Электронный ферми газ в металле
Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули, согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Принцип Паули вынуждает электроны взбираться вверх «по энергетической лестнице».
Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми-Дирака. Если μ0 – химический потенциал электронного газа при T = 0 К, то, среднее число Е равно
Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов f(Е), где f(Е) – функция распределения электронов по состояниям. Из (1) следует, что при Т = 0 К функция распределений E < μ0, и E > μ0,. График этой функции приведен на рис. 15, а. В области энергий от 0 до μ0 функция E = μ0 она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т = 0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E = μ0, заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей μ0, свободны. Следовательно, μ0 есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называется энергией Фермии обозначается ЕF.( ЕF = μ0). Поэтому распределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде
Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми.Уровню Ферми соответствует энергия Ферми ЕF:, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. с. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.
Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT EF. Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура T0 вырождения находится из условия kT0 = EF . Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле Т0 ≈ 10 4 К, т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.
При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми-Дирака (2) плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT ) в окрестности ЕF (рис. 15, б). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распределения при Т = 0 К.) Это объясняется тем, что при T > 0 небольшое число электронов с энергией, близкой к ЕF, возбуждается за счет теплового движения и их энергия становится больше ЕF. Вблизи границы Ферми при Е < ЕF заполнение электронами меньше единицы, а при Е >ЕF. — больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т ≈ 300 К и температуре вырождения T0 = 3 10 4 К, — это 10 -5 от общего числа электронов.
Если (Е — ЕF) >> kТ («хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе (2) можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Ферми — Дирака переходит в распределение Максвелла — Больцмана.
Электронный ферми газ в металле
Примером системы частиц с полуцелым спином, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, являются электроны. Однако полученные выводы для газа-ферми нельзя применить просто к системе электронов так как между
Электронами будут действовать кулоновские Силы, а частицы ферми-газа мы рассматривали невзаимодействующими. Поэтому рассмотрим электронный газ в металле, где кулоновские силы отталкивания между электронами скомпенсированы силами притяжения к ионам кристаллической решетки. Это позволяет рассматривать электроны проводимости в металле как свободные частицы.
Считая, что на каждый атом в металле освобождается один электрон, и пользуясь формулой (12. 26), можно оценить температуру вырождения по формуле
Для многих металлов эта оценка дает значение от нескольких десятков тысяч до сотен тысяч градусов. Поэтому электронный газ в металлах при обычных температурах оказывается вырожденным. Следовательно, к нему можно применить основные выводы, полученные для вырожденного ферми-газа в предыдущем параграфе.
Поскольку в дальнейшем речь будет идти об электронном газе в состоянии сильного вырождения, то статистический вес в дальнейшем везде положим равным двум.
Электроны в металле занимают подряд все уровни, начиная с самого нижнего. В силу почти полного вырождения электронного газа в металле существует вполне определенный уровень энергии, который является последним уровнем, занятым электронами. Выше этого урбвня в металле возможные энергетические состояния оказываются незанятыми электронами (рис. 70). Последний занятый электронами уровень называется уровнем Ферми.
В первой части мы отмечали, что представление электронов в металле в виде классического идеального газа не позволило объяснить отсутствие у него сколько-нибудь заметной теплоемкости. Согласно классической теории о равномерном распределении энергии по степеням свободы электроны должны давать вклад в теплоемкость металла, равный . В действительности же вклад электронного газа в теплоемкость металла оказывается порядка от этой величины. При этом наблюдаемая часть электронной
теплоемкости металла изменяется прямо пропорционально абсолютной температуре. Поэтому в первую очередь постараемся объяснить эти особенности электронного газа в металлах на основании свойств вырожденного газа Ферми.
Считая, что распределение Ферми для электронов в металле размыто только в области вблизи граничной энергии (энергии Ферми), оценим часть электронов, которые изменяют свою энергию при нагревании газа от нуля до температуры
Рис. 70. Заполнение энергетических уровней электронами в металле и уровень Ферми
Для приближенной оценки предположим, что полное число свободных электронов в металле удовлетворяет уравнению (12. 28). Число же электронов, приходящихся на интервал энергии вблизи граничной энергий равно:
Заменяя Энергию через и интервал энергии Де через а также учитывая, что вблизи граничной энергии функция найдем относительное число электронов, участвующих в энергетических переходах и, следовательно, в теплоемкости:
Следовательно, увеличение внутренней энергий электронного газа вследствие нагревания от абсолютного нуля до температуры будет равно:
так как возрастание энергии каждого электрона приблизительно Теплоемкость электронного газа в этом случае
Таким образом, нам удалось объяснить линейную зависимость теплоемкости металла от температуры. С другой стороны, полученная величина теплоемкости оказывается очень малой. Действительно, так как температура вырождения то теплоемкость будет примерно равна:
Таким образом, качественное рассмотрение внутренней энергии электронов в металле позволяет получить для их теплоемкости правильную температурную зависимость порядок величины исходя из представлений о вырожденном электронном газе.
Более строгая теория дает для внутренней энергии электронного газа в металле следующее выражение:
Важное принципиальное значение имеет изучение свойств ферми-газа при достаточно низких температурах. Как мы увидим ниже, температуры, о которых при этом идет речь, фактически могут еще быть, с других точек зрения, весьма высокими.
Имея в виду наиболее важные применения статистики Ферми, будем говорить ниже об электронном газе; соответственно этому полагаем (спин s = 1 /2).
Начнем с рассмотрения электронного газа при абсолютном нуле температуры (полностью вырожденный ферми-газ). В таком газе электроны будут распределены по различным квантовым состояниям таким образом, чтобы полная энергия газа имела наименьшее возможное значение. Поскольку в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного электрона, то электроны заполнят все состояния с энергиями от наименьшей (равной нулю) до некоторой наибольшей, величина которой определяется числом электронов в газе.
С учетом двукратного ) спинового вырождения уровней, число квантовых состояний электрона, движущегося в объеме V с абсолютной величиной импульса в интервале между равно
Электроны заполняют все состояния с импульсами от нуля до граничного значения , об этом значении говорят как о радиусе ферми-сферы в импульсном пространстве. Полное число электронов в этих состояниях
откуда для граничного импульса имеем
и для граничной энергии
Эта энергия имеет простой термодинамический смысл. В согласии со сказанным выше функция распределения Ферми по квантовым состояниям (с определенными значениями импульса и проекции спина)
в пределе обращается в «ступенчатую» функцию: единица при и нуль при (на рис. 6 эта функция изображена сплошной линией). Отсюда видно, что химический потенциал газа при Т = 0 совпадает с граничной энергией электронов:
Полная энергия газа получится умножением числа состояний (57,1) на и интегрированием по всем импульсам:
или, подставив (57,2):
По общему соотношению (56,8) находим, наконец, уравнение состояния газа
Таким образом, давление ферми-газа при абсолютном нуле температуры пропорционально его плотности в степени 5/3.
Полученные формулы (57,6-7) применимы приближенно также и при температурах, достаточно близких (при данной плотности газа) к абсолютному нулю. Условие их применимости (условие «сильного вырождения» газа) требует, очевидно, малости Т по сравнению с граничной энергией
Это условие, как и следовало ожидать, противоположно условию (45,6) применимости статистики Больцмана. Температуру называют температурой вырождения.
Вырожденный электронный газ обладает своеобразной особенностью он становится тем более идеальным, чем больше его плотность. В этом легко убедиться следующим образом.
Рассмотрим плазму — газ, состоящий из электронов и соответствующего количества положительно заряженных ядер, компенсирующих заряд электронов (газ из одних только электронов был бы, очевидно, вообще неустойчивым; выше мы не говорили о ядрах, поскольку вследствие предполагающейся идеальности наличие ядер не сказывается на термодинамических величинах электронного газа). Энергия кулонового взаимодействия электронов с ядрами (отнесенная к одному электрону) порядка величины где - заряд ядра, — среднее расстояние между электронами и ядрами. Условие идеальности газа заключается в требовании малости этой энергии по сравнению со средней кинетической энергией электронов, которая по порядку величины совпадает с граничной энергией . Неравенство
после подстановки и выражения (57,3) для дает условие
Мы видим, что это условие выполняется тем лучше, чем больше плотность газа
Определить число столкновений со стенкой в электронном газе при абсолютном нуле температуры.
Решение. Число электронов (в единице объема) с импульсами в интервале направленными под углом к нормали к стенке в интервале , есть
Искомое число столкновений v (отнесенное к стенки) получается умножением на и интегрированием по в пределах от 0 до и по до . В результате найдем
Вырожденный электронный газ в металлах
Электроны являются фермионами. Электроны проводимости в металле представляют собой идеальный газ, подчиняющейся распределению Ферми-Дирака. Электрическая проводимость в кристалле пропорциональна концентрации носителей тока n, т.е. числу частиц . Распределение электронов по энергетическим уровням характеризуется функцией Ферми–Дирака
где Е – энергия электрона, Е F – энергия Ферми, k = 1,38∙10 -23 Дж/К – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура кристалла.
f(E) – функция Ферми-Дирака, которая определяет вероятность нахождения электронов на энергетическом уровне с энергией Е.
При f (E) = 1 на энергетическом уровне находятся 2 электрона,
f (E) = 0 на энергетическом уровне электронов нет.
1. Пусть температура кристалла равна Т = 0 К. Рассмотрим два случая.
А. Энергия электрона Е больше энергии Ферми Е F . Обозначим разность энергий Е - Е F , , тогда
На уровне с энергией больше Е F нет электронов.
Б. Пусть энергия электрона Е меньше энергии Ферми Е F .
Обозначим Е - Е F =- , тогда
На рис. 21.2.1 представлен график функции Ферми в зависимости от энергии электрона при температуре Т = 0.
2. Пусть температура Т больше нуля, а энергия электрона равна энергии Ферми Е= Е F, тогда получим(рис. 21.2.2.)
В металле энергией Ферми называют максимальную кинетическую энергию электронов проводимости при температуре Т = 0 К,а соответствующий этой энергии уровень – уровнем Ферми. Таким образом, уровень Ферми - это верхний заполненный электронами уровень при температуре Т = 0 К.
С ростом температуры электроны переходят на верхние энергетические уровни.
Ширина размытия функции Ферми порядка .
При не очень высоких температурах функция Ферми равна функции Ферми для температуры 0 К , которая имеет в квантовой механике следующий вид:
Функция Ферми зависит от концентрации электронов и пропорциональна .
Поведение электронного газа зависит от соотношения между температурой кристалла и энергией Ферми
А. При низкой температуре, когда , электронный газ называется вырожденным.
Б. При высокой температуре при электронный газ называется невырожденным.
Температура Ферми для металлов составляет несколько десятков тысяч кельвин (25000 К при ~ ), поэтому при температуре близкой к температуре плавления электронный газ в металлах является вырожденным.
В полупроводниках концентрация электронов меньше, чем в металлах, поэтому электронный газ в полупроводниках невырожденный и подчиняется классической статистике Максвелла-Больцмана.
© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.01)
Распределение электронов по различным квантовым состояниям в той или иной системе подчиняется принципу Паули, согласно которому в одном состоянии (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) не может быть более одного электрона.
Отсюда следует, что все свободные электроны в металле не могут располагаться на одном самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Согласно принципу Паули, электроны вынуждены последовательно заполнять энергетические уровни в направлении возрастания энергии.
Для фермионов среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселённости квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не занято, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов
где – функция распределения электронов по состояниям (2.2).
Если – химический потенциал электронного газа при
Т = 0 К, то согласно (2.2) и (2.7), среднее число электронов в квантовом состоянии с энергией Е равно
Из (2.8) следует, что при Т = 0 К функция распределения при и , если .
График этой функции приведен на рис. 2.1 а, из которого следует, что при Т = 0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией, , заняты электронами, а все состояния с энергией, большей , свободны.
| а) | б) |
| Рис. 2.1 |
Следовательно, есть максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле, при 0 К. Величину принято называть энергией или уровнем Ферми и обозначать .
Энергия Ферми рассматривается как параметр распределения ферми-частиц, а само распределение Ферми-Дирака обычно записывают в виде
Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство .
Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура Т0 вырождения находится из условия . Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчёты показывают, что для электронов в металле , т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.
При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми-Дирака, плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области энергий порядка кТ в окрестности (рис. 2.1, б).
Из (2.8) видно, что при функция распределения при любой температуре (рис. 2.1, б).
Поэтому со статистической точки зрения уровень Ферми при любой температуре представляет собой энергетический уровень, вероятность заполнения которого равна .
Если принять условие тождественности энергетических состояний двух электронов с одинаковым набором трех квантовых чисел n, ℓ, mℓ, но с противоположными направлениями спинов, то можно считать, что на одном энергетическом уровне может находиться два электрона.
На рис. 2.2 наглядно представлено распределение электронов по состояниям при Т = 0 К (рис. 2.2 а) и Т > 0 К (рис. 2.2 б).
 |  |
| а) | б) |
| Рис. 2.2 |
Работа выхода электронов из металла определяется расстоянием от уровня Ферми до нулевого энергетического уровня (рис. 2.2 а). При Т > 0 К энергетические переходы осуществляют электроны вблизи уровня Ферми в полосе шириной 2кТ (рис. 2.2 б).
В металлах, где концентрация свободных электронов очень высока (≈ 10 28 м -3 ), электронный газ всегда находится в вырожденном состоянии и описывается распределением Ферми-Дирака.
С невырожденным электронным газом приходится иметь дело в собственных (беспримесных) и в слаболегированных полупроводниках. Концентрация свободных электронов в таких полупроводниках значительно ниже, чем в металлах, и колеблется в зависимости от содержания активных примесей от 10 16 – 10 19 до 10 23 – 10 24 м -3 . При таких концентрациях электронный газ становится невырожденным и может описываться распределением Максвелла-Больцмана.
Читайте также: