Энергия поля заряженного металлического шара
1. Выражение электрической энергии (15.6) может быть представлено в другой математической форме, причем преобразование это открывает возможности совершенно новой физической интерпретации соотношений.
Чтобы подготовить это преобразование, положим в теореме Грина Приняв во внимание, что получим
где поверхностный интеграл должен быть распространен, во-первых, по поверхности ограничивающей извне объем интегрирования V, и во-вторых, по поверхностям выделяющим из этого объема могущие лежать в нем заряженные поверхности т. е. поверхности разрыва градиента (ср. § 12). Что же касается потенциала то мы будем считать его всюду непрерывным, т. е. отказываемся от рассмотрения двойных электрических слоев.
Как и при выводе формулы (12.6), стягиваем поверхности вплоть до совпадения их с поверхностями разрыва повторяя прежние рассуждения и пользуясь обозначениями § 12, получим (полагая )
Внося это выражение в предшествующее уравнение, разделив обе его части на и переставив члены, получим
Первые два члена правой части этого равенства аналогичны выражению (15 6) для энергии однако интегрирование распространено в данном случае не по всем находящимся в поле зарядам, а лишь по тем из них, которые находятся внутри объема Сумма этих членов не совпадает со взаимной энергией зарядов, находящихся внутри V, ибо потенциал зависит также и от расположения зарядов вне V
2. Предположим, однако, что интегрирование распространено по полному полю, под этим выражением понимается, что область интегрирования V охватывает, во-первых, все взаимодействующие заряды и, во-вторых, все поле этих зарядов
Это определение не нуждается в пояснениях, если существует замкнутая поверхность конечных размеров, охватывающая всю систему взаимодействующих зарядов, во всех точках которой напряженность поля обращается в нуль; эта поверхность и может рассматриваться как граница полного поля Так, например, граница полного поля зарядов, заключенных в металлической оболочке (см. рис. 14), проходит внутри этой оболочки.
Однако большей частью такой замкнутой поверхности конечных размеров не существует, и граница полного поля отодвигается в бесконечность. В этих случаях понятие полного поля должно быть уточнено следующим образом. В каждом конкретном случае использования этого понятия нас интересуют значения интегралов вполне определенных физических величин (например, напряженности электрического или магнитного поля, произведения в формуле (16.1) и причем объемные интегралы берутся по объему полного поля, а поверхностные — по его границе Термин «полное поле» применяется к бесконечному объему V в том и только в том случае, если при предельном переходе от конечного объема V к бесконечно большому интегралы всех интересующих нас величин по поверхности этого объема стремятся к нулю. Так как при этом предельном переходе площадь поверхности растет как где означает расстояние поверхности от конечного участка пространства, в котором сосредоточены источники поля (электрические заряды и токи), то подынтегральные выражения в интересующих нас поверхностных интегралах должны при убывать быстрее, чем В этом и заключается условие применимости понятия полного поля (если поле не ограничено замкнутой поверхностью конечных размеров).
В дальнейшем мы для краткости будем просто говорить, что по определению понятия полного поля интегралы по ограничивающей полное поле поверхности обращаются в нуль, т. е. могут быть отброшены, и что, стало быть, подлежат рассмотрению только интегралы по объему полного поля.
3. Подынтегральное выражение в последнем члене формулы (16.1), согласно (12.10), убывает в бесконечности не медленнее, чем Поэтому при распространении интегрирования в формуле (16.1) на полное поле этот член обратится в нуль, а сумма первых двух членов, согласно (15.6), окажется равной полной энергии поля
4. Итак, электрическая энергия полного поля равна
С математической точки зрения это уравнение представляет собой лишь преобразованную форму уравнения (15.6) и ему эквивалентно. Однако формально математическое преобразовав ние уравнений, как уже указывалось, весьма часто открывает возможность совершенно новой физической интерпретации выражаемых ими соотношений. Уравнение (16.2) выражает электрическую энергию в виде бесконечной суммы слагаемых, каждое из которых равно и относится к определенному элементу объема Поэтому в это уравнение можно вложить следующий физический смысл: носителем электрической энергии является электрическое поле, причем энергия поля локализована в пространстве так, что в каждой единице объема содержится количество энергии равное
где напряженность электрического поля в данном элементе объема. Величина может быть названа объемной плотностью электрической энергии.
Напротив, уравнения (15.4) и (15.5) могут быть формально истолкованы в том смысле, что электрическая энергия есть энергия взаимодействия электрических зарядов и притом взаимодействия на расстоянии (actio in distans, дальнодействие); так, например, уравнение (15.5) выражает общую энергию системы зарядов в виде суммы энергий взаимодействия каждой пары. Очевидно, что при таком истолковании устраняется возможность локализации энергии в определенных участках пространства.
Механическая теория электромагнитных явлений вкладывала в уравнения (16.2) и (16.3) следующее физическое содержание. С точки зрения этой теории возбуждение электрического поля сводится к возникновению деформаций гипотетической упругой среды — эфира; электрический вектор есть мера этой деформации, а энергия электрического поля есть не что иное, как упругая энергия деформированного эфира. Как известно из теории упругости, в каждом элементе объема деформированного тела заключается определенное количество упругой энергии, пропорциональное квадрату величины деформации этого элемента. Стало быть, объемная плотность упругой энергии эфира в электрическом поле должна быть пропорциональной квадрату напряженности поля что вполне согласуется с (16.3).
В настоящее время можно считать установленным, что подобное механическое истолкование электрических явлений не выдерживает критики фактов. Но представление о локализации
электрической энергии в пространстве с объемной плотностью иными словами, представление о том, что электрическая энергия есть энергия электрического поля, сделалось прочным достоянием науки. Конечно, благодаря полной математической эквивалентности уравнений (15.6) и (16.2) оба эти уравнения, а стало быть, и оба приведенных истолкования их одинаково хорошо согласуются с данными опыта. Однако эквивалентность этих уравнений имеет место лишь в постоянном электрическом поле. Перейдя к изучению переменных электромагнитных полей и, в частности, к изучению электромагнитных волн, мы познакомимся с явлениями, которые могут быть истолкованы лишь на основе допущения о локализации энергии в электромагнитном поле.
5. Обратимся теперь к вопросу о различном содержании уравнений (15.4) и (15.5), с одной стороны, и уравнений (15.6) и (16.2) — с другой. Что эти уравнения разнятся по своему содержанию, явствует хотя бы из того обстоятельства, что энергия определяемая уравнением (16.2), не может принимать отрицательных значений (ибо тогда как, согласно (15.5), энергия взаимодействия двух точечных зарядов отрицательна, если заряды эти разноименны. Объясняется это тем, что в уравнениях (15.4) и (15.5) учитывается лишь взаимодействие ряда «точечных» зарядов, но не взаимодействие отдельных элементов каждого такого заряда между собой. Действительно, если мы имеем дело, например, с одним единственным «точечным» зарядом то выражения (15.4) и (15.5) обратятся в нуль, тогда как выражения (15.6) и (16.2) будут иметь отличное от нуля и притом положительное значение, равное так называемой собственной энергии заряда В том, что эта собственная энергия всегда положительна, можно убедиться либо непосредственно из уравнения (16.2), либо из того обстоятельства, что, приписывая заряду некоторый объем, разбивая его на элементы и вычисляя энергию взаимодействия этих элементов, мы получим сумму положительных выражений типа (ибо все элементы одного и того же заряда имеют одинаковый знак). Собственная энергия заряда зависит, конечно, от его размеров и равна той работе, которую совершили бы силы взаимного отталкивания между элементами заряда, если бы эти элементы разлетелись в стороны и удалились в бесконечность.
Рассмотрим в заключение полную (т. е. собственную и взаимную) энергию двух зарядов Пусть каждый из этих зарядов в отдельности возбуждает соответственно поле так что результирующее поле обоих зарядов равно
Полная энергия зарядов согласно (16.2), будет равна
суть собственные энергии зарядов а
есть их взаимная энергия. Из
Таким образом, положительная собственная энергия зарядов всегда больше (или в крайнем случае равна) их взаимной энергии, могущей иметь как положительные, так и отрицательные значения.
Справедливость этого положения явствует, впрочем, и непосредственно из того обстоятельства, что собственная энергия заряда соответствует взаимодействию его собственных элементов, среднее расстояние которых друг от друга меньше, чем расстояние их от элементов другого заряда.
При всех возможных перемещениях зарядов, не изменяющих их формы и размеров, собственная энергия зарядов остается постоянной. Поэтому при этих перемещениях члены можно считать аддитивными постоянными в выражении полной энергии изменение которой всецело определяется изменением взаимной энергии зарядов При достаточно больших расстояниях между зарядами выражение (16.6) для сводится, очевидно, к выражению (15.2) (см. задачу 15 в конце параграфа).
6. Чрезвычайно важно отметить, что энергия электрического поля не обладает свойством аддитивности, т. е. что энергия поля являющегося суммой полей вообще говоря, не равна сумме энергий слагаемых полей (если только не равно нулю). В частности, при возрастании напряженности поля в раз энергия поля возрастает в раз.
Пример. Полная электрическая энергия системы заряженных проводников. Пусть в поле расположено проводников;
обозначим соответственно через поверхность, потенциал и общий заряд проводника. Приняв во внимание, что все заряды проводников расположены на их поверхности, так что и что потенциал каждого проводника постоянен на всем его протяжении, получим из (15.6)
Интеграл и по поверхности проводника равен его общему заряду поэтому
Эту формулу, выражающую полную энергию заряженных проводников, не нужно смешивать с вполне аналогичной формулой (15.4), выражающей взаимную энергию точечных зарядов; в последней формуле в отличие от не является полным потенциалом поля в месте нахождения заряда (см. § 15). Заметим, что выражение (15.9) для энергии конденсатора является частным случаем формулы (16.7).
Задача 14. Показать, что (собственная) электрическая энергия заряженного шара радиуса о равна
если заряд распределен по поверхности шара (проводник), и равна 2
если заряд равномерно распределен по всему объему шара.
Задача 15. Показать, что если расстояние между зарядами достаточно велико по сравнению с их размерами (точечные заряды), то выражение (16.6) взаимной энергии этих зарядов сводится к выражениям (15.2) и (15.3).
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
Пусть имеются два неподвижных точечных заряда (рис.16.1). Поле - электростатическое и потенциальное, силы консервативны. Работа, которую совершает поле заряда q1 при переносе заряда q2 из бесконечности в точку 2 в соответствии с (6.3) и (6.16) равна
Считая, что Wp ¥ (r1 ¥®¥ )=0, получаем
Это энергия взаимодействия двух точечных зарядов, которая в зависимости от знака зарядов, может быть как положительной, так и отрицательной. Можно говорить, что заряд q2 в поле, созданном зарядом q1 обладает потенциальной энергией Wp. Из симметрии формулы ясно, что можно рассуждать и наоборот.
Теперь добавим в систему третий заряд q3 (рис.16.2). По аналогии
а энергия всей системы зарядов
Заметим, что в это выражение все величины входят симметрично, т.е. безразлично, в какой последовательности мы собирали систему. Эта энергия не зависит от процесса, а лишь от состояния системы. Потенциальная энергия - это функция состояния системы. Нулевое значение берется при бесконечном удалении зарядов друг от друга. Заметим также, что это энергия всей системы, энергия взаимодействия, поэтому бессмысленно говорить, что какая-то часть этой энергии принадлежит одному из зарядов. Здесь мы не учитываем собственную энергию каждого точечного заряда.
Это та энергия, которую нужно затратить, чтобы собрать из бесконечно малых порций заряда точечный заряд. Формально она бесконечна, так как необходимо уложить заряды в нулевой объем. Кроме того, эту энергию изменить весьма проблематично. Поэтому можно считать, что это постоянная величина. А мы помним, что потенциальную энергию определяют с точностью до постоянной, которую всегда можно отбросить, так как смысл имеет не сама энергия, а ее изменение.
Обобщив сказанное, можно записать потенциальную энергию взаимодействия системы из N точечных зарядов
Множитель 1/2 появляется в связи с тем, что при суммировании каждая пара зарядов входит в формулу два раза. Перепишем это выражение несколько по иному
где j i - потенциал в точке, где находится заряд qi, созданный всеми другими зарядами.
Напомним, что энергия одного точечного заряда в поле, созданном всеми другими зарядами (рис.16.2) вычисляется в соответствии с формулами (6.16)-(6.18) как
2. Энергия заряженного тела.
Если распределение зарядов в пространстве непрерывное, то
Эту формулу уже можно трактовать и по-другому. При конечных размерах тела потенциал в любой точке пространства конечен в отличии от точечного заряда. Поэтому эту формулу можно рассматривать и как учитывающую собственную энергию заряда, то есть энергию, которую нужно было затратить, чтобы собрать этот заряд из бесконечно малых частей.
Заметим, что полная энергия (16.8) всегда положительна. При переходе к точечным зарядам она становится бесконечной положительной величиной. Если от этой бесконечной величины отнять бесконечную собственную энергию точечных зарядов, то останется конечная энергия взаимодействия точечных зарядов друг с другом (16.6), которая может быть как положительной, так и отрицательной.
Формула (16.7) соответствует духу теории дальнодействия, так как выражает энергию через потенциалы и заряды тел.
3. Энергия заряженной сферы.
Для примера рассчитаем энергию сферы с зарядом Q и радиусом R. Сначала запишем ее объемную плотность заряда как r =A d (r-R), где d - дельта-функция Дирака, а константу А найдем из очевидного соотношения
где dV=4 p r 2 dr. Очевидно, что - то есть поверхностная плотность заряда. Потенциал, который создает сфера, нам известен (7.17). Тогда энергия сферы в соответствии с (16.8)
Хотя потенциал сферы внутри и снаружи описывается разными формулами, но при вычислении необходимо только его значение на поверхности сферы, а там он одинаков.
4. Энергия конденсатора.
Известно, что если взять заряженный конденсатор и замкнуть его обкладки через сопротивление, то по цепи потечет ток, проводник нагреется, выделится какое-то количество теплоты. Следовательно, заряженный конденсатор обладал запасом энергии.
Перекидывая ключ на схеме (рис.16.3)(попробуйте это сделать движением мыши), можно периодически заряжать конденсатор от источника и разряжать его через резистор. Лампочка при этом будет на короткое время вспыхивать. Найдем выражение для энергии плоского конденсатора, используя (16.6). Нас очень выручит то, что поле между обкладками этого конденсатора однородно. Тогда
Оказывается, что это выражение справедливо для любого конденсатора. Кроме того, учтем, что часто используют понятие напряжения U, как модуля разности (или изменения) потенциалов. В электростатике это справедливо. Более подробно мы разберем понятие напряжения в лекции №18.
Учитывая вышесказанное и (15.3), энергию конденсатора можно записать как
Все три формы записи эквивалентны и применяются при решении задач в зависимости от того, какая из величин остается постоянной.
5. Энергия электрического поля.
Мы выяснили, что система точечных зарядов и конденсатор обладают энергией. Можно предположить, что это энергия самих зарядов, в том числе и расположенных на обкладках конденсатора. Однако можно говорить, что это энергия электрического поля, созданного системой зарядов или поля внутри конденсатора. Какая из этих точек зрения более правильная неясно. Ответ может дать только опыт, а в электростатике такой эксперимент невозможен, так как нет поля без зарядов, и зарядов без поля. Поэтому этот волнующий вопрос мы оставим без внимания до тех пор, пока не начнем изучать переменные поля.
Здесь выразим энергию конденсатора через характеристики поля, зная формулу емкости плоского конденсатора (15.6), связь между напряженностью и потенциалом (7.8), и очевидное выражение для объема V=Sd
Таким образом, энергия равна
Естественно, это справедливо, если нет сторонних потерь и диэлектрическая проницаемость постоянна. Однако нетрудно догадаться, как выглядит это выражение в произвольном случае для бесконечно малого объема.
Часто говорят об энергии единицы объема или о плотности энергии электростатического поля
Формула (16.30) соответствует духу теории близкодействия, так как выражает энергию через характеристики поля. Сравните с (16.8). Эти формулы эквивалентны.
| rem: Если вы считаете, что усвоили данный материал, то попробуйте поразмышлять о следующем. Энергия конденсатора и поля в нем согласно (16.26) и (16.30) положительна, а энергия разноименно заряженных пластин по (16.5) отрицательна. Как вы объясните это противоречие? |
6. Энергия заряженной сферы(еще раз).
Вновь вернемся к задаче о заряженной сфере. Добавим вокруг нее среду с диэлектрической проницаемостью e . Рассчитаем еще двумя способами ее энергию. Емкость ее известна (15.10), тогда по (16.26)
Теперь рассчитаем энергию поля, созданного этой сферой, не забыв о том, что внутри поля нет.
Как и ожидалось, результаты (16.24), (16.32) и (16.33) совпадают.
| rem: Заметим, что потенциальная энергия подчиняется принципу минимума: в любой системе проводников при фиксированных значениях потенциалов заряд распределяется таким образом, чтобы энергия, запасенная во всем поле была минимальна. |
7. Сила взаимодействия пластин конденсатора.
Ранее отмечалось, что для любого потенциального поля выполняется следующее соотношение между силой и энергией
Тогда несложно рассчитать силу взаимодействия между пластинами плоского конденсатора.
Через характеристики поля:
Следовательно, сила, приходящаяся на единицу площади пластин конденсатора, численно равна плотности энергии. Как и следовало ожидать это сила притяжения, так как пластины заряжены разноименно.
Через энергию конденсатора (16.26) расчет еще проще
Эта формула в точности совпадает с (12.10).
Заметим, что сила стремится уменьшить область пространства, заполненного электрическим полем, то есть уменьшить потенциальную энергию в соответствии с принципом минимума потенциальной энергии.
8. Классический радиус электрона.
Будем считать, что электрон - это маленький шарик с зарядом q=е, радиусом R и диэлектрической проницаемостью e 1. Вокруг него среда с диэлектрической проницаемостью e 2.
Снаружи шара все аналогично заряженной сфере, так как поля шара и сферы снаружи одинаковы. Тогда энергия поля снаружи равна
Внутри равномерно заряженного шара поле тоже известно (5.14), поэтому
Интеграл несложный. Мы легко получаем энергию поля внутри шара
Очевидно, что полная энергия заряженного шара
Согласно знаменитому соотношению Эйнштейна между массой и энергией
W=mc 2
где m- масса электрона, с- скорость света в вакууме. Приравнивая, получаем
На коэффициент в скобках не обращают внимания, так как непонятно, что такое диэлектрическая проницаемость среды внутри электрона. Ясно, что эта величина находится в диапазоне от 0,5 до 0,6, поэтому ее для оценки считают равной единице, и определяют классический радиус электрона по формуле
Расчет показывает, что эта величина равна
Rе=2,8179380 × 10 -15 м.
Вспомним, что радиус самого маленького атома водорода - первый боровский радиус Rb=0,529 × 10 -10 м , и убедимся, что атом в, основном, пуст, и напоминает солнечную систему в миниатюре.
9. Точечный заряд и бесконечная плоскость.
Вычислим энергию, которой обладает точечный заряд вблизи заземленной проводящей плоскости (см. лк.№10 п.1). Сила, действующая на заряд известна. Вычислим работу, совершаемую этой силой, при перемещении заряда в бесконечность. При бесконечном расстоянии энергия - 0.
теперь найдем ту же самую величину как энергию взаимодействия двух точечных зарядов: самого заряда и его зеркального отображения по формуле (16.2).
Результат получился в 2 раза больше?! Дело в том, что за плоскостью на самом деле поля нет, поэтому от полученного выражения нужно оставить только половину, что как раз и совпадает с (16.48).
10. Конденсатор с частичным заполнением-1.
В качестве дополнительной тренировки рассчитаем силу, действующую на единице поверхности диэлектрика, если заряженный конденсатор заполнен им не полностью, а частично. Конденсатор отключен от источника питания.
Сначала рассмотрим следующую конфигурацию (рис.16.6). Данный конденсатор можно рассматривать как два конденсатора, соединенных последовательно. Тогда их емкости соответственно
и , а общая емкость
Тогда в соответствии с (16.34)
Если e 1< e 2, то Fx. Если e 1> e 2, то Fx>0. Очевидно, что диэлектрик втягивается в область с меньшей диэлектрической проницаемостью. Направление силы легко было определить, как силу, действующую со стороны поля на поляризационный заряд. И, наконец, если конденсатор заполнится полностью диэлектриком с большей диэлектрической проницаемостью, то его энергия станет меньше в соответствии с принципом минимума.
Выразим формулу (16.54) через характеристики поля, учитывая, что Q= s S=DS. Заметим, что индукции по обе стороны от границы одинаковы. Тогда
Следовательно, сила, приходящаяся на единицу площади пластин конденсатора, численно равна разности плотности энергий
Сравните с (16.38) и вспомните, что снаружи конденсатора поля нет. Заметим только, что (16.38) - это сила, действующая на заряженную пластину (обкладку), а (16.57) - сила, действующая на поверхность диэлектрика. Они отличаются знаками, но по модулю равны, ведь третий закон Ньютона должен выполняться и здесь.
Эту же формулу можно получить быстрее, используя (16.30) и (16.31).
где V1=Sx, V2=S(d-x) - объемы областей, заполненных каждым диэлектриком. При смещении границы плотности энергии не меняются. После дифференцирования вновь получаем формулу (16.57).
11. Конденсатор с частичным заполнением-2.
Пусть теперь диэлектрик заполняет конденсатор по-другому (рис.16.7). Сторона пластины равна а. Очевидно, что такую систему можно рассмотреть как два параллельно соединенных конденсатора. Далее все делаем по аналогии с п.10 и получаем следующее выражение для силы
Опять видим, что сила направлена в сторону диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью. Учтем, что при этом распределение зарядов на пластинах конденсатора меняется. Однако напряженности поля справа и слева от границы равны.
Через характеристики поля сила, действующая на единицу поверхности, выражается следующим образом
Формулы (16.57) и (16.60) очень похожи.
Можно сделать общий вывод:
| Lex: Сила, действующая на границу диэлектрика, пропорциональна разности плотностей энергии электростатического поля и направлена в сторону диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью. |
Теперь мы легко можем рассчитать, на какую высоту поднимется жидкий диэлектрик между двумя заряженными пластинами (лк. №12 п.7 рис.12.11). Остановит подъем гидростатическое давление. Сверху над диэлектриком - вакуум. Тогда
отсюда высота подъема
Попробуйте решить ту же задачу, если конденсатор подключен к источнику питания. Результат должен быть аналогичен (16.60). Если ошибетесь со знаком, то посмотрите разъяснения Фейнмана (т.5 стр 158 и 213).
Энергия поля заряженного металлического шара
Электростатика
§ 18. Энергия заряженного проводника. Энергия электрического поля
Условия задач и ссылки на решения по теме:
1 Конденсатор электроемкостью 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов 40 B. После отключения от источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим незаряженным конденсатором электроемкостью C2=5 мкФ. Определить энергию ΔW, израсходованную на образование искры в момент присоединения второго конденсатора.
РЕШЕНИЕ
2 Плоский воздушный конденсатор с площадью пластины, равной 500 см2, подключен к источнику тока, ЭДС которого равна 300 B. Определить работу A внешних сил по раздвижению пластин от расстояния d1=1 см до d2=3 см в двух случаях: 1) пластины перед раздвижением отключаются от источника тока; 2) пластины в процессе раздвижения остаются подключенными к нему.
РЕШЕНИЕ
3 Плоский конденсатор заряжен до разности потенциалов 1 кВ. Расстояние между пластинами равно 1 см. Диэлектрик стекло. Определить объемную плотность энергии поля конденсатора
РЕШЕНИЕ
4 Металлический шар радиусом 3 см несет заряд 20 нКл. Шар окружен слоем парафина толщиной d=2 см. Определить энергию W электрического поля, заключенного в слое диэлектрика
РЕШЕНИЕ
18.1 Конденсатору, электроемкость C которого равна 10 пФ, сообщен заряд 1 пКл. Определить энергию W конденсатора
РЕШЕНИЕ
18.2 Расстояние между пластинами плоского конденсатора равно 2 см, разность потенциалов 6 кВ. Заряд Q каждой пластины равен 10 нКл. Вычислить энергию W поля конденсатора и силу F взаимного притяжения пластин.
РЕШЕНИЕ
18.3 Какое количество теплоты выделится при разряде плоского конденсатора, если разность потенциалов между пластинами равна 15 кВ, расстояние d=1 мм, диэлектрик — слюда и площадь S каждой пластины равна 300 см2
РЕШЕНИЕ
18.4 Сила притяжения между пластинами плоского воздушного конденсатора равна 50 мН. Площадь S каждой пластины равна 200 см2. Найти плотность энергии w поля конденсатора
РЕШЕНИЕ
18.5 Плоский воздушный конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом 10 см каждая. Расстояние между пластинами равно 1 см. Конденсатор зарядили до разности потенциалов U=1,2 кВ и отключили от источника тока. Какую работу A нужно совершить, чтобы, удаляя пластины друг от друга, увеличить расстояние между ними до d2=3,5 см?
РЕШЕНИЕ
18.6 Плоский воздушный конденсатор электроемкостью 1,11 нФ заряжен до разности потенциалов 300 B. После отключения от источника тока расстояние между пластинами конденсатора было увеличено в пять раз. Определить: 1) разность потенциалов U на обкладках конденсатора после их раздвижения; 2) работу A внешних сил по раздвижению пластин.
РЕШЕНИЕ
18.7 Конденсатор электроемкостью 666 пФ зарядили до разности потенциалов 1,5 кВ и отключили от источника тока. Затем к конденсатору присоединили параллельно второй, незаряженный конденсатор электроемкостью С2=444 пФ. Определить энергию, израсходованную на образование искры, проскочившей при соединении конденсаторов
РЕШЕНИЕ
18.8 Конденсаторы электроемкостями 1 мкФ, 2 мкФ, 3 мкФ включены в цепь с напряжением 1,1 кВ. Определить энергию каждого конденсатора в случаях: последовательного их включения; параллельного включения.
РЕШЕНИЕ
18.9 Электроемкость плоского конденсатора равна 111 пФ. Диэлектрик фарфор. Конденсатор зарядили до разности потенциалов U=600 В и отключили от источника напряжения. Какую работу A нужно совершить, чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора? Трение пренебрежимо мало.
РЕШЕНИЕ
18.10 Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком фарфор, объем которого равен 100 см3. Поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора равна 8,85 нКл/м2. Вычислить работу A, которую необходимо совершить для того, чтобы удалить диэлектрик из конденсатора. Трением диэлектрика о пластины конденсатора пренебречь
РЕШЕНИЕ
18.11 Пластину из эбонита толщиной 2 мм и площадью 300 см2 поместили в однородное электрическое поле напряженностью H= 1 кВ/м, расположив так, что силовые линии перпендикулярны ее плоской поверхности. Найти: 1) плотность о связанных зарядов на поверхности пластин; 2) энергию W электрического поля, сосредоточенную в пластине
РЕШЕНИЕ
18.12 Пластину предыдущей задачи переместили из поля в область пространства, где внешнее поле отсутствует. Пренебрегая уменьшением поля в диэлектрике с течением времени, определить энергию электрического поля в пластине
РЕШЕНИЕ
18.13 Найти энергию уединенной сферы радиусом 4 см, заряженной до потенциала 500 B.
РЕШЕНИЕ
18.14 Вычислить энергию электростатического поля металлического шара, которому сообщен заряд Q=100 нКл, если диаметр d шара равен 20 см
РЕШЕНИЕ
18.15 Уединенная металлическая сфера электроемкостью 10 пФ заряжена до потенциала 3 кВ. Определить энергию поля, заключенного в сферическом слое, ограниченном сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в три раза больше радиуса сферы.
РЕШЕНИЕ
18.16 Электрическое поле создано заряженной Q=0,1 мкКл сферой радиусом 10 см. Какова энергия поля, заключенная в объеме, ограниченном сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в два раза больше радиуса сферы?
РЕШЕНИЕ
18.17 Уединенный металлический шар радиусом 6 см несет заряд Q. Концентрическая этому шару поверхность делит пространство на две части (внутренняя конечная и внешняя бесконечная), так что энергии электрического поля обеих частей одинаковы. Определить радиус R2 этой сферической поверхности
РЕШЕНИЕ
18.18 Сплошной парафиновый шар радиусом 10 см заряжен равномерно по объему с объемной плотностью 10 нКл/м3. Определить энергию W1 электрического поля, сосредоточенную в самом шаре, и энергию W2 вне его
РЕШЕНИЕ
18.19 Эбонитовый шар равномерно заряжен по объему. Во сколько раз энергия электрического поля вне шара превосходит энергию поля, сосредоточенную в шаре?
РЕШЕНИЕ
Одно из самых интересных и полезных открытий в механике — это закон сохранения энергии. Зная формулы для кинетической и потенциальной энергий механической системы, мы способны обнаруживать связь между состояниями системы в два разных момента времени, не вникая в подробности того, что происходит между этими моментами. Мы хотим определить теперь энергию электростатических систем. В электричестве сохранение энергии окажется столь же полезным для обнаружения многих любопытных фактов.
Закон, по которому меняется энергия при электростатическом взаимодействии, очень прост; на самом деле мы его уже обсуждали. Пусть имеются заряды и , разделенные промежутком . У этой системы есть какая-то энергия, потому что понадобилась какая-то работа, чтобы сблизить заряды. Мы подсчитывали работу, производимую при сближении двух зарядов с большого расстояния; она равна
Мы знаем из принципа наложения, что если зарядов много, то общая сила, действующая на любой из зарядов, равна сумме сил, действующих со стороны всех прочих зарядов. Отсюда следует, что полная энергия системы нескольких зарядов есть сумма членов, выражающих взаимодействие каждой пары зарядов по отдельности. Если и — какие-то два из зарядов, а расстояние между ними (фиг. 8.1), то энергия именно этой пары равна
Фигура 8.1. Электростатическая энергия системы частиц есть сумма электростатических энергий каждой пары
Полная электростатическая энергия есть сумма энергий всевозможных пар зарядов:
Если распределение задается плотностью заряда , то сумму в (8.3) нужно, конечно, заменить интегралом.
Мы расскажем здесь об энергии с двух точек зрения. Первая — применение понятия энергии к электростатическим задачам; вторая — разные способы оценки величины энергии. Порой легче бывает подсчитать выполненную в каком-то случае работу, чем оценить величину суммы в (8.3) или величину соответствующего интеграла. Для образца подсчитаем энергию, необходимую для того, чтобы собрать из зарядов однородно заряженный шар. Энергия здесь есть не что иное, как работа, которая затрачивается на собирание зарядов из бесконечности.
Представьте, что мы сооружаем шар, наслаивая последовательно друг на друга сферические слои бесконечно малой толщины. На каждой стадии процесса мы собираем небольшое количество электричества и размещаем его тонким слоем от до . Мы продолжаем процесс этот до тех пор, пока не доберемся до заданного радиуса (фиг. 8.2). Если — это заряд шара в тот момент, когда шар доведен до радиуса , то работа, требуемая для доставки на шар заряда , равна
Фигура 8.2. Энергию однородно заряженного шара можно рассчитать, вообразив, что его слепили, последовательно наслаивая друг на друга сферические слои.
Если плотность заряда внутри шара есть , то заряд равен
Уравнение (8.4) превращается в
Полная энергия, требуемая на то, чтобы накопить полный шар зарядов, равна интегралу по от до , т.е.
а если мы желаем выразить результат через полный заряд шара, то
Энергия пропорциональна квадрату полного заряда и обратно пропорциональна радиусу. Можно представить (8.7) и так: среднее значение по всем парам точек внутри шара равно .
© 2022 Научная библиотека
Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт
Электрическое поле заряженного шара в физике - формулы и определение с примерами
Определим напряженность поля, создаваемого заряженным шаром (сферой) в его центре, на поверхности и за его пределами. Для этого мы сначала разделим заряд .
Итоговая напряженность поля любых одинаковых зарядов в центре шара на основе принципа суперпозиции равна нулю. Значит, внутри заряженной сферы напряженность поля будет равна нулю.
Найдем напряженность поля в произвольной точке от поверхности шара. Выделим пару зарядов , расположенных симметрично линии . Значит, силовые линии напряженности поля в точке за пределами шара соответствуют силовым линиям положительно заряженного точечного заряда, направленным из центра шара (рис. 7.5 б)
Напряженность электрического поля на поверхности заряженного шара определяется следующей формулой:
Из-за того, что напряженность поля, созданного в точке за пределами заряженного шара, одинаковы с полем, созданным точечным зарядом, напряженность поля, созданного в точке за пределами шара, определяется по формуле:
Это означает, что напряженность поля уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния (рис. 7.5 в).
Напряженность электрического поля зависит от свойств среды, в которой расположен заряд, создающий поле. Рассмотрим случай, когда между двумя противоположно заряженными пластинами помещен диэлектрик (рис. 7.6).
В диэлектрике свободных электронов очень мало. Основные электроны расположены в электронной оболочке атома. Под воздействием поля электрических зарядов пластин электронная оболочка деформируется. В результате центры положительных и отрицательных зарядов атома не накладываются друг на друга. Это явление называется поляризацией диэлектрика.
Напряженность поля . В результате общая напряженность поля снижается диэлектрической восприимчивостью диэлектрика:
В таком случае напряженность поля в точке, расположенной на расстоянии Также сила взаимодействия точечных зарядов, расположенных в однородном диэлектрике, будет вДиэлектрическая восприимчивость – это безразмерная величина.
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Читайте также: