Коэффициент отражения света металлами
Для металлов характерно отражение света от поверхности, что связано с тем, что металлы имеют большое «свободных» электронов. Вынужденные колебания таких электронов порождают вторичные волны, они вызывают интенсивную отраженную волну (до $95\%$ от интенсивности падающей волны) и относительно слабую волну, которая идет внутрь металла. В связи с тем, что плотность свободных электронов высока, то даже тонкие слои металла отражают большую часть падающего света и почти непрозрачны. Энергия световой волны, которая попадает внутрь металла, поглощается им. При этом световая волна вызывает колебания свободных электронов. Они взаимодействуют с ионами кристаллической решетки, как следствие, энергия, полученная от волны света, переходит в тепловую энергию. При этом электромагнитная волна быстро затухает в металле.
Доли света, отражаемые металлом и поглощаемые, зависят от его проводимости. Если мы имеем дело с идеальным проводником, в котором потери на джоулево тепло отсутствуют, поглощение равно нулю, при этом падающая волна света полностью отражается. Так, отражательная способность натрия достигает $99,8\%$.
Чем больше коэффициент электропроводности, тем выше отражательная способность металлов.
При не высоких частотах оптические свойства металлов определяет поведение свободных электронов. При увеличении частоты световой волны повышается роль связанных электронов, которые характеризуются собственной частотой, находящейся в области относительно коротких длин волн. Участие данных электронов определяет неметаллические оптические свойства металлов. Например, серебро, которое в видимой части спектра волн света имеет большой коэффициент отражения (около $95\%$) и заметное поглощение, что можно отнести к типичным оптическим свойствам металлов, в области ультрафиолетового излучения характеризуется плохим отражением и высокой прозрачностью. Так при длине волн порядка $316$ нм отражательная способность серебра становится равной $4,2\%$, что равно отражению от стекла.
Готовые работы на аналогичную тему
Оптические постоянные металлов
Допустим, что в слое металла толщиной $dz$ поглощается часть падающего света, равная:
Интенсивность волны света при проникновении ее внутрь металла при этом убывает в соответствии с законом:
где $\alpha $ -- коэффициент поглощения. Введем величину \varkappa$, которая равна:, которая равна:
где $\lambda $ -- длина волны света в среде. Если через $<\lambda >_0$ обозначить длину света в вакууме, $n$ -- показатель преломления вещества, то:
В таком случае можно записать, что:
По предложению Планка поглощение считается металлическим, если $n\varkappa >1.$ В видимой части спектра большинство металлов значение $n\varkappa $ находится между $1,5$ и $5$. При увеличении длины волны падающего света $n\varkappa $ возрастает.
Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды волны, значит, в результате поглощения изменение амплитуды происходит в соответствии с законом:
Из чего следует, что волна света в металле имеет вид:
Выражение (7) можно преобразовать к виду:
При применении комплексной формы записи (8) волну в металле можно представить в обычном виде, только вместо привычного показателя преломления $n$ в формуле используется комплексный показатель преломления ($n'$), равный:
Мнимая часть показателя $n'$ относится к поглощению волны.
Параметры $n\$ и $\varkappa$ -- постоянные, которые характеризуют оптические свойства металла. Соотношение между ними можно представить как:
при этом $n$ называют главным показателем преломления металла, $\varkappa$ -- называют главным показателем затухания (затухание может проходить без поглощения).
Можно связать оптические характеристики металлов с электрическими постоянными выражением вида:
где $\nu $ -- частота света, $\sigma $ -- электропроводность металла. Следует заметить, что $\sigma $ измерить легко для постоянного поля (или поля низкой частоты). Непосредственно измерить $\varepsilon $ невозможно. Значит, вычисление оптических постоянных для видимого или ультрафиолетового света на основе выражений (10), (11) не представляется возможным. Один из экспериментальных методов измерения оптических постоянных металлов предложили Кундт, другой Друде.
Задание: Опишите идею Друде по экспериментальному нахождению оптических постоянных металлов.
Решение:
Способ, который предложил Друде для определения $n\ и\ \varkappa $ основывается на свойствах света, отраженного от металла. Оптические особенности металла учитывает выражение:
При этом в формулах Френеля для металлов амплитуды отраженной и преломленной волн становятся комплексными (появляется разность фаз между составляющими отраженной (преломленной) и падающей волнами). Данное отличие в фазах отличается для компонент вектора напряженности электрического поля волны для плоскости падения и перпендикулярной к ней плоскости. Между взаимно перпендикулярными составляющими в отраженном (и преломленном) свете $E_$ и $E_$ появляется разность фаз. Что означает, если на поверхность металла падает плоско поляризованный свет, то отраженный свет будет эллиптически поляризован. При этом эксцентриситет и положение эллипса зависит от оптических свойств металла ($n\ и\ \varkappa $).
Метод Друде связал данные величины с данными об эллиптической поляризации и дает возможность определить оптические постоянные металла.
Задание: Пусть световая волна падает на металл перпендикулярно его поверхности. Найдите выражение для определения коэффициента отражения световой волны (r) (по интенсивности) от поверхности металла.
Для решения задачи используем соотношение:
Заменим показатель преломления $n$ на $n'=n\left(1-i\varkappa \right)$, то есть имеем:
Из выражения (2.2) имеем:
Из выражения (2.2), умножая это выражение на комплексно сопряженную величину $\left|r\right|e^_r>$получим:
7.4. Дисперсия в металлах
В металлах некоторые из электронов не связаны с каким-либо определенным атомом; это "свободные" электроны, ответственные за электрическую проводимость металла. В отличие от рассмотренных выше оптических электронов в атомах диэлектрика на свободные электроны не действует "квазиупругая" сила, привязывающая их к какому-то отдельному атому, но сила "трения" характеризующая сопротивление движению электрона, остается. Поэтому уравнение классической теории дисперсии и все следствия из него можно применить к свободным электронам, положив обусловленную квазиупругой силой собственную частоту w0 равной нулю.
Электроны проводимости участвуют в тепловом движении и все время изменяют свое положение. В результате оказывается, что действующее на них электрическое поле в среднем как раз равно макроскопическому полюКонстанта wP зависит от концентрации N свободных электронов и называется в данном случае плазменной частотой. Постоянную затухания g в (6) можно оценить, выразив ее через удельную проводимость металла для постоянного тока.
Формула (6) для показателя преломления в металлах предсказывает совершенно разный характер распространения волн в областях низких и высоких частот. При Низких частотах, когда со w N = c >> 1. Такие волны проникают в глубь металла на расстояние, которое много меньше длины волны в вакууме (скин-эффект). Коэффициент отражения R для них близок к единице, т. е. они практически полностью отражаются от поверхности.
В противоположном случае высоких частот, удовлетворяющих неравенству w >> g в формуле (6) можно пренебречь мнимым слагаемым 2IG по сравнению с wи для диэлектрической проницаемости получается вещественное выражение.
При высоких частотах характер дисперсионных явлений в металлах обусловлен инерцией свободных электронов: за промежуток времени между двумя актами рассеяния, который в среднем равен t = 1/2g электрон успевает совершить много вынужденных колебаний, так как при w >> g их период Т
Из формулы (7) видно, что плазменная частота wP имеет смысл своего рода критической частоты. При w < wP диэлектрическая проницаемость отрицательна, а показатель преломления чисто мнимый. Это значит, что волны с w < wP (но w >> g) не могут распространяться в металле из-за сильного затухания, причем это затухание не связано с поглощением (т. е. диссипацией) энергии. В самом деле, диэлектрическая проницаемость вещественна (а истинное поглощение происходит только при ImE ¹ 0) , да и выражение (7) для e(w) получается при пренебрежении диссипативным членом в уравнении движения электрона. Фактически при w < wP происходит полное отражение падающей волны от среды. При чисто мнимом показателе преломления коэффициент отражения равен единице.
При w > wP показатель преломления становится вещественным, а металл — прозрачным для излучения. Обычно плазменная частота у металлов попадает в область рентгеновских лучей, но для некоторых металлов область прозрачности начинается с ультрафиолетовых лучей. Например, у натрия длина волны, соответствующая граничной частоте wP составляет 210 нм, что хорошо согласуется с теоретической оценкой. Прозрачность щелочных металлов в ультрафиолетовой области спектра была обнаружена на опыте Вудом в 1943 г.
Для промежуточных частот (w » g) нужно пользоваться полным выражением (6), а не его предельными формами. В этом случае у показателя преломления отличны от нуля зависящие от частоты вещественная и мнимая части. Это значит, что волны разных частот при распространении в металле по-разному затухают. Очень тонкие слои металла прозрачны даже для видимого света. Например, тонкий слой золота, полученный напылением в вакууме на стеклянную подложку, пропускает видимый свет, но сильно поглощает инфракрасное излучение. Экспериментальные методы определения оптических констант металлов основаны на исследовании поляризации отраженного света.
Уравнения (6) или (7), описывающие дисперсию электромагнитных волн в среде со свободными электронами, в равной мере применимы к электронам проводимости в металлах и к свободным электронам в плазме, например, в ионосферной плазме. Полученные выше выражения (при надлежащих значениях N и g) можно использовать для объяснения характера распространения радиоволн в ионосфере Земли. Граничная частота здесь попадает в радиодиапазон, поэтому волны длиной порядка 10 м и более отражаются ионосферой, что широко используется для радиосвязи, тогда как ультракороткие (УКВ) свободно проходят сквозь нее. Это обстоятельство открывает возможность радиолокации Луны и планет и жизненно важно для радиоастрономии, использующей технику ультракоротких волн. Исследование частотной зависимости отражения радиоволн дает хороший метод изучения ионосферы, в частности определения N по критической частоте.
В случае очень высоких частот w ® ¥ диэлектрическая проницаемость e(w) любого вещества стремится к единице: при очень быстрых изменениях напряженности поля процессы поляризации не успевают происходить. Предельный вид функции e(w) при больших частотах, справедливый для любых тел (безразлично – металлов или диэлектриков), можно установить, рассматривая электроны вещества как свободные, пренебрегая их взаимодействием друг с другом и с ядрами атомов. Для этого частота w поля должна быть велика по сравнению с собственными частотами w электронов в атомах данного вещества. Пренебрегая w0 по сравнению с w, для e(w) получаем такое же выражение (7), как и в металлах:
С той разницей, что в N нужно понимать не концентрацию электронов проводимости, а полное число электронов в единице объема вещества. Область применимости этой формулы начинается от далекого ультрафиолета у самых легких элементов и от рентгеновских частот у более тяжелых элементов.
При частотах, соответствующих рентгеновскому излучению, перестает выполняться условие l >> A (A – среднее расстояние между атомами среды). Поэтому, строго говоря, макроскопическое описание поля здесь неприменимо и среду нельзя рассматривать как непрерывную. Нужно исходить из рассеяния рентгеновского излучения на отдельных электронах, распределенных в пространстве с некоторой плотностью N(X, Y, Z)). В кристаллах эта функция координат будет трехмерно периодической, отражая упорядоченное расположение атомов в узлах кристаллической решетки. Когда длина волны меньше пространственного периода решетки, при определенных условиях возможно появление волн, распространяющихся в направлениях, сильно отличающихся от направления падающей волны. Это явление подобно образованию дифракционных максимумов при попадании света на оптическую дифракционную решетку. Однако если интересоваться распространением рентгеновского излучения в веществе в направлении, близком к направлению падающей волны, то зависимость плотности числа электронов N(X, Y, Z) от координат становится несущественной и вместо нее можно рассматривать усредненную по объему величину N – полную концентрацию электронов. Поэтому для преломления на малые углы, несмотря на нарушение условия l >> A диэлектрическая проницаемость e(w) и показатель преломления N(w) сохраняют свой обычный смысл и для рентгеновского излучения.
Из приведенной формулы видно, что показатель преломления рентгеновских лучей меньше единицы, хотя и очень мало отличается от нее. Его можно измерить, наблюдая предельный угол полного отражения рентгеновских лучей при переходе из воздуха в среду. Для l = 0,1 нм в стекле N = 1 – 5×10–6.
Широкое применение рентгеновских лучей в медицине и в технике основано именно на том, что показатель преломления для них практически не отличается от единицы. Глубина проникновения рентгеновских лучей в металлах больше, чем для видимого света, но во многих других веществах она даже отдаленно не приближается к тем громадным глубинам проникновения, которых можно достичь в видимой или инфракрасной области. Прозрачная для видимого света атмосфера Земли полностью поглощает приходящее из космоса рентгеновское излучение (рентгеновская астрономия стала возможной только при выведении телескопов на спутниках за пределы атмосферы). Аналогично обстоит дело и в таких средах, как вода и стекло. Но видимый свет, для которого показатели преломления этих сред имеют значения около 1,5, чрезвычайно чувствителен к внутренним граничным поверхностям. В таких неоднородных средах, как, например, мышцы и другие ткани организма, происходит диффузное отражение света на многочисленных граничных поверхностях, разделяющих отдельные области, что делает эти среды непрозрачными для видимого света. Рентгеновские лучи, для которых во всех средах N » 1, как бы не замечают этих граничных поверхностей. Поэтому шапка мыльной пены совершенно не прозрачна для видимого света (дает на экране черную тень) и полностью прозрачна для рентгеновских лучей.
7.7. Отражение света от поверхности металлов
Особенности отражения света от металлической поверхности связаны с наличием в металле свободных электронов, ответственных за его электропроводность. Вынужденные колебания свободных электронов под действием поля падающей на границу металла Электромагнитной волны, происходящие в примыкающем к этой границе тонком слое, создают сильную отраженную волну. Её интенсивность может приближаться к интенсивности падающей волны. Вследствие большой плотности свободных электронов (около 1022 см-3) даже сравнительно тонкие слои металла отражают большую часть падающего на них света и поэтому практически непрозрачны в оптическом диапазоне. Благодаря высокой отражательной способности металлы играют важную роль в оптике: поверхности некоторых металлов служат прекрасными зеркалами.
Частичное проникновение света в металл создает токи проводимости. С ними связано выделение джоулевой теплоты, т. е. поглощение света — необратимое превращение электромагнитной энергии в энергию хаотического теплового движения. Чем выше проводимость металла, тем меньшая доля падающего света проникает в металл и поглощается там. В идеальном проводнике, которому формально соответствует бесконечно большая проводимость, потери на джоулеву теплоту вообще отсутствуют, так что падающий свет полностью отражается.
Отражение монохроматического света от поверхности металла, как и его распространение в поглощающей среде, можно рассмотреть на основе макроскопических уравнений Максвелла и материальных уравнений, в которых диэлектрическая проницаемость e(w) комплексна. Ее мнимая часть ответственна за поглощение света, т. е. описывает джоулевы потери. При использовании комплексной диэлектрической проницаемости уравнения Максвелла и вытекающие из них граничные условия для векторов электромагнитного поля формально принимают такой же вид, как и в прозрачной среде. Поэтому полученные выше законы отражения и преломления остаются в силе и для поглощающих сред, включая металлы, если входящий в них показатель преломления N считать комплексным: N(w) и c(w) полностью характеризуют оптические свойства поглощающей среды. Экспериментальные методы их определения основаны на изучении отраженного света. Измерение характеристик отраженного света позволяет как бы "заглянуть" внутрь металла и получить сведения о значениях N и c для массивного образца, несмотря на малую глубину проникновения зондирующего света.
Рассмотрим падающую (из вакуума или воздуха) на поверхность металла плоскую монохроматическую волну, волновой вектор которой и неоднородная волна, прошедшая в металл. Её волновой вектор комплексный:Отсюда прежде всего следует, что геометрический закон отражения от металлов такой же, как и для границы прозрачных сред. Для волны в металле из (1) получаем, что составляющая вектора направленная вдоль границы, вещественна: K2X = (w/C)sinj1. Поэтому вектор K2» (мнимая часть) перпендикулярен поверхности металла. Это значит, что плоскости равных амплитуд прошедшей волны параллельны границе. Вектор перпендикулярен плоскостям постоянных фаз и характеризует направление прошедшей волны. Угол j2, который он образует с нормалью к границе, называется вещественным углом преломления. Отношение синусов угла падения и вещественного угла преломления sinj1/sinj2 зависит от угла падения в отличие от преломления на границе прозрачной среды, где sinj1/sinj2 = Const.
Формулы Френеля остаются в силе и для волн, отраженных от поверхности металла, если в них рассматривать cosj2, как комплексную величину, определяемую законом преломленияВ случае комплексного показателя преломления отношения амплитуд отраженных волн к амплитудам падающих вычисляемые по формулам Френеля для каждой из двух поляризаций, также комплексные:
В общем случае d^ ¹ d||, Поэтому при линейной поляризации падающего света между двумя компонентами отраженной волны появляется сдвиг фаз, приводящий к эллиптической поляризации отраженного света. Отраженный свет остается линейно поляризованным, если падающий поляризован в плоскости падения или в перпендикулярном направлении. При произвольном направлении линейной поляризации падающего света отраженный остается линейно поляризованным при нормальном (j1 = 0) и при скользящем (j1 = p/2) падении. В этих случаях направление поляризации в пространстве остается неизменным.
Измерение эллиптической поляризации света, отраженного от поверхности металла при наклонном падении линейно поляризованного света, лежит в основе предложенного Друде экспериментального метода определения оптических характеристик N и c металла. Теория связывает N и c с эксцентриситетом и положением осей эллипса колебаний. По данным измерений этих величин можно рассчитать N и c. Наибольшая чувствительность метода (и одновременное упрощение расчетных формул) достигается при определенном угле падения (главном угле падения, играющем при отражении от поглощающих сред ту же роль, что и угол Брюстера при отражении от прозрачных сред). В большинстве случаев он лежит вблизи 70°. Для этого угла отраженный свет имеет круговую поляризацию, если соответствующим образом подобрать направление поляризации падающего света.
Информацию об оптических характеристиках металла можно получить не только из измерений состояния поляризации отраженного света, но и из сравнения интенсивностей отраженного и падающего света. Рассмотрим нормальное падение света на поверхность металла. В этом случае для амплитуды отраженной волны можно воспользоваться формулой
E10 = E00(N1 – N2)/(N1 + N2) (2)
Подставив в нее N1 = 1, N2 = N + IC получим
Отсюда, умножая (3) на комплексно-сопряженную величинуУ металлов слагаемое c2 в числителе и знаменателе этой формулы часто значительно больше другого слагаемого. Тогда значение R близко к единице, т. е. почти вся энергия падающего света отражается. В видимой области натрий отражает свыше 97%, серебро – 95%, света, падающего на чистую поверхность.
Волновой вектор прошедшей в металл волны при нормальном падении имеет только Z-составляющую, которая находится как
В этом случае поверхности равных фаз и равных амплитуд параллельны границе. Амплитуда волны на границе находится по формуле: E20 = 2E00/(1+N+IC). Таким образом, для напряженности электрического поля волны в металле получаем
Амплитуда волны уменьшается вглубь металла по закону L–Z/E, где L = C/(cw) = l0/2NC характеризует глубину проникновения (толщину скин-слоя); l0 – длина волны падающего излучения в вакууме. При c = 1, в слое толщиной в одну длину волны амплитуда уменьшается в E2p раз, а интенсивность уменьшается в e4p » 3×105 раз. Для большинства металлов при измерениях в видимой области значение c лежит между 2 и 5. В инфракрасной области значение еще больше: у серебра c = 40 при l = 6 мкм. Эти цифры дают представление о том, насколько мала глубина проникновения света в металл.
Определяемые экспериментально значения оптических характеристик металлов не отличаются высокой точностью. Воспроизводимость измеряемых значений N и c в пределах нескольких процентов считается удовлетворительной. Причина этого связана с тем, что в случае сильно поглощающих сред, таких, как металлы, все процессы происходят в тонких слоях (~10–4 мм) вблизи поверхности. Поверхностные слои не защищены от внешних воздействий, их свойства изменяются со временем и зависят от способа обработки поверхности. Образование переходных слоев на поверхности при ее обработке может внести заметные искажения в результаты измерений, когда толщина их сравнима с глубиной P проникновения.
Последовательный теоретический расчет оптических характеристик металлов N(w) и c(w) возможен только в рамках квантовой теории дисперсии. Основанная на упрощенных модельных представлениях классическая теория дисперсии в металлах, сводится к следующему.
Волновая оптика. Физика атома. Ядерная физика, элементарные частицы.
Волновая оптика это раздел оптики, изучающий явления, в которых проявляются волновые свойства света: интерференция, дифракция, поляризация, дисперсия света и другие, связанные с ними явления. Классическая волновая оптика рассматривает свет как поток электромагнитных волн и основывается на теории электромагнитных волн, разработанной Максвеллом в семидесятых годах девятнадцатого столетия. C ветовые волны по всем своим признакам идентичны с электромагнитными волнами и видимый свет занимает интервал длин волн от 400 нм до 760 нм или частот от 4·10 14 до 7,6·10 14 с -1 в шкале электромагнитных волн . Другим наиболее весомым доводом для установления электромагнитной природы световых волн послужило установление равенства скорости распространения световых и электромагнитных волн в пустоте, которая выражается через магнитную и электростатическую постоянные
Световая волна, как и любая другая электромагнитная волна, состоит из двух взаимосвязанных полей – электрического и магнитного, – векторы напряженности которых и колеблются в одинаковых фазах и во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис.1 ).
Они выражаются уравнениями
Опыт показывает, что электрическое и магнитное поля в электромагнитной волне не равноценны. Физиологическое, биологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света вызываются, в основном, электрическим полем световой волны. В соответствии с этим вектор электрического поля световой волны принято называть световым вектором. Это значит, что при рассмотрении различных явлений в световой волне учитываются колебания только вектора .
Фазовая скорость световых волн в веществе связана со скоростью распространения в вакууме соотношением
Откуда следует, что показатель преломления среды выражается через магнитную и диэлектрическую проницаемости . Для всех прозрачных веществ , поэтому . Эта формула связывает оптические и электрические свойства вещества.
Монохроматичность и когерентность световых волн . Понятие монохроматической волны подразумевает неограниченную в пространстве волну, характеризуемую единственной и строго постоянной частотой. Близкую к такому определению монохроматичности световую волну могут давать лазеры, работающие в непрерывном режиме. Однако другие реальные источники света не могут излучать такую волну. Излучение таких источников имеет прерывистый характер. Прерывание волн уже приводит к их немонохроматичности. Поэтому понятие монохроматичности световых волн имеет ограниченный смысл. С понятием монохроматичности тесно связано также понятие когерентности волн, означающее согласованность колебаний светового вектора во времени и пространстве в двух или нескольких световых волнах. Когерентными волнами являются волны, имеющие одинаковую частоту и постоянную во времени и в пространстве разность фаз.
Причина отсутствия монохроматичности и когерентности света обычных источников света заключается в самом механизме испускания света атомами или молекулами источника. Продолжительность возбужденного состояния атомов, т.е. продолжительность процесса излучения света, равна τ ≈10 -8 с. За этот промежуток времени возбужденный атом, излучив световую волну, вернется в нормальное состояние и, спустя некоторое время, возбудившись вновь, может излучать световую волну с новой начальной фазой, т.е. фазы этих волн изменяются при каждом новом акте излучения. Поскольку возбуждение атомов является случайным явлением, то и разность фаз двух последовательных волн, испущенных атомом, будет случайным, они не будут когерентными. Сказанное можно отнести и к излучению двух разных атомов вещества, так как их можно рассматривать как два независимых источника света. Отсюда следует, что волны, испускаемые атомами вещества, будут когерентными только в течение интервала времени ≈10 -8 с. Совокупность волн, испущенных атомами за такой промежуток времени называется цугом волн. Значит, когерентны только волны, принадлежащие одному цугу волн. Средняя продолжительность одного цуга волн называется временем когерентности . За время когерентности волна проходит путь , эта величина является длиной когерентности (длиной цуга волн).
Коэффициент отражения света металлами
Мы видели, что основные уравнения, описывающие распространение плоской гармонической волны в проводящей среде, отличаются от соответствующих уравнений для прозрачного диэлектрика лишь тем, что вещественные постоянные заменяются на комплексные . Отсюда следует, что формулы, полученные в гл. 1, применимы и в данном случае, поскольку они содержат лишь линейные соотношения между компонентами векторов поля плоских монохроматических волн. В частности, остаются справедливыми граничные условия для распространения волны через поверхность раздела, а, следовательно, также формулы, приведенные в § 1.5 и относящиеся к преломлению и отражению.
Рассмотрим вначале распространение плоской волны из диэлектрика в проводник, причем обе среды будем считать бесконечными, а за поверхность раздала между ними выберем плоскость По аналогии с (1.5.8) закон преломления можно записать в виде
Так как — комплексно, то комплексным окажется и . Таким образом, эта величина уже не имеет простого смысла утла преломления.
Выберем в качестве плоскости падения плоскость Тогда зависящая от координат часть фазы волны в проводнике определится выражением где (см. (1.5.4))
Из (1) и (2) и (13.1.15) имеем
Удобно выразить в форме
(q, у вещественны). Можно сразу же выразить q и у через если возвести в квадрат соотношения (36) и (4) и приравнять отдельно вещественные и мнимые части.
Отсюда следует, что
Мы видим, что поверхности постоянной амплитуды определяются уравнением
и поэтому являются плоскостями, параллельными поверхности раздела. Поверхности постоянной вещественной фазы определяются уравнением
и являются плоскостями, нормали которых образуют угол с нормалью к границе, причем
В общем случае поверхности постоянной амплитуды и поверхности постоянной фазы совпадают друг с другом, и поэтому волна в металле оказывается неоднородной.
Если квадратный корень в (9) обозначить Через , то уравнение для можно переписать в виде , т. е. в форме закона Снеллиуса. Однако здесь зависит не только от величин, характеризующих среду, но и от угла падения .
Подставляя комплексное значение для из (1) в формулы Френеля (см. п. 1.5.2), легко также получить выражения для амплитуд и фаз преломленной и отраженной волн явном виде они будут приведены в п. 13.4.1 при изложении теории слоистых проводящих сред. Здесь мы покажем, как можно получить оптические постоянные металла из наблюдений отраженной волны.
Так как, по предположению, первой средой служит диэлектрик, то отраженная волна будет обычной (однородной) волной с веществьнной фазой. Как и в (1.5.21а), компоненты амплитуды падающей волны и соответствующие компоненты отраженной волны и связаны соотношениями
Поскольку угол комплексный, то комплексны и отношения в и с при отражении происходят характерные изменения фазы Таким образом, падающий линеипо поляризованный свет при отражении от поверхности металла в общем случае становится эллиптически поляризованным
Пусть — фазы, а — абсолютные значения коэффициентов отражения, т. е.
Предположим, что падающий свет линейно поляризован и азимутальный угол равен а, т. е.
и пусть — азимутальный угол (обычно комплексный) для отраженного
Заметим, что величина вещественна в следующих двух случаях:
1. При нормальном падении тогда так что
2. При скользящем падении тогда так что
Необходимо напомнить, что в случае нормального падения направления падающего и отраженного лучей противоположны, таким образом, отрицательная величина означает, что направление поляризации линейно поляризованного света не изменяется в пространстве. Оно меняется и при скользящем падения.
Между двумя только что рассмотренными экстремальными углами существует так называемый главный угол падения для которого При этом угле линейно поляризованный свет в общем случае превращается после отражения в эллиптически поляризованный свет, но, как легко видеть из (1.4 316) (для одна из осей эллипса поляризации параллельна, а другая перпендикулярна к плоскости падения Если, кроме того, то, согласно (13), и отраженный свет поляризован по кругу.
Рис. 13.1 Эллипс поляризации для света, отраженного от металла при главном угле падения.
Предположим, что на металл падает линейно поляризованный свет, и между вводится с помощью подходящего компенсатора (см п. 14.4.2) дополнительная разность фаз Если полная разность фаз равна нулю, то, согласно (13), отраженный свет линейно поляризован с азимутом определяемым из соотношения
По очевидным причинам угол называется углом восстановленной поляризации, хотя его обычно определяют только для падающего света, линейно поляризованного с азимутом Значения и Я, относящиеся к главному падения обозначим соответственно через и Р. Если мы представим, что вокруг эллипса поляризации отраженного света, падающего под главным углом (дополнительная компенсация отсутствует), описан прямоугольник, стороны которого параллельны и перпендикулярны плоскости падения, то отношение его сторон составляет а угол между диагональю и плоскостью падения равен (рис. 13.1).
Для дальнейшего полезно ввести такой угол что
значение соответствующее главному углу падения, обозначим через
Используя (1) и (10) и зная постоянные металла , легко найти зависимость величины от . На рис. 13.2, а она показана для типичного случая. На рис. 13.2, б для сравнения приведены аналогичные кривые,
относящиеся к случаю отражения от прозрачного диэлектрика. Для света, отраженного от поверхности металла, отсутствует тот резкий скачок А от —я до 0, который происходит при отражении света под углом Брюстера от прозрачного диэлектрика. Отсутствует также острый максимум равный бесконечности, и кривая для металла оказывается довольно гладкой и имеет сравнительно широкий максимум. Угол падения, при котором достигается это максимум, иногда называют углом наибольшой поляризации. Он очень близок к главному углу падения . Обычно доп ускают, что указанный максимум находится точно при , Это предположение почти всегда оправдывается, если что обычно и наблюдается (см. ниже табл. 13.2). Однако в общем случае эти два угла различны. Например, для серебра при длине волны 3280 А величина мала; тогда как максимум приблизительно соответствует
Рис. 13.2. Величины характеризующие изменение состояния поляризации света при отражении от типичного металла (а) и прозрачного диэлектрика (б).
Вообще говоря, проблема заключается не в том, чтобы найти по известным значениям а чтобы определить и к из экспериментально наблюдаемых амплитуды и фазы света, отраженного от металла.
Так как все величины и А являются функциями , а также , то измерение любых двух из них для какого-то значения угла падения
0, позволит, вообще говоря, найти и к. Во многих экспериментах определяют последние две из этого ряда величин, и поэтому мы выведем фундаментальные зависимости от . Из (1) и (13) имеем
Так как левую часть уравнения (17) можно привести к виду
Из (17) и (18) имеем
В видимой области спектра обычно
и поэтому величиной можно пренебречь по сравнению с . Тогда
Приравнивая вещественные части, найдем
Приравнивая мнимые части и используя (22а), получим
Эти выражения дают возможность рассчитать оптические постоянные пик по измеренным значениям при любом угле падения, В частном случае,
если измерения проводятся при главном угле падения , то и уравнения (22а) и (22б) переходят в
Иногда оказываются полезными и другие соотношения для пик. Без использования условия (20) найдсм, возводя в квадрат (19),
и приравнять отдельно вещественную и мнимую части, то мы получим
В частности, при главном угле падения эти уравнения принимают вид
Формулы (25) дают не , а комбинации Обращаясь к (13.1.16), мы видим, что эти величины имеют простой физический смысл. При (что всегда справедливо в оптическом диапазоне) — диэлектрическая постоянная, а — отношение проводимости к частоте. Из значений этих величин и, в частности, из их дисперсии можно получить информацию о структуре металлов (см. ниже, § 13.3).
До сих пор наш анализ относился к амплитудам компонент отраженного света, но, как мы вскоре увидим, можно получить полезную информацию и из сравнения интенсивностей отраженного и падающего света, особенно при больших длинах воли. Для нормального падения различие между исчезает, плоскость падения становится неопределенной, и можно написать
Если использовать (1) и (10) (или заменить на в (1.5.23)), то мы получим
Оптические постоянные многих металлов определялись с помощью измерений в отраженном свете. В табл. 13.2 приведены значения постоянных, найденные различными исследователями для длины волны, соответствующей желтой области видимого спектра. Металлы расположены в порядке убывания их отражательной способности Отметим, что во всех случаях и поэтому, согласно (13.1.16а), , следовательно, к отрицательны (поскольку в оптическом диапазоне На первый взгляд представляется, что отрицательной диэлектрической проницаемости нельзя приписать физический смысл.
Позже мы покажем, что это не так и что отрицательное значение можно объяснить, исходя из некоторых простых предположений об электронном механизме проводимости. Из табл. 13.2 может показаться, что значения всегда связаны с высокой отражательной способностью, однако это не является общим правилом.
Таблица 13.2. (см. скан) Оптические постоянные металлов для длины волны (Р-линия натрия) [7]
Значения, указанные в табл. 13.2, не согласуются с формулами (13.1.160) пли (13.1.24). Нацример, для меди так что для света с длиной волны тогда как, согласно таблице, Кроме того, изучение зависимости оптических постоянных от частоты показывает значительно более сложное поведение, чем предсказанное нашей формулой (см. ниже, рис. 13.3). Таким образом, необходимо сделать заключение, что наша теория не адекватна, когда ока применяется к излучению в видимой области электромагнитного спектра. Это расхождение между теорией и экспериментом, по-видимому, не так удивительно, если вспомнить, что даже для прозрачных сред соотношение, связывающее материальные постоянные с показателем преломления (соотношение Максвелла имеет ограниченную применимость. Объяснение аналогично данному ранее: мы не находим подтверждения предположению, что являются действительно постоянными и должны рассматривать их как функции частоты; следовательно, и показатель преломления, и показатель поглощения также будут зависеть от частоты. Единственное различие в механизме дисперсии заключается в том, что в прозрачной среде дисперсия связана с вынужденными колебаниями связанных электронов, тогда как в металле она связана с вынужденными колебаниями свободных электронов. Мы подробно обсудим это в § 13.3; здесь отметим лишь, что если интерпретировать как статическую диэлектрическую проницаемость и а — как статическую проводимость, то можно ожидать, что
наша теория окажется справедливой только для достаточно медленных колебаний (длинных волн). Хаген и Рубенс 181 показали, что для инфракрасного излучения с длиной волны см отражательная способность, рассчитанная по данным о статической проводимости, находится в хорошем согласии с экспериментом.
Если подставить из (13.1.24) в уравнение (28), оно примет вид (считается, что )
Когда достаточно мало, можно пренебречь единицей по сравнению с другими членами и разложить (29) в ряд по степеням Тогда мы получим
Хаген и Рубенс нашли, что при см для меди тогда как использование в (30) статической электрической проводимости дает
При увеличении длины волны величина 91 становится почти равной единице, так что трудно измерить достаточной точностью. Однако Хаген и Рубенс получили полезные оценки косвенным методом. Согласно закону Кирхгофа для теплового излучения отношение излучателыюй способности к поглощательной способности какого-либо тела зависит лишь от частаты излучения и температуры Т этого тела, но не от его природы, т. е.
Здесь — универсальная функция и Т. Очевидно, К равно излучательной способности тела, поглощательная способность которого равна единице (так называемое абсолютно черное тело). Рассмотрим металлический образец такой толщины, что вся энергия падающего излучения, которая не отражается, поглощается внутри образца. Тогда (32) и из (30), (31) и (32) получим
Правая часть последнего уравнения не зависит от природы металла. Это хорошо известная функция и Т, причем функция точно известна и из эксперимента, и из теории и выражается знаменитой формулой Планка.
Отсюда следует, что справедливость формулы (30) можно проверить даже тогда, когда отражательная способность 91 очень близка к единице. Определяя проводимость а и излучательную способность в зависимости от частоты и температуры, легко установить, удовлетворяет ли произведение уравнению (34). Хаген и Рубенс, используя так называемые остаточные лучи, подтвердили справедливость уравнения (34) для длинного инфракрасного излучения. Остаточные лучи — это лучи, которые остаются из всего широкого
спектрального интервала после ряда отражений от определенных кристаллов, например флуорита, каменной соли или сильвина. Указанные вещества обладают резко выраженными максимумами поглощения в спектральной области от до , следовательно, высоким селективным отражением для таких длин волн.
Рис. 13.3. Зависимость оптических постоянных серебра от длины волны. — теоретическая кривая - экспериментальная кривая — экспериментальная масштаб
На рис. 13.3 приведены экспериментальные кривые, иллюстрирующие зависимость от длины волны для серебра. Для сравнения показана также теоретическая кривая, рассчитанная по формуле (13.1 24). Здесь принят логарифмический масштаб, и поэтому теоретический график имеет вид прямой
где Воспользовавшись и (30), можно также выразить через отражательную способность (для длинных волн) в виде
График функции также приведен для сравнения на рисунке. Мы видим, что экспериментальная кривая для имеет резкий минимум вблизи , а кривая для — значительно более плоский минимум вблизи области отражательная способность серебра очень мала.
При увеличении длины волны экспериментальные кривые приближаются к теоретической кривой, рассчитанной по измеренной электропроводности.
Читайте также: