряда. Поэтому единицей потока электрической индукции служит кулон (Кл).
Примечание: если поле неоднородно и поверхность, через которую определяют поток, не является плоскостью, то эту поверхность можно разбить на бесконечно малые элементы ds и каждый элемент считать плоским, а поле возле него однородным. Поэтому для любого электрического поля поток вектора электрической индукции через элемент поверхности есть: dФ =. В результате интегрирования полный поток через замкнутую поверхность S в любом неоднородном электрическом поле равен: , где q – алгебраическая сумма всех зарядов, окружённых замкнутой поверхностью S. Выразим последнее уравнение через напряжённость электрического поля (для вакуума): .
Это одно из фундаментальных уравнений Максвелла для электромагнитного поля, записанное в интегральной форме. Оно показывает, что источником постоянного во времени электрического поля являются неподвижные электрические заряды.
Применение теоремы Гаусса
Поле непрерывно распределённых зарядов
Определим теперь с помощью теоремы Остроградского-Гаусса напряжённость поля для ряда случаев.
1. Электрическое поле равномерно заряженной сферической поверхности.
Сфера радиусом R. Пусть заряд +q равномерно распределён по сферической поверхности радиуса R. Распределение заряда по поверхности характеризуется поверхностной плотностью заряда (рис.4). Поверхностной плотностью заряда называют отношение заряда к площади поверхности, по которой он распределён. . В СИ .
Определим напряжённость поля:
а) вне сферической поверхности,
б) внутри сферической поверхности.
а) Возьмём точку А, отстоящую от центра заряженной сферической поверхности на расстоянии r>R. Проведём через неё мысленно сферическую поверхность S радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферической поверхностью. Из соображения симметрии очевидно, что силовые линии являются радиальными прямыми перпендикулярными к поверхности S и равномерно пронизывают эту поверхность, т.е. напряжённость по всех точках этой поверхности постоянна по величине. Применим теорему Остроградского-Гаусса к этой сферической поверхности S радиуса r. Поэтому полный поток через сферу равен N = E? S; N=E. С другой стороны . Приравниваем: . Отсюда: при r>R.
Таким образом: напряжённость, создаваемая равномерно заряженной сферической поверхностью, вне её такая же, как если бы весь заряд находился в её центре (рис.5).
2. Напряжённость поля равномерно заряженной бесконечной плоскости
Рассмотрим электрическое поле создаваемое бесконечной плоскостью, заряженной с плотностью , постоянной во всех точках плоскости. По соображениям симметрии можно считать, что линии напряжённости перпендикулярны к плоскости и направлены от неё в обе стороны (рис.6).
Выберем точку А, лежащую справа от плоскости и вычислим в этой точке, применяя теорему Остроградского-Гаусса. В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндрическую поверхность таким образом, чтобы боковая поверхность цилиндра была параллельна силовым линиям, а его основания и параллельны плоскости и основание проходит через точку А (рис. 7). Рассчитаем поток напряжённости через рассматриваемую цилиндрическую поверхность. Поток через боковую поверхность равен 0, т.к. линии напряжённости параллельны боковой поверхности. Тогда полный поток складывается из потоков и проходящих через основания цилиндра и . Оба эти потока положительны =+; =; =; ==; N = 2.
– участок плоскости лежащий внутри выбранной цилиндрической поверхности. Заряд внутри этой поверхности равен q.
Итак величина не зависит от положения рассматриваемой точки А и определяется только поверхностной плоскостью зарядов . Вектор всюду направлен перпендикулярно плоскости,
а) если >0 от плоскости (рис. 8).
3. Поле двух параллельных плоскостей
Плоскости заряжены разноимёнными зарядами с плотностями +s и -s (рис.10). напряжённость полей обеих плоскостей между плоскостями направлены в одну сторону, следовательно, их геометрическая сумма является их арифметической суммой в вакууме .
И так: во всех точках пространства между плоскостями, вектор напряжённости имеет одинаковую величину и направлен от положительно заряженной плоскости до отрицательно заряженной плоскости, т.е. поле между плоскостями однородное. Вне этих плоскостей поле равно “0” .
Пример решения задачи на вычисление электрических полей
Металлическое кольцо радиусом R имеет заряд q. Чему равны напряжённость поля и потенциал:
а) на расстоянии а от центра вдоль оси, перпендикулярной плоскости кольца;
б) в центре кольца?
Возьмём элемент кольца , который создаёт в точке А электрическое поле напряжённостью (рис.11). Вектор напряжённости направлен по линии , соединяющей элементы кольца с зарядом (– можно принять за точечный заряд) с точкой А. Для нахождения суммарного поля надо геометрически сложить все поля, создаваемые каждым элементом: . Вектор напряжённости имеет две составляющие: (нормальная и касательная составляющие).
Составляющие от каждых двух диаметрально расположенных элементов взаимно уничтожаются, тогда результирующие поле и вектор направлен вдоль оси. Из рисунка 24 следует, что ; где . Учитывая, что напряжённость поля точечного заряда получим: .
Для нахождения потенциала суммируем алгебраически потенциалы, создаваемые отдельными элементами :
Решение блока задач методом суммирования
Факультативный курс «Практикум решения физических задач», 11-й класс
Динамика. Второй закон Ньютона [1, 2]
1. К грузу массой 7 кг подвешен другой груз массой 5 кг. Какое натяжение будут испытывать верхний конец и середина каната, если всю систему поднимать вертикально вверх с силой 240 Н, приложенной к большему грузу? Масса каната 4 кг.
Указания к решению задачи
Представляем канат в виде двух грузов равной массы и выполняем соответствующий рисунок с указанием всех действующих сил.
Натяжение между грузами, представляющими канат, – это натяжение середины каната при движении системы вверх.
Динамика. Закон всемирного тяготения*
2. Определите, с какой силой однородное кольцо массой M и радиусом R притягивает к себе шарик массой m, расположенный на расстоянии h от центра кольца на перпендикуляре к плоскости кольца, проходящем через его центр. Размерами шарика пренебречь.
Закон всемирного тяготения справедлив только в отношении точечных тел.
Разбиваем массивное кольцо на элементарные равномерно распределённые ячейки, которые рассматриваем как материальные точки массой Mi.
Притяжением между элементарными ячейками кольца пренебрегаем.
Легко сообразить, что результирующая сила Fрез будет направлена от шарика к центру кольца и являться суммой всех сил притяжения (гравитационных сил) Fгр i, действующих со стороны элементарных масс Mi на шарик. Задача сводится к определению силы притяжения (гравитационной силы) Fгр i между каждой i-й ячейкой и шариком.
Вклад в результирующую силу со стороны каждой i-й ячейки:
где G – гравитационная постоянная.
Окончательно задача решается путём суммирования обеих частей последнего равенства:
Поскольку G, m, R, h являются величинами постоянными, их можно вынести за знак суммирования. Сумма масс всех элементарных ячеек есть масса кольца M:
Электростатика. Закон Кулона [1, 2]
3. Тонкое проволочное кольцо радиусом R имеет электрический заряд q. В центре кольца расположен одноимённый заряд Q q. Определите силу T, растягивающую кольцо.
Закон Кулона прямо применять нельзя. Равномерно заряженное кольцо разбиваем на элементарные ячейки, которые можно представить как точечные заряды.
Сделаем рисунок для i-й ячейки.
Всё кольцо растянуто равномерно. Обе силы растяжения Т1 и T2 обусловлены упругими силами в кольце.
Поскольку ячейка находится в состоянии покоя, а заряд считаем расположенным в центре кольца, записываем второй закон Ньютона для i-й ячейки: FКi + T1 + T2 = 0.
Находим проекции векторов действующих сил на направление Y:
FКi = 2Tsin(Синусы малых углов заменяем самими углами в радианах: .
Суммируем вклады от всех ячеек, учитывая, что сумма всех зарядов элементарных ячеек есть q, а сумма всех длин элементарных ячеек есть 2 R:
Электростатика. Напряжённость – силовая характеристика электрического поля. Потенциал – энергетическая характеристика электрического поля [1]
4. По кольцу радиусом R равномерно распределён заряд Q. Определите напряжённость электрического поля и его потенциал в центре кольца, а также в точке, отстоящей на расстоянии h от центра кольца по перпендикуляру к плоскости кольца.
Для определения напряжённости электрического поля в некоторой точке в неё необходимо поместить положительный единичный заряд. В центре Е0 = 0.
Потенциал электрического поля точечного заряда является скалярной величиной:
Решение аналогично решению задачи 2.
На расстоянии h от центра кольца:
Магнитное поле. Сила Ампера в комбинации с механическим напряжением [3]
5. По жёсткому кольцу из медной проволоки течёт ток силой 5 А. Кольцо находится в перпендикулярном к его плоскости магнитном поле индукцией 0,5 Тл. Найдите растягивающее механическое напряжение в проволоке, если радиус кольца 5 см, а площадь сечения проволоки 3 мм 2 . Магнитным взаимодействием между различными участками кольца можно пренебречь.
Механическим напряжением называется физическая величина, равная отношению модуля силы упругости, возникающей при деформации, к площади сечения образца, перпендикулярного вектору силы упругости:
Сила упругости возникает в результате действия магнитного поля на кольцо с током.
Равномерно разобьём кольцо на элементарные ячейки. Сделаем рисунок, на котором укажем направление всех сил, действующих на одну ячейку. На все ячейки действуют одинаковые по модулю силы упругости.
Для одной ячейки запишем второй закон Ньютона в векторном виде, учитывая, что она находится в равновесии: Y: FA + Fупр.1 + Fупр.2 = 0.
Выбираем ИСО (ось Y) и находим проекции действующих сил: FA = 2Fупрsin( Так как уголI • B = Fупр/R;
1. Славов А.В., Спивак В.С., Цуканов В.В. Сборник задач по физике: Под ред. Славова А.В.: 6-е изд., испр. и доп. – М.: Изд-во МЭИ, 2004.
2. Дмитриев С.Н., Васюков В.В., Струков Ю.А. Сборник задач для поступающих в вузы: Физика: 5-е изд. – М.: Демиург–Арт, 2002.
3. Гельфгат И.М., Генденштейн Л.Е., Кирик Л.А. 1001 задача по физике (с ответами, указаниями, решениями): 3-е изд., перераб. – М.–Харьков: Илекса–Гимназия, 1997.
*Задача придумана автором по аналогии с задачей из сборника «Качественные задачи» М.Е.Тульчинского: «По закону всемирного тяготения все тела притягиваются друг к другу под действием гравитационных сил. Приведите пример, когда при сближении двух тел сила притяжения между ними уменьшается». Она схожа и с задачей из раздела «Электростатика. Напряжённость – силовая характеристика электрического поля». Аналогия между законом Кулона и законом всемирного тяготения, а также между электростатическим и гравитационным полями проводится довольно часто.
Общий метод решения задач из разных разделов
Любой учитель, долгое время работающий в профильном классе, в конце концов приходит к двум выводам:
• невозможно разобрать на уроках все интересные задачи из методической копилки учителя, тем более что их всё больше и больше. Значит, нужно осваивать на примере ключевых задач общие методы и приёмы решения, обучая ребят не количеством, а качеством подобранных задач;
• ребёнок не может долго помнить приём решения, если его не повторять время от времени. И вот тут оказывается очень продуктивным подбирать задачи, имеющие тот же алгоритм, или приём решения, что и в предыдущей теме, даже если темы не связаны. Тогда ученика не пугает бесконечное количество задач.
Необходимо отметить, что если предлагаемый метод не будет закреплён в следующих темах, то, как бы хорошо он ни был усвоен, большинство учащихся его забывает. Неоднократное возвращение к знакомому методу происходит иногда очень неожиданно. Приводим пример решения известной задачи в теме «Механика» и использование этого алгоритма в других, казалось бы, не связанных темах.
Тема «Механика»
• Из резинового жгута длиной L и массой m изготовлено кольцо. Это кольцо вращается с угловой скоростью ω в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Определите силу натяжения, возникающую в кольце.
Метод решения этой задачи специфичен потому, что каждый элемент жгута при вращении имеет своё направление центростремительного ускорения, а значит, сила, действующая на каждый элемент, меняет своё направление от элемента к элементу. К тому же ученики помнят, что закон Гука применяется при упругих растяжениях прямолинейного стержня. Поэтому метод заключается в разбиении кольца на бесконечное количество малых элементов, которые практически прямолинейны в силу малости их размеров, и применении второго закона Ньютона отдельно для каждого элемента:
• Кольцо массой m изготовлено из проволоки, которая обрывается при силе натяжения Т0. Кольцо помещают на идеально гладкий конус. При каком минимальном плоском угле конуса φ кольцо не разорвётся?
При решении этой задачи необходимо рассмотреть условие покоя малого элемента на гладкой наклонной плоскости, но алгоритм решения аналогичен.
Рассмотрим условие покоя малого элемента кольца:
Ni + mig + Tупр.рез = 0.
Силу результирующего натяжения Tупр.рез находим, как в предыдущей задаче:
• Жёсткость резинового жгута длиной L и массой m равна k. Кольцо, изготовленное из жгута, вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через центр кольца. Оцените, при какой угловой скорости вращения кольца ω радиус его будет равен R.
Решение аналогично предыдущей, однако требуется вспомнить закон Гука
Тема «Электростатика»
• Тонкое проволочное кольцо радиусом R несёт электрический заряд q. В центре кольца расположен одноимённый с q заряд Q, причём Q ≫ q. Определите силу Т, растягивающую кольцо.
Решение. Условие равновесия элемента кольца:
Тема «Электромагнетизм»
• Тонкое металлическое кольцо радиусом R помещается в однородное магнитное поле индукцией В так, что плоскость кольца перпендикулярна линиям магнитного поля. Определите силу упругости Т, возникающую внутри кольца при пропускании по нему тока силой I.
Тема «Механические колебания»
• Тонкое кольцо радиуса R совершает осесимметричные колебания. Определите период колебаний Т кольца. Кольцо изготовлено из материала плотностью ρ, имеющего модуль упругости Е.
R – R0 = х – смещение элемента кольца вдоль радиуса при колебании относительно положения равновесия, причём ax < 0 при х = 0, то:
Тема «Движение в вязкой среде»
• Тело массой m, имеющее начальную скорость υ0, попадает в вязкую среду, сила сопротивления движению тела которой пропорциональна его скорости: F = αυ, где α – известный коэффициент. Определите путь, пройденный телом до остановки.
Для решения этой задачи на движение тела под действием переменной силы требуется освоение особой методики: пользоваться законами равноускоренного движения для определения пройденного пути нельзя. Алгоритм решения вновь сводится к тому, чтобы разбить всё время движения на бесконечно малые интервалы времени и рассмотреть движение отдельно на каждом таком интервале.
Для кинематических величин используем определение мгновенной скорости и мгновенного ускорения:
Но поскольку Просуммировав эти уравнения по всем интервалам времени, получаем: αs = mυ0. И окончательно:Тема «Электромагнитная индукция»
• По горизонтальным параллельным рельсам, расстояние между которыми равно d, может скользить без трения перемычка массой m. Рельсы соединены резистором сопротивлением R и помещены в вертикальное однородное магнитное поле индукцией В. Перемычке сообщают скорость υ0. Найдите путь s, пройденный перемычкой до остановки.
Cитуация аналогична рассмотренным. Зная, что изменение магнитного потока через замкнутый контур приведёт к возникновению индукционного тока, а значит, к возникновению силы Ампера, действующей на перемычку, запишем: инд = В · υ · d, поэтому окончательно получаем
Тема «Движение заряженной частицы в магнитном поле»
• Вязкая жидкость помещена в однородное магнитное поле индукцией В. Частица массой m и зарядом q влетает в жидкость со скоростью υ0 перпендикулярно вектору В. Вязкая среда действует на частицу с силой сопротивления, пропорциональной скорости частицы υ: Fсопр = –kυ. Определите модуль перемещения частицы от момента попадания в среду до полной остановки.
В этой задаче на частицу действуют даже две переменные силы, пропорциональные скорости: сила сопротивления Fсопр и сила Лоренца FЛор, причём эти силы взаимно перпендикулярны. Метод решения задачи тот же.
Fсопр = –kυ ⇒ Fсопр⇅ υ;
FЛор = qυ × B ⇒ FЛор ⊥ υ ⇒ FЛор ⊥Fсопр.
Рассмотрим элемент движения частицы (векторное сложение):
Подобный треугольник векторов образуют соответствующие векторы в течение всего времени движения частицы, поэтому, суммируя эти равенства, получим для перемещения s в точку остановки:
–ks + qs × B = – mυ0.
По теореме Пифагора, для векторного треугольника k 2 s 2 + q 2 s 2 B 2 = m 2 υ0 2 . Отсюда находим модуль перемещения:
Таких «перекрёстных» задач, решать которые можно одним и тем же методом, можно найти немало, и это помогает учителю. В статье использовались тексты задач, предложенных на конкурсных испытаниях при поступлении в МГТУ им. Н.Э.Баумана и МФТИ.
Решение задачи 6 о движении тела с зарядом по оси заряженного кольца
Тонкое проволочное кольцо радиуса R имеет электрический заряд +Q. Как будет двигаться точечное тело массы m, имеющее заряд –q, если в начальный момент времени оно покоилось в некоторой точке на оси кольца на расстоянии x от его центра? Кольцо неподвижно.
Комментарии
То ли в условии некоторое. недоговоренность. Например, заряженная "точка", нанизана на стержень и может двигаться только вдоль оси. То ли. это мне напоминает.
Как-то попросили заменить на месяц в одном физ-мат лицее. Поразвлекался со школьниками или над скорее. Это мне напоминает натаскивание обезьянок математическим формулам уже натасканными обезьянками.
Пардон, но это правда. Перед тем как давать условие и решение задачи, неплохо было бы и самому представить как ОНО выглядит (нарисовать например ручкой на бумаге, иногда помогает воображению). Но, может, я ошибаюсь. и автор придумал ловушку для заряженных частиц за 10 центов и Нобелевская ему обеспечена.
Но, к сожалению, автор об этом не догадывается. обидно. классно было бы иметь такую ловушку.
Кстати, если бы эта дерганая точка была бы несколько побольше и имела некоторые определенные, скажем так, упитанные формы, то Маленькую потенциальную ямку можна было бы словить. Опять же, думаю, этого в условии не было.
Посему. проверяйте хоть как-то то, что выкладываете на сайт, то ж некоторые могут и поверить потов в такое. что потом случайно перекочевывает в книжки. а потом их читать. утомительно это.
Пытались)). Но смысла и рычагов мало. Ни денег я там не получал, да и ничего мне от них не нужно было. Просто хотел показать — во всем нужна мера. в самолюбви тоже.
Кроме магии манипулирования циферками, иногда приятно сознавать, к чему ты ее прикладываешь. )) Все намного проще будет. А такие несуразности, к сожаление, встречал и среди именитых и маститых. Теоретики без понимания прикладывания, экспериментаторы без . короче ругаются, что оно. ну совсем не работает. и рисовали свои циферки, ну совсем не похожии на первые, но как-то работающие. А в конце концов все рассказывали, как классно и неповторимо подтверждается в эксперименте очередная неимоверно навороченная теория, аллилуя всем и хвала, и звезды нас ждут.
И еще не из-за злости своей врожденной)), а просто. Если кто-либо имеет к обучению детворы (например, Вы — не знаю этого), можно было бы добавить, кроме решения задач, и опыты со статикой. И они не ограничиваются только чем-то типа искорок между 2-мя шариков и бумажек, к ним прилипающих.
Кстати, а не давали задачки типа, какой нужно заряд, чтобы прилип кот и не отлип (шарик диэлектрик с зарядом) и возможно ли такое с разных точек зрения? Можно ж довольно легко сделать всякие постоянные (встроенные в пластмассовые шарики) заряды и поиграться с ними руками. Дети, да и не только они это любят. Или не только шарики. С разными формами полей — эффекты-то разные будут, про которые многие как-то и забывают. практически негде в жизни не используются. Только свой опыт запоминается. Ладно, это так — лирическое отступление. Был рад пообщаться, пардон, если обидел. И. пардон за ошибки. давно на русском не писал. уже подзабыл.
Читайте также: