Из партии в 100 игрушек 2 бракованных относительная частота брака составляет
В ящике находится $K$ стандартных и $N-K$ бракованных деталей (всего $N$ деталей). Наудачу и без возвращения вынимают $n$ деталей. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно $k$ стандартных и $n-k$ бракованных деталей.
*Поясню, что значит "примерно": вместо деталей могут фигурировать изделия, болты, телевизоры и т.п.; детали могут быть стандартными и бракованными, или годными и дефектными, или обычными и поломанными и так далее. Главное, чтобы они были ДВУХ типов, тогда один тип вы считаете условно "стандартными", второй - "бракованными" и используете формулу для решения, которую мы выведем ниже.
Сначала найдем общее число исходов - это число всех различных способов выбрать любые $n$ деталей из общего множества в $N$ деталей (без учета порядка), то есть число сочетаний $C_N^n$ (см. подробнее про сочетания).
Теперь найдем число всех способов выбрать $k$ стандартных деталей из $K$ возможных - это сочетания $C_K^k$, и одновременно число всех способов выбрать $n-k$ бракованных деталей из $N-K$ возможных - $C_^$. По правилу произведения перемножая эти числа, получим число исходов, благоприятствующих нашему событию - $C_K^k \cdot C_^$.
Применяя классическое определение вероятности - поделив число благоприятствующих исходов на общее число исходов, придем к искомой формуле:
Видеоурок и шаблон Excel
Посмотрите наш ролик о решении задач про детали в схеме гипергеометрической вероятности, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.
Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.
Примеры решений задач о выборе деталей/изделий
Пример 1. В партии из 12 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными?
Популярная задача из методички, в которой меняются только цифры, а вариантов множество. С помощью данного решения и калькулятора ниже для числовых расчетов, вы легко получите полное решение задачи. Для разнообразия сделаем подробное пояснение.
Начинаем решение задачи с ввода события $A = $ (Из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными) и общей формулы для нахождения вероятности. Так как речь идет о выборе объектов из совокупности, используем классическое определение вероятности $P(A)=m/n$, где $n$ - общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ - число исходов, благоприятствующих событию $A$.
Сначала найдем общее число исходов - это число способов выбрать любые 4 изделия из партии в 12 изделий. Так как порядок выбора несущественнен, применяем формулу для числа сочетаний из 12 объектов по 4: $n=C_^4$.
Теперь переходим к числу благоприятствующих событию исходов. Для этого нужно, чтобы из 4 выбранных изделий 2 были дефектные (выбираем любые 2 дефектные изделия из 5 $C_5^2$ способами) и еще 2 - стандартные (выбираем любые 2 стандартные изделия из 12-5=7 имеющихся в партии $C_7^2$ способами). Тогда всего способов выбрать 2 дефектных и 2 обычных изделия из партии будет $m = C_5^2 \cdot C_7^2$.
Нужная вероятность равна:
Пример 2. В ящике 16 стандартных и 7 бракованных деталей. Наудачу извлечены 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных ровно 4 стандартных детали.
Пример 3. В партии из 12 изделий 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 3 наугад взятых есть хотя бы одно нестандартное.
Эта задача самую малость сложнее предыдущих. В ней помимо исходного события
$A = $ (Среди 3 наугад взятых изделий есть хотя бы одно нестандартное),
введем еще противоположное ему событие, которое можно записать как
$\overline = $ (Все три выбранные изделия стандартные).
Тогда вероятность искомого события (что будет хотя бы одно нестандартное изделие из 3), равна:
Пример 4. Мастер для замены получил 8 однотипных деталей, из которых 3 бракованные. Он заменил 2 детали. Найти вероятность того, что замененными оказались годные детали.
Пример 1 .
Наугад взяты два положительных числа, каждое из которых не превышает двух.
Решение:
a) Произведение не больше 1
A1 – взяли «1», A2 – затем снова взяли «1».
;
P(A)=P(A1);
b) Отношение первого ко второму не больше двух
Пример 2 .
Цифры 0 до 6. Сколько шестизначных черных чисел можно составить
Решение:
Формат: XXX XXX
Четные: 0, 2, 4, 6
Пример 3 (тема "Полная вероятность").
По самолету производят 4 независимых выстрела. Вероятность попадания 0,1. Чтобы вывести самолет из строя достаточно 3 попаданий.
P1=0,6 – выход самолета при одном попадании
P2=0,8 – выход самолета при двух попаданиях
P3=1 – выход самолета при трех попаданиях
Найти вероятность поражения самолета
Решение:
P(A1) – попали по самолету один раз (из 4-х)
P(A2) - попали по самолету два раза (из 4-х)
P(A3) - попали по самолету три раза (из 4-х)
P(A4) попали по самолету четыре раза (из 4-х)
P(A1)=C 1 4·p 1 ·q 4-1 ; P(A2)=C 2 4·p 2 ·q 4-2 ; P(A3)=C 3 4·p 3 ·q 4-3 ; P(A4)=C 4 4·p 4 ·q 4-4
Вероятность поражения
P=P(A1)·P1+P(A2)·P2+P(A3)·P3+P(A4)·P4 =
Пример 4 .
I: 30%, высший сорт: 60%
II: 32%, высший сорт: 25%
III:38%, высший сорт: 50%
Найти вероятность того, что из 300 изделий, взятых наугад, число изделий высшего сорта заключено между 130 и 170.
Решение:
A – высший сорт, Bi – с i-ого завода, Ci – высший сорт
P(A)=ΣP(Bi) P(Ci)
P(A)=P(B1) P(C1)+ P(B2) P(C2)+P(B3) P(C3)=0,3·0,6+0,32·0,25+0,38·0,5=0,45, p=0,45, q=0,55
Наивероятнейшее число:
n·p-q135,5170-135=35, 170-130=40
I автомат – 20%, 0,2% - брака
II автомат – 30%, 0,3% - брака
III автомат – 50%, 0,1% - брака
Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь – бракованная.
- вероятность того, что деталь с I автомата
- с II станка,
- с III станка
- вероятность брака с I автомата
- вероятность брака с II автомата
- вероятность брака с III автомата
P=PI·P I б+PII·P II б+PIII·P III б = 0,2·0,002+0,3·0,003+0,5·0,001=0,0018
Пример 10 .
Задание: Охотник выстрелил 3 раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что охотник попал в цель хотя бы 1 раз.
Решение:
Произведено 3 выстрела
P1=0,8; P2=0,7; P3=0,6
P(A) – вероятность того, что охотник попал в цель хотя бы 1 раз
P(Ā) – охотник не попал ни разу
P(Ā)=P(B1)·P(B2)·P(B3)=0,2·0,3·0,4=0,024
P(A)=1- P(Ā)=1-0,024=0,976
Пример 12 .
В магазин вошли n покупателей. Найти вероятность того, что m из них совершит покупку (P=0,1 – вероятность того, что кто-то купит)
n=11, m=7, p=0,1, q=0,9
Pn(m)=C m n·p m ·q n-m
Пример 13 .
Брак 5%. Составить закон распределения числа брак. изделий из трех взятых наугад.
, , n=3
Pn(m)=C m n·p m ·q n-m
Пример 14 .
Партия 100 деталей, из которых 10 бракованные. Выбраны случайным образом 5 для проверки качества. Выстроить закон распределения числа бракованных изделий, содержащихся в выборке.
Решение:
N=100, n=10 – брак, - вероятность брака
- деталь не бракованная
Всего возможны 6 вариантов:
1) нет бракованных
2) 1 бракованная
3) 2 бракованных
4) 3 бракованных
5) 4 бракованных
6) Все 5 бракованные
Пример 15 .
Из 100 билетов 2 выигрышные: 210 и 60 руб.
Составить закон распределения суммы выигрыша для лица, имеющего 2 билета
Решение:
P0 – вероятность того, что ничего не выиграли
P1 – вероятность выигрыша одного билета.
P2 – вероятность выигрыша сразу 2-х билетов
| X | 0 | 60 | 210 | 270 |
| P | 0,9801 | 0,0099 | 0,0099 | 0,0001 |
M(x)=∑Pi·Xi = 0·0,9801 + 60·0,0099 + 210·0,0099 + 270·0,0001 = 2,7
D(x)=M(x 2 )-[M(x)] 2 =ΣPiXi 2 -[M(x)] 2
D(x) = 0 2 ·0,9801 + 60 2 ·0,0099 + 210 2 ·0,0099 + 270 2 ·0,0001 - 2,7 2 = 472,23
Me=0,173
Вероятность попадания в интервал
Пример 17 .
Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появления герба от вероятности 0,5 окажется по абсолютной величине не более 0,01
Решение:
ε=0,01; p=0,6; q=0,4
По таблице φ(0,84)=0,3;
, n=17,64≈18
Пример 18 .
P=0,1 – вероятность наугад взятой детали
Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число годных было 50.
Решение:
Q=0,1 – брак, p=0,9 – годная
n·p-q≤k0≤n·p+p
n·0,9-0,1≤50≤n·0,9+0,9
nn>54,56
n=55
Пример 19 .
Диаметр детали – случайная величина, распределенная по нормальному закону.
D(x)=0,0004 см. 2 , M(x)=3,7 см., P=0,9973
В каких границах можно гарантировать диаметр детали.
Решение:
P(|x-mx|<σt)=2φ(t)
Пример 21 .
20% деталей удовлетворяют определенным требованиям. Наугад берется 5 деталей. Число рассматриваемых – случайная величина.
Решение:
1) Распределение вероятностей
- удовлетворяют требованиям
- не удовлетворяют требованиям
Pn(K)=Cn k ·p k ·q n-k
(нет рассматриваемых деталей)
(рассмотрена 1 деталь)
(рассмотрено 2 детали)
(рассмотрено 3 детали)
(рассмотрено 4 детали)
(рассмотрено 5 деталей)
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P | 0,32768 | 0,4096 | 0,2048 | 0,0512 | 0,0064 | 0,00032 |
2) График полигона.
Контрольная работа № 9 по алгебре в 7 классе с ответами по теме «Частота и вероятность» (варианты 3-4) по учебнику «Алгебра 7 класс / Г.В. Дорофеев и др. — М.: Просвещение». Алгебра 7 Дорофеев КР-09 В3-В4.
Алгебра 7 класс (Дорофеев)
Контрольная № 9. Варианты 3-4
Тема: Частота и вероятность
Задания и ОТВЕТЫ на Вариант 3
№ 1. Кнопку подбрасывали 80 раз, и она упала на остриё 32 раза. Определите частоту падений кнопки на остриё.
ОТВЕТ: 32 : 80 = 4/10 = 0,4.
№ 2. На выборах в городскую думу к 10 ч из 300 избирателей за кандидата Иванова проголосовало 105 избирателей. На вероятностной шкале отметьте вероятность победы кандидата Иванова.
ОТВЕТ:
№ 3. Проверка всхожести семян свёклы показала, что вероятность проращивания всходов составляет 0,8. Сколько проросших семян можно ожидать при посеве 400 семян?
ОТВЕТ:
№ 4. В школе 600 учащихся. Известно, что за неделю было 50 опозданий к первому уроку. Случайным образом выбрали одного ученика. Какова вероятность того, что у него не было опозданий?
ОТВЕТ:
№ 5. Игральный кубик подбросили 200 раз. Результаты эксперимента занесли в таблицу:
Количество выпавших очков 1 2 3 4 5 6
Число наступлении события 44 36 30 34 36 20
Какова частота наступления события «выпало более трёх очков»?
ОТВЕТ:
№ 6. Случайным образом выбирают два последовательных натуральных числа, меньшие 10. Какова вероятность события «произведение выбранных чисел меньше 100»?
Решение: Вероятность 1, так как даже произведение 9 * 9 меньше 100.
ОТВЕТ: 1.
Дополнительное задание. № *7. В хоре 25 человек. Какова вероятность того, что хотя бы трое из них родились в одном месяце?
ОТВЕТ:
Задания и ОТВЕТЫ на Вариант 4
№ 1. Во время тренировки вратарь поймал мяч 25 раз из 30 бросков по воротам. Определите частоту удачных действий вратаря.
ОТВЕТ: 25 : 30 = 5/6.
№ 2. Среди 450 ёлочных игрушек 60 оказались бракованными. На вероятностной шкале отметьте вероятность появления бракованной игрушки.
ОТВЕТ:
№ 3. В некоторой школе вероятность опозданий учащихся к началу уроков по понедельникам составила 0,03. Сколько примерно опоздавших в такой день окажется среди 600 учащихся школы?
ОТВЕТ:
№ 4. При проверке партии приборов оказалось, что на каждые 450 приборов приходится 18 бракованных. Какова вероятность того, что взятый наугад прибор из этой партии будет без брака?
ОТВЕТ:
№ 5. Игральный кубик подбросили 200 раз. Результаты эксперимента занесли в таблицу:
Количество выпавших очков 1 2 3 4 5 6
Число наступлений события 22 17 21 50 36 54
Какова частота наступления события «выпало менее четырёх очков» ?
ОТВЕТ:
№ 6. Случайным образом выбирают два последовательных натуральных числа, меньшие 10. Какова вероятность события «произведение выбранных чисел равно 100»?
Решение: Вероятность 0, так как нет таких произведений.
ОТВЕТ: 0.
Дополнительное задание. № *7. В спортивной команде 25 человек. Какова вероятность того, что никакие трое из них не родились в одном месяце?
ОТВЕТ:
Вы смотрели: Алгебра 7 Дорофеев КР-09 В3-В4. Контрольная работа № 9 по алгебре с ответами по теме «Частота и вероятность» (варианты 3-4) по учебнику «Алгебра 7 класс / Г.В. Дорофеев и др. — М.: Просвещение».
Пусть события B1, B2, . Вп несовместны и образуют полную группу, а событие А может наступить при условии появления одного из них. События Bi называют Гипотезами, так как заранее неизвестно, какое из них наступит. Пусть произведено испытание и в результате появилось событие А. Тогда оказывается возможным определить условные вероятности гипотез Bi по следующим формулам:
Формулы (17.15) называются Формулами Байеса, по имени их автора. Они позволяют оценить вероятность гипотезы Вi Во всех испытаниях, где наступает событие А. Иными словами, зная вероятность Р(Вi) до проведения испытания, мы можем переоценить ее после проведения испытания, в результате которого появилось событие А.
Пример 5. Вероятность изготовления изделия с браком равна 0,08. После изготовления все изделия подвергаются проверке, в результате которой изделия без брака признаются годными с вероятностью 0,95, а изделия с браком — с вероятностью 0,06. Найти долю изделий, выпущенных после проверки, а также вероятность того, что выпущенное после проверки изделие окажется без брака.
Решение. Независимые события (гипотезы), образующие полную группу, — это B1 (изделие без брака) и В2 (изделие с браком). Пусть событие А заключается в том, что при проверке изделие признается годным. Ответ на первый вопрос задачи дает формула (17.14):
Следовательно, после проверки признаются годными около 88% всех изготовленных изделий.
Ответ на второй вопрос задачи дает формула Байеса (17.15) при П = 2 и I = 1:
Иными словами, среди изделий, прошедших проверку, содержится 99, 5% изделий без брака.
Пример 6. В среднем из каждых 100 клиентов отделения банка 60 обслуживаются первым операционистом и 40 — вторым операционистом. Вероятность того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом, составляет 0,9 и 0,75 соответственно для первого и второго служащих банка. Найти вероятность полного обслуживания клиента первым операционистом.
Решение. Вероятность того, что клиент попадет к первому операционисту (событие B1), составляет 0,6, ко второму — 0,4 (событие В2). Искомая вероятность полного обслуживания клиента первым операционистом (событие А) определяется по формулам (17.14) и (17.15):
Иными словами, 64% клиентов, попавших на обслуживание к первому операционисту, будут обслужены им полностью.
Эти события совместны (в одной партии могло оказаться так, что первый прибор бракованный, а второй исправный).
Вероятность брака при производстве деталей р = 0, 02?
Вероятность брака при производстве деталей р = 0, 02.
Найти вероятность того, что в партии из 400 деталей окажутся бракованными от 7 до 10 деталей.
Помогите задачу сделать1) В партии из 400 деталей 12 бракованных?
Помогите задачу сделать
1) В партии из 400 деталей 12 бракованных.
Какова вероятность, что выбранная деталь будет исправной?
Отдел технического контроля обнаружил 15 бракованных ламп в партии из случайно отобранных 200 ламп?
Отдел технического контроля обнаружил 15 бракованных ламп в партии из случайно отобранных 200 ламп.
Найти относительную частоту появления бракованных ламп.
Имеется партии из 100 деталей среди которых 2% бракованных?
Имеется партии из 100 деталей среди которых 2% бракованных.
Каково вероятность того, что выбранная наугад деталь бракованная?
В партии из 100 деталей, 50 деталей первого сорта, 15 - второго сорта, 30 - третьего и 5 бракованных?
В партии из 100 деталей, 50 деталей первого сорта, 15 - второго сорта, 30 - третьего и 5 бракованных.
Найти вероятность того, что произвольно взятая деталь будет бракованная.
В ящике 250 яиц, из которых 20 бракованных?
В ящике 250 яиц, из которых 20 бракованных.
Какова вероятность, что первое взятое из корзины яйцо не окажется бракованным?
Помогите?
Отдел технического контроля обнаружил 8 бракованных изделий в партии из 1000 изделий.
Найдите частоту изготовления бракованного изделия.
Вероятность брака DVD - диска из некоторой партии равна 0?
Вероятность брака DVD - диска из некоторой партии равна 0.
01. Найдите вероятность того, что из двух дисков, выбранных случайно из этой партии, один окажется бракованным.
Очень нужно помогите пожалуйста.
Известно, что среди 100 деталей 5 бракованных?
Известно, что среди 100 деталей 5 бракованных.
Наугад выбирают 4 детали.
Найти вероятность того, что среди них окажется :
1) хотя бы одна бракованная деталь ; 2) хотя бы одна не бракованная деталь.
Партия деталей из 20 штук, содержащая 4 бракованные детали, проходит технический контроль?
Партия деталей из 20 штук, содержащая 4 бракованные детали, проходит технический контроль.
Проверяется качество пяти деталей, случайным образом выбранных из этой партии.
Если среди них найдется хотя бы две бракованных, то партия бракуется.
Найти вероятность того, что партия будет забракована.
Читайте также: