В коробке с елочными игрушками лежат шары 9 желтых 7 синих и 4 розовых
1. Выбери и расположи листочки, на которых записаны числовые выражения и буквы, так, чтобы значение каждого следующего выражения было на 7 меньше значения предыдущего.
Запиши в ряд значения выражений в нужном порядке, а под каждым из них − соответствующую букву. Из букв должно получиться название сказки.
| 100 - 50 | 50 - 7 | 40 - 4 | 14 + 15 | 11 • 2 | 5 • 3 | 16 : 2 |
| З | О | Л | У | Ш | К | А |
2. Для украшения магазина купили 55 воздушных шаров красного и синего цвета. Синих шаров было меньше, чем красных, но их число записывалось теми же двумя цифрами, что и число красных шаров, но в обратном порядке. На сколько больше могло быть красных шаров, чем синих?
Найди 2 решения.
5 = 4 + 1
5 = 3 + 2
1 вариант.
55 = 14 + 41
Так как синих шаров было меньше, чем красных, значит синих шаров было 14, а красных 41.
О т в е т: 14 синих и 41 красный шар.
2 вариант.
55 = 23 + 32
Так как синих шаров было меньше, чем красных, значит синих шаров было 23, а красных 32.
О т в е т: 23 синих и 32 красных шара.
3. Запиши числа 4, 22, 0, 13, используя 4 раза цифру 1 и знаки действий.
Например: 11 − 11 = 0
1 + 1 + 1 + 1 = 4 11 + 11 = 22
11 − 11 = 0 1 − 1 + 1 − 1 = 0
11 + 1 + 1 = 13
4. Брат и сестра собирали марки. У них вместе на 20 марок больше, чем у брата, и на 12 марок больше, чем у сестры. Сколько марок у каждого и сколько марок у них вместе?
Так как у них вместе на 20 марок больше, чем у брата, значит у сестры 20 марок. Так как у них вместе на 12 марок больше, чем у сестры, значит у брата 12 марок.
20 + 12 = 32 (м.) − у брата и сестры вместе.
О т в е т: 12 марок у брата, 20 марок у сестры, 32 марки у них вместе.
5.
Выбери высказывания, верные для этого рисунка:
1) Если фигура жёлтого цвета, то это круг. ВЕРНО .
2) Все треугольники зелёного цвета. НЕВЕРНО.
3) Если фигура зелёного цвета, то это четырёхугольник. НЕВЕРНО.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Столичный центр образовательных технологий г. Москва
Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца
от 3 170 руб. 1900 руб.
Количество часов 300 ч. / 600 ч.
Успеть записаться со скидкой
Форма обучения дистанционная
Курс повышения квалификации
Геймификация как универсальная технология развития внутренней учебной мотивации школьников
Курс повышения квалификации
Педагогическая поддержка ребенка в образовательной среде
Курс повышения квалификации
Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО
«Инновация. Инновационные технологии»
Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей
Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения
Описание презентации по отдельным слайдам:
Решение задач по комбинаторике, статистике и теории вероятностей
(подготовка к ОГЭ)
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №13 г.Нижневартовск
1.
В урне лежат одинаковые шары : 5 белых, 3 красных и 2 зелёных. Саша вынимает один шар. Найдите вероятность того, что он окажется зелёным.
Ответ: 0,2
Решение:
Всего в урне лежит 5+3+2=10 шаров, из них 2 – зелёных. Вероятность того, что вынутый шар окажется зелёным, равна 2:10=0,2.
2.
На тарелке лежат одинаковые на вид блинчики: 3 с творогом, 5 с мясом и 4 с икрой и яйцами. Лена наугад выбирает один блинчик. Найдите вероятность того, что он окажется с творогом.
Ответ: 0,25
Решение:
Всего в тарелке лежит 3+5+4=12 блинчиков, из них 3 – с творогом. Вероятность того, что выбранный блинчик окажется с творогом, равна 3/12=1/4=0,25.
3.
В копилке находятся монеты достоинством 2 рубля – 14 штук, 5 рублей – 10 штук и 10 рублей – 6 штук. Какова вероятность того, что первая монета, выпавшая из копилки, будет достоинством 10 рублей?
Ответ: 0,2
Решение:
Всего в копилке 14+10+6=30 монет, из них 6 штук – десятирублевых. Вероятность того, что первая монета, выпавшая из копилки, будет достоинством 10 рублей, равна 6:30=1:5=0,2.
4.
В коробке находятся 7 красных шаров, 13 белых шаров и 6 голубых шаров. Определите вероятность того, что наудачу взятый из коробки шар окажется белым.
Ответ: 0,5
Решение:
Всего в коробке 7+13+6=26 шаров, из них13 – белых. Вероятность того, что наудачу взятый из коробки шар окажется белым, равна 13:26=1:2=0,5.
5.
Подбрасывают три монеты. Какова вероятность того, что все монеты упадут орлом вверх?
Ответ: 0,25
Решение:
Рассмотрим полную группу событий.
♦ первая монета упала орлом (о), вторая — решкой (р);
♦ обе монеты упали орлом;
♦ первая монета упала решкой, вторая — орлом;
♦ обе монеты упали решкой.
Мы перечислили все возможные исходы опыта, их всего – 4.
Нас интересуют те исходы опыта, когда обе монеты упали орлом. Такой случай всего один. Стало быть, N = 1.
Итак, вероятность выпадения двух орлов: Р = 1/4.
6.
Подбрасывают три монеты. Какова вероятность того, что ровно одна монета упадёт орлом вверх?
Ответ: 0,5
Решение:
Рассмотрим полную группу событий.
♦ первая монета упала орлом (о), вторая — решкой (р);
♦ обе монеты упали орлом;
♦ первая монета упала решкой, вторая — орлом;
♦ обе монеты упали решкой.
Мы перечислили все возможные исходы опыта, их всего – 4.
Нас интересуют те исходы опыта, когда одна их монет упала орлом. Вверх. Таких случаев два. Стало быть, N = 2.
Итак, вероятность выпадения «орла»:
Р = 2/4=1/2
7.
На полке стоят одинаковые на вид бутылки с прозрачной жидкостью: 4 бутылки с этиловым спиртом, 6 – с солевым раствором и 5 – с перекисью водорода. Василий наугад берёт с полки одну из бутылок. Найдите вероятность того, что с выбранной бутылке окажется солевой раствор.
Ответ: 0,4
Решение:
Всего на полке 4+6+5=15 бутылок с различными жидкостями, из них 6 – с солевым раствором. Вероятность того, что с выбранной бутылке окажется солевой раствор, равна 6:15=2:5=0,4.
8.
В пенале лежат несколько неотличающихся внешне друг от друга простых карандашей: 8 твёрдых, 12 мягких и 5 твёрдо-мягких. Марина наудачу выбирает один карандаш из пенала. Определите вероятность того, что выбранный карандаш будет твёрдым.
Ответ: 0,32
Решение:
Всего в пенале 8+12+5=25 карандашей, из них 8 – твёрдых. Вероятность того, что выбранный карандаш будет твёрдым, равна 8:25=0,32.
9.
Паша наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 7.
Ответ: 0,1
Всего двузначных чисел – 90.
Двузначных чисел, оканчивающихся на 7: 17,27,37,47,57,67,77,87,97 – 9 чисел.
Вероятность того, что наугад выбранное двузначное число оканчивается на 7, равна: 9:90=0,1
Решение:
10.
На экзамене 45 билетов, Антон не успел выучить 18 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет, если билет берётся наудачу.
Ответ: 0,6
Решение:
Всего 45 билетов. Антон выучил 45-18=27 билетов. Вероятность того, что ему попадётся выученный билет, 27:45=0,6 равна
12.
В полуфинале Кубка России играют четыре команды в матчах: «Спартак»(Москва) – ЦСКА(Москва), «Ростов»(Ростов-на-Дону) – «Алания»(Владикавказ). Какова вероятность для команды ЦСКА(Москва) выиграть Кубок России, если команды имеют равные шансы на победу?
Ответ: 0,25
13.
В шкафу стоят непрозрачные бутылки без надписей: 4 с соком, 3 с водой и 5 с лимонадом. Найдите вероятность того, что наугад взятая из шкафа бутылка будет с лимонадом.
Ответ: 5/12
Решение:
Всего в шкафу 4+3+5=12 бутылок в жидкостью. 5 бутылок с лимонадом. Значит, вероятность того, что наугад взятая из шкафа бутылка будет с лимонадом равна 5:12.
15.
При производстве 1200 электроприборов для машин марки «Лада» только 6 оказалось бракованными. Какова вероятность того, что на машину будет установлен бракованный электроприбор?
Ответ: 1/200
Решение:
Всего 1200 электроприборов. 6 – бракованных. Значит, вероятность того, что на машину будет установлен бракованный электроприбор, равна 6:1200=1:200.
16.
В мешке находятся 3 белых, 4 чёрных и 5 синих шариков. Наугад вынимается один шарик. Какова вероятность вынуть чёрный шарик?
Ответ: 1/3
Решение:
Всего в мешке 3+4+5=12 шариков, 4 из которых – чёрные. Вероятность вынуть чёрный шарик равна 4:12=1:3.
18.
В лотерее участвуют 40 тысяч жителей Москвы, 50 тысяч жителей Санкт-Петербурга и 30 тысяч жителей Волгограда. Один из участников выиграл суперприз. Определите вероятность того, что он живёт в Москве.
Ответ: 1/3
Решение:
Всего в лотерее приняло участие 40+50+30=120 тысяч жителей, из них 40 тысяч – москвичей. Вероятность того, что москвич выиграл суперприз равна 40:120=1:3.
19.
В соревнованиях по фигурному катанию участвуют пять пар из России, три пары из Канады, четыре из США и три из Китая. Найдите вероятность того, что первой парой будет выступать пара из Канады, если порядок выступлений определяется жеребьёвкой.
Ответ: 0,2
Решение:
Всего в фигурном катании принимают участие 5+3+4+3=15 пар, из них - 3 пары из Канады. Вероятность того, что первой парой будет выступать пара из Канады, если порядок выступлений определяется жеребьёвкой, равна 3:15=0,2
20.
На столе лежат 7 синих, 3 красных и 5 зелёных ручек. Найдите вероятность того, что наугад взятая ручка окажется красной.
Ответ: 0,2
Решение:
Всего на столе 7+3+5=15 ручек, из 3 – красных. Вероятность того, что наугад взятая ручка окажется красной, равна 3:15=0,2.
21.
В классе 30 человек. Для участия в субботнике случайным образом выбирают 12 учеников. Какова вероятность быть выбранным для участия в субботнике?
Ответ: 0,4
Решение:
Всего в классе 30 человек, в субботнике принимают участие – 12. Вероятность быть выбранным для участия в субботнике равна 12:30=4:10=2:5=0,4.
23.
В мешке находятся 2 чёрных и 3 белых шара. Наугад вытаскивают два шара. Какова вероятность того, что вытащенные шары будут одного цвета?
Ответ: 0,4
Решение:
Всего в мешке 5 шаров. Вероятность того, что вытащенные два шара будут одного цвета, равна 2:5=0,4.
24.
В пакете с леденцами 3 леденца с апельсиновым вкусом, 4 с лимонным и 5 с малиновым. Какова вероятность наудачу вытащить леденец с апельсиновым вкусом?
Ответ: 0,25
Решение:
Всего в пакете 3+4+5 =12 леденцов, из них 3 – с апельсиновым вкусом. Вероятность наудачу вытащить леденец с апельсиновым вкусом равна 3:12=1:4=0,25.
25.
В заключительном этапе велосипедной гонки участвуют равные по профессиональной квалификации спортсмены: 5 велосипедистов общества «Динамо», 4 велосипедиста общества «Буревестник», 6 велосипедистов общества «Зенит». Найдите вероятность того, что первым финиширует спортсмен общества «Зенит».
Ответ: 0,4
Решение:
Всего в велосипедной гонке участвуют 5+4+6=15 спортсменов. Из них 6 – велосипедистов общества «Зенит». Вероятность того, что первым финиширует спортсмен общества «Зенит», равна 6:15=2:5=0,4
26.
В корзине лежат 7 помидоров, 6 огурцов, 12 перцев. Найдите вероятность того, что первый наугад взятый овощ из корзины будет перцем.
Ответ: 0,48
Решение:
Всего в корзине 7+6+12=25 различных овощей, из них 12 – перцев. Вероятность того, что первый наугад взятый овощ из корзины будет перцем, равна 12:25=0,48.
27.
Из города А в город В можно добраться четырьмя разными способами, а из города В в город С можно добраться тремя способами. Сколькими способами можно добраться из города А в город С через город В?
Ответ: 12
Решение:
По правилу произведения получаем, что добраться из города А в город С через город В можно 4∙3=12 способами.
А
В
С
28.
Из города А в город В можно добраться поездом, самолётом и на автомобиле. Из города В в город С можно добраться только поездом и самолётом. Пассажир выбирает для себя транспорт случайным образом. Какова вероятность того, что этот пассажир, добравшийся из города А в город В, воспользовался в обоих случаях самолётом?
Ответ: 1/6
Решение:
А
В
С
По правилу произведения получаем, что добраться из города А в город С через город В можно 3∙2=6 способами. Вероятность того, что пассажир, добравшийся из города А в город В, воспользовался в обоих случаях самолётом, равна 1:6
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Столичный центр образовательных технологий г. Москва
Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца
от 3 170 руб. 1900 руб.
Количество часов 300 ч. / 600 ч.
Успеть записаться со скидкой
Форма обучения дистанционная
1. Вычислите: 37 – 29 + 159 − 86.
2. Вычислите:
3. В первый день турист прошёл три пятых всего пути, а во второй — оставшиеся 18 км. Сколько всего километров турист прошёл за два дня?
4. Вычислите: (5,4 − 8,1) : 0,6.
5. На рисунке изображён план комнаты. Ширина окна равна 180 см. Найдите, чему примерно равна ширина комнаты (на рисунке обозначена знаком вопроса). Ответ дайте в сантиметрах, округлите до десятков.
6. На диаграмме показаны объёмы производства зерна с 1 июля 2017 года по 30 июня 2018 года 10 крупнейших производителей зерна: девяти стран и Европейского союза (на диаграмме обозначен ЕС). Казахстан занимал 10 место. Определите по диаграмме, какое место по производству зерна занимал Китай.
7. Найдите значение выражения при x = −5.
8. На координатной прямой отмечены точки A, B и C.
Установите соответствие между точками и их координатами.
В таблице под каждой буквой укажите номер соответствующей координаты без пробелов, запятых или других дополнительных символов.
9. Вычислите: Запишите решение и ответ.
10. В коробке с ёлочными игрушками лежит 12 ёлочных шаров: 5 красных, 4 зелёных и 3 синих. Наугад из коробки достают несколько шаров. Выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера.
1) Если достать 10 шаров, то среди них обязательно будут шары трёх разных цветов.
2) Если достать 9 шаров, то среди них обязательно будет шар красного цвета.
3) Если достать 5 шаров, то среди них обязательно будут 2 шара разного цвета.
4) Если достать 3 шара, то они обязательно будут трёх разных цветов.
11. Первое число составляет 85% второго числа, а третье — 20% второго числа. Найдите первое число, если известно, что оно больше третьего на 26.
12. Когда фигуру A повернули на 90° против часовой стрелки относительно точки О, получилась фигура В.
Нарисуйте фигуру, которая получится, если повренуть фигуру С на 90° против часовой стрелки относительно точки M.
13. Чтобы узнать, является ли число 1601 простым, его стали последовательно делить на 2, 3, 5 и т. д. На каком простом числе можно прекратить испытания?
1. Вычислите: 37 – 29 + 159 − 86.
37 – 29 + 159 − 86 = 81.
2. Вычислите:
3. В первый день турист прошёл три пятых всего пути, а во второй — оставшиеся 18 км. Сколько всего километров турист прошёл за два дня?
Пусть весь путь равен x. Составим уравнение, исходя из условия:
4. Вычислите: (5,4 − 8,1) : 0,6.
(5,4 − 8,1) : 0,6 = (−2,7) : 0,6 = −4,5.
5. На рисунке изображён план комнаты. Ширина окна равна 180 см. Найдите, чему примерно равна ширина комнаты (на рисунке обозначена знаком вопроса). Ответ дайте в сантиметрах, округлите до десятков.
Ширина комнаты примерно в 2 раза больше ширины окна. Таким образом, длина комнаты составляет от 330 до 410.
Ответ: от 330 до 410 сантиметров.
6. На диаграмме показаны объёмы производства зерна с 1 июля 2017 года по 30 июня 2018 года 10 крупнейших производителей зерна: девяти стран и Европейского союза (на диаграмме обозначен ЕС). Казахстан занимал 10 место. Определите по диаграмме, какое место по производству зерна занимал Китай.
Какое наименьшее количество шаров надо взять , не глядя в мешок , чтобы среди них наверняка оказалось 3 зеленых шара?
Нужновзять 12 шаров , так какдля того чтобы достать 3 зеленых шара , скорее всего понадобитьсявыбрать все желтые.
Итого : 9 + 3 = 12.
В коробке 5 черных и 7 белых шаров?
В коробке 5 черных и 7 белых шаров.
Какое наименьшее число шаров на до взять из коробки не глядя, чтобы среди них наверняка оказалось 2 шара разного цвета?
В закрытую коробку поместили 22 красных шара, 15 зеленых и 17 белых шаров?
В закрытую коробку поместили 22 красных шара, 15 зеленых и 17 белых шаров.
Какое наименьшее количество шаров нужно вытащить, чтобы среди них обязательно оказался шар зеленого цвета?
В мешке лежат 2 красных и 3 желтых шара?
В мешке лежат 2 красных и 3 желтых шара.
Какое наименьшее число шаров надо вынуть из мешка наугад, чтобы среди них обязательно оказался : 1) хотя бы один красный шар ; 2) хотя бы один желтый шар?
В мешке лежат шары : 10 черных и 10 белых, неразличимых на ощупь?
В мешке лежат шары : 10 черных и 10 белых, неразличимых на ощупь.
Какое наименьшее число шаров надо взять из мешка, чтобы среди них наверняка оказались два шара : а) одного цвета б) разного цвета в) белого цвета.
В мешке лежат 6 чёрных шаров и 4 белых шара?
В мешке лежат 6 чёрных шаров и 4 белых шара.
Сколько шаров нужно взять из мешка не глядя, чтобы среди них оказалось 2 шара разного цвета.
В мешке находятся 3 вида шаров : синие, зеленые, желтые?
В мешке находятся 3 вида шаров : синие, зеленые, желтые.
Если из мешка достать 16 шаров, то среди них обязательно найдутся шары всех перечисленных цветов.
Какое наибольшее кол - во шаров может быть в мешке?
В ящике лежат 2012 белых шаров 2013 красных шаров и 2014 синих шаров?
В ящике лежат 2012 белых шаров 2013 красных шаров и 2014 синих шаров.
Какое наименьшее количество шаров нужно взять из ящика незаглядывая в него чтобы наверняка среди взятых шаров были шары всех трёх цветов.
В мешке находятся 3 вида шаров : синие, зеленые, желтые?
В мешке находятся 3 вида шаров : синие, зеленые, желтые.
Если из мешка достать ровно 16 шаров, то среди них обязательно найдутся шары всех перечисленных цветов.
Какое наибольшее количество шаров может быть в мешке?
В ящике лежат шары 8 красных 4 синих и 5 зеленых Сколько шаров надо вынуть не глядя чтоб среди них наверняка оказалось 3 шара разных цветов?
В ящике лежат шары 8 красных 4 синих и 5 зеленых Сколько шаров надо вынуть не глядя чтоб среди них наверняка оказалось 3 шара разных цветов.
Ящике лежат шары 8 красных 4 синих и 5 зеленых сколько шаров надо вынуть не глядя чтобы среди них наверняка оказалась три шара разных цветов?
Ящике лежат шары 8 красных 4 синих и 5 зеленых сколько шаров надо вынуть не глядя чтобы среди них наверняка оказалась три шара разных цветов.
На странице вопроса В мешке 9 желтых и 7 зеленых шаров? из категории Математика вы найдете ответ для уровня учащихся 1 - 4 классов. Если полученный ответ не устраивает и нужно расшить круг поиска, используйте удобную поисковую систему сайта. Можно также ознакомиться с похожими вопросами и ответами других пользователей в этой же категории или создать новый вопрос. Возможно, вам будет полезной информация, оставленная пользователями в комментариях, где можно обсудить тему с помощью обратной связи.
Данный материал можно использовать в рамках подготовки учащихся к олимпиаде, как дополнительный материал на кружках и элективных занятиях.
| Вложение | Размер |
|---|---|
| второе занятие по теме "Принцип Дирихле" | 764.39 КБ |
Предварительный просмотр:
Принцип Дирихле 1-й год обучения. 6 класс
Принцип Дирихле, как вам уже известно – утверждение, которое устанавливает связь между объектами («кроликами») и контейнерами («клетками») при выполнении определенных условий. Названо оно так по имени немецкого математика Дирихле Петер Август Лежён, который его сформулировал и доказал.
Если в N клетках сидят не менее N + 1 кролик, то в какой-то клетке сидит не менее двух кроликов.
В простейшем виде Принцип Дирихле выражается так:
Если десять кроликов сидят в девяти клетках, то в какой-то клетке сидят не меньше двух кроликов.
Есть также общая формулировка:
Если N кроликов сидят в К клетках, то найдётся клетка, в которой сидят не меньше чем N/K кроликов, и найдётся клетка, в которой сидят не больше чем N/K кроликов.
Рассмотрим выполнение данного принципа на примерах.
Пример 1. 4 кролика рассаживают в 3 клетки (N>K).
Пример 2. 3 кролика рассаживают в 4 клетки (N
Пусть вас не смущает дробное число кроликов – если получится, что в клетке не меньше 7/3 кроликов, значит, их не меньше трех.
Формулировка принципа Дирихле кажется очевидной, однако трудность состоит в том, что в задачах не указаны ни кролики, ни клетки.
Пример 3. В школе 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в один день года.
Решение: В году 365 (или 366) дней. Пусть дни – «клетки», ученики – «кролики». Тогда в некоторой клетке 400/366 кроликов, т.е. больше одного. Следовательно, не меньше двух.
Иногда при решении задач используют обобщенный принцип Дирихле:
Если kN+1 кроликов размещены в N клетках, то найдутся k+1 кроликов, которые посажены в одну клетку.
Решим еще несколько задач.
Задача 2. Кот Базилио пообещал Буратино открыть великую тайну, если он составит чудесный квадрат 6×6 из чисел +1, -1, 0 так, чтобы все суммы по строкам, по столбцам и по большим диагоналям были различны. Помогите Буратино.
Решение: Допустим, что квадрат составлен. Тогда суммы чисел могут меняться от - 6 до 6. Всего 13 значений (кролики). Строк в квадрате 6, столбцов 6, диагоналей 2. Получаем: 6 + 6 + 2 = 14 различных мест (клетки). Получили противоречие, значит, составить такой квадрат невозможно.
Задача 3. На зачет пришли 65 школьников. Им предложили 3 контрольные работы. За каждую контрольную ставилась одна из оценок: 2, 3, 4 или 5. Верно ли, что найдутся два школьника, получившие одинаковые оценки на контрольных?
Решение: Имеет 65 школьников – «кролики». Рассмотрим множество наборов из трёх оценок за соответствующие контрольные. Количество таких наборов 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 4 3 или 64 (4 возможности за каждую из трёх работ) – «клетки». Поскольку 65>64, то по принципу Дирихле каким-то двум учащимся отвечает один набор оценок.
Задача 4. В школе 735 учащихся. Можно ли утверждать, что, по крайней мере, 3 ученика должны отмечать день своего рождения в один день?
Решение: Да. Так как даже с учетом високосного года: 735/366 > 2 или 735 = 366 × 2 + 3.
Задача 5. Верно ли, что из 6-ти любых целых чисел, найдутся два числа, разность которых делиться на 5?
Решение: Пусть любые 6 чисел – это кролики. Остатки от деления на 5: 0, 1, 2, 3, 4, т.е. их всего 5 – это клетки, в каждую из которых будем помещать числа, дающие одинаковый остаток при делении на 5. Имеем 6 кроликов в 5 клетках. Значит, обязательно найдется два числа, дающих одинаковые остатки при делении на 5. Значит, их разность делится на 5.
Задача 6. В классе 30 человек. Паша сделал 13 ошибок, а остальные меньше. Доказать, что какие-то три ученика сделали одинаковое количество ошибок.
Решение: По условию задачи наибольшее число ошибок, сделанных в работе 13. Значит, ученики могли сделать 0, 1, 2, . 13 ошибок. Эти варианты будут "клетками", а ученики станут "кроликами". Тогда по (обобщенному) принципу Дирихле (14 клеток и 30 зайцев) найдутся три ученика, попавших в одну "клетку", то есть сделавших одинаковое число ошибок.
Задача 7. В мешке лежат шарики 2-х разных цветов (много белых и много черных). Какое наименьшее количество шариков надо на ощупь вынуть из мешка, чтобы среди них заведомо оказались два одного цвета.
Решение: Это - просто применение принципа Дирихле: кроликами будут взятые шарики, а клетками - черный и белый цвета. Клеток две, поэтому если кроликов хотя бы три, то какие-то два попадут в одну клетку (будет 2 одноцветных шарика). С другой стороны, взять два шарика мало, потому что они могут быть двух разных цветов. Ответ: 3 шарика.
Задача 8 . В коробке лежат 10 красных карандашей, 8 синих, 8 зеленых и 4 желтых. Наугад (произвольно) из коробки вынимают n карандашей. Определить наименьшее число карандашей, которые необходимо вынуть, чтобы среди них было:
1) не менее 4 карандашей одного цвета;
2) по одному карандашу каждого цвета;
3) хотя бы 6 карандашей синего цвета.
Решение: 1) Так как у нас всего 4 цвета, согласно принципу Дирихле (карандаши будут "кроликами", а цвета - "клетками"), по крайней мере, 4 карандаша будут одинакового цвета, если вынуть 13 карандашей.
Докажем, что n = 13 является наименьшим числом. С этой целью покажем ситуацию, при которой условия задачи не выполняются. Например, когда вынуто по 3 карандаша каждого цвета (12 карандашей). Отметим, что эта ситуация возможна, так как в коробке находится не менее 3 карандашей каждого цвета.
Случаи 2) и 3) решаются аналогично.
Ответ: 1) 13; 2) 10+8+8+1=27; 3) 10+8+4+6=28.
Задача 9. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 лежат 5 точек. Доказать, что найдутся две точки из пяти, расстояние между которыми меньше 0,5.
Решение: Пусть 5 точек – «зайцы». Так как «клеток» должно быть меньше, то пусть их будет 4. Чтобы получить 4 «клетки», разобьем равносторонний треугольник с помощью средних линий на 4 равных треугольника – «клетки». Так как «зайцев» - 5, «клеток» - 4 и 5>4, то по принципу Дирихле найдется клетка – равносторонний треугольник со стороной 0,5см, в который попадут не менее 2 зайцев – точек. А так как все 4 треугольника равны и расстояние между точками в любом треугольнике будет меньше, чем 0,5см, то мы доказали, что между некоторыми 2 точками из 5 расстояние будет меньше, чем 0,5 см.
Задача 10. В квадратном ковре со стороной 1 м моль проела 51 дырку (дырка - точка). Докажите, что некоторой квадратной заплаткой со стороной 20 см можно закрыть не менее трёх дырок.
Решение: Весь ковер можно накрыть такими 25-ю заплатами. По принципу Дирихле какая-то из этих заплат накроет не менее трех дырок, так как 51=25*2+1.
Задания для малой олимпиады.
Задача №1 : В классе 35 учеников. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы 2 ученика, фамилии которых начинаются с одной буквы?
Решение: Обозначим 35 учеников за кроликов, а буквы за клетки. В русском алфавите 33 буквы. Фамилии не могут начинаться на твердый и мягкий знак. Так как 35>31, то по принципу Дирихле найдется 2 ученика, у которых фамилия начинается с одной буквы.
Задача №2 : В классе 37 учеников. Докажите, что среди них найдутся 4 ученика, отмечающие день рождения в одном месяце.
1 способ: Пусть 37 учеников – «зайцы», а 12 месяцев – «клетки». Так как 37 12*3+1, то, применяя обобщенный принцип Дирихле, мы получаем, что найдется 4 ученика, родившиеся в один месяц
2 способ: Если в каждый месяц родилось не более 3 учеников, то всего учеников будет 36. А по условию задачи их 37, значит, такого быть не может. Поэтому найдется 4 ученика, отмечающие день рождения в один месяц.
Задача №3 : Дано 9 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать 2, разность которых делится на 8.
Решение : Обозначим за «клетки» 0 остатки от деления на 8: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. «Клеток» будет 8. За «зайцев» обозначим 9 целых чисел. Так 9>8, то 2 целых числа будут иметь одинаковый остаток при делении на 8, а поэтому их разность будет делиться на 8.
Задания для заочной олимпиады
Задача № 1 : В ящике комода, который стоит в темной комнате, лежат 10 коричневых и 10 красных носков одного качества и размера. Сколько носков нужно взять из ящика комода, не глядя, что бы среди них обязательно оказалась пара носков одного цвета?
Решение : Хорошо, что на левую и правую ногу носки одинаковые, поэтому достаточно побеспокоится только о цвете.
Задача № 2 : В ящике комода, который стоит в темной комнате, лежат 10 пар коричневых и 10 пар черных перчаток одного качества и размера. Сколько перчаток нужно взять из ящика комода, не глядя, что бы среди них обязательно оказалась пара перчаток одного цвета?
Решение: Можно вытащить 10 черных перчаток на левую руку и 10 коричневых – на правую. А 21-я обязательно образует пару
Задача № 3 Внутри правильного шестиугольника со стороной 1см расположено 7 точек. Докажите, что расстояние между двумя точками меньше, чем 1см.
Решение: Примем 7 точек за зайцев. Построим 6 клеток. Для этого разобьем правильный шестиугольник на 6 правильных треугольников, как на рисунке. Так как 7>6, то по принципу Дирихле хотя бы в один треугольник попадут не менее 2 точек. А расстояние между любыми 2 точками в правильном треугольнике со стороной 1см меньше 1см.
Задача № 4 : Петя хочет написать на доске 55 различных двузначных чисел так, чтобы среди них не было 2-х, чисел, дающих в сумме 100. Сможет ли он это сделать?
Решение: Двузначных чисел всего 90. Нет среди них пары (в смысле получения 100 в сумме) у чисел 50,91,92,…,99. т.е. десяти чисел. Оставшиеся 80 чисел образуют 40 «пар». Эти 40 «пар» и 10 чисел без «пары» можно обозначить за клетки. Тогда зайцами будут 55 чисел. Т.к. 55 >50, то найдется 2 числа, которые или совпадают, или в сумме дают 100. Значит, Петя не может осуществить свой план.
Читайте также: