Электроны в металле подчиняются статистике

Обновлено: 07.01.2025

Распределение электронов и дырок по квантовым состояниям в главных энергетических зонах кристалла. Уровень Ферми. Поверхность Ферми. Плотность квантовых состояний для энергетических зон с изотропным и анизотропным законом дисперсии.

Раздел 4. Статистика равновесных носителей заряда

4.1 Распределение электронов и дырок по квантовым состояниям в главных энергетических зонах кристалла. Уровень Ферми. Поверхность Ферми. Плотность квантовых состояний для энергетических зон с изотропным и анизотропным законом дисперсии.

4.2 Концентрация электронов и дырок в зонах для различных степеней вырождения электронного или дырочного газа.

4.3 Статистика примесных состояний. Функция распределения электронов и дырок по примесным состояниям. Плотность примесных состояний. Примесные зоны. Влияние температуры и концентрации примеси на концентрацию свободных электронов и дырок.

4.4 Плотность квантовых состояний в квантово-размерных структурах с квантовыми ямами, квантовыми нитями и квантовыми точками.

Для определения s твердого тела необходимо знать равновесную (темновую) концентрацию электронов (n) и дырок (p).

Для определения n и p необходимо знать параметры зон – плотность квантовых состояний и вероятность их дополнения – функцию распределения электронов и h + по состояниям.

Функции распределения электронов и дырок по квантовым состояниям разрешения зон (зона проводимости и валентная зона).

Электроны в металлах, полупроводниках подчиняются квантовой статистике. Вероятность заполнения уровня E при температуре T определяется функцией Ферми – Дирака:

Электроны проводимости – фермионы – частицы, обладающие полуцелым спином, и подчиняются принципом Паули:

F – уровень (энергия) Ферми, или электрохимический потенциал.

Основные свойства функции f_Ф-Д :

При T ® 0

При T = 0 функция терпит разрыв (то есть функция не определена).

Из графика следует, что f есть уровень, который разделяет занятые электронами состояния в зоне проводимости от свободных.

В металлах при T = 0: уровень F соответствует максимальной энергии электронов в зоне проводимости – энергии Ферми.

которая соответствует энергии E_F.

Внутри сферы Ф – находятся электроны проводимости.

Проводимость по зоне проводимости - есть жесткое смещение сферы Ф в - пространстве под действием внешнего электрического поля на величину Dk_x.

При температурах T > 0:

f_Ф-Д = 0,5 и F имеет смысл уровня, вероятность заполнения которого ½.

Функция f_Ф-Д претерпевает наибольшее изменение для энергий вблизи F.

При (E – F) >> kT функция f_Ф-Д переходит в классическую функцию Максвелла – Больцмана:

Ф-Д.

Уровень F ниже Ec на энергию не меньше kT.

В этом случае действует классическая статистика Максвелла – Больцмана и полупроводников, подчиняющиеся этой статистике – невырожденные (по концентрации).

Невырожденный полупроводник n-типа – полупроводник, в котором уровень F лежит ниже Ec в запрещенной зоне на величину не меньше kT.

Таким образом, в невырожденном полупроводнике на уровне f – нет электронов в отличие от металла!

Невырожденный полупроводник p-типа – уровень F лежит выше Ec на величину kT.

Плотность состояний N(E)

- это число квантовых состояний в зоне, приходящихся на единичный интервал энергии в кристалле единичного объема.

Предположим, что в интервале энергии: (E,E + dE) находится dS состояний.

Тогда для кристалла единичного объема: dS = N(E)dE пропорционально dE

N(E) = dS/dE – плотность состояний.

N(E) связана с формой поверхности равной энергии.

Интервалу dE соответствует шаровой слой объема , которым выделяют поверхности равной энергии:

E, E + dE = const

Число состояний

Плотность состояний в зоне проводимости

Эффективная масса – скалярная величина m_n

N(E) = dS/dE dS – число состояний в интервале E, E + dE в кристалле единичного объема.

- пространства, заключается между поверхностями равной энергии.

E = const и E +dE = const

Найдем n

Поверхности E, E + dE заключают объем (поверхности – сферы; Таким образом

Для изотропной валентной зоны: (m_p – эффективная масса дырки)

Таким образом, плотность состояний пропорциональна:

Зонная модель прямозонного полупроводника с использованием функций N(E)

Используется в физике полупроводниковых приборов.

Плотность состояний в зоне проводимости многодолинного (непрямозонного) полупроводника

Эффективная масса m_n - тензорная величина.

Закон дисперсии

m_C -1 , m_U -1 , m_Z -1 – компоненты эффективной массы.

Поверхности равной энергии – эллипсоидальные с полуосями.

a, b, c:

Объем эллипсоида: V = 4/3p * a b c

Объем , которым выделяют поверхности E и E + dE = const находят как приращение объема dV.

Таким образом, для одной долины:

Приведем эту формулу к виду для прямозонного полупроводника.

Для этого введем понятие эффективной массы для плотности состояний m_nd:

N(E) = 2p (2 m_nd / h 2 ) 3/2 (E – Ec) 1/2

Если поверхности – эллипсоиды вращения (электроны в Ge, Si)

m_^ и m_ï½ определяется из эксперимента по циклотронному резонансу.

Смысл введения m_nd

Позволяет многодолинную зону проводимости с анизотропной эффективной массой mn записать параболичной зоной с изотропной массой с одним абсолютным минимумом (нужно для вычисления концентраций).

Эффективная масса дырок для плотности состояний - m_pd

V₁ и V₂ – стыкуются в точке

V₁ – подзона тяжелых дырок с изотропной массой – m_p₁

V₂ – подзона легких дырок с эффективной массой – m_p₂.

Плотность состояний для валентной зоны:

эффективная масса дырок для плотности состояний.

Таким образом, с введением m_pd сложная V-зона заменяется параболичной невырожденной валентной зоной:

Модель полупроводников с m_nd и m_pd:

Концентрация электронов и дырок в условиях равновесия в темноте

Концентрация электронов в зоне проводимости.

В интервале E, E + dE в зоне проводимости кристалла единичного объема содержится d_n-электронов:

В зоне проводимости: или

Введем новые переменные:

x= E – Ec/ kT – энергия электронов в единичном kT, отсчитывается от дна Ec.

Тогда от параметра Приближенные значения

сильновырожденный электронный газ (металлы, вырожденые полупроводники)

Концентрация электронов проводимости в невырожденных полупроводниках

Общая формула: N_C – эффективная плотность состояний в зоне проводимости Рассмотрим:

dn – число электронов в интервале E, E + dE зоны проводимости для V = 1

* - это указывает на незначительную концентрацию электронов в зоне проводимости – что характерно для невырожденного полупроводника.

Электроны распределены в узком интервале энергий вблизи дна зоны проводимости.

Электропроводность полупроводника так же зависит по экспоненте от T:

- слабее зависит от T)

Концентрация электронов проводимости в сильновырожденном полупроводнике

Площадь под кривой

Таким образом, n не зависит от T – признак сильного вырождения электронного газа.

При T = 0 s ¹ 0 (как в металле)

Для промежуточной системы вырождения электронного газа:

Концентрация дырок в полупроводнике p-типа

Невырожденный дырочный газ (полупроводник):

Сильно вырожденный дырочный газ (полупроводник):

Сильновырожденный полупроводник p-типа:

Смысл Nc и Nv в статистике

Таким образом, при расчете n в невырожденном полупроводнике n-типа зону проводимости представляют как набор Nc числа уровней с одинаковой энергией Ec.

Nv – валентная зона состоит из Nv уровней с одинаковой энергией Ev.

Уравнение электрической нейтральности для полупроводников и диэлектриков

Для определения n, p необходимо знать положение уравнения Ферми. Его определяют из уравнения электронейтральности полупроводников (диэлектриков).

Смысл уравнения: в любом физически малом объеме полупроводника (диэлектрика) концентрация отрицательно свободных и связанных зарядов = концентрации свободных и связанных зарядов.

Свободные носители -

Связанные: дырки на уровнях донора – концентрация Pd (D + ) электроны – акцептора - n_a (A - ).

Собственный полупроводник

Уровень Ферми. Собственная концентрация носителей заряда.

G₀ и R₀ – скорости процессов.

Этому состоянию соответствует равенство n = p = n_i

n_i – собственная концентрация носителей заряда.

G₀ – термическая генерация Энергия рекомбинирующих частиц(

Определение Fi

Уравнение электронейтральности: n = p

Для невырожденных собственных полупроводников: Откуда:

F_i линейно зависит от T.

Собственная концентрация n_i

n_i – зависит от DEg, плотности состояний в зонах и температурах:

Угловой коэффициент (

Таким образом, по n_i (T) можно определить DE_g при T = 0 k.

Произведение np в невырожденном полупроводнике

Используется для определения концентрации неосновных носителей заряда по известной концентрации основных носителей заряда.

Вырожденный электронный газ в металлах. Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули (см

Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули (см. § 227), согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Согласно принципу Паули, электроны вынуждены взбираться вверх «по энергетической лестнице».

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми — Дирака (235.2). Если m₀— химический поте нциал электронного газа при Т— О К, то, согласно (235.2), среднее число áN(E)ñ электронов в квантовом состоянии с энергией Еравно

Из (236.1) следует, что при T=0 К функция распределения áN(E)ñ = 1, если E < m₀ и áN(E)ñ = 0, если E > m₀.График этой функции приведен на рис. 312, а. В области энергий от 0 до m₀ функция áN(E)ñ равна единице. При E = m₀она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т =0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E = m₀ заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей m₀, свободны. Следовательно, m₀есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называется энергией Ферми и обозначается Е_F (Е_F = m₀). Поэтому распределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Фермн. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми E_F, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. е. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT < Е_F. Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура Т₀вырождения (см. § 235) находится из условия kT₀ = E_F. Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле Т₀ = 10 4 К, т. е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми — Дирака (236.2) плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT) в окрестности Е_F (рис. 312, 6). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распределения при T = 0 К) Это объясняется тем, что при Т > 0небольшое число электронов с энергией, близкой к Е_F, возбуждается вследствие теплового движения и их энергия становится больше Е_F. Вблизи границы Ферми при Е< E_F заполнение электронами меньше единицы, а при Е > Е_F— больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т » 300 К и температуре вырождения T₀=3 - 10 4 К, — это 10 -5 от общего числа электронов.

Если (E—E_F) >> kT(«хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе (236.2) можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Ферми — Дирака переходит в распределение Максвелла — Больцмана. Таким образом, при (E—E_F) >> T, т. е. при больших значениях энергии, к электронам в металле применима классическая статистика, в то же время, когда (E—E_F)

Энергия Ферми

Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули, согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Принцип Паули вынуждает электроны взбираться вверх «по энергетической лестнице».

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми-Дирака. Если μ₀ – химический потенциал электронного газа при T = 0 К, то, среднее число Е равно

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов f(Е), где f(Е) – функция распределения электронов по состояниям. Из (1) следует, что при Т = 0 К функция распределений E < μ₀, и E > μ₀,. График этой функции приведен на рис. 15, а. В области энергий от 0 до μ₀ функция E = μ₀ она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т = 0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E = μ₀, заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей μ₀, свободны. Следовательно, μ₀ есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называется энергией Фермии обозначается Е_F.( Е_F = μ₀). Поэтому распределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми.Уровню Ферми соответствует энергия Ферми Е_F_:, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. с. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT E_F. Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура T₀ вырождения находится из условия kT₀ = E_F . Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле Т₀ ≈ 10 4 К, т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми-Дирака (2) плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT ) в окрестности Е_F (рис. 15, б). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распределения при Т = 0 К.) Это объясняется тем, что при T > 0 небольшое число электронов с энергией, близкой к Е_F, возбуждается за счет теплового движения и их энергия становится больше Е_F. Вблизи границы Ферми при Е < Е_F заполнение электронами меньше единицы, а при Е >Е_F. — больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т ≈ 300 К и температуре вырождения T₀ = 3 10 4 К, — это 10 -5 от общего числа электронов.

Если (Е — Е_F) >> kТ («хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе (2) можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Ферми — Дирака переходит в распределение Максвелла — Больцмана.

4.1.Статистика электронов в кристаллической решетке металла.

Поскольку электроны не локализованы и описываются с помощью понятий, относящихся ко всему кристаллу, можно попытаться рассматривать их как свободные частицы и пользоваться статистикой Болъцмана, которой, как известно, подчиняются частицы газа в заданном объеме. Однако в системе, которая описывается статистикой Больцмана, частицы должны вести себя классическим образом, т. е. они должны распределяться по возможным состояниям так, чтобы не было дальнодействующих сил, коррелирующих с энергетическими состояниями частиц. Это условие можно сформулировать по-другому: среднее расстояние между частицами должно быть большим по сравнению с их дебройлевской длиной волны. Посмотрим, как выполняется это условие в случае газообразного водорода (при нормальных условиях) и в случае электронов в металле. Воспользуемся формулой де Бройля:

тепловая скорость атомов газа равна:

(здесь М = 1836 m₀, m₀ = 9×10 -28 г- масса электрона). Скорость свободных электронов имеет величину порядка 10 8 см/сек. Таким образом, дебройлевские длины волн для электронов и атомов водорода оказываются равными 6×1O -7 и 2×10 -8 см. Соответственно средние расстояния между частицами 3×10 -8 и 1×10 -6 см. Из этих оценок можно сделать вывод, что электроны не подчиняются статистике Больцмана. Статистика для описания электронов в металле, должна учитывать следующие свойства системы: 1) частицы подчиняются квантовой механике и потому неразличимы; и 2) частицы удовлетворяют принципу Паули, так что состояние, характеризуемое квантовым числом, описывающим электрон в кристалле, и спиновым квантовым числом m_s = ± , может быть занято лишь одним электроном. Поскольку мы имеем дело с системой, в 1см 3 которой содержится очень большое число электронов, то из принципа Паули следует, что даже в низшем энергетическом состоянии системы должно существовать много состояний с большими квантовыми числами. Это положение сильно отличается от статистики Больцмана, в которой многие частицы могут иметь одну и ту же энергию и импульс, и в наинизшем энергетическом состоянии энергия всех частиц может быть равной нулю.

Закон распределения, обладающий перечисленными выше свойствами известен под названием распределения Ферми. Изящный вывод этого распределения изложен во многих учебниках, поэтому мы только приведем окончательный результат и обсудим его смысл. Статистика Ферми предсказывает, что вероятность того, что данное состояние с энергией Е будет занято электроном при температуре Т равна:

Величина E_f называется энергией Ферми.

Функция f(E) для случая Т=0 и для некоторой конечной температуры Т>0 графически представлена на риc. 3.1. При Т=0 она имеет вид ступеньки; все состояния ниже E_f заняты, все состояния выше E_f свободны. При отличной от нуля температуре функция переходит от значения, равного 1, к значению равном нулю, но не скачком (как в случае Т=0 при Е=E_f), а плавно в интервале значений Е, равном примерно kT. При E=E_f функция f(E)= .

Рис.3.1.Вид функции распределения Ферми. 1.- при абсолютном нуле. 2.- при конечной температуре, удовлетворяющей условию Е_f>>kT.

При |E-E_f|>>kT функцию (3.1) можно разложить в ряд:

f(E)=exp- +члены малого порядка при (E - E_f>>kT), (4.1)

f(E)=1-exp- +члены малого порядка при (E_f - E>>kT). (5.1)

Последние два выражения имеют следующий физический смысл. Равенство (4.1) утверждает, что вероятность возбуждения электрона в состояние с энергией, значительно превышающей энергию Ферми, определяется фактором Больцмана с энергией, отсчитываемой относительно E_f. Согласно выражению (5.1) вероятность появления дырки f₊(E) гораздо ниже уровня Ферми также определяется фактором Больцмана, поскольку

Выражения (4.1) и (5.1) обосновывают трактовку электронных возбуждений при внешних воздействиях. Они позволяют сделать качественное заключение, что электроны и дырки ведут себя во многом подобно классическому газу, если отсчитывать энергию от уровня Ферми (E_f). Иначе говоря, тепловое возбуждение электронов и дырок происходит так, как если бы уровень E_f, был для них основным уровнем. Такое приближение тем лучше, чем больше разница |E-E_f| по сравнению с (kT). Оно оказывается очень полезным при анализе некоторых свойств металлов и с успехом используется при обсуждении уровня Ферми в полупроводниках.

Квантовая статистика состояний электронов в металле. Функция распределения Ферми–Дирака. Энергия Ферми. Понятие о вырождении электронного газа в металле.

Модель свободных электронов в металлах предполагает, что при образовании кристаллической решетки от атомов отщепляются некоторые слабее всего связанные с ними (валентные) электроны. Отщепленные электроны становятся общими для всех атомов и могут свободно перемещаться в кристалле. Именно эти электроны, в отличие от электронов, заполняющих внутренние электронные оболочки атомов, обеспечивают электропроводность металлов. Поэтому их называют электронами проводимости.

При 0 К энергия всех электронов меньше энергии Ферми. Ни один из электронов покинуть кристалл не может и никакой термоэлектронной эмиссии не наблюдается. С увеличением температуры возрастает число термически возбужденных электронов, способных выйти из металла, что обусловливает явление термоэлектронной эмиссии.

Уровень Ферми - уровень энергии, ниже которого все состояния при T = 0K заняты электронами.

Функция Ферми-Дирака описывает равновесное состояние электронов. Если при какой-то температуре электронов нет, то будет происходить термогенерация электронов и дырок, и постепенно они распределятся по функции Ферми-Дирака.

Система частиц называется вырожденной, если ее свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Поведение как бозе-газа, так и ферми-газа отличается от классического газа, они являются вырожденными газами. Вырождение газов становится существенным при весьма низких температурах и больших плотностях. Параметром вырождения называется величина А. При А

Основы зонной теории твердых тел. Образование энергетических зон.

Зонная теория твёрдого тела – это теория валентных электронов, движущихся в периодическом потенциальном поле кристаллической решётки

В основе зонной теории лежат следующие главные приближения [1] :

Твёрдое тело представляет собой идеально периодический кристалл.

Равновесные положения узлов кристаллической решётки фиксированы, то есть ядра атомов считаются неподвижными (адиабатическое приближение). Малые колебания атомов вокруг равновесных положений, которые могут быть описаны как фононы, вводятся впоследствии как возмущение электронного энергетического спектра.

Многоэлектронная задача сводится к одноэлектронной: воздействие на данный электрон всех остальных описывается некоторым усредненным периодическим полем.

Взаимодействие атомов, их электромагнитных полей в твердом теле (кристалле) приводит к тому, что вместо отдельных уровней и подуровней образуются энергетические зоны – уровни и подуровни расщепляются (группируются) в зоны (рисунок, левая часть). Количество уровней в каждой зоне настолько велико, что энергетический спектр в ней можно считать непрерывным.

Читайте также: