Энергия волны в металле
Электромагнитные волны могут вызывать разные эффекты, например, вызывать отклонение стрелки гальванометра, который соединен с детектором, накаливать нить лампы, включенной в диполь. Это все говорит о том, что электромагнитные волны переносят энергию.
К энергетическим характеристика электромагнитной волны отнесем:
- Энергию волны.
- Объемную плотность энергии.
- Вектор потока электромагнитной энергии.
- Интенсивность.
Энергия электромагнитных волн
Предположим, что в поле электромагнитной волны расположена площадка $S$ (рис.1).
Рисунок 1. Площадка, расположенная в поле электромагнитной волны. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Определим, какая энергия ($W$) переносится электромагнитной волной сквозь эту площадку за малое время ∆t. Построим на основании площадки $S$ параллелепипед, с ребрами параллельными скорости перемещения волны $\vec$. Пусть длины ребер параллелепипеда будут равны $v\Delta<>t$. Объем выделенного параллелепипеда будет:
где α – угол между нормалью к площадке $S$ и направлением вектора скорости движения волны. Поскольку за время $\Delta<>t$ волна пробегает расстояние $v\Delta<>t$, то через выделенную нами площадь пройдет искомая нами энергия $W$, которая заключена внутри параллелепипеда.
где $w $ – объемная плотность энергии.
Электромагнитная волна имеет две составляющие, которые обладают энергией – это переменное электрическое и магнитное поля, поэтому объемную плотность нашей волны мы запишем как:
Готовые работы на аналогичную тему
Мы знаем, что напряженности полей в электромагнитной волне связывает уравнение:
откуда следует, что мы можем написать:
Принимая во внимание, что скорость распространения электромагнитной волны в веществе можно представить как:
учитывая формулу (5) из выражения (2) следует, что искомая энергия равна:
Вектор потока электромагнитной энергии
Энергия, которая проходит сквозь площадку $S$ за единицу времени равна:
где $ P_n=P\cos>$ – вектора $\vec$ на направление нормали к площадке.
$\vec$ - вектор потока электромагнитной энергии или вектор Умова – Пойнтинга.
Поток электромагнитной энергии определяют как вектор, перпендикулярный $\vec$ ⃗и $\vec$, совпадающий по направлению с вектором скорости движения волны, равный: $$\vec=\left[\vec\vec\right]\left(9\right).$$
Так, распространение энергии в электромагнитном поле можно характеризовать с помощью потока энергии (вектора Умова - Пойнтинга). Направление данного вектора указывает направление движения энергии.
Если представить себе линии, касательные к которым в любой точке совпадают с направление вектора $\vec$, то получим линии вектора потока энергии, указывающие пути, по которым распространяется энергия, рассматриваемого нами поля. С другой стороны, в оптике, линии по которым перемещается энергия, называют лучами. Поскольку видимый свет – это электромагнитные волны, то лучи света – это линии вектора потока энергии этих волн.
Интенсивность
Интенсивностью электромагнитной волны ($I$) считают скалярную физическую величину, равную энергии, которую переносит электромагнитная волна в единицу времени через единичную площадку поверхности, нормальной к направлению по которому эта волна распространяется.
Из определения 1 следует, что величина интенсивности связана с модулем вектора Умова – Пойнтинга.
Выражение (10) означает, что интенсивность электромагнитной волны равна средней по времени величине модуля вектора Умова – Пойнтинга.
Учитывая формулу (9) можно сказать, что:
интенсивность электромагнитной волны можно найти как среднюю величину произведения модулей векторов напряженностей полей.
Интенсивность плоской электромагнитной волны
Допустим, что плоская монохроматическая волна распространяется в вакууме по оси X. Это означает, что напряженности этой волны можно записать при помощи уравнений:
Мгновенная величина вектора Умова – Пойнтинга равна:
От полученной в (13) величины мы должны взять среднее по времени:
Наша волна распространяется в вакууме ($\epsilon<>=1;\ \mu<>=1$) и
Выражение (16) показывает, что интенсивность плоской, линейно поляризованной волны пропорциональна квадрату амплитуды напряженности поля.
- Для произвольной плоской волны в однородной среде при отсутствии поглощения интенсивность электромагнитной волны постоянна.
- В стоячей электромагнитной волне интенсивность равна нулю.
- Для сферической электромагнитной волны в среде без поглощения интенсивность волны изменяется только в зависимости от расстояния от ее центра ($r$) и можно считать, что:
Интенсивность электромагнитной волны, втекающей в поверхность проводника с постоянным током
Допустим, что у нас имеется длинный цилиндрический проводник радиуса $r$ плотность постоянного тока в котором $j$ (рис.2).
Рисунок 2. Проводник. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
При этом электрическое и магнитное поля имеют направления, указанные на рисунке, следовательно, вектор Умова – Пойнтинга направлен внутрь проводника, нормально к его боковой поверхности. Это говорит нам о том, что энергия постоянно втекает в проводник из окружающей его среды.
Согласно закону Ома:
где $\rho<>$ – удельная плотность проводника.
Напряженность магнитного поля у поверхности длинного прямого проводника:
Модуль вектора Умова - Пойнтинга равен:
Мы получили, что интенсивность электромагнитной волны:
Указанный выше пример говорит о том, что электромагнитная энергия входит в проводник через его боковую поверхность, а не по оси.
Энергия волны в металле
Тот факт, что внешнее переменное электромагнитное поле не проникает в глубь металла, означает, другими словами, что в металле невозможно распространение незатухающих электромагнитных волн с частотами вплоть до плазменной частоты,
Ситуация, однако, радикально меняется при наличии постоянного магнитного поля В. Магнитное поле меняет характер движения электронов и тем самым оказывает сильное влияние на электромагнитные свойства металла. При этом существенно, что движение становится финитным в плоскости, перпендикулярной полю. В сильных полях, когда ларморовский радиус орбиты становится малым по сравнению с длиной пробега,
(или, что то же самое, где — ларморовская частота, — время свободного пробега), электрическая проводимость в поперечных к полю направлениях резко уменьшается, стремясь к нулю при Можно сказать, что в этих направлениях металл ведет себя как диэлектрик, в результате чего уменьшается диссипация энергии в волнах с электрическим полем, поляризованным в плоскости, перпендикулярной В. Другими словами, становится возможным распространение таких волн как незатухающего (в первом приближении) процесса.
При этом допустимые частоты волн ограничены условием
лишь при этом условии траектории электронов успевают заметно искривиться за время периода поля, что и приводит к изменению электромагнитных свойств металла по отношению к этим частотам.
Финитность движения электрона (в плоскости, перпендикулярной В) предполагает и финитность его импульсной траектории сечения ферми-поверхности. Поэтому сказанное выше относится к металлам с закрытыми ферми-поверхностями при любом направлении , а к металлам с открытыми поверхностями — лишь при тех направлениях В, для которых сечения замкнуты. При открытых сечениях движение электронов в магнитном поле остается инфинитным, Проводимость не убывает и распространение электромагнитных волн в соответствующих направлениях оказывается невозможным.
Незатухающие электромагнитные волны в металле можно рассматривать как бозевские ветви энергетического спектра электронной ферми-жидкости. Макроскопический характер этих волн проявляется в большой (по сравнению с постоянной решетки) величине длин волн. По этой причине этим возбуждениям отвечает лишь относительно очень малый фазовый объем и их вклад в термодинамические величины металла пренебрежим. Напишем снова уравнения Максвелла
где через В обозначено (в отличие от постоянного В) переменное слабое магнитное поле волны. Исключим В из этих уравнений:
Для монохроматической плоской волны имеем отсюда
Выразим поле Е через ток согласно , где — тензор удельного сопротивления. Тогда получим систему однородных линейных уравнений
Ее определитель и дает уравнение, определяющее закон дисперсии волн.
В §§ 84, 85 был найден вид тензора проводимости металла (в области его остаточного сопротивления) в сильном магнитном поле в стационарном случае. Выясним теперь, каким образом эти результаты должны быть изменены для нестационарного случая.
Временная и пространственная периодичность электрического поля (а с ним и переменной части функции распределения электронов) приводит к появлению в левой стороне кинетического уравнения членов
(ср. (74,25)). Аналогично (84,7), представим функции в виде
Согласно (74,21), функции h и g связаны друг с другом линейным интегральным соотношением
Таким образом, кинетическое уравнение примет вид
Оно отличается от прежнего уравнения (84,10) заменой члена выражением, стоящим здесь в квадратных скобках. Это выражение зависит теперь не только от характера рассеяния электронов на примесных атомах, но и от функции их взаимодействия друг с другом.
В силу условия член в уравнении (88,6) мал по сравнению с членом как он был мал и в прежнем уравнении (84,10). В силу условия мал также и член Наложим еще условие на волновой вектор: т. е.
— длина волны должна быть велика по сравнению с ларморовским радиусом. Тогда будет мал и последний член в квадратных скобках в (88,6). В этих условиях развитый в § 84 метод решения кинетического уравнения последовательными приближениями остается в силе, а с ним остаются справедливыми и полученные там результаты для первых членов разложения тензора проводимости по степеням
Но ввиду присутствия в уравнении (88,6) будет, вообще говоря, иметься частотная и пространственная дисперсия проводимости.
Наличие нескольких характерных параметров длины и времени и разнообразие геометрических свойств ферми-поверхностей приводят к многообразию явлений, связанных с распространением электромагнитных волн в металлах. Мы ограничимся рассмотрением (в этом и следующем параграфах) лишь некоторых характерных случаев.
Рассмотрим некомпенсированный металл с закрытой ферми-поверхностью. Согласно (85,4-5), наибольшей из компонент тензора сопротивления является
она относится к бездиссипативной (антиэрмитовой) части тензора. Эта компонента вообще не зависела от вида интеграла столкновений, а потому не зависит и от вида выражения в квадратных скобках в уравнении (88,6). Формула (88,8) остается, следовательно, справедливой и в поле волны.
Описание среды с помощью тензора сопротивления (или проводимости ) эквивалентно описанию тензором диэлектрической проницаемости
В данном случае тензор имеет лишь компоненты
Это выражение совпадает с рассмотренным в § 56 в связи с геликоидальными волнами в плазме (отличаясь от него лишь заменой электронной плотности на разность ). Поэтому полученные в § 56 результаты прямо переносятся и на рассматриваемые волны в металле, которые тоже называют геликоидальными
Закон дисперсии этих волн:
где — угол между k и В. Электрическое поле волны эллиптически поляризовано в плоскости, перпендикулярной магнитному полю В.
Выбрав (как и в § 56) направление В в качестве оси а плоскость проходящей через направления к и В, будем иметь для электрического поля:
1. В диэлектриках электромагнитные волны распространяются без затухания, в хороших же проводниках — металлах — электромагнитные волны затухают настолько быстро, что даже тонкие слои металлов оказываются непрозрачными для волн. Объясняется это, конечно, тем, что энергия волны переходит по мере ее распространения в джоулево тепло, выделяемое возбуждаемыми полем волны токами проводимости.
Покажем, прежде всего, что распространение волн в однородном проводнике не связано с возникновением в нем свободных электрических зарядов. Внося в уравнение непрерывности выражение (V) для плотности тока и предполагая, что сторонние электродвижущие силы в проводнике отсутствуют, получаем
Решение этого дифференциального уравнения есть
где произвольная постоянная.
Следовательно, если даже каким-либо образом внести в проводник свободные объемные заряды, то плотность этих зарядов спадет с течением времени по экспоненциальному закону до нуля; чем больше электропроводность тем быстрее произойдет это рассасывание зарядов. Электромагнитное поле вообще не может создать в проводнике объемных свободных зарядов, ибо если в момент то, согласно (102.1), оно останется равным нулю и во все последующее время.
2. Рассмотрим монохроматическую волну частоты в металле, т. е. положим
Внося эти выражения в уравнения Максвелла воспользовавшись уравнениями (V) и полагая, согласно (102.1), получаем после сокращения на
Эти уравнения отличаются от соответствующих уравнений в диэлектриках только тем, что в первом из них множитель заменяется множителем Иными словами, эти уравнения совпадут с уравнениями волны в диэлектрике, если в последних заменить на
Таким образом, в отношении распространения монохроматических волн проводник эквивалентен диэлектрику с комплексной диэлектрической проницаемостью Поэтому при рассмотрении волн в металле мы можем непосредственно воспользоваться результатами, полученными в § 100 и 101 для волн в диэлектриках, произведя в формулах этих параграфов замену на
Так, например, волновое (комплексное) число к определится в соответствии с (100.4) формулой
Целесообразно разложить к на действительную и мнимую части:
Мы условимся брать для положительные корни этих уравнений. В соответствии с (102.4) и (100.5) поле плоской монохроматической волны в проводнике, распространяющейся вдоль оси z, выражается формулами
Таким образом, комплексность волнового числа к соответствует наличию поглощения: амплитуда волны экспоненциально спадает по мере ее распространения. При мнимая часть волнового числа к обращается в нуль, и затухание волн прекращается.
В соответствии с (100.9) векторы волны в проводнике взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему; однако векторы обладают в проводнике различными фазами, а не одинаковыми, как в диэлектрике. Действительно, заменив в формуле на получим
Так как множитель комплексен, то фаза вектора отлична от фазы Подробнее об этом см. в § 103.
3. В § 90, посвященном скин-эффекту, мы тоже изучали периодическое поле в проводнике с тем единственным отличием от нашего теперешнего рассмотрения, что в § 90 мы пренебрегали токами смещения в проводнике по сравнению с токами проводимости. Так как, согласно § 88, токи смещения в металлах малы по сравнению с токами проводимости вплоть до частот, соответствующих инфракрасной части спектра
то результаты настоящего параграфа должны при меньших частотах лишь незначительно отличаться от результатов § 90.
Действительно, разрешая уравнения (102.4) относительно получаем
Как указывалось в § 88, в металлах т. е. вплоть до поэтому даже в случае световых волн можно в (102.6) пренебречь единицей по сравнению с Таким образом, с достаточной степенью точности
что совпадает с выражением (90.5) для . Таким образом, (102.5) практически совпадает с ранее найденным выражением (90.6) для электрического вектора волны в металле.
Как отмечалось в § 90, глубина проникновения волны в металл определяется величиной
ибо амплитуда волны спадает на этой глубине в раз по сравнению с амплитудой на поверхности. Так как, согласно (100.7), длина волны, которую мы на этот раз для отличия от проводимости А обозначим через I, равна и так как то
Таким образом, на отрезке 5 откладывается только 1/6 часть длины волны, т. е. никакой пространственной периодичности поля волны в металле нет. В качестве иллюстрации приведем следующую табличку глубины проникновения в медь полей различной частоты в этой табличке означает длину соответствующей волны в вакууме:
4. Явления отражения света от металлической поверхности гораздо сложнее, чем отражение на границе диэлектриков; так, например, линейно поляризованная волна при отражении от металла становится эллиптически поляризованной (если угол падения не равен 90°). Мы ограничимся рассмотрением простейшего
случая нормального падения плоской монохроматической волны из вакуума на поверхность металла.
При решении этой задачи мы можем воспользоваться результатами § 101. Полагая, как и в § 101, что проницаемость среды равна единице и, кроме того, что металл граничит с вакуумом, мы должны будем в формулах § 101 заменить на 1, а на В частности, показатель преломления металла относительно вакуума, согласно (101.9), окажется равным
т. е. будет иметь комплексное значение. Амплитуды электрического вектора отраженной и преломленной волн при нормальном падении волны на металл определяется формулой (101.10):
Полагая в формулах § 101 и получим
Действительная часть этих комплексных выражений равна
где углы должны быть определены из соотношений
причем, например, означает модуль комплексной величины Таким образом, ввиду комплексности фазы отраженной и преломленной волн не будут, как это имеет место в диэлектриках, совпадать на границе раздела с фазой падающей волны, а будут сдвинуты относительно нее соответственно на углы
В соответствии с (101.11) и (101.13) средние за период плотности потока энергии в падающей и отраженной волне и коэффициент отражения будут равны
Так как А для металлов порядка то вплоть до частот видимого света; стало быть, согласно (102.2) и (102.9), модуль также гораздо больше единицы.
Поэтому коэффициент отражения металлических поверхностей близок к единице. Так, например, даже для желтой линии натрия равно 0,95 для и т. д.
Теорию, которая в этой главе развивалась для твердых материалов, после очень небольшой модификации вполне можно применить и к хорошим проводникам типа металлов. На некоторые из электронов в металлах не действует сила, привязывающая их к какому-то частному атому; это так называемые «свободные» электроны, ответственные за проводимость. Там есть и другие электроны, которые связаны в атомах, и изложенная выше теория непосредственно приложима именно к ним. Однако их влияние обычно «забивается» эффектами электронов проводимости. Поэтому сейчас мы рассмотрим только эффекты свободных электронов.
Если на электрон не действует никакая восстанавливающая сила, но сопротивление его движению все же остается, то уравнение движения электрона отличается от (32.1) только отсутствием члена . Так что единственное, что нам нужно сделать, - это положить всей остальной части наших выводов. Но есть еще одно отличие. В диэлектриках мы должны различать среднее и локальное поля и вот почему: в изоляторе каждый из диполей занимает фиксированное положение по отношению к другим диполям. Но в металле из-за того, что электроны проводимости движутся и меняют свое место, поле, действующее на них, в среднем как раз равно среднему полю . Так что поправка, которую мы сделали к формуле (32.5), не годится, т. е. применение формулы (32.28) для электронов проводимости недопустимо. Следовательно, выражение для показателя преломления в металле должно выглядеть подобно выражению (32.27), в котором следует положить , именно:
Это только вклад от электронов проводимости, которые, как мы думаем, играют в металлах главную роль.
Но теперь мы даже знаем, какой нам взять величину , ибо она связана с проводимостью металла. В гл. 43 (вып. 4) мы обсудили связь проводимости металлов с диффузией свободных электронов в кристалле. Электроны движутся по ломаному пути от одного соударения до другого, а между этими толчками они летят свободно, за исключением ускорения из-за какого-то среднего электрического поля (фиг. 32.2). Там же, в гл. 43 (вып. 4), мы нашли, что средняя скорость дрейфа равна просто произведению ускорения на среднее время между соударениями . Ускорение равно , так что
В этой формуле поле считается постоянным, так что скорость тоже постоянна. Поскольку в среднем ускорение отсутствует, сила торможения равна приложенной силе. Мы определили через силу торможения, равную [см. (32.1)], или , поэтому получается, что
Фиг. 32.2. Движение свободного электрона.
Несмотря на то, что мы не можем с легкостью измерять непосредственно , можно определять его, измеряя проводимость металла. Экспериментально обнаружено, что электрическое поле порождает в металлах ток с плотностью , пропорциональной (для изотропного материала, конечно):
причем постоянная пропорциональности называется проводимостью.
В точности то же самое мы ожидаем из выражения (32.39), если положить
Таким образом, , а следовательно, и могут быть связаны с наблюдаемой электрической проводимостью. Используя (32.40) и (32.41), можно переписать нашу формулу (32.38) для показателя преломления в виде
Это и есть известная формула для показателя преломления в металлах.
© 2022 Научная библиотека
Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт
Особенности распространения света в металлах
Для металлов характерно отражение света от поверхности, что связано с тем, что металлы имеют большое «свободных» электронов. Вынужденные колебания таких электронов порождают вторичные волны, они вызывают интенсивную отраженную волну (до $95\%$ от интенсивности падающей волны) и относительно слабую волну, которая идет внутрь металла. В связи с тем, что плотность свободных электронов высока, то даже тонкие слои металла отражают большую часть падающего света и почти непрозрачны. Энергия световой волны, которая попадает внутрь металла, поглощается им. При этом световая волна вызывает колебания свободных электронов. Они взаимодействуют с ионами кристаллической решетки, как следствие, энергия, полученная от волны света, переходит в тепловую энергию. При этом электромагнитная волна быстро затухает в металле.
Доли света, отражаемые металлом и поглощаемые, зависят от его проводимости. Если мы имеем дело с идеальным проводником, в котором потери на джоулево тепло отсутствуют, поглощение равно нулю, при этом падающая волна света полностью отражается. Так, отражательная способность натрия достигает $99,8\%$.
Чем больше коэффициент электропроводности, тем выше отражательная способность металлов.
При не высоких частотах оптические свойства металлов определяет поведение свободных электронов. При увеличении частоты световой волны повышается роль связанных электронов, которые характеризуются собственной частотой, находящейся в области относительно коротких длин волн. Участие данных электронов определяет неметаллические оптические свойства металлов. Например, серебро, которое в видимой части спектра волн света имеет большой коэффициент отражения (около $95\%$) и заметное поглощение, что можно отнести к типичным оптическим свойствам металлов, в области ультрафиолетового излучения характеризуется плохим отражением и высокой прозрачностью. Так при длине волн порядка $316$ нм отражательная способность серебра становится равной $4,2\%$, что равно отражению от стекла.
Оптические постоянные металлов
Допустим, что в слое металла толщиной $dz$ поглощается часть падающего света, равная:
Интенсивность волны света при проникновении ее внутрь металла при этом убывает в соответствии с законом:
где $\alpha $ -- коэффициент поглощения. Введем величину \varkappa$, которая равна:, которая равна:
где $\lambda $ -- длина волны света в среде. Если через $<\lambda >_0$ обозначить длину света в вакууме, $n$ -- показатель преломления вещества, то:
В таком случае можно записать, что:
По предложению Планка поглощение считается металлическим, если $n\varkappa >1.$ В видимой части спектра большинство металлов значение $n\varkappa $ находится между $1,5$ и $5$. При увеличении длины волны падающего света $n\varkappa $ возрастает.
Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды волны, значит, в результате поглощения изменение амплитуды происходит в соответствии с законом:
Из чего следует, что волна света в металле имеет вид:
Выражение (7) можно преобразовать к виду:
При применении комплексной формы записи (8) волну в металле можно представить в обычном виде, только вместо привычного показателя преломления $n$ в формуле используется комплексный показатель преломления ($n'$), равный:
Мнимая часть показателя $n'$ относится к поглощению волны.
Параметры $n\$ и $\varkappa$ -- постоянные, которые характеризуют оптические свойства металла. Соотношение между ними можно представить как:
при этом $n$ называют главным показателем преломления металла, $\varkappa$ -- называют главным показателем затухания (затухание может проходить без поглощения).
Можно связать оптические характеристики металлов с электрическими постоянными выражением вида:
где $\nu $ -- частота света, $\sigma $ -- электропроводность металла. Следует заметить, что $\sigma $ измерить легко для постоянного поля (или поля низкой частоты). Непосредственно измерить $\varepsilon $ невозможно. Значит, вычисление оптических постоянных для видимого или ультрафиолетового света на основе выражений (10), (11) не представляется возможным. Один из экспериментальных методов измерения оптических постоянных металлов предложили Кундт, другой Друде.
Задание: Опишите идею Друде по экспериментальному нахождению оптических постоянных металлов.
Решение:
Способ, который предложил Друде для определения $n\ и\ \varkappa $ основывается на свойствах света, отраженного от металла. Оптические особенности металла учитывает выражение:
При этом в формулах Френеля для металлов амплитуды отраженной и преломленной волн становятся комплексными (появляется разность фаз между составляющими отраженной (преломленной) и падающей волнами). Данное отличие в фазах отличается для компонент вектора напряженности электрического поля волны для плоскости падения и перпендикулярной к ней плоскости. Между взаимно перпендикулярными составляющими в отраженном (и преломленном) свете $E_$ и $E_$ появляется разность фаз. Что означает, если на поверхность металла падает плоско поляризованный свет, то отраженный свет будет эллиптически поляризован. При этом эксцентриситет и положение эллипса зависит от оптических свойств металла ($n\ и\ \varkappa $).
Метод Друде связал данные величины с данными об эллиптической поляризации и дает возможность определить оптические постоянные металла.
Задание: Пусть световая волна падает на металл перпендикулярно его поверхности. Найдите выражение для определения коэффициента отражения световой волны (r) (по интенсивности) от поверхности металла.
Для решения задачи используем соотношение:
Заменим показатель преломления $n$ на $n'=n\left(1-i\varkappa \right)$, то есть имеем:
Из выражения (2.2) имеем:
Из выражения (2.2), умножая это выражение на комплексно сопряженную величину $\left|r\right|e^_r>$получим:
Читайте также: